3. Conceptos básicos
El lenguaje de la lógica
Tablas de la verdad
Las leyes de la lógica
El cálculo deductivo
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4. Las personas constantemente
tomamos decisiones acerca
de lo que creemos que es verdadero en
distintos aspectos de nuestras vidas. Aunque
todo el mundo está de acuerdo en preferir
creer lo que es verdad, con frecuencia
discrepamos sobre lo que es verdadero en
casos particulares.
5. Si yo creo que todos los
perros son mamíferos y que
todos los mamíferos son seres racionales,
entonces tendría sentido para mí suponer
que todos los perros son seres racionales. En
este caso, incluso quien (acertadamente)
discrepara con mi comprensión de las
clasificaciones biológicas podría apreciar la
forma consistente y razonable en que he
utilizado mis creencias erróneas como base
sobre la que establecer nuevas creencias
6. Podemos estar de acuerdo con el camino que
sigue un razonamiento aunque discrepemos
de sus puntos de partida y de llegada. Es
decir, es posible distinguir los razonamientos
válidos de los inválidos independientemente
de que estemos o no de acuerdo con el
contenido que expresen dichos
razonamientos.
7. Se aprenderá en esta sección:
Argumento e inferencia
Identificación de argumentos
Verdad
Validez
8. Una proposición o enunciado es el significado
de cualquier frase declarativa (o enunciativa)
que pueda ser o verdadera (V) o falsa (F). Nos
referimos a V o a F como los valores de
verdad del enunciado.
9. La principal tarea de la lógica
es la de averiguar cómo la
verdad de una determinada
proposición está conectada
con la verdad de otra.
En lógica habitualmente se trabaja
con grupos de proposiciones
relacionadas.
10. Es importante aprender a distinguir a los
argumentos de meros grupos de
proposiciones que no cumplen con los
requisitos necesarios para hablar de
argumentos. Recuerda que los argumentos
consisten en grupos de proposiciones en los
que hay algunos que actúan como premisas
que, en virtud de la inferencia lógica,
justifican otra proposición que llamamos
conclusión.
11. El concepto de verdad es uno de los más
controvertidos de la Filosofía, pero nosotros
limitaremos nuestra discusión al contexto de
una modesta exposición didáctica de la lógica
de enunciados.
12. La lógica se ocupa principalmente de
establecer una clara distinción entre
razonamientos válidos y razonamientos
inválidos. Los razonamientos válidos son
aquellos en los que la inferencia entre las
premisas y la conclusión es perfecta.
13. Por tanto, lo esencial para determinar si un
argumento es o no válido es analizar su
forma o estructura (independientemente de
su contenido material). A continuación
proporcionamos tres formas equivalentes de
establecer este criterio de validez
14. Si las premisas de un argumento válido son
verdaderas, entonces su conclusión también
es verdadera.
Es imposible que la conclusión de un
argumento válido sea falsa siendo sus
premisas verdaderas.
En un argumento válido, la verdad de las
premisas es incompatible con la falsedad de
la conclusión.
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15. Para los fines comunicativos cotidianos los
seres humanos utilizamos los llamados
lenguajes naturales, que son códigos
lingüísticos que nuestra especie ha ido
forjando a través de miles de años de
evolución y que cada individuo es capaz de
aprender en unos pocos años.
16. Unos signos primitivos del lenguaje, esto es
su alfabeto.
Unas reglas de combinación de dichos
signos, es decir una gramática que
especifique cómo combinar unos signos
primitivos con otros para tener expresiones
bien formadas.
17. El lenguaje lógico de la lógica proposicional
consta de tres tipos de signos en su tarea de
reconstruir la estructura lógica del lenguaje
natural.
18. Unos signos para representar las
proposiciones simples o atómicas: se trata de
las letras proposicionales, que por
convención suelen designarse con las letras
minúsculas p, q, r, etc.
19. Unos signos para formar proposiciones
complejas o moleculares conectándolas entre
sí: se trata de las conectivas (también
llamados conectores, o juntores). En la
siguiente tabla presentamos el nombre, el
signo y la equivalencia con el lenguaje natural
de las cinco conectivas que utilizaremos:
20. Nombre de la conectiva Conectivo Corresponde a
Negador ¬ No…
Conjuntor ^ …y…
Disyuntor v …o…
Condicional Si…entonces
Bicondicional …si y solo si…
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21. Una tabla de verdad, o tabla de valores de
verdad, es una tabla que despliega el valor de
verdad de una proposición compuesta.
Considérese dos variables proposicionales A
y B. Cada una puede tomar uno de dos
valores de verdad: o V (verdadero), o F (falso).
Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B
pueden combinarse de cuatro maneras
distintas: o ambas son verdaderas; o A es
verdadera y B falsa, o A es falsa y B
verdadera, o ambas son falsas.
22. Fijémonos en los elementos de la tabla de
verdad:
P ¬P
V F
F V
23. Aparecen todos los posibles valores de
verdad del enunciado p en la primera
columna (verdadero -V- o falso -F-)
En la columna segunda aparecen los valores
de verdad de la negación de p en caso de que
p sea verdadera (primera fila), y en caso de
que p sea falsa (segunda fila).
P ¬P
V F
F V
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24. El estudio de las tautologías es importante
porque sirven como "esqueleto", o modelo de
razonamientos correctos. Las tautologías que
estudiaremos en este apartado no son todas
las tautologías posibles.
25. Las leyes lógicas tienen la estructura de una
implicación cuyo antecedente puede estar
formado por conjunciones (las premisas) y
cuyo consecuente es la conclusión. Por
ejemplo, la ley lógica llamada Modus Ponens
tiene la siguiente estructura en forma de ley:
[(pq)^p]q
26. Las reglas de inferencia presentan cada una
de las premisas en una línea diferente, y la
conclusión separada por una raya horizontal.
Así, la ley llamada Modus Ponens se puede
presentar de la siguiente manera en forma de
regla de inferencia (llamada también forma
argumental o derivación):
pq
p
q
27. Cada enunciado condicional, AB, se puede
reexpresar como una derivación, A B,
denominada argumento o derivación
correspondiente del condicional
Recíprocamente, cada derivación, A1,
A2,...An B se puede reexpresar como un
enunciado condicional con la forma
(A1^A2^...^An)B denominada condicional
correspondiente del argumento.
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28. Hemos visto ya lo que es un argumento: un
conjunto de enunciados llamados premisas
de los cuales forzosamente se sigue otro
enunciado llamado conclusión.
Un argumento es válido cuando la verdad de
las premisas es incompatible con la falsedad
de la conclusión, y es inválido en caso
contrario.
29. Empecemos con un ejemplo de un argumento
que sigue el esquema de la ley lógica del
Modus Ponens:[(pq)^p]q, cuyo argumento
correspondiente es:
pq
p
q
30. 1) “Supongamos que A es inocente”
2) Dado que C nunca trabaja sin A, si A es inocente,
C debe ser también inocente
3) Dado que el criminal huyó en coche y que B no
sabe conducir, B no pudo cometer el robo solo:
tuvo que ir con A o con C. Así que si A y C son
inocentes, B también es inocente.
4) Así que si A es inocente, también lo son B y C.
Pero sabemos que al menos uno es culpable
5) Por tanto, no puede ser que A sea inocente
31. 1) Tenemos 3 posibilidades: A, B o C.
2) Si A lo hizo, A es culpable.
3) Si C lo hizo, lo hizo con A, así que A
también sería culpable en este caso
4) Si B lo hizo, lo hizo con A o con C:
-si lo hizo con A, A es culpable
-si lo hizo con C, entonces (por 3’)
también lo hizo con A, así que A es culpable
5) Por tanto, A es culpable en cualquier caso
32. Hay reglas que intentan captar el “modo natural”
de proceder cuando razonamos. Al sistema que
se basa en tales reglas lo llamamos cálculo de
deducción natural
La idea es recoger y sistematizar las reglas
informales que aplicamos, v.g., en razonamientos
como el del juego
Una vez formuladas de manera abstracta,
podremos también aplicar las reglas a nuestras
fórmulas de L0, de manera que podamos saber
cómo obtener unas fórmulas a partir de otras
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33. En esta sección realizarás diversos ejercicios
y preguntas, todas de selección simple, en la
que se pondrán en práctica tus
conocimientos aprendidos en la sección
Temas.
Pulsa el botón de inicio cuando estés listo o
vuelve al menú pulsando el botón azul de
home.
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34. La suma de los ángulos interiores de un
triángulo siempre es 180°. En un determinado
triángulo, el ángulo A mide 90° y el B 30°. Por
consiguiente, el ángulo C mide 60°.
Inferencia deductiva
Inferencia inductiva
35. Si mi equipo favorito gana el partido, gano
una apuesta a mi amigo Pep. Pero mi
equipo va perdiendo a falta de cinco
minutos para el final. Por lo tanto,
probablemente gane la apuesta mi amigo
Pep.
Inferencia deductiva
Inferencia inductiva
36. El oso no es un animal herbívoro, porque
los herbívoros se alimentan exclusivamente
de plantas, y los osos también comen carne
habitualmente.
Inferencia deductiva
Inferencia inductiva
37. La última vez que intenté grabar un CD con
mi trabajo en este ordenador hubo un fallo
que me lo impidió. Por lo tanto, la
grabadora de CDs de este ordenador debe
ser defectuosa.
Inferencia deductiva
Inferencia inductiva
45. (( p (q r )) (( p q) r ))
Tautología
Satisfactoria
Contradictoria
46. p q r F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
•A = p q y B = r
•A = p y B = A
•A = p (r q) y B no es posible
•No es posible ni A ni B
47. •¿Es posible que los tres sospechosos
hayan dicho la verdad?.
Si
No
48. Pedro
Bernardo
Miguel
Pedro y Bernardo
Pedro y Miguel
Bernardo y Miguel
Pedro, Bernardo y Miguel
49. Pedro
Bernardo
Miguel
Pedro y Bernardo
Pedro y Miguel
Bernardo y Miguel
Pedro, Bernardo y Miguel
50. Pedro
Bernardo
Miguel
Pedro y Bernardo
Pedro y Miguel
Bernardo y Miguel
Pedro, Bernardo y Miguel
51. Pedro
Bernardo
Miguel
Pedro y Bernardo
Pedro y Miguel
Bernardo y Miguel
Pedro, Bernardo y Miguel
52.
53. Pedro
Bernardo
Miguel
Pedro y Bernardo
Pedro y Miguel
Bernardo y Miguel
Pedro, Bernardo y Miguel
54. Pedro
Bernardo
Miguel
Pedro y Bernardo
Pedro y Miguel
Bernardo y Miguel
Pedro, Bernardo y Miguel
55. AFIRMACIÓN VERDADERO FALSO
a) De la frase “cuando no tengo dinero
soy un desgraciado”, se puede afirmar
que “cuando tenga dinero no lo soy”.
a) Si A está en Forma Normal Conjuntiva
(FNC) y en cada uno de los conjuntores
que la conforman aparece un literal y
su negado la fórmula es una tautología.
a) Si una fórmula F es una es una
tautología se podría decir que también
es satisfactoria.
a) La negación del consecuente en una
implicación conlleva a la afirmación de
su antecedente.
