1. pecahan parsial 2. transform laplace invers pada MNA

1. 1
Pecahan Parsial
Pecahan parsial berguna dalam persamaan diferensial jika kita ingin menghitung balikan
(invers) dari pemetaan laplace.
Contoh 1 :
Tentukan ℶ−1 (퐹) dari 푓(푠) = 3푠 +7
!
푠2 −2푠 −3
Penyelesaian :
3푠+ 7
푠2 −2푠−3
=
3푠 +7
(푠+1)(푠−3)
= 퐴
푠+1
+ 퐵
푠−3
Selanjutnya mencari nilai A dan B
3푠 + 7= 퐴(푠 − 3) + 퐵(푠 + 1)
= 퐴푠 − 3퐴 + 퐵푠 + 퐵
= 푆(퐴 + 퐵) + (−3퐴 + 퐵)
퐴 + 퐵 = 3
−3퐴 + 퐵 = 7
−
4퐴 = −4
퐴 = −1
퐴 + 퐵 = 3
−1 + 퐵 = 3
퐵 = 3 + 1
퐵 = 4
Jadi bentuk pecahan parsial :
3푠 +7
(푠+1)(푠−3)
= −1
푠+1
+ 4
푠−3
Selanjutnya di-inverskan :
ℶ−1(퐹) = ℶ−1 ( 3푠+7
푠2−2푠−3
) = ℶ−1 ( −1
푠+1
+ 4
푠− 3
)
= ℶ−1 ( −1
푠+1
) + ℶ−1 ( 4
푠−3
)
= −ℶ−1 ( 1
푠+1
) + 4ℶ−1 ( 1
푠−3
)
= −푒−푡 + 4푒3푡

2. 2
Contoh 2 :
Tentukan ℶ−1 (퐹) dari 푓(푠) = 푠2 −푠+1
푠3 (푠+1)
!
Peny :
푠2−푠+ 1
푠3 (푠+ 1)
= 퐴푠2 +퐵푠+ 퐶
푠3 + 퐷
푠+1
Selanjutnya mencari nilai A dan B
푠2 − 푠 + 1= 퐴푠2 + 퐵푠 + 퐶(푠 + 1) + 퐷(푠3)
= 퐴푠3 + 퐴푠2 + 퐵푠2 + 퐵푠 + 퐶푠 + 퐶 + 퐷푠3
= (퐴 + 퐷)푠3 + (퐴 + 퐵)푠2 + (퐵 + 퐶 )푠 + 퐶
퐶 = 1
퐵 + 퐶 = −1 퐴 + 퐵 = 1 퐴 + 퐷 = 0
퐵 + 1 = −1 퐴 + (−2) = 1 퐷 = −퐴
퐵 = −1 − 1 퐴 = 1 + 2 퐷 = −3
퐵 = −2 퐴 = 3
Jadi bentuk pecahan parsial :
푠2−푠+ 1
푠3 (푠+ 1)
= 3푠2 −2푠 +1
푠3 + −3
푠+1
Selanjutnya di-inverskan :
ℶ−1(퐹) = ℶ−1 (푠2 −푠+1
푠3(푠+1)
) = ℶ−1 (3푠2 −2푠 +1
푠3 + − 3
푠+1
)
= ℶ−1 (3푠2 −2푠+1
푠3 ) + ℶ−1 ( −3
푠+1
)
= 3 − 2푡 − 1
2
푡2 − 3푒−푡

3. 3
Penerapan Transform Laplace Pada MNA
Pada penerapan transform Laplace ini kita menyelesaikan-nya dengan
menggunakan transform Laplace turunan fungsi, pecahan parsial, dan Laplace invers.
Yang perlu diingat !
ℶ(푓′ ) = 푆ℶ(푓) − 푓(0) ↔ ℶ(푦′ ) = 푆ℶ(푦) − 푦(0)
ℶ(푓") = 푆 2ℶ(푓) − 푆푓(0) − 푓′ (0) ↔ ℶ(푦") = 푆 2ℶ(푦) − 푆푦(0) − 푦′ (0)
ℶ(푦) = 푌
Contoh 1:
Pecahkan MNA : 푦" + 4푦′ + 3푦 = 0 dengan 푦(0) = 3 ; 푦′ (0) = 1 !
Peny :
푦" + 4푦′ + 3푦 = 0
푦" = −4푦′ − 3푦
푦(0) = 3
푦′ (0) = 1
(Langkah 1) Menentukan Persamaan Pembantu.
ℶ(푦") = 푆 2ℶ(푦) − 푆푦(0) − 푦′ (0)
ℶ(푦") = 푆 2푌 − 3푆 − 1
ℶ(−4푦′ − 3푦) = 푆 2푌 − 3푆 − 1
Untuk menemukan nilai 푦′ kita harus melakukan transform Laplace turunan fungsi
ℶ(푦′ ) = 푆ℶ(푦) − 푦(0)
ℶ(푦′ ) = 푆푌 − 3
Jadi,
−4ℶ(푦′ ) − 3ℶ(푦) = 푆 2푌 − 3푆 − 1
−4(푆푌 − 3) − 3푌 = 푆 2푌 − 3푆 − 1
−4푆푌 + 12 − 3푌 = 푆 2푌 − 3푆 − 1
푆 2푌 − 3푆 − 1 = −4푆푌 + 12 − 3푌

4. 4
푆 2푌 + 4푆푌 + 3푌 = 3푆 + 13
푌(푆 2 + 4푆 + 3) = 3푆 + 13
푌 = 3푆+13
푆2 +4푆+3
(Langkah 2) Mencari Pecahan Parsial.
3푆+ 13
푆2 +4푆+3
=
3푠 +13
(푠+3)(푠+1)
= 퐴
푠+3
+ 퐵
푠+1
Selanjutnya mencari nilai A dan B
3푠 + 13= 퐴(푠 + 1) + 퐵(푠 + 3)
= 퐴푠 + 퐴 + 퐵푠 + 3퐵
= 푆(퐴 + 퐵) + (퐴 + 3퐵)
퐴 + 퐵 = 3
퐴 + 3퐵 = 13
−
−2퐵 = −10
퐵 = −10
−2
퐵 = 5
퐴 + 퐵 = 3
퐴 + 5 = 3
퐴 = 3 − 5
퐴 = −2
Jadi bentuk pecahan parsial :
3푆+ 13
푆2 +4푆+3
= −2
푠+ 3
+ 5
푠+1
(Langkah 3) Laplace invers.
ℶ−1(퐹) = ℶ−1 ( 3푆+13
푆2+4푆 +3
) = ℶ−1 ( −2
푠+3
+ 5
푠+1
)
= ℶ−1 ( −2
푠+3
) + ℶ−1 ( 5
푠+1
)
= −2ℶ−1 ( 1
푠+3
) + 5ℶ−1 ( 1
푠+1
)
= −2푒−3푡 + 5푒−푡

5. 5
Contoh 2 :
Selesaikan MNA untuk Persamaan Diferensial orde 2 berikut ini :
푦" + 9푦 = 0 ; 푦(0) = 0 ; 푦′ (0) = 2
Peny :
푦" + 9푦 = 0
푦" = −9푦
푦(0) = 0
푦′ (0) = 2
(Langkah 1) Menentukan Persamaan Pembantu.
ℶ(푦") = 푆 2ℶ(푦) − 푆푦(0) − 푦′ (0)
ℶ(푦") = 푆 2푌 − 푆. 0 − 2
ℶ(푦") = 푆 2푌 − 2
ℶ(−9푦) = 푆 2푌 − 2
−9ℶ(푦) = 푆 2푌 − 2
−9푌 = 푆 2푌 − 2
푆 2푌 + 9푌 = 2
(Langkah 2) Solusi Persamaan Pembantu.
푌(푆 2 + 9) = 2
푌 = 2
푆2 +9
(Langkah 3) Laplace invers.
ℶ−1(퐹) = ℶ−1 ( 2
푆2+9
) = ℶ−1 ( 2
푆2 +32 )
= 2ℶ−1 ( 3
푆2 +32 × 1
3
)
= 2
3
ℶ−1 ( 3
푆2 +32 )
= 2
3
sin 3푡

6. 6
Latihan Soal
1. Tentukan Transform Laplace Invers dari
2
푠
+ 1
푠+2
!
2. Pecahkan Masalah Nilai Awal : 푦" − 4푦′ + 3푦 = 0 dengan 푦(0) = 3 dan 푦′ (0) =
7 !

7. 7
Kunci Jawaban
1. Penyelesaian :
ℶ−1(퐹) = ℶ−1 (2
푠
+ 1
푠+2
)
= ℶ−1 (2
푠
) + ℶ−1 ( 1
푠+2
)
= 2ℶ−1 (1
푠
) + ℶ−1 ( 1
푠+2
)
= 2.1 + 푒−2푡
= 2 + 푒−2푡
2. Penyelesaian :
푦" − 4푦′ + 3푦 = 0
푦" = 4푦′ − 3푦
푦(0) = 3
푦′ (0) = 7
(Langkah 1) Menentukan Persamaan Pembantu.
ℶ(푦") = 푆 2ℶ(푦) − 푆푦(0) − 푦′ (0)
ℶ(푦") = 푆 2푌 − 3푆 − 7
ℶ(4푦′ − 3푦) = 푆 2푌 − 3푆 − 1
Untuk menemukan nilai 푦′ kita harus melakukan transform Laplace turunan fungsi
ℶ(푦′ ) = 푆ℶ(푦) − 푦(0)
ℶ(푦′ ) = 푆푌 − 3
4ℶ(푦′ ) − 3ℶ(푦) = 푆 2푌 − 3푆 − 7
4(푆푌 − 3) − 3푌 = 푆 2푌 − 3푆 − 7
4푆푌 − 12 − 3푌 = 푆 2푌 − 3푆 − 7
푆 2푌 − 3푆 − 7 = 4푆푌 − 12 − 3푌

8. 8
푆 2푌 − 4푆푌 + 3푌 = 3푆 + 7 − 12
푌(푆 2 − 4푆 + 3) = 3푆 − 5
푌 = 3푆− 5
푆2 −4푆+3
(Langkah 2) Mencari Pecahan Parsial.
3푆 −5
푆2 −4푆+3
=
3푠 −5
(푠−1)(푠−3)
= 퐴
푠−1
+ 퐵
푠−3
Selanjutnya mencari nilai A dan B
3푠 − 5= 퐴(푠 − 3) + 퐵(푠 − 1)
= 퐴푠 − 3퐴 + 퐵푠 − 퐵
= 푆(퐴 + 퐵) + (−3퐴 − 퐵)
퐴 + 퐵 = 3
−3퐴 − 퐵 = −5
−
퐴 + 퐵 = 3
−2퐴 = −2 1 + 퐵 = 3
퐴 = −2
−2
퐵 = 3 − 1
퐴 = 1 퐵 = 2
Jadi bentuk pecahan parsial :
3푆 −5
푆2 −4푆+3
= 1
푠− 1
+ 2
푠−3
(Langkah 3) Laplace invers.
ℶ−1(퐹) = ℶ−1 ( 3푆−5
푆2−4푆 +3
) = ℶ−1 ( 1
푠−1
+ 2
푠−3
)
= ℶ−1 ( 1
푠−1
) + ℶ−1 ( 2
푠−3
)
= ℶ−1 ( 1
푠−1
) + 2ℶ−1 ( 1
푠−3
)
= 푒푡 + 2푒3푡

9. 9
Daftar Pustaka
Lestariningsih, Yunika, S.Si . 2013 . Bahan Ajar Masalah Nilai Awal Syarat Batas .
Palembang : Universitas PGRI Palembang .