Coordenadas Polares

Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares

1. EL SISTEMA POLAR
2. ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES
3. GRÁFICAS DE ECUACIONES EN
COORDENADAS POLARES: RECTAS,
CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLAS,
LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES.

Objetivos:
• Graficar Rectas, circunferencias, parábolas, elipses,
hipérbolas, limacons, rosas, lemniscatas, espirales en
coordenadas polares

1


1 EL SISTEMA POLAR

El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas
de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este
punto esté definido por un vector de magnitud r que parte desde el origen y
que tiene ángulo de giro θ , tendríamos otra forma de definir un punto.

Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor
de r y el valor de θ . Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado (r ,θ ) ,
en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto.

Se deducen las siguientes transformaciones:

⎧ 2 2
⎪r = x + y
De rectangulares a polares: ⎨
⎪θ = arctg y
⎩ x

⎧ x = r cos θ
De polares a rectangulares: ⎨
⎩ y = r sen θ

Una utilidad de lo anterior la observamos ahora.

Ejemplo
Encuentre las coordenadas polares del punto P(1,1)

SOLUCIÓN:

Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:

2


⎧r = 1 2 + 1 2 = 2
⎪
Utilizando las transformaciones ⎨ π
⎪θ = arctg 1 =
⎩ 1
4

Además se podría utilizar otras equivalencias polares:

( 2 , π ) = ( 2 ,−7 π ) = ( − 2 ,5 π ) = (− 2 ,−3 π ) (Analícelas)
4 4 4 4

Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares,
no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer
directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano
que tenga como referencia ángulos y magnitudes.

Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o Plano Polar.
Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al
origen con diferentes ángulos de inclinación.

π
Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama “Eje 2 ”.
El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama “Polo”.

3


π 75
105
120 Eje
2 60

135 45

150 30

15
165

Eje Polar
180
Polo

195
345

210 330

225
315

240 300
255 270 285

Ejercicios propuestos 1
1. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas.
Exprese dichos puntos con r > 0 y con r < 0 .
π
a. (1, ) b. (3,0)
2
2π
c. (4,− ) d. (−1, π)
3
3π
e. (−2, )
2
2. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Luego
encuentre las coordenadas cartesianas de dichos puntos.
π
a. ( 2 , ) e. (4,3π)
4
π 2π
b. (−1, ) f. (2, )
3 3
7π 5π
c. (4,− ) g. (−2,− )
6 3
3 3π 5π
d. ( , ) h. (−4, )
2 2 4

3. Encuentre las coordenadas polares de los siguientes puntos.
a. (−1,1) b. (2 3 ,−2)
c. (−1,− 3 ) d. (3,4)

4. (INVESTIGACIÓN) Encuentre la distancia entre los puntos dados en coordenadas polares.
Verifique su respuesta hallando la distancia, utilizando coordenadas cartesianas.
π 3π π π π
a. (1, ) − (3, ) . b. ( 2 , ) − (1,4π) c. (1, ) − (1, )
6 4 4 3 6

4


2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES

Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la forma
r = f (θ) . Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, podemos
obtener una tabla de valores para ciertos puntos y representarlos en el sistema
polar; luego sería cuestión de trazar la gráfica siguiendo estos puntos.

Ejercicio Propuesto 2
1. Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada.
a. r sen(θ) = 2 b. r = 2 sen(θ)
1
c. r = d. r 2 = sen(2θ)
1 − cos(θ)
3
e. r 2 = θ f. r =
2 − 4 cos(θ)

2. Encuentre la ecuación polar de la curva descrita por la ecuación cartesiana dada.
a. y = 5 e. y = x + 1
b. x 2 + y 2 = 25 f. x 2 = 4 y
c. 2 xy = 1 g. x 2 − y 2 = 1
x2
d. b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 h. y =
4p

3. Realice una tabla de valores y trace punto a punto en un plano polar, la gráfica de:
6
1. r=
cos θ
6
2. r=
sen θ
3. r = 6 cos θ
4. r = 3 + 3 cos θ
5. r = 6 + 3 cos θ
6. r = 3 + 6 cos θ
9
7. r=
3 + 3 cos θ
9
8. r=
6 + 3 cos θ
9
9. r=
3 + 6 cos θ

5


3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS
POLARES

Se trata ahora de presentar ecuaciones polares típicas que permitan por
inspección describir su lugar geométrico.

3.1 RECTAS

3.1.1 Rectas que contienen al polo.

La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen pertenece
a ella, es de la forma y = mx

Realizando las transformaciones respectivas:

y = mx
r sen θ = m r cos θ
sen θ
=m
cos θ
tg θ = tg φ

Resulta, finalmente:

θ=φ

Ejemplo
π
Graficar θ =
4

Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es
una recta, que pasa por el polo con un ángulo de π . Es decir:
4

6


3.1.2 Rectas que NO contienen al polo y se encuentran a una
distancia "d" del polo.

Observemos la siguiente representación gráfica:

Del triangulo tenemos: cos(θ − φ) =
d
r

Por tanto, la ecuación del mencionado lugar geométrico sería:

d
r=
cos(θ − φ)

Ejemplo

4
Graficar r =
(
cos θ − π
6
)
SOLUCIÓN:

7


Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es
una recta, que se encuentra a una distancia de 4 unidades del polo y la medida del
ángulo de la perpendicular a la recta es π . ES decir:
6

Ahora veamos casos especiales:

d
1. Si φ = 0 entonces la ecuación resulta r = . Una recta
cos θ
vertical.

Al despejar resulta r cos θ = d es decir x = d .

2. Si φ = π
2
entonces la ecuación resulta:

d d d
r= = =
cos(θ − 2 ) cos θ cos 2 + sen θ sen 2 sen θ
π π π

Una recta horizontal.

8


3. Si φ = π entonces la ecuación resulta:

d d d
r= = =
cos(θ − π ) cos θ cos π + sen θ sen π − cos θ

Una recta vertical.

4. Si φ = 3 π entonces la ecuación resulta:
2

d d d
r= = =
cos(θ − 3 2 ) cos θ cos 3 2 + sen θ sen 3 2 − sen θ
π π π

Una recta horizontal.

3.2 CIRCUNFERENCIAS

3.2.1 Circunferencias con centro el polo.

La ecuación cartesiana de una circunferencia es:

x2 + y2 = a2

Aplicando transformaciones tenemos:

x2 + y2 = a2
(r cos θ)2 + (r sen θ)2 = a 2
r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ = a 2
( )
r 2 cos 2 θ + sen 2 θ = a 2
r 2 = a2

Resultando, finamente:

r=a

9


Ejemplo
Graficar r = 2

SOLUCIÓN:

Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una
circunferencia con centro el polo y que tiene radio 2.

3.2.2 Circunferencias tales que contienen al polo y tienen
centro el punto (a, φ )

Observemos el gráfico:

De allí obtenemos el triángulo:

10


Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos:

a 2 = r 2 + a 2 − 2ar cos(θ − φ)
r 2 = 2ar cos(θ − φ)

Resultando, finalmente:

r = 2a cos(θ − φ)

Ejemplo
(
Graficar r = 4 cos θ − π
3
)
SOLUCIÓN:

Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una
( )
circunferencia tal que el polo pertenece a ella y su centro es el punto 2, π . Por tanto su
3
gráfico es:

Casos especiales, serían:

1. Si φ = 0 tenemos r = 2a cos θ − 0 = 2a cos θ ( )
Que transformándola a su ecuación cartesiana, tenemos:

r = 2a cos θ
x
r = 2a
r
r = 2ax
2

x 2 + y 2 = 2ax
(x 2
)
− 2ax + a 2 + y 2 = 0 + a 2
(x − a ) 2
+ y = a2
2

11


Una circunferencia con centro el punto (a,0) y radio r = a

2. Si φ = π tenemos r = 2a cos(θ − π) = −2a cos θ

Una circunferencia con centro el punto (− a,0) y radio r = a

3. Si φ = π
2 tenemos r = 2a cos(θ − π ) = 2a sen θ
2

Una circunferencia con centro el punto (0, a ) y radio r = a

12


4. Si φ = 3 π tenemos r = 2a cos(θ − 3 π ) = −2a sen θ
2 2

Una circunferencia con centro el punto (0,−a ) y radio r = a

3.3 CÓNICAS tales que el foco es el polo y su recta
directriz está a una distancia "d" del polo

Observe la figura.

Se define a la parábola ( e = 1 ), a la elipse ( 0 < e < 1 ) y a la hipérbola
( e > 1 ) como el conjunto de puntos del plano tales que:

d ( P , F ) = e d ( P, l )

13


Entonces:

d ( P, F ) = e d ( P, l )
r = e[d − r cos(θ − φ)]
r = ed − er cos(θ − φ)
r + er cos(θ − φ) = ed
r[1 + e cos(θ − φ)] = ed
ed
r=
1 + e cos(θ − φ)

Casos especiales son:

ed
1. Si φ = 0 tenemos r=
1 + e cos θ
ed
2. Si φ = π tenemos r =
1 − e cos θ
π ed
3. Si φ = tenemos r =
2 1 + e sen θ
π ed
4. Si φ = 3 tenemos r =
2 1 − e sen θ

Ejemplo 1
6
Graficar r =
1 + cos θ

SOLUCIÓN:

En este caso " e = 1 " (el coeficiente del coseno) por tanto tenemos una parábola con
foco el polo (el origen) y directriz con ecuación cartesiana " x = 6 " (a la derecha y
π
paralela al eje ). Parábola cóncava a la izquierda.
2

14


Ejemplo 2
6
Graficar r =
1 − cos θ

SOLUCIÓN:

Como el ejemplo anterior, es una parábola; pero ahora como hay un signo negativo en
la función trigonométrica, la recta directriz tendrá ecuación cartesiana “ x = −6 " (a la
π
izquierda y paralela al eje ). Cóncava hacia la derecha.
2

Ejemplo 3
6
Graficar r =
1 + sen θ

SOLUCIÓN:
Es una parábola con foco el polo y recta directriz y = 6 (paralela y arriba del eje polar).
Cóncava hacia abajo.

15


Ejemplo 4
6
Graficar r =
1 − sen θ

SOLUCIÓN:

Es una parábola con foco el polo y recta directriz y = −6 (paralela y abajo del eje polar).
Cóncava hacia arriba.

Ejemplo 5
6
Graficar r =
1 + 1 cos θ
2

SOLUCIÓN:

En este caso " e = 1 " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una elipse con un foco el
2
polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar.

NOTA: La ecuación de esta cónica pudo haber sido dada de la siguiente forma también:

12
r= ¿Por qué?
2 + cos θ

16


Ejemplo 6
6
Graficar r =
1 − 1 cos θ
2

SOLUCIÓN:

Es una elipse con un foco el polo y el otro a su derecha en el eje polar.

Ejemplo 7
6
Graficar r =
1 + 1 sen θ
2
SOLUCIÓN:
Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje π hacia abajo.
2

17


Ejemplo 8
6
Graficar r =
1 − 1 sen θ
2
SOLUCIÓN:
Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje π hacia arriba.
2

Ejemplo 9
6
Graficar r =
1 + 2 cos θ
SOLUCIÓN:
En este caso " e = 2 " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una hipérbola con un foco el
polo y el otro foco a su derecha en el eje polar.

18


Ejemplo 10
6
Graficar r =
1 − 2 cos θ

SOLUCIÓN:

Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar.

Ejemplo 11
6
Graficar r =
1 + 2 sen θ
SOLUCIÓN:
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje π hacia arriba.
2

19


Ejemplo 12
6
Graficar r =
1 − 2 sen θ
SOLUCIÓN:
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje π hacia abajo.
2

3.4 CARACOLES

Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: r = a ± b cos θ o de la forma
r = a ± b sen θ

Consideremos tres casos:

1. Si a = b se llama CARDIOIDES

Ejemplo 1
Graficar r = 6 + 6 cos θ

Esta gráfica presenta simetría al eje polar, es decir: f (θ) = f ( −θ)

20


Ejemplo 2
Graficar r = 6 − 6 cos θ

Ejemplo 3
Graficar r = 6 + 6 sen θ

Ejemplo 4
Graficar r = 6 − 6 sen θ

21


2. Si a > b se llaman LIMACON O CARACOL SIN RIZO

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

π
Esta gráfica presenta simetría al eje , es decir: f (π − θ) = f (θ)
2

22


Ejemplo 4

3. Si a < b se llaman LIMACON O CARACOL CON RIZO

Ejemplo 1

Nota: Determine los ángulos de formación del rizo.

Ejemplo 2

23


Ejemplo 3

Ejemplo 4

3.5 ROSAS

Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma
r = a cos (n θ ) o r = a sen (n θ ) para n > 1 ∧ n ∈ N

De aquí consideramos dos casos:

1. Si n es PAR es una rosa de 2 n petálos

24


Ejemplo
Graficar r = 4 sen (2 θ )

SOLUCIÓN:

Por inspección concluimos que es una rosa de 4 pétalos

2. Si n es IMPAR es una rosa de n petálos

Ejemplo
Graficar r = 4 cos (3θ )

SOLUCIÓN:

Por inspección concluimos que es una rosa de 3 pétalos

25


3.6 LEMNISCATAS

Tienen ecuación polar de la forma r 2 = a cos 2 θ o de la forma
r = a sen 2 θ
2

Ejemplo 1
Graficar r = 4 cos 2 θ
2

Ejemplo 2
Graficar r 2 = − 4 cos 2 θ

26


Ejemplo 3
Graficar r = 4 sen 2 θ
2

3.7 ESPIRALES

Consideramos dos tipos:

3.7.1 ESPIRAL DE ARQUÍMEDES.

Su ecuación polar es de la forma r = a θ

Ejemplo
Graficar r = 2 θ

27


3.7.2 ESPIRAL DE LOGARÍTMICA.

Su ecuación polar es de la forma r = ae bθ

Ejemplo
Graficar r = 2e3θ

Ejercicios propuestos 3
1. Trace la gráfica representada por la ecuación polar dada.
1. r =5 11. r = 2 − 4 sen θ ; 0≤θ≤π
π 12. r = 3(1 − cos(θ))
2. θ=
4 13. r = 2 + 4 sen(θ)
3. r = 2 sen(θ) 14. r − 2 + 5 sen(θ) = 0
4. r = − cos(θ) 15. r = sen(3θ)
5. r = −3 cos(θ) 16. r = sen(5θ)
6. r=
2 17. r = 2 cos(4θ)
1 − sen(θ)
18. r 2 = 4 cos(2θ)
2
7. r= 19. r 2 = 3 sen(2θ)
2 − sen(θ)
20. r = −6 cos(3θ)
2
8. r= 21. r = − 4 sen 3θ
1 − 2 sen(θ)
22. r = θ, θ > 0
9. r = 1 − 2 cos(θ)
23. r = sen(θ) + cos(θ)
10. r = 3 + 2 sen(θ)
24. sen(θ) + cos(θ) = 0

⎧ r = 3 cos θ
2. Graficar en un mismo plano ⎨ y determine los puntos de intersección.
⎩ r = 1 + cos θ
⎧
3. Graficar en un mismo plano ⎪ r = 3 sen θ y determine los puntos de intersección.
⎨
⎪ r = 1 + cos θ
⎩
⎧ 2
4. Graficar en un mismo plano ⎪ r = − 8 cos 2 θ y determine los puntos de intersección.
⎨
⎪r = 2
⎩
⎧ 3
r=
5. Graficar en un mismo plano ⎪
⎨ 2 + senθ y determine los puntos de intersección.
⎪ r = 4 + 4 senθ
⎩
6. Represente en el plano polar la región comprendida en el interior de r = 4 cos(2θ ) y exterior a r = 2

28


⎧ r ≤ 2 sen3θ
7. Sea p ( r ,θ ) : ⎨ , determine Ap ( r ,θ )
⎩r ≥ 1
⎧ π 3π ⎫
8. Sea R = ⎨( r , θ ) / r ≤ 4 sen (θ ) ∧ ≤θ ≤ ⎬ , bosqueje R
⎩ 4 4 ⎭

29

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