O documento discute os conceitos fundamentais de projeção ortogonal de pontos no espaço em planos de projeção, incluindo: (1) Definição de projeção ortogonal e classificação de projeções; (2) Métodos para determinar a posição de um ponto no espaço através de suas projeções ou planos cotados; (3) Estudo das posições de um ponto em relação aos planos de projeção e classificação em diedros.

1. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Prof. Marcelo Gitirana
É a ciência que tem por fim representar num plano as figuras do espaço de maneira tal
que, nesse plano, se possam resolver todos os problemas relativos a essas figuras.

2. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Sumário
 Projeção ortogonal de um ponto
 Determinação do ponto
 Classificação das projeções
 Estudo do ponto
 Épura
 Cota e afastamento
 Posições do ponto
 Coordenadas
 Ponto no plano bissetor
 Exercícios
 Simetria de pontos
 Exercícios

3. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Projeção ortogonal
de um ponto
(A)
()
A
É o pé da
perpendicular
baixada do
ponto ao plano.
Ponto
Projeção
Projetante

4. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Determinação do ponto
1. Método dos Planos Cotados
(B)
(A)
()
B
A
2
3
23

5. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Determinação do ponto
2. Método das Projeções
(B)
(A)
()
()
B
A
B’
A’

6. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Classificação das projeções
Cônica e paralela
(B)(A)
()
O
A
B
(B)(A)
() A
B
∆

7. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Classificação das projeções
Paralela ortogonal
(B)(A)
()
A
B
∆

8. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Estudo do ponto
(’)
()
(A)
A
A’
(’S)
(’I)
(A)(P)
1° diedro2° diedro
4° diedro3° diedro
Cota
Afastamento

9. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Épura
(’S)
(’I)
(A)(P)
(’S)
(’I)
(P)
(A)
ProjeçãoVertical(em’)
ProjeçãoHorizontal(em)

10. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto no 1° diedro
(’S)
(’I)
(A)
(P)
(A)A’
AA0
A1’
A’
A
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-

11. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto no 2° diedro
(’S)
(’I)
(A)
(P)
(B) B’
B B0
B1’
B’
B
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-

12. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto no 3° diedro
(’S)
(’I)
(A)
(P)
C
C’
(C) C’
C C0 C1’
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-

13. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto no 4° diedro
(’S)
(’I)
(A)
(P)
D’
D
(D)D’
DD0 D1’
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-

14. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto em ’S
(’S)
(’I)
(A)
(P)
(E)E’
E0
E1’
(E)E’
E
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-

15. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto em ’I
(’S)
(’I)
(A)
(P)
(F)F’
F0 F1’
(F)F’
F
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-

16. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto em A
(’S)
(’I)
(A)
(P)
(G)GG’
(G)G
G’
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-

17. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto em P
(’S)
(’I)
(A)
(P)
(J)J J’
(J)J
J’
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-

18. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto na Linha de Terra
(’S)
(’I)
(A)
(P)
M’M
M’M
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-
+
-

19. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Recapitulação
A’
A
B
B’
C’
C
D’
D
E
E’
F’
F
GG’
PlanoProjeçãoVertical
PlanoProjeçãoHorizontal

20. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Coordenadas
(’S)
(’I)
(A)(P)
(A)A’
AA0
A’
A
O
Cota
Afastamento
O
Cota
Afastamento
Abscissa
(A)[Abscissa; Afastamento; Cota]
+
-
+
-
+
-
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-
+
-

21. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Determinação de pontos
Espaço
No Espaço
Cota
positiva
1° ou 2°
diedros
Cota
negativa
3° ou 4°
diedros
Afastamento
positivo
1° ou 4°
diedros
Afastamento
negativo
2° ou 3°
diedros
(’S)
(’I)
(A)(P)
+
-
+
-

22. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Determinação de pontos
Épura
Na épura
Cota
positiva
acima da
LT
Cota
negativa
abaixo da
LT
Afastamento
positivo
abaixo da
LT
Afastamento
negativo
acima da
LT
(’S)
(’I)
(P)
(A)
Proj.em’
+
-
Proj.em
+
-

23. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Exemplo 1
(A)[1; 2; 1]
No Espaço
Cota
positiva
1° ou 2°
diedros
Cota
negativa
3° ou 4°
diedros
Afastamento
positivo
1° ou 4°
diedros
Afastamento
negativo
2° ou 3°
diedros
(’S)
(’I)
(A)(P)
1° diedro2° diedro
4° diedro3° diedro

24. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Exemplo 1
(A)[1; 2; 1]
A’
A
O
Na épura
Cota
positiva
acima da
LT
Cota
negativa
abaixo da
LT
Afastamento
positivo
abaixo da
LT
Afastamento
negativo
acima da
LT

25. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Exemplo 2
(B)[2; -1; 2]
No Espaço
Cota
positiva
1° ou 2°
diedros
Cota
negativa
3° ou 4°
diedros
Afastamento
positivo
1° ou 4°
diedros
Afastamento
negativo
2° ou 3°
diedros
(’S)
(’I)
(A)(P)
1° diedro2° diedro
4° diedro3° diedro

26. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Exemplo 2
(B)[2; -1; 2]
O
Na épura
Cota
positiva
acima da
LT
Cota
negativa
abaixo da
LT
Afastamento
positivo
abaixo da
LT
Afastamento
negativo
acima da
LT
B
B’

27. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Exemplo 3
(C)[-1; 3; -2]
No Espaço
Cota
positiva
1° ou 2°
diedros
Cota
negativa
3° ou 4°
diedros
Afastamento
positivo
1° ou 4°
diedros
Afastamento
negativo
2° ou 3°
diedros
(’S)
(’I)
(A)(P)
1° diedro2° diedro
4° diedro3° diedro

28. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Exemplo 3
(C)[-1; 3; -2]
C
C’
O
Na épura
Cota
positiva
acima da
LT
Cota
negativa
abaixo da
LT
Afastamento
positivo
abaixo da
LT
Afastamento
negativo
acima da
LT

29. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Ponto no plano bissetor
i
p
i
p
O afastamento
é igual à cota
O afastamento
é igual à cota
(em módulo)
Exercícios 1 a 7
da lista.

30. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Simetria de pontos
(A)
()
(M)
(B)
(A) e (B) são simétricos
em relação a (), qd este
é o plano mediador do
segmento formado
pelos dois pontos.
Casos
particulares
Em relação
ao planos de
projeção
Em relação
ao planos
bissetores
Em relação à
linha de
terra
Perpendicular ao
segmento (A)(B),
passando pelo seu
ponto médio.

31. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Pontos simétricos
em relação a ()
(’S)
(’I)
(A)
(P)
A’
B’
AB
(A)A’
AB
(B)B’
(A)[x; y; z]
(B)[x; y; -z]{

32. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Pontos simétricos
em relação a (’)
(’S)
(’I)
(A)
(P)
D
C
C’D’
C
(C)D’C’
D
(D)
(C)[x; y; z]
(D)[x; -y; z]{

33. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Pontos simétricos
em relação ao 1. bissetor (I)
(’S)
(’I)
(A)(P)
(A)
(B)
I
45°
A’
B’
BA
A’
B’
B
A
(A)[x; y; z]
(B)[x; z; y]{

34. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Pontos simétricos
em relação ao 2. bissetor (P)
(’S)
(’I)
(A)(P)
(A)
(B)
P
45°
A’
B’
B A
A’B
B’A
(A)[x; y; z]
(B)[x; -z; -y]{

35. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Pontos simétricos
em relação à linha de terra
(’S)
(’I)
(A)(P)
(A)
A’
B’
B
A
A’
B
B’
A
(B)
(A)[x; y; z]
(B)[x; -y; -z]{

36. Prof. Marcelo Gitirana (Design – UDESC)
Resumindo
Casos
particulares
Em relação
ao planos de
projeção
Em relação
ao planos
bissetores
Em relação à
linha de
terra
(A)[x; y; z]
(B)[x; y; -z]{rel. a 
(A)[x; y; z]
(B)[x; -y; z]{rel. a ’
(A)[x; y; z]
(B)[x; z; y]{rel. a I
(A)[x; y; z]
(B)[x; -z; -y]{rel. a P
(A)[x; y; z]
(B)[x; -y; -z]{rel. a ’
Exercícios 8 a 15
da lista.

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