Estado de esfuerzos y deformaciones en un punto

1. ESTADO DE ESFUERZOS Y
DEFORMACIONES EN UN PUNTO

2. Introducción
• Las fuerzas externas que actúan sobre un
cuerpo, producen una distribución de fuerzas
internas cuya intensidad en un punto recibe el
nombre de esfuerzo.
• Bajo la acción de estas fuerzas, el cuerpo
experimenta una deformación que se
manifiesta como un cambio de forma y/o
volumen.

3. Introducción

4. Definición de esfuerzos

5. Definición de esfuerzos
• Humanamente hablando:
– Acción de emplear gran fuerza física o moral con
algún fin determinado.
• Mecánicamente hablando:
– Un conjunto de fuerzas y
momentos estáticamente equivalentes a la
distribución de tensiones internas de un cuerpo
sobre el área de esa sección.

6. Definición de esfuerzos en un punto
• Cuerpo con cargas externas muestra un cuerpo en equilibrio, bajo la
acción de las cargas externas 𝐹1,𝐹2,...𝐹𝑛




0
0
i
i
M
F
Para que un cuerpo este en
equilibrio

7. Definición de esfuerzos en un punto
• Consideremos un punto P en el interior del cuerpo y un plano que
contenga a P y divida el cuerpo en dos partes y además:
• Se produce en la superficie de separación una fuerza distribuida
que corresponde a la interacción de una parte del cuerpo sobre la
otra.
Si se considera un pequeño
elemento de área Δ𝐴 del plano,
que contenga a P, actuará sobre
él una fuerza elemental Δ𝐹.
dA
dF
A
F
S
A
nr 



 0
lim
  00 ii MF ,

8. Definición de esfuerzos en un punto
• El esfuerzo tiene dirección y sentido.
Dependerá de la orientación del elemento de
área utilizado, es decir, dependerá de la
dirección de n. Por esto, se hace necesario
utilizar en la notación del esfuerzo dos
subíndices, el primero indicará la dirección
normal al elemento de área donde actúa el
esfuerzo, y el segundo la dirección en que
actúa.

9. Definición de esfuerzos en un punto
• Es útil descomponer el vector esfuerzo 𝑆𝑛𝑟 en dos
componentes, una en la dirección normal al área (𝑆𝑛𝑛) y
otra tangencial (𝑆𝑛𝑡).
• En ingeniería se utilizan los signos:
– σ Para esfuerzos normales
– τ Para esfuerzos tangenciales

10. Definición de Tensor de esfuerzos en
un punto

11. Definición de Tensor de esfuerzos en
un punto

12. Definición de Tensor de esfuerzos en
un punto
• La condición de equilibrio de momentos alrededor de la dirección
m-m que pasa por P y es paralela al eje x, queda expresada por:
Y análogamente

13. Estado de esfuerzos plano
• El estado de esfuerzos plano se caracteriza porque
todas las componentes del esfuerzo en una dirección
determinada son nulas, por ejemplo en la dirección z.

14. Estado de esfuerzos plano
• Considerando sistema n,t que está rotando
respecto al sistema original x, y en un ángulo
𝜃.

15. Estado de esfuerzos plano
Si se quiere rotar los componentes de esfuerzos desde la dirección n,t al plano x,y
Se debe obtener el equilibrio de fuerzas.
De la condición de equilibrio de fuerzas en la dirección n, se tiene:
  0nF

16. Estado de esfuerzos plano
• Utilizando relaciones de trigonometría




 22
2
21
2
12 22
sincossin,
cos
sin,
cos
cos 




Se tiene que:

17. Estado de esfuerzos plano
• De la condición de
equilibrio de fuerzas en
la dirección t, se tiene:
 222
cossincos 

18. Estado de esfuerzos plano
La expresión para σ𝑡 tiene la misma forma que la expresión anterior, hay que
considerar que en el lugar del ángulo 𝜃, habría que utilizar el ángulo 𝜃+𝜋/2 .
permiten conocer las componentes normal y tangencial del esfuerzo en un punto,
para un plano con cualquier orientación definida por el ángulo 𝜃

19. Esfuerzos principales
• Los esfuerzos normales máximo y mínimo,
reciben el nombre de esfuerzos principales,
los planos donde ellos actúan se llaman
planos principales y las direcciones normales a
estos planos son las direcciones principales.
• Las direcciones principales se denotarán con
los número 1 y 2 y los esfuerzos principales
serán σ1y σ2.

20. Esfuerzos principales
• Direcciones principales.
– Si llamamos 𝜃σ al ángulo que forma la dirección
principal 1 con la dirección x, se deberá cumplir
para valores máximos o mínimos de σ 𝑛 que:




d
d
xy
yxyx
n 22
22
sincos 





21. Esfuerzos principales
 
 
 yx
xy
xyyx
xyyx
n
d
d














2
2
222
0222
tan
cossin
cossin
Finalmente los ángulos de las direcciones principales son:
2
2
2
1
12
1
1

















 
yx
xy
tan

22. Esfuerzos principales
• Si calculamos la segunda derivada
 
0
0
222
2
2
2
2
2
2











d
d
d
d
d
d
n
n
xyyx
n
sincos
Valor máximo para
Valor mínimo para
1 n
2 n

23. Esfuerzos principales
• Para obtener los valores de los esfuerzos
principales σ1y σ2 bastará con reemplazar los
valores de los ángulos 𝜃σ1 y 𝜃σ2 en la formula
de σ 𝑛 .

24. Esfuerzos principales
• Y que pasa con
• Nos damos cuenta que
• Y como en los planos principales

25. Esfuerzos principales
• Por lo tanto 0nt

26. Esfuerzos principales
• Al sumar los esfuerzos principales σ1y σ2 se tiene
que:
• En forma mas general
• Esto significa que la suma de los esfuerzos
normales es independiente de la orientación del
elemento (cantidad invariante).
yx   21
yxtn  

27. Esfuerzo de Corte máximo
• Con un razonamiento similar al que se hizo
para el esfuerzo normal σ 𝑛, se puede obtener
el valor y la ubicación de los planos donde
actúa el esfuerzo de corte máximo.
• En los planos donde el esfuerzo de corte es
máximo se debe cumplir entonces que:

28. Esfuerzo de Corte máximo
xy
yx
xy
yx
xy
yxnt
d
d












2
2
22
2
022
2








tan
sincos
sincos
 yx
xy





2
2tanComo sabíamos
anteriormente que
Se cumple que 122   tantan

29. Esfuerzo de Corte máximo
• Se deduce que los ángulos 2𝜃𝜏 y 2𝜃σ difieren
en 90° y, por lo tanto, los ángulos 𝜃σ y 𝜃𝜏 en
45°.
• Si se remplaza ahora el valor del ángulo 𝜃𝜏 en
la expresión para σ 𝑛 y σt , se obtiene
4
1

  
2
yx
tn





30. Esfuerzo de Corte máximo
Y remplazando 𝜃𝜏 en 𝜏nt

31. Ejemplo
• Se tiene el siguiente estado de esfuerzos con:
– σx=5
– σy=-4
– τxy=-2
• Determinar:
1. σn, σt, τxy para θ=30°
2. σ1, σ2, θσ1, θσ2
3. τmax, θτmax

32. Representación gráfica por medio del
círculo de Mohr
• El ingeniero alemán Otto Mohr (1835-1918),
ideó un sistema gráfico para representar el
estado de esfuerzos en un punto.

33. Representación gráfica por medio del
círculo de Mohr
• Para efectos de graficar el círculo de Mohr, se
adopta la siguiente convención de signos para
el esfuerzo de corte 𝜏. Positivo si la tendencia
de giro del elemento es en el sentido horario y
negativo si la tendencia es en el sentido
antihorario.

34. Representación gráfica por medio del
círculo de Mohr
• Supongamos en primer lugar, que σ 𝑥 > σ 𝑦 y
dibujemos un sistema de ejes cartesiano de
σ−𝜏, el cual presentara los puntos A y B.
c

35. Representación gráfica por medio del
círculo de Mohr
• Cada punto en este sistema σ−𝜏,
representa un posible plano con sus
respectivas componentes de esfuerzo
normal y esfuerzo de corte. Así por
ejemplo, el punto A, sobre el círculo,
tiene coordenadas (σ𝑥,−𝜏𝑥𝑦) y, por lo
tanto, representa el plano cuya
normal es la dirección x. El punto B de
coordenadas (σ𝑦,𝜏𝑥𝑦) representa el
plano que tiene como normal la
dirección y.
• Los puntos A y B se unen por medio
de una línea que corta al eje
horizontal en el punto C. El punto C es
el centro del círculo de Mohr.

36. Representación gráfica por medio del
círculo de Mohr
• Los infinitos puntos que componen el círculo de Mohr, corresponderán a
los infinitos planos que pueden pasar por el punto en cuestión.
• Demostraremos, que el punto N sobre el círculo, representa el plano cuya
normal es n y que está rotado un ángulo 𝜃 respecto a la dirección x, que es
la normal al plano que en el círculo de Mohr está representado por el
punto A.

37. Representación gráfica por medio del
círculo de Mohr

38. Representación gráfica por medio del
círculo de Mohr

39. Casos especiales de estados de
esfuerzos
• Estado de esfuerzo uniaxial
– Se caracteriza porque existe sólo una de las
componentes normales, puede ser de tracción σ 𝑥
>0, o de compresión σ 𝑥<0.

40. Casos especiales de estados de
esfuerzos
Estado de esfuerzo uniaxial

41. Casos especiales de estados de
esfuerzos
• Estado de corte puro:
– Se caracteriza porque existe sólo la componente
de corte en el plano donde 𝜏 es máximo.

42. Casos especiales de estados de
esfuerzos
Estado de corte puro

43. Casos especiales de estados de
esfuerzos
• Estado de corte puro:
– En este caso además se cumple que:
– De acuerdo a esto, se podría formular una definición más
general del estado de esfuerzo de corte puro, diciendo que es
aquel en que la suma de los esfuerzos normales es nula, vale
decir, para una orientación (n,t) cualquiera se debe cumplir que:
– Como esta es una cantidad invariante, resulta entonces que para
cualquier otra orientación del elemento se cumplirá que la suma
de los esfuerzos normales es nula. El círculo de Mohr en este
caso particular resulta centrado respecto del origen.

44. Ejemplo

49. Es interesante hacer notar que el signo negativo de 𝜏𝑛𝑡 indica que su dirección está en sentido
contrario a la dirección del eje t, esto no se contrapone con la convención de signos para efectos
de la representación gráfica en el círculo de Mohr, donde a 𝜏𝑛𝑡 le correspondería signo positivo
para el plano considerado.

50. Concepto de deformación en un punto
• La acción de cargas externas produce en los cuerpos una
distribución de esfuerzos y además una deformación.
• La deformación es una magnitud física que requiere de una
definición formal. En primer lugar se definirá el concepto de
deformación normal en un punto.
• Los cambios en un cuerpo se pueden descomponer en 4 partes:
Traslación Rotación
Deformación Lineal
Deformación Angular

51. Concepto de deformación en un punto
• Consideremos el desplazamiento de D a D’, con lo
cual el tramos OD modifica su longitud y gira un
ángulo transformando en el segmento OD’.

52. Concepto de deformación en un punto
• Definimos δ como la deformación unitaria del
elemento OD, al cociente entre el
desplazamiento DD’ y la longitud OD
Se descompone el vector δ en dos
componentes: deformación longitudinal
unitaria(ε) y deformación angular unitaria (γ)

53. Concepto de deformación en un punto
• Deformación longitudinal (normal)
– un punto A(x0) y un punto vecino B(x0+dx0) de un
elemento unidimensional orientado en la dirección X.
Si este elemento se deforma por alargamiento los
puntos A y B se desplazan a los punto A’ y B’ de
coordenadas (x,x+dx) respectivamente.

54. Concepto de deformación en un punto
• En el punto A se define la deformación normal
convencional en la dirección X se denota por
𝜀 𝑥 a:
• El alargamiento del trazo 𝑂𝐴 es Δ𝑋=𝑋−𝑋0 con
lo que:
Si la longitud es finita

55. Concepto de deformación en un punto
• En forma mas general

56. Concepto de deformación en un punto
• Deformación por esfuerzo de corte o
deformación angular .
• Para el caso de pequeñas deformaciones
angulares, se tiene:

57. Concepto de deformación en un punto
• Los subíndices x e y indican que la deformación angular se produce
en el plano xy. La componente 𝛾 𝑥𝑦 es entonces, de acuerdo a esta
definición, la variación que experimenta durante la deformación un
ángulo inicialmente recto formado por las direcciones x e y.

58. Tensor de deformación
• Al igual que los esfuerzos la deformaciones se
pueden ordenar en un tensor.

59. Deformaciones producidas por
estados de esfuerzos planos
𝜀 𝑥 y 𝜀 𝑦 corresponden a los alargamientos unitarios en las direcciones
x e y respectivamente. La componente 𝛾 𝑥𝑦 es igual a la variación
angular (𝛾1+𝛾2 ) y la rotación es

60. Deformaciones producidas por
estados de esfuerzos planos
• Para la rotación de deformaciones en
cualquier dirección se tiene:

61. Deformaciones principales
• En el caso de las deformaciones, las direcciones principales de deformación,
corresponderán a las direcciones en que se producen las deformaciones
normales máxima y mínima 𝜀1 y 𝜀2 respectivamente, y deformación
angular nula. A su vez, las direcciones de deformación angular máxima, se
encuentran desfasadas en 45º de las direcciones principales de
deformación. Las expresiones correspondientes se pueden escribir por
analogía con la de los esfuerzos.
Se cumple también

62. Circulo de Morh para deformaciones

63. Circulo de Morh para deformaciones
• Convención de signos

64. Circulo de Morh para deformaciones

65. Medición de deformaciones
• Debemos saber que los esfuerzos se calculan y
las deformaciones se miden.
• La herramienta más importante del ingeniero
para el análisis experimental de esfuerzos, es
tal vez, la resistencia eléctrica denominada
“Strain Gauge” o “Banda extensométrica”.

66. Medición de deformaciones
• Se descubrió que la resistencias eléctricas de
alambres de Cobre y Hierro cambiaba cuando
eran sometidos a carga, y que este cambio se
debía a una variación de la resistividad eléctrica
del conductor.
• Strain gages: consiste en un alambre pegado a la
superficie del elemento que se va a deformar, de
manera que la deformación es tomada también
por el conductor y medida con un circuito
eléctrico simple.

67. El strain gauge es un elemento que mide sólo deformaciones
normales en una dirección dada.
Para obtener completamente el estado de deformaciones en un
punto es necesario tener una configuración de roseta.

68. Ejemplo
• Determinación del estado de deformaciones
en un punto utilizando una roseta 0º, 60º,
120º.

69. Ejemplo
• Supongamos que en un punto de un elemento tenemos la
roseta de la figura que nos da las deformaciones en las
direcciones (a), (b) y (c), digamos 𝜀𝑎, 𝜀𝑏, 𝜀𝑐.
• Estas tres deformaciones normales, definen
completamente el estado de deformaciones en el punto.
• Elegimos el sistema de referencia x, y, de manera que, por
ejemplo, la dirección x coincida con la dirección (a).
• La expresión que nos da la deformación normal es una
dirección n cualquiera es:

70. Ejemplo
• Ahora, aplicando esta expresión en forma
sucesiva para las direcciones (a), (b) y (c),
tendremos:

71. Resolviendo el sistema