Uno scritto in LaTex con il quesito e la soluzione sulle catene di Markov dalla rubrica di Le Scienze, Rudi Matematici di Settembre.

1. Cartoline da Zanzibar
Gianmarco Bramanti1, a)
Universit` Rudica
a
Sede autonoma n...
Via...
Vittoria.Ragusa.Sicilia.Italia.Europa.Terra.Sistema Solare
(Dated: Settembre 2011; Revised Settembre 2011)
CONTENTS la posizione delle parentesi ` assegnata, per ragioni che
e
saranno presto evidenti, secondo il criterio di considerare
I. Introduzione 1 la coda della sequenza che ha il massimo grado di sovrap-
posizione con la testa di una delle due stringhe obiettivo.
II. Soluzione 1 Consideriamo per esempio la coppia T (C) ` evidente che
e
A. Algebra delle sequenze 1 l’uscita del segno C al secondo lancio chiude il potenziale
B. Tabella dei confronti 2 vantaggio del primo giocatore ed apre una possibilit` dia
Utili simmetrie 2 vincita per il secondo, ma dal punto di vista di entrambi
giocatori il ramo dell’albero binario di radice (C) ` equiv-
e
III. Strategie di gioco 2 alente ad una partita appena iniziata con l’uscita di C,
cio` i valori precedenti assunti dalla moneta non hanno
e
conseguenze per il seguito del gioco. Possiamo quindi
I. INTRODUZIONE scrivere:
Discutiamo un semplice ma intrigante problema di
probabilit` presentato in forma di gioco nella rubrica
a (T ) = [(T T ) + (C)]/2 (4)
Rudi Matematici del numero di Settembre di Le Scienze. (C) = [(CT ) + (C)]/2 (5)
Il problema prevede di analizzare un gioco in cui due
contendenti avendo a disposizione una moneta scelgono Dall’equazione 5, risolvendo rispetto a (C) troviamo
una terna di uscite consecutive prima dell’inizio del gioco, (C) = (CT ) il senso di questa uguaglianza ` che nel se-
e
quindi lanciano la moneta pi` volte di seguito finch´ non
u e guito dell’espansione binaria del ramo che inizia con (C)
si realizza una delle due terne. Lo scopo di ciascun gio- andando a sostituire ricorsivamente tutte le, infinite, oc-
catore ` ottenere che la propria sequenza si realizzi.
e correnze di (C) non potremo che imbatterci in sequenze
(CT) con probabilit` 1. Sostituendo in 4 ecco che risulta:
a
II. SOLUZIONE
(C) = (CT ) (6)
A. Algebra delle sequenze (T ) = [(T T ) + (CT )]/2 (7)
Cominceremo analizzando la probabilit` che si realizzi
a Analogamente passiamo ad elaborare un sistema per
una delle due terne TTT e CTC. Lo faremo impostando le radici restanti:
un semplice calcolo algebrico che sottende l’analisi ricor-
siva dell’espansione dello spazio degli eventi in forma di
(CT ) = [C(T T ) + (CT C)]/2 (8)
albero binario. Abbiamo dunque inizialmente pari prob-
abilit` di ottenere testa o croce e quindi scriviamo:
a (T T ) = [T T (C) + (T T T )]/2 (9)
tralasciando le lettere esterne alle parentesi e sos-
() = [(T ) + (C)]/2 (1) tituendo il termine (C) con la sua espressione(CT) sec-
ondo l’equazione 6 otteniamo:
spiegheremo subito il significato delle parentesi. Al
secondo passo abbiamo:
(CT ) = [(T T ) + (CT C)]/2 (10)
(T T ) = [(CT ) + (T T T )]/2 (11)
(T ) = [(T T ) + T (C)]/2 (2)
(C) = [(CT ) + C(C)]/2 (3) e risolvendo rispetto a (CT) e (TT) otteniamo:
(CT ) = [(T T T ) + 2(CT C)]/3 (12)
a) Electronic mail: gianmarco.bramanti@gmail.it (T T ) = [(CT C) + 2(T T T )]/3 (13)

2. 2
e sostituendo a ritroso otteniamo: Utili simmetrie
Prima di procedere ` utile osservare che per qualsiasi
e
coppia di triplette tutta l’analisi di probabilit` rimane
a
() = [7(CT C) + 5(T T T )]/12 (14)
invariata se si scambiano il ruolo della lettera T con il
ruolo della lettere C, pertanto, ad esempio, le triplette
Ovvero la probabilit` di ottenere una sequenza CTC
a CCC e TCT avranno gli stessi pesi relativi di TTT e
` 7/12 e la probabilit` di ottenere una sequenza TTT `
e a e CTC. Inoltre ` evidente che se una coppia di triplette `
e e
5/12. Quindi le due probabilit` non sono pari.
a (TTT,TCT)(TTT,TCC)(TTT,CCT)(TTT,CTT)(TTT,CTC)
Il caso particolare studiato non costituisce evidente- (TTC,TCT)(TTC,TCC)(TTC,CTT)(TTC,CTC)
mente pregiudizio alla generalizzazione del metodo, in- (TCT,CTT)
fatti delle due lettere iniziali al pi` entrambe sono carat-
u
a I confronti fondamentali
teri iniziali di una nuova sequenza e di tutte le quattro
coppie di lettere iniziali al pi` due compongono l’inizio
u
di una delle due triplette scelte, ed infine di tutte le otto
triplette esattamente due sono quelle scelte, pertanto ad tale che l’una si ottiene dall’altra per scambio di T con
ogni passaggio avremo la possibilit` di esprimere la radice
a C allora entrambe le coppie avranno il medesimo peso
in termini di al pi` due lettere, le incognite fra queste
u statistico. Infine se due triplette differiscono solamente
in termini di al pi` due coppie iniziali ed infine le cop-
u per l’ultimo simbolo hanno pesi uguali. In questo modo
pie incognite in termini delle triplette. Naturalmente il in virt` della prima simmetria dagli iniziali 64 − 8 = 56
u
metodo ` iterabile al caso di numero qualunque di sim-
e confronti ci riduciamo a 16, la seconda osservazione con-
boli, ovvero per le n-ple con n qualunque, ed il tempo di sente la risoluzione immediata 4 di questi confronti e 2 an-
calcolo cresce linearmente in n. cora sono resi immediati dalla terza osservazione e quindi
rimangono 10 confronti da calcolare esplicitamente. Da
Come ulteriore esempio consideriamo il caso ovvio: questi confronti, che sono riportati in tabella a e da quelli
CCT e CCC l’equazione iniziale `: e immediati gi` detti seguono gli altri 46.
a
Scriviamo adesso ordinatamente i pesi di queste cop-
pie: (2TTT,3TCT) (2TTT,1TCC) (3TTT,7CCT)
() = [(C) + T ()]/2 = [(C) + (∗)]/2 (15) (5TTT,7CTC) (2TTC,1TCT) (2TTC,1TCC)
(1TTC,7CTT) (5TTC,3CTC) (1TCT,1CTT).
da cui () = (C).
III. STRATEGIE DI GIOCO
Inoltre:
Una volta compilata la tabella dei confronti passiamo
[(CC) + ()] [(CC) + (C)]
(C) = = (16) alle strategie. Notiamo che la scelta di una tripletta di
2 2 simboli uguali si rivela, dal punto di vista statistico, nel
migliore dei casi equa, in 5 casi ` svantaggiosa e non `
e e
da cui otteniamo (C) = (CC). Ed infine: mai vantaggiosa. La scelte TTC o l’equivalente CCT ` e
vantaggiosa in 4 casi, svantaggiosa in un caso ed equa
nei restanti 2 ` infatti battuta in tre giocate su quattro
e
dalla controscelta CTT. La scelta TCT o l’equivalente
(CC) = [(CCC) + (CCT )]/2 (17) CTC ` vantaggiosa in 2 casi, equa in altri 2 svantaggiosa
e
nei restanti 3 casi. Infine la scelta TCC o l’equivalente
CTT ` vantaggiosa in 3 casi, equa in 3, svantaggiosa in 1
e
e sostituendo a ritroso:
caso. In particolare quindi la strategia TTC ` quella che
e
() = [CCC + CCT ]/2 garantisce, nell’ipotesi di risposta aleatoria la maggiore
ovvero le due sequenze sono equiprobabili, come era probabilit` di giocare partite in vantaggio, ma in un caso
a
facilmente intuibile in questo caso. porta ad uno svantaggio elevato di 1 vincita su 4 giocate,
il valore di aspettazione pi` elevato ` garantito (sempre
u e
nell’ipotesi di risposta casuale) dalla strategia TCC che
ha un valore di aspettazione di quasi il 58% contro il quasi
56% della strategia TTC, ha anche il vantaggio di causare
B. Tabella dei confronti
un minor danno nel caso l’avversario scelga la risposta per
lui migliore, tuttavia ` vincente in un numero inferiore di
e
Vedremo adesso di stabilire quali sono le probabilit` di
a casi. Resta infine da notare che nel confronto diretto ` e
successo di ciascuna tripletta per ciascuna delle coppie di TTC che vince su TCC in 2 casi su 3.
tiplette che ` possibile scegliere.
e