La Linea Recta

FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES
Marcelo Romo Proaño, M.Sc.
Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador

Capítulo III
LA LÍNEA RECTA

3.1 DEFINICIÓN:
Es el lugar geométrico de los puntos que describen una función de modo que si se
toman 2 puntos arbitrarios de esa función P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ), se cumple que la
pendiente “m” es siempre constante. Donde “m” se define como:
y − y1
m= 2
x2 − x1

Es importante notar que la pendiente es numéricamente igual a la tangente del
ángulo que forma la recta con el eje de las “x” (ángulo “θ”).
y − y1
Tg ( θ ) = m = 2
x2 − x1
El ángulo medido se considera positivo en sentido antihorario (opuesto al sentido de
rotación de las manecillas del reloj).

Problema Resuelto 1:
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y tiene una pendiente
m=2.
Solución:
Para efectos de graficación se calcula el ángulo que forma la recta con el eje de las “x”.

69


Tan (θ ) = m = 2
θ = Tan −1 ( 2) = 63.44º

Se traza sobre la recta un punto de coordenadas genéricas P(x, y).

Se calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P).
y −3
m=
x−2
Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “2”.
m=2
Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí:
y−3
=2
x−2
Se elimina el denominador del término izquierdo:

70


y − 3 = 2( x − 2)
Se simplifica la expresión previa:
y − 3 = 2x − 4
Se despeja “y”:
y = 2x − 4 + 3
y = 2x − 1 Solución
La expresión encontrada como solución permite una rápida graficación:
y = 2x − 1
x y
-3 -7
-2 -5
-1 -3
0 -1
1 1
2 3
3 5
El gráfico que se obtiene es similar al que se presentó previamente.

Verificación:
Como se esperaba, la recta pasa por el punto A(2, 3).
Para verificar que la recta tenga la pendiente apropiada se seleccionan 2 puntos
arbitrarios A(2, 3) y B(-2, -5).

71


y 2 − y1
m=
x 2 − x1
( −5) − ( 3) − 5 − 3 − 8
m= = =
( −2) − ( 2) − 2 − 2 − 4
m=2
NOTA 1: Si bien la solución presentada es de la forma y = 2x − 1 , igualmente pudo
haberse descrito la solución como y − 2x + 1 = 0 (todos los términos se pasaron al
miembro izquierdo) o 2 y − 4x + 2 = 0 (la ecuación completa se multiplicó por una
constante), pues todas esas expresiones son equivalentes.
NOTA 2: Para la obtención de la ecuación de la línea recta se ha requerido aplicar la
definición de pendiente e incluir un punto genérico P(x, y) perteneciente a dicha recta.

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3, -5) y que está inclinada 45º
con relación al eje positivo de las “x”.
Solución:
Se dibuja la recta asumiendo que un ángulo positivo se mide antihorariamente (en
sentido opuesto a la rotación de las manecillas del reloj) desde el eje positivo de las “x”.

La pendiente de la recta es la tangente del ángulo que forma con el eje positivo de las
“x”.
m = Tan (θ) = Tan ( 45º )
m =1
Se traza sobre la recta un punto de coordenadas genéricas P(x,y).

72


y − ( −5)
m=
x −3
y+5
m=
x −3
Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “1”.
m =1
Se igualan las 2 expresiones anteriores:
y+5
=1
x −3
y + 5 = x −3
Se despeja “y”:
y = x − 3− 5
Se simplifica la expresión anterior:
y = x − 8 Solución
Se encuentran los puntos que permitan una graficación detallada de la recta:
y = x −8
x y
0 -8
1 -7
2 -6
3 -5
4 -4
5 -3

73


6 -2
7 -1
8 0
9 1
El gráfico que se obtiene es:

Verificación:
Como se esperaba, la recta pasa por el punto (3, -5).
Por otro lado, la pendiente de la recta se puede calcular entre los puntos A(3, -5) y B(6,
-2).
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
( −2) − ( −5) − 2 + 5 3
m= = =
(6) − ( 3) 6 −3 3
m = 1 Verificado
OTRA DEFINICIÓN DE RECTA: Es el conjunto de puntos que, tomados por
parejas, siempre presentan la misma inclinación.

3.2 ECUACIÓN PUNTO – PENDIENTE:
Como se demostró en los ejemplos anteriores, si se conoce un punto por el que pasa una
recta y su pendiente, es factible definir la ecuación de la recta.
Se toma una recta que pasa por el punto conocido P1 (x1 , y1 ); además se conoce que la
recta tiene una pendiente cuyo valor es “m”.

74


Se dibuja un punto genérico P(x, y) perteneciente a la recta.

Se puede calcular la pendiente de la recta en base al punto conocido P1 (x1 , y1 ) y al punto
genérico P(x, y).
y − y1
m= Ecuación Punto-Pendiente
x − x1
Otra forma de presentar la ecuación de la recta se consigue al despejar “y”.
y − y1 = m( x − x1)
y = m( x − x1 ) + y 1 Ecuación Punto-Pendiente

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 1) y tiene una pendiente m
= -1 .
Solución:
Tg (θ) = m = −1
θ = Tan −1 ( −1)

75


θ = −45º
El ángulo de “-45º” se debe medir en sentido horario desde el eje positivo de las “x”.

Se traza un punto de coordenadas genéricas P(x, y) sobre la recta.

Se calc ula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P).
y −1
m=
x−2
Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “-1” (es dato del problema).
m = −1
Igualando las 2 expresiones anteriores:
y −1
= −1
x−2
y − 1 = −1( x − 2)
Simplificando:
y −1 = −x + 2

76


Despejando “y”:
y = −x + 2 +1
y = −x + 3 Solución
Para graficar detalladamente la solución se prepara una tabla de evaluación de valores
en base a la expresión previa.
y = −x + 3
x y
-3 6
-2 5
-1 4
0 3
1 2
2 1
3 0

Verificación:
La recta pasa por el punto (2, 1).
La pendiente de la recta se puede calcular con los puntos A(2, 1) y B(-3, 6).
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
6 −1 5
m= =
( −3) − 2 − 5
m = −1
El ángulo que forma la recta con el eje positivo de las “x” se puede obtener a partir de
que la tangente de ese ángulo es igual a la pendiente.
Tan (θ ) = m = −1

De donde el ángulo es:

77


θ = Tan −1 ( −1)
θ = − 45º Verificado
NOTA: Se debe observar que han sido necesarias 2 características independientes de la
recta (un punto por el que pasa y la pendiente) para poder definir su ecuación.

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3, 1) y tiene una pendiente
m=1/3 .
Solución:
1
Tg (θ ) = m =
3
−1  1
θ = Tan  
 3
θ = 18.43º
El ángulo de “18.43º ” se debe medir en sentido antihorario desde el eje positivo de las
“x”.

Se traza un punto de coordenadas genéricas P(x, y) sobre la recta.


78


y −1
m=
x −3
Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “1/3”.
1
m=
3
y −1 1
=
x −3 3
Eliminando los denominadores:
3( y − 1) = 1( x − 3)
Simplificando:
3y − 3 = x − 3
Despejando “y”:
3y = x − 3 + 3
3y = x
x
y= Solución
3
Para graficar detalladamente la solución se prepara una tabla de evaluación:
x
y=
3
x y
-9 -3
-6 -2
-3 -1
0 0
3 1
6 2
9 3

79


NOTA: Es importante mencionar que al no existir término independiente de las
variables “x” y “y” en la ecuación de la recta, ésta pasa por el origen.
Verificación:
La recta pasa por el punto (3, 1).
La pendiente de la recta se puede calcular entre los puntos A(3, 1) y B(6, 2).
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
2 −1
m=
6 −3
1
m = Verificado
3

3.3 ECUACIÓN PENDIENTE – ORDENADA AL ORIGEN:
Un caso especial de la ecuación de la recta que pasa por un punto determinado y se
conoce su pendiente es aquel en que se fija en qué punto intercepta la recta al eje de las
“y” y se define su pendiente. La forma simplificada de esta ecuación recibe el nombre
de Ecuación Pendiente – Ordenada al Origen.
Se toma una recta que corte al eje de las “y” a una distancia “b” desde el origen, y que
posee una pendiente “m”.

El punto de corte de la recta con el eje de las “y” tiene por coordenadas (0, b), pues su
proyección sobre el eje de las “x” es nula, y su proyección sobre el eje de las “y” es “b”.

80


Se dibuja un punto genérico P(x, y) perteneciente a la recta.

Se puede calcular la pendiente de la recta en base al punto conocido A(0, b) y al punto
genérico P(x, y).
y−b
m=
x−0
Simplificando:
y−b
m=
x
Despejando “y”:
y−b = m⋅x
y = m ⋅ x + b Ecuación Pendiente – Ordenada al Origen
Donde:

81


m: pendiente de la recta
b: ordenada al origen

Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje de las “y” cinco unidades por encima
del origen, y tiene una pendiente m=-2 .
Solución:
La pendiente negativa revela que la recta forma un ángulo horario con relación al eje
positivo de las “x”. Con este dato se procede a realizar un dibujo tentativo de la recta,
que además debe cortar el punto A(0,5) cinco unidades por encima del origen.

La ecuación de la recta es:
y = m⋅x+ b
y = (−2) ⋅ x + 5
y = −2x + 5 Ecuación de la Recta
NOTA 1: Se puede escribir muy rápidamente (inclusive sin necesidad de una
representación gráfica) la ecuación de la recta.
NOTA 2: Se debe observar que, igual que en la Ecuación Punto – Pendiente, han sido
necesarias 2 características independientes de la recta (la pendiente y el punto de cruce
con el eje “y”) para definirla.

Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje de las “y” dos unidades por debajo del
origen, y tiene una pendiente m=3/2 .
Solución:
La pendiente positiva significa que la recta forma un ángulo antihorario con relación al
eje positivo de las “ Con este dato se procede a realizar un dibujo tentativo de la
x”.
recta, que además debe cortar el punto A(0,-2) dos unidades por debajo del origen.

82


y = m⋅x+ b
 3
y =  ⋅x−2
 2
3
y = x − 2 Ecuación de la Recta
2
Para eliminar los denominadores, se puede multiplicar toda la ecuación por “2”.
2 y = 3x − 4
Agrupando todos los términos en el miembro izquierdo y cambiando de signo:
− 3x + 2 y + 4 = 0
3 x − 2y − 4 = 0 Ecuación de la Recta

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene una pendiente m=1 .
Solución:
La recta debe pasar por el punto O(0, 0) y formará un ángulo positivo de 45º (pendiente
igual a 1) con el eje de las “x”.


83


y = m⋅x+ b
y = (1) x + ( 0)
y = x Ecuación de la Recta

Parte 1:
Una empresa fabricante de fundas de basura tiene Costos Fijos de funcionamiento
(arriendo, seguridad, administrador) de US$ 1300 mensuales y Costos Variables de
producción (material, mano de obra, depreciación de maquinaria) de 5 centavos (US$
0.05) por funda grande reforzada.
Describir mediante la ecuación de una línea recta, en función del número de fundas
producidas mensualmente, cuál es el costo total de producción de esas fundas (medir en
decenas de miles de fundas), y representar gráficamente la función encontrada.
Parte 2:
Si todas las fundas pueden ser colocadas en el mercado, y el precio de venta es de 10
centavos (US$ 0.10) por unidad, determine ¿cuál debe ser la producción mensual de la
empresa para que alcance el punto de equilibrio, en que los ingresos igualan a los
egresos?
Solución Parte 1:
El Costo Total proviene de añadir Costos Fijos y Costos Variables.
Costo Total = CostoFijo + CostoVaria ble
CT = CF + CV
De acuerdo al texto del problema, los costos fijos mensuales ascienden a US$1300
CF = 1300
Si se define como “n” al número de fundas producidas mensualmente, los costos
variables representan “0.05” veces “n”, pues producir cada funda cuesta US$ 0.05.
CV = (0.05)( n )
CV = 0.05n
El costo total es la suma de los costos fijos y los costos variables.
CT = 1300 + 0.05n Solución
Se prepara una tabla que relacione el costo total mensual “
CT” en dólares, con el
número de fundas producidas mensualmente “n”:
CT = 1300 + 0.05n
n CT
0 1300
10000 1800
20000 2300
30000 2800
40000 3300

84


El gráfico correspondiente describe la Función de Costos y es el siguiente:

La ecuación de la recta también pudo ser calculada como Pendiente – Ordenada al
Origen, donde:
m = 0.05 (5 centavos de costo por funda producida)
b = 1300 (costos fijos)
Solución Parte 2:
Si se define como “n” al número de fundas vendidas mensualmente (que en el presente
caso es igual al número de fundas producidas), y se colocan en el mercado a las fundas a
un valor de 0.10 dólares por funda, el monto de ventas será “0.10” veces “n”.
MV = (0.10)( n )
MV = 0.10n Solución
Se prepara una tabla que relacione el monto de ventas mensuales “MV” con el número
de fundas producidas mensualmente “n”:
MV = 0.10n
n MV
0 0
10000 1000
20000 2000
30000 3000
40000 4000
En el mismo gráfico anterior se dibuja la nueva función pues tanto el Costo Total como
el Monto de Ventas tienen por unidad los dólares:

85


La ecuación de la nueva recta también pudo calcularse como Pendiente – Ordenada al
Origen, donde:
m = 0.10 (10 centavos de precio por funda vendida)
b=0
El Punto de intersección de las 2 rectas es el Punto de Equilibrio para las finanzas de
la empresa, pues los costos incurridos en producción igualan al monto de ventas de esos
productos.

86


Matemáticamente hablando, el punto que aparece en la intersección debe cumplir
simultáneamente con las ecuaciones de las 2 rectas que en el presente caso requieren un
cambio de denominación de variables a “x” y “y”:
y = 0.05x + 1300
y = 0.10x
Igualando ambas expresiones se tiene:
0.05x + 1300 = 0.10 x
Despejando “x”:
1300 = 0.10 x − 0.05x
1300 = 0.05x
0.05x = 1300
1300
x=
0.05
Simplificando:
x = 26000 fundas Solución
El costo de producir 26000 fundas de basura reforzadas al mes es de US$ 2600, y la
venta de 26000 fundas reporta US$ 2600, por lo que una producción de 26000 fundas es
el punto de equilibrio de la empresa (los costos igualan a las ventas).

Se adquirió un vehículo nuevo para una empresa, por un valor de US$ 15000. El
momento mismo en que el vehículo salió de la casa comercial, tuvo una depreciación
instantánea del 10% (si se intentara vender el vehículo apenas salido de la casa
comercial, solamente se lo podría hacer al 90% del valor original). A partir de ese
momento el valor comercial sufre una depreciación adicional del 3% del valor de
compra por cada 10000 Km de recorrido. Determinar una ecuación que describa el valor
comercial del vehículo en función del kilometraje recorrido.
Solución:
La pérdida del 10% del valor significa que con 0 Km de recorrido el valor comercial del
vehículo disminuye instantáneamente de US$ 15,000 a US$ 13,500 (90% de US$
15,000).
Se definen las variables del problema:
V: Valor comercial del vehículo
K: Kilometraje del vehículo
Una representación gráfica tentativa de la variación del valor comercial sería:

87


La depreciación del 3% por cada 10,000 Km es equivalente a 0.03/10000 por cada Km
(0.000003).
Para efectos de graficación se calcula una tabla con ciertos puntos del valor comercial
en función del kilometraje.
Kilometraje Valor Depreciación por Kilometraje Valor Comercial
(Km) Inicial (US$) (US$)
(US$)
0 13,500 0 13,500-0=$ 13,500
20000 13,500 0.000003*20000*$ 15,000=$ 900 13,500-900=$ 12,600
40000 13,500 0.000003*40000*$ 15,000=$ 1,800 13,500-1,800=$ 11,700
60000 13,500 0.000003*60000*$ 15,000=$ 2,700 13,500-2,700=$ 10,800
80000 13,500 0.000003*80000*$ 15,000=$ 3,600 13,500-3,600=$ 9,900
100000 13,500 0.000003*100000*$ 15,000=$4,500 13,500-4,500=$ 9,900
Las operaciones de la tabla se reflejan en la siguiente ecuación:
V = 13500 − 0.000003( K )(15000 )
V = 13500 − 0.045( K ) Ecuación de la Recta de Depreciación
Evaluando la ecuación se tiene la siguiente tabla simplificada:
V = 13500 − 0.045( K )
K V
0 13500
20000 12600
40000 11700
60000 10800
80000 9900
100000 9000

88


120000 8100
140000 7200
160000 6300
180000 5400
El gráfico correspondiente es:

Es importante notar que la ecuación deducida es del tipo Pendiente – Ordenada al
Origen, donde la ordenada al origen es el valor inicial de vehículo (US$ 13500), y la
pendiente es 0.045 que es el decrecimiento del precio por kilómetro, y va precedido por
un signo negativo pues el valor del vehículo disminuye conforme aumenta el
kilometraje.
Por otro lado, aproximadamente a partir de los 300000 Km de recorrido, la Recta de
Depreciación empezaría a tomar valores negativos, lo que en el mundo real no tiene
ningún sentido. La validez de la Recta de Depreciación está limitada a decrecer hasta un
potencial Valor Residual del bien, o hasta un valor nulo, dependiendo de las políticas de
la empresa.

3.4 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS:
Si se conocen 2 puntos por los cuales pasa una recta, se puede determinar la ecuación de
la misma.

89


Se puede calcular la pend iente de esa recta, basada en las coordenadas de los puntos P1
y P2 .
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
Se grafica un punto genérico P(x, y), perteneciente a la recta.

Se puede calcular nuevamente la pendiente de la recta en base al punto conocido P1 (x1 ,
y1 ) y al punto genérico P(x, y).
y − y1
m=
x − x1
Por la definición de recta, las 2 expresiones que describen la pendiente de la recta deben
ser iguales.
y − y1 y 2 − y 1
= Ecuación de la Recta que pasa por 2 Puntos
x − x1 x 2 − x1

90


Una expresión alternativa se puede obtener despejando “y”.
y 2 − y1
y − y1 = ( x − x1 )
x 2 − x1
y − y1
y = y1 + 2 ( x − x 1 ) Ecuación de la Recta que pasa por 2 Puntos
x 2 − x1
NOTA: Es importante mencionar que si se conocen 2 características independientes de
una recta (un punto y su pendiente, o la pendiente y su ordenada al origen, o 2 puntos,
etc.), queda definida su ecuación.

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(5, 1).
Solución:
Se dibujan los 2 puntos y la recta que pasa por esos 2 puntos:

Se calcula la pend iente en base a las coordenadas de los 2 puntos conocidos:
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
1− 3 − 2
m= =
5− 2 3
2
m=−
3
Se coloca, en el gráfico, un punto arbitrario P(x, y) perteneciente a la recta.

91


Se calcula la pendiente de la recta entre el punto genérico y el punto “A”:
y−3
m=
x−2
Igualando las 2 expresiones que definen la pendiente:
y−3 2
=−
x−2 3
Pasando los denominadores a los otros miembros:
3( y − 3) = −2( x − 2 )
Destruyendo paréntesis:
3 y − 9 = − 2x + 4
Pasando todos los términos al miembro izquierdo:
2x + 3 y − 9 − 4 = 0
2x + 3y − 13 = 0 Ecuación de la Recta
Otra manera de presentar la ecuación de la recta podría conseguirse al despejar “y” de la
expresión anterior.
3 y = −2 x + 13
2 13
y=− x+ Ecuación de la Recta
3 3
NOTA: Igual que en las Ecuaciones Punto – Pendiente y Pendiente – Ordenada al
Origen, han sido necesarias 2 características independientes de la recta (2 puntos).

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-3, -1) y B(4, 5).

92


Solución:
Se dibujan los 2 puntos y la recta que pasa por esos 2 puntos:

Se calcula la pendiente en base a las coordenadas de los 2 puntos conocidos:
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
5 − ( −1) 5 + 1
m= =
4 − ( −3) 4 + 3
6
m=
7

Se calcula la pendiente de la recta entre el punto genérico y el punto “B” (pudo haberse
tomado el punto “A” y el resultado final hubiera sido el mismo):
y−5
m=
x−4
Igualando las 2 expresiones previas:
y−5 6
=
x−4 7

93


7 ( y − 5) = 6 ( x − 4)
7 y − 35 = 6 x − 24
Pasando todos los términos al miembro izquierdo:
7 y − 6 x − 35 + 24 = 0
7 y − 6 x − 11 = 0
6 x − 7 y + 11 = 0 Ecuación de la Recta
Otra manera de presentar la ecuación de la recta podría conseguirse al despejar “y” de la
expresión anterior.
− 7 y = −6 x − 11
7 y = 6 x + 11
6 11
y= x+ Ecuación de la Recta
7 7

Parte 1:
Un vendedor de telas a domicilio percibe un sueldo básico de US$ 150 mensuales, y
adicionalmente se le otorga un 5% sobre las ventas que realiza. Describir mediante una
ecuación la variación de su sueldo mensual en función de los montos de sus ventas.
Graficar la ecuación.
Parte 2:
La esposa del vendedor de telas es representante de una empresa de cosméticos, y no
tiene sueldo básico, pero recibe una comisión del 10% sobre las ventas. Obtener una
ecuación que describa sus ingresos mensuales en función de sus ventas. Graficar la
función.
Parte 3:
Si esposo y esposa vendieron lo mismo el mes pasado, y ganaron lo mismo, ¿cuánto
vendieron y ganaron el mes anterior?
Solución Parte 1:
El sueldo mensual del vendedor tiene dos componentes: un valor fijo (sueldo básico) y
un valor variable (sueldo por comisión), y puede representarse mediante la siguiente
expresión:
Sueldo Total = Sueldo Básico + Sueldo Por Comisión
ST = SB + SC
De acuerdo al texto del problema, el sueldo básico asciende a US$150
SB = 150

94


Si se define como “V” al monto mensual de ventas realizadas, el Sueldo por Comisión
representa “0.05” veces “V” (5% de V).
SC = 0.05V
El Sueldo Total es:
ST = 150 + 0.05 V Solución
Se prepara una tabla que relacione el costo sueldo mensual total “ST” en dólares, con el
valor de las ventas realizadas “V”:
ST = 150 + 0.05V
V ST
0 150
1000 200
2000 250
3000 300
4000 350
El gráfico correspondiente es:

La ecuación de la recta pudo ser calculada como Pendiente – Ordenada al Origen,
donde:
m = 0.05 (5% de comisión sobre las ventas)
b = 150 (sueldo básico)
Solución Parte 2:
El sueldo de la esposa del vendedor es variable y tiene un solo componente: el sueldo
por comisión, que representa “0.10” veces las Ventas “V” (10% de V).
ST = 0.10V Solución
Se prepara una tabla que relacione el costo sueldo mensual total “ST” en dólares, con el
valor de las ventas realizadas “V”, por la esposa del ve ndedor:

95


ST = 0.10V
V ST
0 0
1000 100
2000 200
3000 300
4000 400
El gráfico correspondiente, representado sobre el diagrama anterior, es:

La ecuación de la recta también pudo ser calculada como Pendiente – Ordenada al
Origen, donde:
m = 0.10 (10% de comisión sobre las ventas)
b = 0 (sueldo básico nulo)
Solución Parte 3:
El único punto de los diagramas, que cumple con tener sueldos iguales para ventas
iguales (iguales ordenadas y abscisas) es la intersección de las 2 rectas:

96


Para calcular las coordenadas de ese punto se debe resolver para la condición de
cumplimiento simultáneo de las 2 ecuaciones. Para el efecto se cambiarán las variables
a “x” y “y”:
y = 150 + 0.05x
y = 0.10x
Igualando ambas expresiones se tiene:
150 + 0.05x = 0.10 x
Despejando “x”:
150 = 0.10 x − 0.05x
150 = 0.05x
0.05x = 150
150
x=
0.05
Simplificando:
x = US $ 3000 Solución
Reemplazando el valor de “x” en cualquiera de las 2 ecuaciones simultáneas se tiene:
y = 150 + 0.05x = 150 + 0.05(3000) = 150 + 150 = 300
y = 0.10x = 0.10(3000) = 300
y = US$ 300 Solución
Una venta de US$ 3000 reporta un sueldo de US$ 300 tanto al esposo como a la esposa.

Parte 1:
Determinar una ecuación lineal que relacione los Grados Centígrados (ºC) con los
Grados Fahrenheit (ºF), si se conoce que al nivel del mar el agua se congela a 32 ºF y se
evapora a 212 ºF.
Parte 2:
Los manuales de floricultura establecen que las rosas de calidad deben mantenerse en
un ambiente de temperatura controlada entre 62 ºF y 80 ºF. ¿A qué rango de
temperatura en grados centígrados corresponden esos datos?
Solución Parte 1:
Sobre el eje de las “x” se colocan los “ ºC”, y sobre el eje de las “y” los “ ºF”.
Se dibujan los 2 puntos A(0ºC, 32ºF) y B(100ºC, 212ºF), y la recta que pasa por esos 2
puntos:

97


Se calcula la pendiente en base a las coordenadas de los 2 puntos conocidos:
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
212 − 32 180 18
m= = =
100 − 0 100 10
9
m=
5

Se calcula la pendiente de la recta entre el punto genérico y el punto “A”:
y − 32 y − 32
m= =
x−0 x
y − 32 9
=
x 5
Pasando el denominador izquierdo al miembro derecho:
9
y − 32 = ⋅ x
5

98


Despejando “y”:
9
y = ⋅ x + 32
5
Cambiando las variables “x” y “y” a “ ºC” y “ ºF” respectivamente:
9
ºF = ⋅ (º C ) + 32 Solución
5
Otra manera de presentar la expresión consistiría en despejar los “ ºC”.
5
ºC = ⋅ (º F − 32 ) Solución Alternativa
9
Solución Parte 2:
Aplicando la última expresión (solución alternativa), se asigna temperaturas en grados
Fahrenheit y se obtiene su equivalente en grados centígrados (grados Celsius).
5
º C = ⋅ (º F − 32 )
9
62 ºF equivalen a 16.7 º C.
80 º F equivalen a 26.7 ºC.
El rango de variación de la temperatura óptima para el cultivo de rosas de calidad
está entre 16.7 ºC y 26.7 ºC.

3.5 ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA:
Si se conocen las distancias a las cuales corta una recta a los ejes “x” y “y”, se puede
determinar la ecuación de la misma.
Se dibuja una recta que corta al eje de las “x” a una distancia “a” desde el origen, y al
eje de las “y” a una distancia “b”.

Las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes principales serían:

99


La pendiente de la recta, en función de las coordenadas de los 2 pisos es:
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
b−0
m=
0 −a
b
m=−
a
Se dibuja un punto genérico P(x, y), perteneciente a la recta.

Se calcula la pendiente de la recta empleando el punto genérico y uno de los puntos de
coordenadas conocidas.
y−0 y
m= =
x −a x − a
y b
=−
x−a a
Eliminando los denominadores:

100


a. y = − b ( x − a )
a.y = −b.x + a.b
Pasando los términos que contienen variables al miembro izquierdo:
a.y + b.x = a.b
Dividiendo ambos miembros para “a.b”:
a.y + b.x a.b
=
a .b a.b
a.y + b.x
=1
a .b
Separando el miembro izquierdo en 2 fracciones:
a.y b.x
+ =1
a.b a .b
Simplificando las fracciones:
y x
+ =1
b a
Reordenando las fracciones del miembro izquierdo:
x y
+ = 1 Ecuación Simétrica de la Recta
a b

Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje de las abscisas 5 unidades a la derecha
del origen, y al eje de las ordenadas 3 unidades hacia arriba del origen.
Solución:
Se dibujan los 2 puntos A(5, 0) y B(0, 3), y la recta que pasa por esos 2 puntos:

Se escribe directamente la ecuación de la recta mediante su representación simétrica:

101


x y
+ =1
a b
x y
+ = 1 Solución
5 3
Como alternativa de presentación se puede multiplicar a toda la ecuación por “15” (5 x
3), para eliminar denominadores:
3 x + 5 y = 15 Solución Alternativa
NOTA: Una de las ventajas de la Ecuación Simétrica de la Recta es que puede ser
rápidamente deducible a partir de su gráfico; otra de las ventajas es que puede ser
rápidamente graficable a partir de su representación matemática.

Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje de las abscisas 6 unidades a la
izquierda del origen, y al eje de las ordenadas 4 unidades hacia arriba del origen.
Solución:
Se dibujan los 2 puntos A(-6, 0) y B(0, 4), y la recta que pasa por esos 2 puntos:

Se escribe la ecuación de la recta en su forma simétrica:
x y
+ =1
a b
x y
+ =1
−6 4
x y
− + = 1 Solución
6 4
NOTA: “a” y “b” pueden tener valores tanto positivos como negativos.

102


Un vehículo viaja a 30 m/seg (108 Km/h) por una autopista, y se ve obligado a frenar.
En cada segundo la velocidad del vehículo disminuye en 8 m/seg (luego de 1 segundo la
velocidad es de 22 m/seg, luego de 2 segundos la velocidad es de 14 m/seg, etc.).
Ø Grafique la variación de la velocidad del vehículo en el tiempo, y describa tal
variación mediante una ecuación.
Ø Determine ¿cuánto tiempo se necesita para un frenado total?
Ø ¿Qué distancia recorre el vehículo desde que empieza a frenar hasta que se
detiene?
Solución Parte 1:
Se prepara una tabla que relacione la velocidad del vehículo con el tiempo.
Tiempo Velocidad
(seg) (m/seg)
0 30
1 22
2 14
3 6
A pesar de no disponer aún de una función explícita, el texto del problema establece
que, cada segundo transcurrido, la velocidad desciende en 8 m/seg., lo que permitió
crear la tabla.
Se grafica la función obtenida:

Se determina la pendiente de la recta, a partir de 2 de los puntos conocidos (A y B):
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
22 − 30 − 8
m= =
1− 0 1
m = −8
Se dibuja un punto genérico P(x, y), perteneciente a la recta:

103


Se calcula la pendiente de la recta entre el punto P y el punto A:
y − y1
m=
x − x1
y − 30
m=
x−0
y − 30
m=
x
Igualando las 2 ecuaciones que define una expresión para la pendiente:
y − 30
= −8
x
Eliminando el denominador del miembro izquierdo:
y − 30 = −8x
Reagrupando:
8x + y = 30 Ecuación de la Recta
Se puede reorganizar la ecuación para expresarla en su forma simétrica:
8x + y 30
=
30 30
8x + y
=1
30
Se separa el miembro izquierdo en 2 fracciones:
8x y
+ =1
30 30
El número “ se debe pasar al denominador del denominador para llegar a la forma
8”
simétrica de la ecuación:
x y
+ =1
30 30
8

104


Reemplazando la fracción “30/8” por su equivalente decimal:
x y
+ = 1 Ecuación Simétrica de la Recta
3.75 30
La recta corta en “3.75” al eje de las “x” y en “30” al eje de las “y”.

Solución Parte 2:
Interpretando directamente la ecuación simétrica de la recta, y su representación gráfica,
se tiene que luego de “3.75” segundos el vehículo se detiene (su velocidad se vuelve
nula).
t = 3.75 segundos Tiempo Total de Frenado
NOTA: Es importante mencionar que no tiene ninguna valor físico el tiempo previo al
inicio del frenado (tiempo negativo), ni el tiempo posterior al frenado total (mayor a
“3.75” segundos)
Solución Parte 3:
Se calcula cuánto recorre el vehículo durante el primer segundo de frenado, para lo que
se define una velocidad promedio “ v ”que coincide con la velocidad instantánea a los
“0.5” segundos. El valor de esa velocidad promedio es:
v 0 + v1
v=
2
30 + 22 52
v= =
2 2
v = 26 m / seg
Su representación gráfica sería:

105


El espacio recorrido en el primer intervalo de un segundo es la velocidad promedio “ v ”
multiplicada por el tiempo transcurrido (1 segundo).
e = v⋅ t
 v + v1 
e= 0 ⋅t
 2 
 30 + 22 
e=  ⋅ (1)
 2 
La fórmula anterior es equivalente al área del trapecio entre el tiempo “0” y el tiempo
“1” y entre la recta calculada y el eje de las “x” (base mayor más base menor, sobre 2,
por altura).

El espacio recorrido en el segundo intervalo de un segundo es la velocidad promedio de
ese intervalo multiplicada por el tiempo transcurrido (1 segundo).
e = v⋅ t
 v + v2 
e= 1 ⋅t
 2 
 22 + 14 
e=  ⋅ (1)
 2 

106


La fórmula anterior es equivalente al área del trapecio entre el tiempo “1” y el tiempo
“2” y entre la recta calculada y el eje de las “x”.

El espacio recorrido en los 2 primeros segundos es la suma de los valores anteriores (el
espacio recorrido en el primer segundo más el espacio recorrido en el segundo
segundo).
En términos generales, en un diagrama tiempo-velocidad (tiempo en el eje de las “x” y
velocidad en el eje de las “y”), el espacio es el área bajo la curva. Por tanto, el espacio
total que recorre el vehículo hasta el frenado total es el área del triángulo formado por la
recta calculada, el eje de las “x” y el eje de las “y”.

El área del triángulo es:
base × altura
Área =
2
(3.75).( 30)
Área =
2

107


Área = 56.25
Por consiguiente el espacio que recorre el vehículo hasta frenar totalmente es:
e = 56.25 m. Longitud de Frenado
NOTA: Un sinnúmero de problemas pueden reducirse al cálculo del área bajo una
curva, siempre que la magnitud que se calcule provenga de multiplicar la magnitud de la
ordenada por el intervalo de la abscisa, y sea acumulable como en el caso de la longitud
total recorrida.

Una empresa incursiona en el mercado con un nuevo producto, y durante la primera
semana en que las ventas son aún sumamente bajas sus costos de producción y
comercialización exceden a sus ventas en US$ 2000. Cada semana que pasa, debido a su
campaña publicitaria y de ventas puerta a puerta, la inversión semanal adicional, por
este concepto, decrece linealmente en US$ 120 semanales (en la segunda semana se
invierte US$ 1880, en la tercera semana se invierte US$ 1760, etc.).
Ø Describa la inversión adicional que debe realizar la empresa desde que lanza el
producto hasta que las ventas empiecen a producir utilidad.
Ø ¿Durante cuánto tiempo la empresa debe realizar esas inversiones adicionales?
Ø ¿Cuánto dinero representa la inversión adicional?
Ø ¿Después de cuánto tiempo, a partir de la introducción del producto, se
recuperará totalmente esa inversión adicional?
Solución Parte 1:
Se prepara una tabla que relacione la inversión adicional con los intervalos de tiempo en
que se producen.
y = x −8
Tiempo Inversión
(semanas) Semanal
(US$)
0-1 2000
1-2 1880
2-3 1760
3-4 1640
4-5 1520
5-6 1400
Se grafica la función obtenida:

108


Es evidente que la geometría escalonada de la función no es la que mejor representa el
problema, que debería denotar continuidad.
Como se vio en el problema anterior, el punto que mejor representa a un intervalo de
tiempo, para modelar continuidad, es el punto medio del intervalo, de modo que se
fijaran puntos característicos en la mitad de cada intervalo.

Se unen todos los puntos fijados, definiéndose una línea recta.

109


Se determina la pendiente de la recta, a partir de 2 de los puntos conocidos:
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
1880 − 2000 − 120
m= =
1 .5 − 0 .5 1
m = −120
Se dibuja un punto genérico P(x, y), perteneciente a la recta:

Se calcula la pendiente de la recta entre el punto P y el punto (0.5, 2000):
y − y1
m=
x − x1
y − 2000
m=
x − 0 .5

110


Igualando las 2 ecuaciones de pendiente:
y − 2000
= −120
x − 0 .5
Eliminando el denominador del miembro izquierdo:
y − 2000 = −120( x − 0.5)
Eliminando paréntesis:
y − 2000 = −120 x + 60
Reagrupando:
120 x + y − 2060 = 0 Ecuación de la Recta
Solución Parte 2:
Se puede calcular el punto de cruce de la recta con el eje de las abscisas:
2060
y = 0 → 120x = 2060 → x =
120
x = 17.17 semanas Tiempo que debe mantenerse la inversión adicional

Solución Parte 3:
Se calcula el punto de cruce de la recta con el eje de las ordenadas:
x = 0 → y − 2060 = 0
y = US $ 2060
Se calcula la ordenada de la recta luego de transcurrida 1 semana:
x = 1 → 120(1) + y − 2060 = 0 → y = 2060 − 120
y = US $ 1940
La inversión en la primera semana se puede calcular con el promedio de los 2 valores
anteriores (valor al inicio y valor al final de la semana), multiplicado por el tiempo
transcurrido de 1 semana.

111


 2060 + 1940 
Inversión 1 =  (1) = US$ 2000
 2 
La expresión obtenida es numéricamente igual al área bajo la recta calculada,
comprendida entre 0 y 1 semanas.

La inversión en la segunda semana se puede calcular con el promedio de la ordenada
para 1 semana y la ordenada para 2 semanas.
 1940 + 1820 
Inversión 2 =  (1) = US$1880
 2 
La expresión obtenida es numéricamente igual al área bajo la recta calculada,
comprendida entre 1 y 2 semanas.

En un diagrama Tiempo - Inversión por unidad de tiempo (tiempo en el eje de las “x”
e inversión por período de tiempo en el eje de las “y”), la inversió n acumulada es el área
bajo la curva (bajo la recta). Por tanto, la inversión total adicional es el área del
triángulo formado por la recta calculada, el eje de las “x” y el eje de las “y”.

112


El área del triángulo es:
base × altura
Área =
2
(17.17).( 2060)
Área =
2
Área = 17685
Por consiguiente la inversión toral adicional será:
e = US$ 17685 Inversión Total Adicional
Solución Parte 4:
Del gráfico anterior se puede deducir que a partir de las 17.17 semanas se empieza a
formar un triángulo similar al analizado previamente, aunque invertido.

113


Al representarse ese triángulo con ordenadas hacia abajo, el área representa utilidades.
A partir de que las ventas sobrepasen a los costos, se requerirán 17.17 semanas
adicionales para recuperar la inversión adicional realizada.
NOTA: Desde el punto de vista de la toma de decisiones en la Administración, la
Inversión Total Adicional de US$ 17,685 es una inversión del orden de los US$ 18,000.
De igual manera, una espera de 17.17 semanas para suprimir las inversiones adicionales
semanales significa unas 18 semanas hasta lograr el objetivo propuesto. Así mismo,
17.17 semanas de utilidad para cubrir la inversión adicional significa aproximadamente
18 semanas adicionales para alcanzar el objetivo.

3.6 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:
La forma general de la ecuación de la recta es:
A .x + B .y + C = 0

Analizar las siguientes expresiones que constituyen ecuaciones de rectas, y extraer
conclusiones acerca de los coeficientes de las variables y los términos independientes.
Ø 2 x + 3y − 5 = 0
Ø − x+ y + 3 = 0
Ø x = 2y + 6
Ø y=x
Ø x=6
Ø y = −2
Solución:
Es importante notar que algunos de los 3 parámetros que identifican a las rectas (“A”,
“B” y “C”) pueden ser nulos, pero al menos uno de los coeficientes que multiplican a
las variables (“A” o “B”) debe ser no nulo.

Representar gráficamente las siguientes rectas:
Ø 2 x + 3y − 5 = 0
Ø − x+ y + 3 = 0
Ø x = 2y + 6
Ø y=x
Ø x=6
Ø y = −2
Solución:
La representación gráfica de las 3 primeras rectas es la siguiente:

114


La representación gráfica de las 3 últimas rectas es la siguiente:

3.7 PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN A PARTIR DE LA
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:
Mediante manejos algébricos se puede encontrar una ecuación equivalente a la
Ecuación General de la Recta, con el formato de Pendiente – Ordenada al Origen.
A .x + B.y + C = 0
Se despeja “y”:
B.y = −Ax − C
− Ax − C
y=
B
Se separa el miembro derecho en 2 fracciones:

115


A C
y=− ⋅x −
B B
La tradicional Ecuación Pendiente – Ordenada al Origen:
y = mx + b
Comparando las 2 ecuaciones se tiene:
A
m=− Pendiente de la Ecuación General de la Recta
B
C
b=− Ordenada al Origen de la Ecuación General de la Recta
B

Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la siguiente recta:
2 x + 3y − 5 = 0
Solución:
Las constantes del formulario son:
A=2
B =3
C = −5
La pendiente es:
A
m=−
B
2
m = − Pendiente de la Recta
3
La ordenada al origen es:
C
b=−
B
−5
b=−
3
5
b = Ordenada al Origen
3
El gráfico esquemático de la recta es:

116


x = 2y + 6
Solución:
Se transfieren todos los términos al miembro izquierdo para obtener la forma general de
presentación de la recta:
x − 2y − 6 = 0
A =1
B = −2
C = −6
La pendiente es:
A
m=−
B
1
m=−
−2
1
m = Pendiente de la Recta
2
C
b=−
B
−6
b=−
−2
b = −3 Ordenada al Origen

117


x=6
Solución:
x−6 = 0
A =1
B=0
C = −6
La pendiente es:
A
m=−
B
1
m=−
0
m = −∞
La recta es vertical
C
b=−
B
−6
b=−
0
b = −∞
La recta no corta al eje de las “y”

118


y = −2
Solución:
y+2 = 0
A=0
B =1
C=2
La pendiente es:
A
m=−
B
0
m=−
1
m = 0 Pendiente de la Recta
NOTA: La recta es horizontal.
C
b=−
B
2
b=−
1

119


b = −2 Ordenada al Origen

3.8 SEGMENTOS DE RECTA:
Cuando se toma un tramo de una recta, limitado por 2 puntos extremos, se define un
segmento de recta.

El segmento de recta señalado en el gráfico se identifica como AB, y su longitud se
especifica como AB .

Calcular la longitud del segmento AB, si se conoce que el punto A tiene por
coordenadas (5, 3) y el punto B tiene coordenadas (-4, 1).

120


Solución:
Se traza un gráfico que contenga los 2 puntos e identifique al segmento AB.

La longitud del segmento AB es numéricamente igual a la distancia entre los puntos A y
B.

AB = [x 2 − x 1 ]2 + [y 2 − y 1 ]2
Reemplazando las coordenadas de los puntos A y B se tiene:

AB = [(−4) − (5)]2 + [(1) − (3)]2
AB = [− 9]2 + [− 2]2 = 81 + 4 = 85
AB = 85 Longitud del segmento AB

3.9 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA Y DIVISIÓN DE
UN SEGMENTO EN VARIAS PARTES IGUALES :
Es el punto que forma parte del segmento de recta y equidista de los 2 extremos del
segmento.

Las coordenadas del punto medio de un segmento de recta son el promedio de las
coordenadas de los puntos extremos.

121


xa + x b
xm = Coordenada “x” del punto medio
2
ya + yb
ym = Coordenada “y” del punto medio
2
Por analogía las coordenadas de los 2 puntos tercios (puntos intermedios que dividen al
segmento en 3 partes de igual longitud) serían:
2x a + x b
x1 = Coordenada “x” de l primer punto tercio
3
2ya + y b
y1 = Coordenada “y” del primer punto tercio
3
x a + 2x b
x2 = Coordenada “x” de l primer punto tercio
3
y a + 2y b
y2 = Coordenada “y” del primer punto tercio
3

De igual manera, las coordenadas de los “n-1” puntos que dividen a un segmento en “n”
partes iguales son:
(n − i ).x a + i .x b
xi = ; i = 1 , 2 , ... n − 1 Coordenada “x” de l punto “i”
n
( n − i ).y a + i .y b
yi = ; i = 1 , 2 , ... n − 1 Coordenada “y” del punto “i”
n

122


Dados los puntos P(-3, 5) y Q(4, -2), determinar las coordenadas del punto medio del
segmento PQ.
Solución:
Se traza un gráfico que contenga los 2 puntos e identifique al segmento PQ.

Se ubica de manera aproximada al punto medio M, y se identifican literalmente sus
coordenadas.

123


Se aplican las ecuaciones del punto medio de un segmento:
x p + xq
xm =
2
yp + yq
ym =
2
Reemplazando los valores de las coordenadas conocidas se tiene:
( −3) + ( 4)
xm =
2
1
x m = Coordenada “x” del punto medio
2
(5) + (−2)
ym =
2
3
y m = Coordenada “y” del punto medio
2
Las coordenadas del punto medio M son (1/2, 3/2).

El punto M(2, -1) es punto medio de un segmento. Si se conoce que uno de los
extremos del segmento es el punto A(6, 3), cuáles son las coordenadas del otro extremo
B del segmento?
Solución:
Se traza un gráfico que contenga los 2 puntos, y la mitad del segmento AB.

124


Dado que M es el punto medio del segmento AB, el punto B deberá ubicarse sobre la
prolongación de la recta, desde M en dirección opuesta al punto A, exactamente a la
misma distancia.

Las expresiones que definen las coordenadas del punto medio son:
xa + xb
xm =
2
y + yb
ym = a
2
Reemplazando los valores conocidos, que son las coordenadas del punto A y las del
punto medio M se tiene:
(6) + x b
( 2) = Ecuación 1
2

125


(3) + y b
( −1) = Ecuación 2
2
Simplificando y despejando “xb ” de la primera ecuación se tiene:
6 + xb
2=
2
4 = 6 + xb
− 2 = xb
x b = −2
Simplificando y despejando “yb ” de la segunda ecuación se tiene:
3 + yb
−1 =
2
− 2 = 3+ yb
− 5 = yb

y b = −5
Las coordenadas del punto B son (-2, -5), y su representación gráfica es:

3.10 RECTAS PARALELAS:
Dos rectas son paralelas si forman el mismo ángulo con los ejes de coordenadas
cartesianas.

126


Debido a que la pendiente es la tangente del ángulo que forma el eje positivo de las “x”
con la recta, dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

Se toman rectas “L1 ” y “L2 ”, cuyas ecuaciones genéricas serían:
L1 : A1 .x + B1.y + C1 = 0
L2 : A 2 .x + B 2 .y + C 2 = 0
Las pendientes de las 2 rectas son:
A1
m1 = −
B1
A
m2 = − 2
B2
Por la condición de paralelismo las 2 pendientes deben ser iguales:
m1 = m2

127


A1 A
− =− 2
B1 B2
Cambiando de signo a los 2 miembros de la ecuación:
A1 A 2
=
B1 B 2
Agrupando las expresiones en “A” en el miembro izquierdo, y las expresiones en “B”
en el miembro derecho:
A1 B1
= Proporcionalidad en Rectas Paralelas
A2 B2
Matemáticamente se lee: A1 es a A2 como B1 es a B2 .
Dos rectas son pa ralelas si los coeficientes de las variables independiente (“x”) y
dependiente (“y”) guardan proporcionalidad.
NOTA: Para que se cumpla el paralelismo entre rectas NO SE REQUIERE QUE LOS
TÉRMINOS INDEPENDIENTES GUARDEN PROPORCIONALIDAD CON LOS
COEFICIENTES DE LAS VARIABLES.

Demostrar que las siguientes 3 rectas son paralelas:
L1 : 2 x + 3y − 5 = 0
L2 : 4x + 6 y + 3 = 0
L3 : − 2x − 3y − 14 = 0
Solución:
Se verifica la proporcionalidad de los coeficientes de las variables.
Se comparan las 2 primeras ecuaciones:
L1 : 2x + 3y − 5 = 0
L2 : 4 x + 6y + 3 = 0
Se cumple que:
2 3
= → L1 y L2 son paralelas
4 6
Se comparan la primera y tercera ecuaciones:
L1 : 2x + 3y − 5 = 0
L3 : − 2 x − 3 y − 14 = 0
Se cumple que:
2 3
= → L1 y L3 son paralelas
− 2 −3

128


Por consiguiente todas las rectas son paralelas.
La representación gráfica de las 3 ecuaciones es:

Encontrar la ecuación de la recta paralela a:
x − 2y + 7 = 0
Que pasa por el punto A(1, 3).
Solución:
Se calcula la pendiente en base a las expresiones de la Ecuación General de la Recta.
A
m1 = −
B
1
m1 = −
−2
1
m1 =
2
Por la condición de paralelismo, la nueva recta deberá tener la misma pendiente.
1
m2 =
2
La nueva recta debe pasar por el punto A(1, 3).
En este punto se podría resolver el problema con la metodología de la Ecuación Punto –
Pendiente pero, para proporcionar alternativas de solución, se aprovechará la Ecuación
General de la Recta que es:
A .x + B.y + C = 0

129


Dividiendo la ecuación para “
A”, para eliminar uno de los coeficientes numéricos, se
tiene:
A B C
⋅x + ⋅y+ = 0
A A A
B C
x+ ⋅y+ = 0
A A
El cociente de 2 constantes es otra constante, por lo que otra manera de representar la
recta es:
x + B 1 ⋅ y + C1 = 0 Ecuación Equivalente
Es importante mencionar que se desconocen los valores de “B1 ” y “C1 ”, por lo que se
requerirán 2 condiciones independientes para calcularlos.
La pendiente de la recta es el cociente del coeficiente de “x” para el coeficiente de “y”
cambiado de signo.
1 1
m=− =
B1 2
Despejando B1:
( −1)( 2) = B1
B 1 = −2
Reemplazando “B1 ” en la Ecuación Equivalente se tiene:
x − 2y + C1 = 0
Si la recta pasa por el punto A(1, 3), al reemplazar estas coordenadas (x=1 , y=3) debe
satisfacerse la ecuación anterior.
(1) − 2(3) + C1 = 0
Simplificando:
1 − 6 + C1 = 0
− 5 + C1 = 0
C1 = 5
Reemplazando en la ecuación:
x − 2y + C1 = 0
x − 2 y + 5 = 0 Ecuación de la Recta
La representación gráfica de las 2 rectas es:

130


Una propiedad tiene la siguiente geometría, en la que las coordenadas se miden en
metros:

En el lindero DC existe una calle secundaria que el Municipio ha decidido ampliarla
para convertirla en principal, por lo que en la dirección del terreno deberá ensancharse
en 10 m.
Calcular el área del terreno antes y después de la ampliación de la calle.
Solución:
Se calcula inicialmente el área del terreno, que por ser un polígono cerrado puede
determinarse mediante el siguiente procedimiento, que se discutió en el capítulo
anterior.
Ø Se ordenan los vértices con sus respectivas coordenadas, en sentido antihorario,
teniendo la precaución de terminar en el mismo punto en que se empezó.
A(20, 10)
B(60, 20)
C(70, 70)

131


D(10, 70)
A(20, 10)
Ø Con las coordenadas de los puntos detallados se construye una tabla ordenada de
2 columnas, la primera con la coordenada “x” de cada punto y la segunda
columna con la coordenada “y”.
x y
20 10
60 20
70 70
10 70
20 10
Ø Se ejecutan todos los productos diagonales consecutivos entre números de la
primera columna con números de la segunda columna y se los suma, con su
respectivo signo.

Suma 1 = ( 20 × 20) + (60 × 70) + ( 70 × 70) + (10 × 10)
Suma 1 = 400 + 4200 + 4900 + 100
Suma 1 = 9600
Ø Se ejecutan todos los productos diagonales consecutivos entre números de la
segunda columna con números de la primera columna y se los suma, con su
respectivo signo.

Suma 2 = (10 × 60) + (20 × 70) + (70 × 10) + (70 × 20)
Suma 2 = 600 + 1400 + 700 + 1400
Suma 2 = 4100
Ø Se calcula la diferencia entre las 2 sumas y el resultado es el doble del área del
polígono.
2 × Área = 9600 − 4100
2 × Área = 5500 m 2
Área Inicial = 2750 m 2 Solución 1
En segundo término se dibuja el recorte del terreno debido al ensanchamiento de la
calle.

132


La recta que representa el límite del recorte define un punto de intersección con el
lindero AD (punto E) y otra intersección con el lindero BC (punto F).

Para calcular las coordenadas de los puntos E y F se requiere calcular las ecuaciones de
las rectas DC, AD y BC, y también la recta EF.
Ø Ecuación de la recta DC:
La pendiente de la recta DC es:
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
70 − 70
m=
10 − 70
0
m=
− 60
m=0
Para determinar la ecuación de la recta se coloca en la misma un punto genérico
P(x,y) y se establece la pendiente entre ese punto y el punto C.

133


y − y1
m=
x − x1
y − 70
m=
x − 70
Las 2 expresiones que definen la pendiente deben ser iguales:
y − 70
=0
x − 70
Se pasa el denominador de la fracción al miembro derecho:
y − 70 = 0( x − 70)
Cualquier expresión multiplicada por Cero es Cero.
y − 70 = 0 Ecuación de la Recta DC
Es importante notar que, debido a que la recta es paralela al eje “x” (es
horizontal), no existe expresión en “x” dentro de la ecuación de la recta.
Otra manera, más explícita, de escribir la ecuación de la recta DC es:
y = 70 Ecuación Equivalente de la Recta DC
La expresión anterior significa que forman parte de la recta DC todos los
puntos cuya coordenada “y” sea igual a “70”.
Ø Ecuación de la Recta EF:
El gráfico descriptivo es el siguiente:

134


Por todo lo detallado en la determinación de la recta DC, es fácil escribir
directamente la ecuación de la recta EF, que limita el recorte del terreno, que es
paralela a y = 70 y que está separada de la recta anterior 10 unidades en
dirección del terreno:
y = 60 Ecuación de la Recta EF
Ø Ecuación de la Recta AD:
La pendiente de la recta AD es:
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
70 − 10
m=
10 − 20
60
m=
− 10
m = −6
P(x,y) y se establece la pendiente entre ese punto y el punto D.

135


y − y1
m=
x − x1
y − 70
m=
x − 10
y − 70
= −6
x − 10
y − 70 = −6( x − 10)
Se simplifica la expresión anterior:
y − 70 = −6x + 60
6 x + y − 70 − 60 = 0
6x + y − 130 = 0 Ecuación de la Recta AD
Ø Ecuación de la Recta BC:
La pendiente de la recta BC es:
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
70 − 20
m=
70 − 60
50
m=
10
m=5
P(x,y) y se establece la pendiente entre ese punto y el punto B.

136


y − y1
m=
x − x1
y − 20
m=
x − 60
Las 2 expresiones anteriores deben ser iguales:
y − 20
=5
x − 60
y − 20 = 5( x − 60)
Se simplifica la expresión:
y − 20 = 5x − 300
− 5x + y − 20 + 300 = 0
− 5x + y + 280 = 0 Ecuación de la Recta BC
El punto E pertenece tanto a la recta EF como a la AD, razón por la cual debe cumplir
simultáneamente las 2 expresiones:
y = 60
6 x + y − 130 = 0
Reemplazando la primera ecuación en la segunda se tiene:
6 x + ( 60) − 130 = 0
Simplificando:
6 x − 70 = 0
6 x = 70
70
x=
6
x = 11.67

137


Las coordenadas del punto E son:
E (11.67, 60)
El punto F, por su parte, pertenece tanto a la recta EF como a la recta BC, por lo que
debe cumplir con:
y = 60
− 5x + y + 280 = 0
Reemplazando la primera ecuación en la segunda se tiene:
− 5x + ( 60) + 280 = 0
Simplificando:
− 5x + 340 = 0
5x − 340 = 0
5x = 340
340
x=
5
x = 68
Las coordenadas del punto F son:
F( 68, 60)

El área del terreno recortado se calcula con el procedimiento antes descrito:
Ø Los puntos ordenados son:
A(20, 10)
B(60, 20)
F(68, 60)
E(11.67, 60)
A(20, 10)
Ø La tabla de referencia para el cálculo del área es:

138


x y
20 10
60 20
68 60
11.67 60
20 10
Ø La suma de los primeros productos diagonales es:
Suma 1 = ( 20 × 20) + (60 × 60) + ( 68 × 60) + (11.67 × 10)
Suma 1 = 400 + 3600 + 4080 + 116.7
Suma 1 = 8196.7
Ø La suma de los segundos productos diagonales es:
Suma 2 = (10 × 60) + ( 20 × 68) + (60 × 11.67) + (60 × 20)
Suma 2 = 600 + 1360 + 700.2 + 1200
Suma 2 = 3860.2
Ø La diferencia entre las 2 sumas es el doble del área del polígono.
2 × Área = 8196.7 − 3860.2
2 × Área = 4336.5 m 2
Área Re ducida = 2168.25 m 2 Solución 2

PROBLEMAS MISCELÁNEOS:

Parte 1 (Escenario Base):
Luego de la inversión inicial en infraestructura, estudios de mercado y promoción
previa, una empresa lanza un nuevo producto al mercado. Un análisis inicial establece
que durante las primeras 10 semanas de ventas, los accionistas deberán realizar una
inversión adicional total de US$ 15.000 (inversión acumulada durante las 10 primeras
semanas), y que la inversión semanal decrece de modo lineal.
Graficar el comportamiento de la inversión adicional, encontrar la ecuación que
describe ese comportamiento, y determinar ¿cuánto de esa inversión se utilizará en la
primera semana?
Parte 2 (Escenario Pesimista):
Un análisis poco optimista establece que la estimación de variación semanal de la
inversión adicional es correcta, pero la inversión durante la primera semana podría ser
un 50% superior a la estimada en el escenario base.
Graficar el comportamiento pesimista de la inversión adicional, y describir dicho
comportamiento mediante una ecuación. Determinar el tiempo durante el cual los
accionistas deberán continuar realizando inversiones antes de iniciar la recuperación de
ese dinero, y estimar la inversión adicional total (inversión acumulada) que se requiere
para comercializar ese nuevo producto.

139


Solución Parte 1 (Escenario Base):
Se dibuja la variación de la inversión inicial, fijando 10 semanas como tope, a partir de
cuyo valor la comercialización del producto debería empezar a producir utilidades.

Siguiendo un proceso similar al establecido en el Problema Resuelto 17 de este
capítulo, se puede identificar que la inversión adicional acumulada es numéricamente
igual al área del triángulo limitado por el eje de las “x”, el eje de las “y” y la recta que
describe la inversión adicional.

El área del triángulo puede calcularse como base por altura sobre dos.
base × altura
Area = = 15000
2
Reemplazando los valores fijados para la base y la altura:
(10) × b
Area = = 15000
2
Despejando “b”:

140


(15000) × ( 2)
b=
(10)
Simplificando:
b = US $ 3000 Inversión en la Primera Semana – Escenario Base

La manera más rápida de obtener la ecuación de la recta consiste en utilizar su forma
simétrica:
a = 10
b = 3000
x y
+ =1
a b
Reemplazando “a” y “b” en la última ecuación:
x y
+ = 1 Ecuación de la Recta de Inversión Adicional – Escenario Base
10 3000
Solución Parte 2 (Escenario Pesimista):
El escenario pesimista establece que la inversión adicional durante la primera semana,
en lugar de ser de US$ 3000, puede llegar a ser un 50% más alta que la fijada en el
escenario base.
b 2 = 1.50 × b1
b 2 = 1.50(3000)
b 2 = 4500 Inversión en la Primera Semana – Escenario Pesimista
Adicionalmente se fija que la variación semanal de la inversión inicial será similar a la
del Escenario Base, lo que denota que la pendiente de la segunda recta es igual a la
pendiente de la primera recta (ambas rectas son paralelas).
Para calcular la pendiente de la primera recta, se definen 2 puntos (A y B)
pertenecientes a dicha recta:

141


Con las coordenadas de los puntos “A” y “B” se puede calcular la pendiente:
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
(3000) − (0)
m=
(0) − (10)
Simplificando:
3000
m=−
10
m1 = −300
La recta que modela el Escenario Pesimista tiene la misma pendiente que la del
Escenario Base, por lo que:
m 2 = −300 Pendiente – Escenario Pesimista
Se puede dibujar la recta del Escenario Pesimista:

142


La ecuación de la recta del Escenario Pesimista (pendiente – ordenada al origen) es:
y = m.x + b
y = ( −300).x + ( 4500)
y = −300x + 4500 Ecuación de la Recta de Inversión Adicional – Escenario
Pesimista
De acuerdo al gráfico, los accionistas deberán permanecer 15 semanas manteniendo
inversiones adicionales hasta iniciar el período de recuperación de capital por utilidades.
Tiempo de Invers ión Adicional = 15 semanas
El monto acumulado de Inversión adicional es el área bajo la nueva recta, que conforma
un triángulo con los ejes coordenados positivos.
base × altura
Inversión Acumulada = Area =
2
(15) × ( 4500)
Inversión Acumulada =
2
Inversión Acumulada = US$ 33750

Parte 1 (Impuesto a la Renta del 2003):
Las personas naturales deben pagar el impuesto a la renta del año 2003 de acuerdo a las
siguientes reglas:
Ø Las personas cuyos ingresos gravables no superen los US$ 6000 al año no
pagarán impuesto.
Ø Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 6000 y US$ 12000 pagarán el
5% sobre ese exceso de US$ 6000.
10% sobre ese exceso de US$ 12000, más los impuestos de las escalas
anteriores.
anteriores.
anteriores.
Ø Los ingresos gravables que superen los US$ 48000 pagarán el 25% sobre ese
exceso, más los impuestos de las escalas anteriores.
Determinar las expresiones que permiten calcular el monto del impuesto del 2003 en
función de los ingresos gravables de las personas, para cada rango de ingresos, y
graficar tales ecuaciones.

143


Parte 2 (Impuesto a la Renta del 2002):
El cálculo del impuesto a la renta del año 2002 se ajusta a las siguientes reglas, bastante
similares a las anteriormente mencionadas, pero con rangos de validez diferentes:
Ø Las personas cuyos ingresos gravables no superen los US$ 5000 al año no
pagarán impuesto.
5% sobre ese exceso de US$ 5000.
anteriores.
anteriores.
anteriores.
Ø Los ingresos gravables que superen los US$ 40000 pagarán el 25% sobre ese
exceso, más los impuestos de las escalas anteriores.
Determinar las expresiones que permiten calcular el monto del impuesto del 2002 en
función de los ingresos gravables de las personas, para cada rango de ingresos, y
graficar tales ecuaciones.
Analizar las condiciones de paralelismo entre los segmentos de recta que describen el
cálculo del impuesto del 2002 y del 2003.
Solución Parte 1 (año 2003):
Se prepara una tabla con el cálculo del impuesto en los límites inferior y superior de
cada intervalo de ingresos gravables:
Ingreso Escala Cálculo Impuesto
Gravable Causado
(US$) (US$)
0 0% 0x0 0
6000 0% 6000x0 0
12000 5% (6000x0.05)+0 300
24000 10% (12000x0.10)+300 1500
36000 15% (12000x0.15)+1500 3300
48000 20% (12000x0.20)+3300 5700
>48000 25% [(Ingreso-48000)x0.25]+5700 …..
Se trasladan los datos de la tabla a un gráfico:

144


La pendiente de cada una de las rectas está dada por la escala de impuesto que le
corresponde al intervalo de ingresos gravables (5% → m=0.05; 10% → m=0.10; 15%
→ m=0.15; …).
Las coordenadas de los puntos de cambio de rectas también se determinan a partir de la
tabla anterior.

Las ecuaciones de cada uno de los segmentos de recta pueden ser calculadas mediante el
modelo Punto – Pendiente.

145


Intervalo de Ecuación del Impuesto a la Renta Ecuación Genérica
Ingresos (US$)
Gravables
(US$)
0-6000 Impuesto = 0 y=0
6000-12000 Impuesto = 0.05 (Ingreso – 6000) y = 0.05(x–6000)
12000-24000 Impuesto = 0.10 (Ingreso – 12000) + 300 y = 0.10(x–12000)+300
24000-36000 Impuesto = 0.15 (Ingreso – 24000) + 1500 y = 0.15(x-24000)+1500
>48000 Impuesto = 0.25 (Ingreso – 96000) + 14700 y = 0.25(x-48000)+5700
Solución Parte 2 (año 2002):
Se prepara otra tabla para el cálculo de los impuestos del 2002:
Ingreso Escala Cálculo Impuesto
Gravable Causado
(US$) (US$)
0 0% 0x0 0
5000 0% 5000x0 0
10000 5% (5000x0.05)+0 250
20000 10% (10000x0.10)+250 1250
30000 15% (10000x0.15)+1250 2750
40000 20% (10000x0.20)+2750 4750
>40000 25% [(Ingreso-40000)x0.25]+4750 …..
Se trasladan los datos de la tabla a un gráfico de coordenadas:

Las ecuaciones de cada uno de los segmentos de recta pueden ser calculadas mediante el
modelo Punto – Pendiente.

146


Intervalo de Ecuación del Impuesto a la Renta Ecuación Genérica
Ingresos (US$)
Gravables
(US$)
0-5000 Impuesto = 0 y=0
5000-10000 Impuesto = 0.05 (Ingreso – 5000) y = 0.05(x–5000)
10000-20000 Impuesto = 0.10 (Ingreso – 10000) + 250 y = 0.10(x–10000)+250
>40000 Impuesto = 0.25 (Ingreso – 40000) + 4750 y = 0.25(x-40000)+4750
Al comparar las pendientes de las rectas del impuesto a la renta del 2003 con el 2002, se
encuentra que presentan segmentos con impuesto del 0% (m=0.00), segmentos con
impuesto del 5% (m=0.05), segmentos con impuesto del 10% (m=0.10), etc., que
definen rectas paralelas entre los 2 modelos de pago.

Parte 1:
Un estudio de mercado revela que en la ciudad no existen empresas que vendan relojes
parlantes de múltiples servicios (hora, temperatura, humedad, agenda, etc.) para no
videntes y personas de baja visión. El mismo estudio indica que si se vendieran relojes
de este tipo a US$ 40 cada uno, se colocarían alrededor de 200 unidades por año; si se
vendieran a US$ 39 los compradores anuales podrían ser 400; a US$ 38 los potenciales
clientes interesados llegarían a 600, a US$ 37 se venderían unos 800 relojes, etc.
Representar gráficamente este comportamiento de mercado, y encontrar la función que
lo describe.
Parte 2:
Una empresa ecuatoriana está en capacidad de fabricar los relojes parlantes de esas
características técnicas, a un costo de US$ 20 por unidad, siempre que se supere una

147


producción de 400 unidades anuales. Encontrar gráficamente cuál debería ser la
producción anual de la empresa para alcanzar la mayor utilidad total.
Solución Parte 1:
Se prepara una tabla que describa la variación de los potenciales clientes con el precio
de venta de los relojes:
Precio Unitario Número
de Venta Potencial de
(US$) Relojes Vendidos
40 200
39 400
38 600
37 800
36 1000
35 1200
30 2200
25 3200
20 4200
Se trasladan los datos de la tabla a un gráfico:

Para calcular la ecuación de la recta descrita en el gráfico se determina en primer lugar
la pendiente tomando como referencia los puntos (200, 40) y (400, 39).
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
39 − 40 −1
m= =
400 − 200 200
1
m=−
200
Se calcula nuevamente la pendiente entre el punto (200, 40) y un punto genérico P(x, y).
y − y1
m=
x − x1

148


y − 40
m=
x − 200
y − 40 1
=−
x − 200 200
200( y − 40) = −( x − 200)
Simplificando:
200 y − 8000 = −x + 200
Despejando “y”:
200 y = −x + 200 + 8000
200 y = − x + 8200
− x + 8200
y=
200
1 8200
y=− x+
200 200
1
y=− x + 41 Solución
200

Solución Parte 2:
Se representa en el diagrama anterior el valor constante de producción de US$ 20, a
partir de una producción de 400 relojes, y se identifican los costos unitarios de
producción y las utilidades unitarias:

149

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