2. OBJETIVOS:
• Conocer y aplicar los conceptos matemáticos asociados
al estudio de la función cuadrática.
• Graficar una función cuadrática, determinando vértice,
eje de simetría y concavidad.
• Indicar las características gráficas de una parábola a
través del análisis del discriminante.
• Determinar las intersecciones de la parábola con los
ejes cartesianos.
• Determinar las raíces de una ecuación de 2º grado.
3. Contenidos
1. Función cuadrática
1.1 Intersección con el eje Y
1.2 Concavidad
1.3 Eje de simetría y vértice
1.4 Discriminante
2. Ecuación de 2º grado
2.1 Raíces de una ecuación cuadrática
2.2 Propiedades de las raíces
2.3 Discriminante
4. 1. Función Cuadrática
Es de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
con a =0; a,b,c ∈ IR
y su gráfica es una parábola.
Ejemplos:
a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1
⇒ a = 2, b = 3
b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2
⇒ a = 4, b = -5 y c = -2
y c=1
5. 1.1. Intersección con eje Y
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c ,
el coeficiente c indica la ordenada del punto donde
la parábola intersecta al eje Y.
y
(0,C)
c
x
6. 1.2. Concavidad
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c ,
el coeficiente a indica si la parábola es cóncava
hacia arriba o hacia abajo.
Si a > 0,
es cóncava hacia arriba
Si a < 0,
es cóncava hacia abajo
7. Ejemplo:
En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , a = 1 y c = - 4.
Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0,- 4)
y es cóncava hacia arriba.
y
x
(0,-4)
8. 1.3 La importancia del valor de “a” y de “b”
El valor de “b” en la ecuación permite saber el movimiento
horizontal de la parábola y “a” su concavidad.
Sea la función cuadrática f(x)=ax² +bx + c
Entonces:
Si a>0 y b<0
la parábola abre hacia arriba y está orientada
hacia la derecha.
Ej. f(x)=2x² - 3x +2
Si a>0 y b>0
la parábola abre hacia arriba y está orientada
hacia la izquierda.
Ej. f(x)=x² + 3x - 2
Si a<0 y b>0
la parábola abre hacia abajo y esta orientada
hacia la derecha.
Ej. f(x)=-3x + 4x – 1
Si a<0 y b<0
la parábola abre hacia abajo y esta orientada
hacia la izquierda.
Ej. f(x)=-x² - 4x + 1
9. 1.4. Eje de simetría y vértice
El vértice de una parábola es el punto más alto o más
bajo de la curva, según sea su concavidad.
El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice
de la parábola, y es paralela al eje Y.
y
Eje de simetría
x
Vértice
10. Si
f(x) = ax2 + bx + c , entonces:
a) Su eje de simetría es:
b) Su vértice es:
x=
-b
2a
V=
-b , f
2a
V=
-b ,
2a
-b
2a
4ac – b2
4a
11. Ejemplo:
En la función
entonces:
f(x) = x2 + 2x - 8,
a = 1,
b=2
y
a) Su eje de simetría es:
x=
-b
2a
⇒
-2
x=
2·1
⇒
x = -1
b) Su vértice es:
V=
-b , f
2a
-b
2a
⇒
V = ( -1, f(-1) )
⇒
V = ( -1, -9 )
c = - 8,
13. 1.5 Comportamiento de la función de acuerdo a “a”, “h” y “k”
Si y=ax²
i) y =a(x-h)²
una función cuadrática cualquiera, entonces:
Significa que la función se movió a la izquierda o
derecha, h unidades y abre hacia arriba o hacia abajo.
Ej. 1) y=2(x-3)² (↑→)
y
2) y=-3(x-4)²
(↓→)
y
x
ii) y =a(x+h)² xsignifica que la función se movió a la
izquierda o
derecha, h unidades y abre hacia arriba o abajo.
Ej. 1) y= 4(x+2)² (↑←)
2) y=-(x+1)²
y
(↓←)
x
14. iii) y=a(x-h)² ± k
significa que la función se movió a la derecha o
izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo.
Ej. 1) y=5(x-1)² - 4
iv) y=a(x + h)² ± k
abajo.
Ej. 1) y=(x+6)² - 5
(↑→↑)
2) y=-3(x-7)² + 6
(↓→↓)
significa que la función se movió a la derecha o
izquierda y k unidades hacia arriba o hacia
(↑←↑)
2) y=-5(x+3)² + 3
y
x
Obs. V(h,k) es el vértice de la parábola.
(↓←↓)
15. Si la parábola es abierta hacia arriba, el
vértice es un mínimo y si la parábola es
abierta hacia abajo, el vértice es un máximo.
16. 1.6. Discriminante
El discriminante se define como:
Δ = b2 - 4ac
a) Si el discriminante es positivo, entonces la parábola
intersecta en dos puntos al eje X.
Δ>0
17. b) Si el discriminante es negativo, entonces la
parábola NO intersecta al eje X.
Δ<0
18. c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la
parábola intersecta en un solo punto al eje X, es
tangente a él.
Δ=0
19. 2. Ecuación de segundo grado
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es
de la forma:
ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0
Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o
raíces. Si éstas son reales, corresponden a los puntos
de intersección de la parábola f(x) = ax2 + bx + c
con el eje X.
x1
x2
20. Ejemplo:
En la función
f(x) = x2 - 3x - 4 ,
la ecuación asociada:
x2 - 3x - 4 = 0 , tiene raíces -1 y 4.
Luego, la parábola intersecta al eje X en esos puntos.
y
x1
x2
x
21. 2.1. Raíces de una ecuación de 2° grado
Fórmula para determinar las soluciones (raíces)
de una ecuación de segundo grado:
x=
-b±
b2 – 4ac
2a
Ejemplo:
Determinar las raíces de la ecuación: x2 - 3x - 4 = 0
x=
-(-3) ±
(-3)2 – 4·1(- 4)
2
x= 3 ±
9 + 16
2
22. x= 3 ±
25
2
x= 3 ± 5
2
8
2
x = -2
2
x1 = 4
x2 = -1
x=
También se puede obtener las raíces de la ecuación
factorizando como producto de binomios:
x2 - 3x - 4 = 0
(x - 4)(x + 1) = 0
⇒ (x - 4)= 0
x1 = 4
ó
(x + 1)= 0
x2 = -1
23. 2.2. Propiedades de las raíces
Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de segundo
grado de la forma
ax2 + bx + c = 0,
1)
x1 + x 2 =
-b
a
2)
x1 · x2 =
c
a
3)
entonces:
x1 - x2 = ± Δ
a
Dadas las raíces o soluciones de una ecuación de segundo
grado, se puede determinar la ecuación asociada a ellas.
a(x – x1)(x – x2) = 0
24. 2.3. Discriminante
En una ecuación de segundo grado, el discriminante
Δ = b2 - 4ac
permite conocer la naturaleza de las raíces.
a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación
cuadrática tiene dos soluciones reales x1, x2 y distintas.
La parábola intersecta
en dos puntos al eje X.
x1, x2 son reales y
x1
x1 ≠ x2
x2
Δ>0
25. b) Si el discriminante es negativo, entonces la
ecuación cuadrática no tiene solución real.
La parábola NO intersecta
al eje X.
x1, x2 son complejos y
conjugados
x1 = x2
Δ<0
26. c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la
ecuación cuadrática tiene dos raíces reales e iguales.
La parábola intersecta en
un solo punto al eje X.
x1, x2 son reales y
x1 = x 2
x1= x2
Δ=0
