alfabeto da reta

2
RECTA

O alfabeto da recta é o conjunto das posições genéricas que uma recta pode
ter em relação aos planos de projecção. Neste capítulo apresentam-se
essas posições, assim como posições particulares que algumas rectas
podem ter. Mostra-se também como se determinam as projecções laterais
de algumas rectas, como se marcam pontos nas rectas e como se determina
o percurso de uma recta.

Sumário:

2. Recta horizontal
3. Recta frontal
4. Recta fronto-horizontal
5. Recta de topo
6. Recta vertical
7. Recta oblíqua
8. Recta de perfil
9. Posições particulares da recta fronto-horizontal
10. Posições particulares da recta oblíqua
11. Posições particulares da recta de perfil
12 e 13. A projecção lateral da recta de perfil
14. A projecção lateral das rectas vertical, de topo e fronto-horizontal
15. A projecção lateral das rectas horizontal, frontal e oblíqua
16. Marcação de pontos nas rectas fronto-horizontal, de topo e vertical
17. Marcação de pontos nas rectas horizontal e frontal
18. Marcação de pontos na rectas oblíqua e de perfil
19. Percurso das rectas horizontal e frontal
20. Percurso das rectas oblíqua e de perfil
21. Percurso das rectas de topo e vertical
22. Exercícios

Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Recta - 1

Recta horizontal

A recta horizontal, ou de nível, é paralela ao plano horizontal de projecção e oblíqua ao plano frontal
de projecção. Tem apenas traço frontal. Esta recta pode ter abertura para a esquerda ou para a
direita, que se considera do lado onde o afastamento é positivo.
Designam-se por traços os pontos onde as rectas cruzam os planos de projecção.

φo

n2 // PHP
n / PFP
n
F≡F2

n1
F1 νo
x
A recta horizontal em perspectiva
A recta horizontal n é projectada no PHP em n1,
projecção essa que é paralela à própria recta e
oblíqua ao eixo x. A sua projecção no PFP é n2,
paralela ao eixo x. A recta cruza o PFP no ponto F,
que é o seu traço frontal.

F2 n2

F1
x F1
a2
n1 F2

a1

A recta horizontal em projecções
A recta n tem cota positiva e abertura para a direita, e corresponde àquela que está representada na perspecti-
va acima. A recta a tem cota negativa e abertura para a esquerda, estando apenas representada pelas suas
projecções.
A projecções frontais duma recta horizontal são paralelas ao eixo x, as horizontais são oblíquas.


Recta frontal

A recta frontal é oblíqua ao plano horizontal de projecção e paralela ao plano frontal de projecção.
Tem apenas traço horizontal. Esta recta pode ter abertura para a direita ou para a esquerda, que se
considera do lado onde a cota é positiva.

φo

f2
f // PFP
f
/ PHP

H2 f1
νo
x H≡H1

A recta frontal em perspectiva
A recta frontal f é projectada no PHP em f1, projec-
ção essa que é paralela ao eixo x. A sua projecção
no PFP é f2, que é paralela à própria recta f. A rec-
ta cruza o PHP no ponto H, que é o seu traço hori-
zontal.

b2
f2
H1
b1
H2
x H2

H1 f1

A recta frontal em projecções
A recta f tem afastamento positivo e abertura para a direita e corresponde à que está representada em perspec-
tiva. A recta b tem afastamento negativo e abertura para a esquerda, estando apenas representada pelas suas
projecções. A projecções horizontais duma recta frontal são paralelas ao eixo x, as frontais são oblíquas.


Recta fronto-horizontal

A recta fronto-horizontal é paralela aos dois planos de projecção, pelo que não possui traços.

φo

// PHP
a2 a // PFP
a

a1 νo
x

A recta fronto-horizontal em perspectiva
A recta fronto-horizontal a é projectada no PHP em
a1 e no PFP em a2, ambas as projecções são para-
lelas ao eixo x. Esta recta não cruza os planos de
projecção, pelo que não tem traços.

b1
a2

b2

x
a1

A recta fronto-horizontal em projecções
A recta a tem afastamento positivo e cota positiva, situa-se no I.º diedro. A recta b tem afastamento negativo e
cota positiva, situando-se no II.º diedro. A recta a corresponde à que está representada em perspectiva; a recta
b está apenas representada em projecções.
Ambas as projecções duma recta fronto-horizontal são paralelas ao eixo x.


Recta de topo

A recta de topo é paralela ao plano horizontal de projecção e perpendicular ao plano frontal de pro-
jecção. Tem apenas traço frontal. Esta recta é projectante frontal, o que quer dizer que todos os
pontos que possui são projectados frontalmente no seu traço (ver mais adiante “Marcação de pontos
nas rectas fronto-horizontal, de topo e vertical”).

φo

// PHP
t PFP
F≡F2≡(t2)

t
F1 νo
x
t1
A recta de topo em perspectiva
A recta de topo t é projectada no PHP em t1, pro-
jecção essa paralela à própria recta. A projecção
frontal fica reduzida a um ponto, indicando-se entre
parêntesis (t2). Essa projecção coincide com o tra-
ço da recta.

(t2)≡F2

F1 F1
x
(d2)≡F2

t1 d1

A recta de topo em projecções
A recta t tem cota positiva, situa-se nos I.º e II.º diedros; a recta d tem cota negativa, pelo que se situa nos III.º e
IV.º diedros. A recta t corresponde à que está representada em perspectiva; a recta d está apenas representa-
da nas projecções.
A projecção horizontal de uma recta de topo é perpendicular ao eixo x, a frontal fica reduzida a um ponto coinci-
dente com o seu traço.


Recta vertical

A recta vertical é paralela ao plano frontal de projecção e perpendicular ao plano horizontal de pro-
jecção. Tem apenas traço horizontal. Esta recta é projectante horizontal, o que quer dizer que todos
os pontos que possui são projectados horizontalmente no seu traço (ver mais adiante “marcação de
pontos nas rectas de topo e vertical”).

φo

v2
// PFP
v v
PHP

H2

νo
x H≡H1≡(v1)

A recta vertical em perspectiva
A recta vertical v é projectada no PFP em v2, pro-
jecção essa paralela à própria recta. A projecção
horizontal fica reduzida a um ponto, indicando-se
entre parêntesis(v1). Essa projecção coincide com
o traço da recta.

a2
v2

(a1)≡H1
H2
x H2

(v1)≡H1

A recta vertical em projecções
A recta v tem afastamento positivo, situa-se nos I.º e IV.º diedros. A recta a tem afastamento negativa, pelo que
se situa nos IIº e IIIº diedros. A recta v corresponde à que está representada em perspectiva; a recta a está
apenas representada nas projecções.
A projecção frontal de uma recta vertical é perpendicular ao eixo x, a horizontal fica reduzida a um ponto, coinci-
dente com o seu traço.


Recta oblíqua

A recta oblíqua é oblíqua a ambos os planos de projecção e oblíqua também ao eixo x. Tem dois
traços. As suas projecções horizontal e frontal podem ter abertura para a esquerda ou para a direita,
o que se considera onde os afastamentos e as cotas são positivas, respectivamente.

φo

/ PHP
r / PFP
/ eixo x
F≡F2 r2 H2

r
r1 H≡H1 νo
F1
x

A recta oblíqua em perspectiva
A recta oblíqua r é projectada no PHP em r1 e no
PFP em r2. Essas projecções são oblíquas ao eixo
x. A recta cruza o PHP no ponto H e o PFP no pon-
to F, que são os seus traços.

F2
s2
r2

H2 H2 F1
x F1

H1
r1 s1
F2
H1

A recta oblíqua em projecções
As projecções da recta r têm aberturas para lados opostos. As projecções da recta s têm aberturas para o mes-
mo lado. A recta r corresponde à que está representada em perspectiva; passa pelos diedros II, I e IV. A recta s
está apenas representada nas projecções; passa pelos diedros I, IV e III.
A projecções duma recta oblíqua são oblíquas ao eixo x.


Recta de perfil

A recta de perfil é oblíqua aos planos de projecção e perpendicular ao eixo x. Tem dois traços que,
situados em diferentes semi-planos, farão com que a recta atravesse diferentes diedros.

φo

F≡F2
/ PHP
p / PFP
eixo x
p2 p

F1≡H2
νo
x H≡H1 p1

A recta de perfil em perspectiva
A recta de perfil p é projectada no PHP em p1 e no
PFP em p2. Essas projecções são perpendiculares
ao eixo x. A recta cruza o PHP no ponto H e o PFP
no ponto F, que são os seus traços.

F2 F2

H1

F1≡H2
x F1≡H2

H1

p1≡p2 b1≡b2

A recta de perfil em projecções
No espaço, as projecções da recta de perfil não são coincidentes, como se pode ver na perspectiva, mas
depois de se dar o rebatimento de um plano de projecção sobre o outro elas ficam coincidentes e perpendicula-
res ao eixo x. A recta p passa pelos diedros II, I e IV e corresponde à que está representada na perspectiva; a
recta b é uma de outras possibilidades, passando pelos diedros I, II e III.


Posições particulares da recta fronto-horizontal

A recta fronto-horizontal apresenta algumas posições particulares, onde está contida nos planos bis-
sectores.

a2
b1

x

b2
a1

a є β1/3
b є β1/3

d2≡d1

x≡e1≡e2

c2≡c1 c є β2/4
d є β2/4
e ≡ eixo x

Rectas situadas nos planos bissectores e no eixo x
As rectas a e b situam-se no β1/3 porque as suas projecções se apresentam uma para cada lado do eixo x e
com cota e afastamento iguais. As rectas c e d têm projecções coincidentes, pelo que se situam no β2/4. Estas
situações de pertença aos planos bissectores são idênticas às que encontramos nos pontos. A recta e coincide
com o eixo x.


Posições particulares da recta oblíqua

Em posições particulares, a recta oblíqua pode ser paralela aos planos bissectores, estar contida
neles ou ser apenas passante. Rectas passantes são as que cruzam o eixo x.

F2

r2 s2
=
H2 - - H2 F1
x F1
- -
= =
=
r1
H1 H1 F2
s1

r // β2/4
r1 // r2
s // β1/3

Rectas paralelas aos planos bissectores
As projecções da recta r são paralelas entre si, pelo que os seus traços têm medidas iguais, situando-se para
lados opostos do eixo x. É paralela ao β2/4. As projecções da recta s fazem ângulos iguais com o eixo x, com
aberturas para o mesmo lado; os seus traços têm medidas iguais e ficam para o mesmo lado do eixo x. É para-
lela ao β1/3.

a2≡a1 b2
c2

= H1≡H2≡F1≡F2
x H1≡H2≡F1≡F2 = H1≡H2≡F1≡F2

b1 c1
a є β2/4 (recta passante)
b є β1/3 (recta passante)
c - recta passante qualquer

Rectas passantes
A recta a tem projecções coincidentes, situa-se no β2/4; a recta b tem projecções com ângulos simétricos, situa-
se no β1/3. Qualquer ponto da recta a tem projecções coincidentes, por isso pertence ao β2/4; qualquer ponto da
recta b tem projecções simétricas, pelo que pertence β1/3. A recta c é uma recta passante qualquer, uma vez
que as suas projecções têm ângulos diferentes.


Posições particulares da recta de perfil

As posições particulares da recta de perfil são idênticas às da recta oblíqua. Por serem mais difíceis
de visualizar a partir das suas projecções, mostram-se representações dessas rectas nos planos de
projecção vistos de lado.

F2 c1≡c2
e1≡e2
Q2≡Q1
a1≡a2
F2≡H1 P2
=
= R2

x H2≡F1 H2≡F1 H1≡H2≡F1≡F2 H1≡H2≡F1≡F2 H1≡H2≡F1≡F2
=
=
P1
b1≡b2 d1≡d2
H1 R1

c є β1/3 d є β2/4 e - recta passante
// β2/4 // β1/3 qualquer
a b (Pєβ1/3) (Qєβ2/4)
β1/3 β2/4 (R - ponto qualquer)
recta passante recta passante

φo
Posições particulares da
a recta de perfil, representadas
b
nas projecções e vistas de lado

d c Os traços da recta a têm medidas
iguais, cada um representado para um
lado do eixo x, o que faz com que
e essa recta seja paralela ao β2/4 e
Q simultaneamente perpendicular ao
R β1/3. Os traços da recta b são
P
coincidentes, o que faz com que seja
paralela ao β1/3 e perpendicular ao β2/4.
νo A recta c situa-se no β1/3, cruza o eixo
x e contém o ponto P, que também se
situa nesse bissector. A recta d situa-
se no β2/4, cruza o eixo x e contém o
ponto Q, que se situa nesse bissector.
A recta e cruza o eixo x e contém o
ponto R que é um ponto qualquer.
As rectas c, d e e são passantes, isto
é, cruzam o eixo x, por que é aí que se
situam ambos os seus traços. Para
ficarem devidamente definidas há que
β1/3 β2/4
acrescentar um outro ponto que as
situe no espaço.


A projecção lateral da recta de perfil

Alguns exercícios de Distâncias, Ângulos, Paralelismos e Perpendicularidades determinam-se recor-
rendo à projecção lateral da recta. A recta de perfil é aquela que mais uso faz da projecção lateral.

z

p2
F3

F≡F2 A projecção lateral de uma
recta de perfil em perspectiva
p3 Aqui mostram-se as três projecções de
p
uma recta de perfil. Tal como acontece
com o PFP e o PHP, a projecção no PLP
νo é feita na perpendicular a este plano.
H2≡F1 H3 Uma vez obtida a projecção lateral, o
PLP rebate sobre o PFP, ficando a pro-
x H≡H1 jecção lateral da recta como se mostra
y na imagem seguinte.
p1

φo πo

y≡z

F2 F3

A projecção lateral da recta de perfil
A projecção lateral da recta de perfil obtém
F1≡H2 H3 -se unindo as projecções laterais dos pon-
x tos que a definem. Neste caso a recta está
definida pelos seus traços, mas quando
está definida por outros pontos procede-se
do mesmo modo.
p3 A projecção H3 obtém-se rodando a medi-
H1 da de H1 no sentido inverso dos ponteiros
do relógio.

p1≡p2


Dado que a recta de perfil apresenta algumas variantes, será útil verificar como se determinam as
suas projecções laterais em algumas situações diferentes.

y≡z y≡z

F2 F3
p2≡p1

H1

F1≡H2 H3
x F1≡H2 H3 x

p3 F2 F3 p3

p2≡p1
H1

Recta de perfil com os traços acima do eixo x Recta de perfil com os traços abaixo do eixo x
A projecção H3 surge à esquerda de y≡z em virtude A projecção lateral do ponto F está sempre em y≡z,
de o rebatimento do PHP se efectuar no sentido obtém-se através de uma linha paralela ao eixo x.
inverso ao dos ponteiros do relógio.

y≡z y≡z

p2≡p1 F2 F3

A2 A3 A2 A3

p3 p2≡p1 p3
B2 B3 B2 B3

F1≡H2 H3
x x
A1 A1

B1 B1

H1

Recta de perfil definida por dois pontos Determinação dos traços da recta de perfil
Se uma recta está definida por dois pontos, que Quando uma recta está definida por dois pontos,
não os traços, a sua projecção lateral determina-se pode-se determinar os seus traços através da pro-
unindo as projecções laterais desses pontos. jecção lateral. Este exercício continua o anterior.


A projecção lateral das rectas vertical, de topo e fronto-horizontal

Sobretudo nos capítulos Distâncias e Ângulos é, por vezes, necessário recorrer às projecções late-
rais destas rectas. Mostra-se aqui como se determinam.

y≡z y≡z

v2

v3
F2≡(t2) F3 t3

H2 H3 F1
x x

H1≡(v1)
t1

A projecção lateral da recta vertical A projecção lateral da recta de topo
A projecção lateral da recta vertical fica perpendi- A projecção lateral da recta de topo fica paralela ao
cular ao eixo x, contendo a projecção lateral do seu eixo x e passa pela projecção lateral do seu traço.
traço.

y≡z

a2 L2 (a3)≡L3

x

a1 L1

A projecção lateral da recta fronto-horizontal
Para obter a projecção lateral desta recta roda-se para o eixo x a medida correspondente ao seu afastamento.
Uma vez que a recta é perpendicular ao PLP, a sua projecção lateral fica reduzida a um ponto, coincidente com
a projecção lateral do traço da recta, o ponto L.


A projecção lateral das rectas horizontal, frontal e oblíqua

Embora sem aplicação prática na resolução de qualquer outro tipo de exercício, mostra-se aqui
como se determinam as projecções laterais destas rectas.

y≡z y≡z

F2 L3
n2≡n3 L2≡F3 L1

F1
x F1 x
n1
n1 L2≡F3
L1 F2 L3 n2≡n3

y≡z y≡z

H1 f1 L1
L2 L3
f2 f3
H2
x H3 x H2 H3
f2
L1 f3
H1 f1 L2
L3

y≡z
A projecção lateral das rectas
F2 F3 horizontal, frontal e oblíqua
e respectivos traços
As projecções laterais das rectas hori-
r3 zontais, tenham cota positiva ou negati-
r2 va, são coincidentes com as frontais.
As projecções laterais das rectas frontais,
L3 tenham afastamento positivo ou negativo,
L2
são perpendiculares ao eixo x.
H3 Para determinar as projecções laterais
das rectas oblíquas é necessário deter-
x F1 H2
minar as projecções laterais de dois dos
seus pontos. Aqui utilizam-se os seus
r1 traços, mas podem ser utilizados outros
pontos.
L1 Nos casos anteriores estão também indi-
cadas as três projecções dos traços das
H1 rectas.


Marcação de pontos nas rectas fronto-horizontal, de topo e vertical

Para que um ponto pertença a uma recta é necessário que as suas projecções se situem nas projec-
ções homónimas dessa recta. Como veremos, basta dar uma das coordenadas de um ponto para
que este pertença às rectas fronto-horizontal, de topo e vertical.

y≡z

a2 A2 C2 B2

x

A1 C1 B1
a1

Marcação de pontos na recta fronto-horizontal
Todos os pontos que se marquem numa recta fronto-horizontal terão sempre o mesmo afastamento e a mesma
cota (que são os da recta). Por isso, basta dar a medida da abcissa de cada um dos pontos.
Aqui são dados os seguintes pontos:
A, com 3cm de abcissa; B, com -2cm de abcissa; C, com 0cm de abcissa.

v2
(t2)≡F2≡J2≡K2
L2

K1

H2
x F1

(v1)≡H1≡L1≡M1
J1

t1 M2

Marcação de pontos nas rectas de topo e vertical
Uma recta de topo mantém os mesmos valores de abcissa e de cota. Para marcar pontos nessa recta basta dar
o valor do afastamento. Uma recta vertical mantém os valores de abcissa e de afastamento. Para marcar pon-
tos nessa recta basta dar o valor da cota.
J, com 2cm de afastamento; K, com -1cm de afastamento. L, com 2cm de cota; M, com -3cm de cota.


Marcação de pontos nas rectas horizontal e frontal

Também para traçar pontos situados nestas rectas basta dar uma de duas coordenadas, já que a
outra mantém o mesmo valor.

y≡z

B2 F2 A2 C2 n2

B1

F1
x
A1

C1
n1

Marcação de pontos na recta horizontal
Todos os pontos que se marquem numa recta horizontal terão sempre a mesma cota (que é a da própria recta).
Para marcar pontos nessa recta basta dar a medida da abcissa ou do afastamento.
São dados os seguintes pontos, a título de exemplo:
A, com 1,5cm de abcissa; B, com -1cm de afastamento; C, com 2,5cm de afastamento.

y≡z
f2 J2

K2

H2
x

L1
f1 J1 K1 H1
L2

Marcação de pontos na recta frontal
Os pontos de uma recta frontal terão sempre o mesmo afastamento (que é o da própria recta). Para se marcar
pontos nessa recta basta dar o seu valor de cota ou de abcissa.
A título de exemplo são dados os seguintes pontos:
J, com 3cm de cota; K, com 1cm de abcissa; L, com -2,5cm de cota.


Marcação de pontos nas rectas oblíqua e de perfil

Para marcar pontos na recta oblíqua basta dar uma das suas coordenadas, qualquer que ela seja.
Para marcar pontos na recta de perfil dá-se o valor do afastamento ou da cota, já que o da abcissa é
sempre o mesmo. Aqui recorre-se à projecção lateral para marcar pontos na recta de perfil.

y≡z

A2
r2
F2

A1
B2
C2
r1
H2
F1
x

B1

C1

H2

Marcação de pontos na recta oblíqua
A recta oblíqua não mantém constante nenhuma coordenada, mas para se traçarem pontos nela basta que seja
dada uma das suas coordenadas, seja ela qual for. São dados os seguintes pontos, a título de exemplo:
A, com -1,5cm de afastamento; B, com 1cm de cota; C, com -2,5cm de abcissa

p2≡p1 y≡z

F2
F3

M2 M3

H2≡F1 H3
x
M1
N2 N3

H1
p3
N1

Marcação de pontos na recta de perfil
Uma recta de perfil mantém o mesmo valor de abcissa. Para se marcar pontos nessa recta recorre-se à projec-
ção lateral, bastando saber o valor da cota ou do afastamento desses pontos. A título de exemplo são dados os
seguintes pontos:
M, com 1cm de afastamento; N, com -1,5cm de cota.


Percurso das rectas horizontal e frontal

Aqui determinam-se pontos notáveis e indicam-se os diedros e os octantes por onde cada uma des-
tas rectas passa. É nisso que consiste a determinação do percurso de uma recta.
Pontos notáveis de uma recta são os seus traços nos planos de projecção e nos planos bissectores.

I2≡I1 F2 Q2 n2

=
x F1 =

n1
Q1

4.º octante 3.º octante 2.º octante 1.º octante

II.º diedro I.º diedro

Percurso da recta horizontal
Aqui mostra-se o percurso de uma recta horizontal com cota positiva e abertura para a direita. A recta cruza o
β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Para obter o ponto Q traçou-se, a partir do eixo x, uma linha simétrica à pro-
jecção n1; deste modo, esse ponto terá cota e afastamento iguais.
Aplica-se este processo quando o ângulo da projecção da recta é um valor inteiro e conhecido.

f2

Q2

=
H2
x
=
f1 I1≡I2
Q1 H1

2.º octante 1.º octante 8.º octante 7.º octante

I.º diedro IV.º diedro

Percurso da recta frontal
Esta recta tem afastamento positivo e abertura para a esquerda. Cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q.
Aqui o ponto Q obteve-se traçando uma paralela ao eixo x com medida igual à do afastamento da recta.
É possível aplicar este processo apenas nas rectas frontal e horizontal.


Percurso das rectas oblíqua e de perfil

Aqui determinam-se os pontos notáveis destas rectas e indicam-se os seus percursos.

I2≡I1
F2
Q2
r2
H2
x F1

Q1

r1

H1
4.º octante 3.º octante 2.º oct. 1.º octante 8.º octante

II.º diedro I.º diedro IV.º diedro

Percurso da recta oblíqua
Aqui está indicado o percurso de uma recta oblíqua com o traço frontal com cota positiva e o horizontal com
afastamento positivo. A recta cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Para obter o ponto Q pode marcar-se
um ponto qualquer numa das projecções (não é necessário dar-lhe nome) e transpor, com o compasso, essa
medida para o lado oposto do eixo x. Com uma linha simétrica à da projecção utilizada determina-se o ponto.

y≡z II.º diedro
p2≡p1 3.º oct.

F2
F3
2.º oct.
I.º diedro
lβ1/3

Q2 1.º oct.
Q3

F1≡H2 H3
x

Q1 p3 8.º oct.

H1 lβ2/4 IV.º diedro

I3
I1≡I2 7.º oct.

Percurso da recta de perfil
Como as projecções frontal e horizontal são coincidentes, o percurso da recta de perfil indica-se na projecção
lateral. Para determinar os pontos I e Q utilizam-se os traços laterais dos planos bissectores, que fazem 45º
com os eixos. Esta recta estava, à partida, definida pelos seus traços, mas se estiver definida por outros pontos
procede-se de forma idêntica.


Percurso das rectas de topo e vertical

Aqui, os pontos notáveis determinam-se directamente. Contudo, como uma das projecções destas
rectas fica reduzida a um ponto, sugere-se a indicação do seu percurso na projecção lateral.

y≡z

II.º diedro I.º diedro

4.º oct. 3.º oct. 2.º oct. 1.º oct.

(t2)≡F2≡Q2≡I2≡I1 I3 Q3 t3

x F1

lβ2/4
Q1 lβ1/3

t1

Percurso da recta de topo
Os pontos Q e I, respectivamente do β1/3 e do β2/4, determinam-se directamente, uma vez que o ponto Q tem
uma projecção para cada lado do eixo x e o ponto I tem projecções coincidentes. Com recurso aos traços late-
rais dos planos bissectores, fica evidente o percurso da recta.

y≡z
v3

v2 2.º oct.

Q2 Q3 I.º diedro

lβ2/4 1.º oct.

H2 H3
x
lβ1/3 8.º oct.

(v1)≡H1≡Q1≡I1≡I2
I3 IV.º diedro

7.º oct.

Percurso da recta vertical
Tal como na recta anterior, também aqui os pontos Q e I se determinam directamente e se indica o percurso da
recta na sua projecção lateral.


Recta – Exercícios

Rectas com marcação de pontos 12. Representar a recta s, que contém os pontos
A(4;-1;5) e B(-2;-4;-2). Determinar os pontos notá-
1. Representar a recta fronto-horizontal h, que con- veis e o percurso dessa recta.
tém o ponto P(1;3;-1). Nela marcar os pontos:
A, com 2cm de abcissa 13. Representar a recta b, que contém o ponto
B, com 4cm de abcissa R(-2;2;3), fazendo as suas projecções frontal e hori-
C, com -3cm de abcissa zontal 40ºad e 40ºae, respectivamente. Determinar
os pontos notáveis e o percurso dessa recta.
2. Representar a recta horizontal n, com 2cm de
cota, fazendo 40ºad, sendo o seu traço o ponto F 14. Representar a recta m, que contém o ponto
com 2cm de abcissa. Nela marcar os pontos: M(2;-1,5;-3), fazendo as suas projecções frontal e
D, com 4cm de afastamento horizontal 55ºad e 20ºae, respectivamente. Determi-
E, com -1cm de abcissa nar os pontos notáveis e o percurso dessa recta.
G, com -1cm de afastamento
I, com 6cm de abcissa 15. Representar a recta c, que contém o ponto
C(3;2;4) e é passante no ponto P com -2cm de
3. Representar a recta frontal f, que contém o ponto abcissa. Determinar o percurso dessa recta.
R(4;-3;6). Nela marcar os pontos:
H, traço da recta, com -3cm de abcissa 16. Representar a recta e, passante no ponto R com
K, com 4cm de cota 3cm de abcissa, fazendo as suas projecções frontal
L, com -2cm de abcissa e horizontal 55ºad e 25ºae, respectivamente. Deter-
M, com -4cm de cota minar o percurso dessa recta.

4. Representar a recta de topo t, com 3cm de cota e 17. Representar a recta r, que contém o ponto
4cm de abcissa. Nela marcar os pontos: P(1;2;3) e é paralela ao β2/4, fazendo a sua projec-
F, traço da recta ções frontal 35ºad. Determinar os pontos notáveis e
N, com 2cm de afastamento o percurso dessa recta.
O, com -5cm de afastamento
P, com -3cm de afastamento 18. Representar a recta s, que contém o ponto
S(-4;1;5), fazendo a suas projecções frontal e hori-
5. Representar a recta vertical v, com -2cm de afas- zontal ambas 30ºad. Determinar os pontos notáveis
tamento e 3cm de abcissa. Nela marcar os pontos: e o percurso dessa recta.
H, traço horizontal
Q, com 4cm de cota Recta em tripla projecção
R, com -3cm de cota
19. Representar as rectas h e n dos exercícios 1 e
6. Representar a recta oblíqua r, cujos traços são os 2. Determinar as suas projecções laterais.
pontos H(2;2;0) e F(4;0;5). Nela marcar os pontos:
S, com 4cm de abcissa 20. Representar as rectas f, t e v dos exercícios 3, 4
T, com 2cm de cota e 5. Determinar as suas projecções laterais.
U, com 1cm de afastamento
V, com -1cm de afastamento 21. Representar a recta r do exercício 6. Determinar
as suas projecções laterais.
Pontos notáveis e percurso de rectas
22. Representar a recta de perfil p, cujos traços são
7. Representar a recta n do exercício 2. Determinar os pontos H(3;2;0) e F(3;0;5). Determinar, recorren-
os pontos notáveis e o percurso dessa recta. do à projecção lateral, os seus pontos:
X, com -1cm de afastamento
8. Representar a recta f do exercício 3. Determinar Y, com 2cm de cota
23. Representar a recta do exercício anterior. Deter-
9. Representar a recta t do exercício 4. Determinar minar os pontos notáveis em falta e o seu percurso.
24. Representar a recta a, definida pelos pontos R
10. Representar a recta v do exercício 5. Determinar (4;1:3) e S(4;4;1).Determinar os pontos notáveis e o
os pontos notáveis e o percurso dessa recta. seu percurso.

11. Representar a recta r do exercício 6. Determinar 25. Representar a recta de perfil b, que contém o
os pontos notáveis em falta e o seu percurso. ponto Z(6;2) e é paralela ao β1/3. Determinar os pon-
tos notáveis e o seu percurso


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