Adaptación del modelo black scholes en la simulacion de un portafolio de acci...
Az Tesis
1. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERIA
´ ´
INVERSION EN BIENES RAICES:
´
PRECIOS E INFLACION EN EL
CONTEXTO DE UN MODELO DE
EQUILIBRIO GENERAL AFFINE
´ ´
ARTURO ANDRES ZACHARIAS SANTAMARIA
Tesis presentada a la Direcci´ n de Investigaci´ n y Postgrado
o o
como parte de los requisitos para optar al grado de
Magister en Ciencias de la Ingenier´a
ı
Profesor Supervisor:
JAIME CASASSUS V.
Santiago de Chile, 22 Marzo 2010
c MMVII, A RTURO A NDR E S Z ACHARIAS S ANTAMAR´A
´ I
2. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERIA
´ ´
INVERSION EN BIENES RAICES:
´
PRECIOS E INFLACION EN EL
CONTEXTO DE UN MODELO DE
EQUILIBRIO GENERAL AFFINE
´ ´
ARTURO ANDRES ZACHARIAS SANTAMARIA
Miembros del Comit´ :
e
JAIME CASASSUS V.
LUIS CONTESSE B.
RODRIGO CERDA
DAVID FULLER P.
Tesis presentada a la Direcci´ n de Investigaci´ n y Postgrado
o o
como parte de los requisitos para optar al grado de
Magister en Ciencias de la Ingenier´a
ı
Santiago de Chile, 22 Marzo 2010
c MMVII, A RTURO A NDR E S Z ACHARIAS S ANTAMAR´A
´ I
10. RESUMEN
El sector inmobiliario posee una gran importancia pues junto con ser una de las clases
de activos de mayor valor, su comportamiento influye en el resto de la econom´a. Con esto
ı
en mente se desarrolla un modelo de equilibrio general continuo que considera el stock de
bienes ra´ces residenciales de manera expl´cita. Este stock afecta directamente la funci´ n de
ı ı o
utilidad del agente representativo a la vez que el valor de equilibrio de los arriendos afecta
el nivel de precios nominales de la econom´a. Se incorporan shocks monetarios que afectan
ı
la econom´a real y un agente monetario que regula la masa monetaria circulante siguiendo
ı
ciertas reglas. Una vez resuelto el modelo se utiliza para encontrar que desviaciones en el
ratio arriendo-precio sirven para predecir cambios en la trayectoria de precios y arriendos,
junto con hallar que se puede extraer informaci´ n relevante para el control de la inflaci´ n
o o
de la observaci´ n de la trayectoria de los precios de casas. De este modo se establece que la
o
´
elaboraci´ n de un modelo de equilibrio general affine es una herramienta util para encontrar
o
fundamentos econ´ micos a comportamientos que se observan en la realidad.
o
Palabras Claves: Equilibrio general en tiempo continuo, casas, bienes ra´ces, in-
ı
flaci´ n, inversi´ n, affine, raz´ n arriendo precio, pol´tica monetaria.
o o o ı
x
11. ABSTRACT
The housing sector has great importance both for its huge value as an asset class and
its influence on the behavior of the rest of the economy. With this in mind, we develop
a continuos time general equilibrium model that considers the housing stock explicitly.
This stock directly affects the utility function of the representative agent and at the same
time the equilibrium renting value affects the nominal price level in the economy. We
incorporate monetary shocks that have an impact on the real economy and a monetary
agent that regulates the amount of money that circulates in the economy following certain
rules. Once we have solved the model we use it to find that deviations in the price rent ratio
are useful to predict future changes on the trajectory of both prices and rents, and that we
can extract relevant information for conducting monetary policy from monitoring the price
of housing. We can then establish that using an affine general equilibrium model is a useful
tool for exploring the economic fundamentals of behaviors we observe in real life.
Keywords: Continuous time general equilibrium, housing, real state, inflation, in-
vestment, affine, price rent ratio, monetary policy.
xi
12. ´
1. INTRODUCCION
Esta tesis estudia la relaci´ n de equilibrio que existe entre la inversi´ n en el sector
o o
inmobiliario, sus precios y el impacto que estos tienen en el nivel de precios de la econom´a.
ı
1.1. Motivaci´ n
o
1.1.1. Importancia de la Inversi´ n Residencial
o
El estudio del ciclo econ´ mico constituye uno de los temas recurrentes en la literatura
o
econ´ mica. Dentro de las variables que determinan el ciclo econ´ mico, el sector inmo-
o o
biliario pose´ un rol preponderante. La Figura 1.1 muestra el cambio porcentual en la
e
inversi´ n residencial y en el PIB1 con respecto al a˜ o anterior. El alto componente c´clico
o n ı
llama la atenci´ n y apunta a un grado importante de participaci´ n en el ciclo econ´ mico2 .
o o o
40
PIB
Inversión Residencial
30
Cambio año anterior (%)
20
10
0
−10
−20
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Año
F IGURA 1.1. Porcentaje de cambio con respecto al a˜ o anterior de inversi´ n resi-
n o
dencial y PIB real
Muchos autores han estudiado esta relaci´ n llegando a afirmar que la inversi´ n resi-
o o
dencial es el ciclo econ´ mico (Leamer, 2007). Con esto cualquier intento por establecer
o
1
Producto Interno Bruto
2
Datos proporcionados por el Bureau of Economic Analysis
1
13. pol´ticas que mitiguen los efectos negativos del ciclo requiere de una profunda compresi´ n
ı o
de los determinantes de la inversi´ n residencial.
o
1.1.2. Precio de Casas y Arriendos
Gran parte de la riqueza de cualquier familia se encuentra invertida en la casa en la
que habita. Un porcentaje importante de los ingresos familiares se destina al pago de una
hipoteca o a cubrir los costo de un arriendo. Estos dos aspectos hacen que tanto el precio
de las casas como sus arriendos sean fundamentales para determinar el consumo, nivel de
precios, y tasas de inter´ s en la econom´a.
e ı
Como se puede ver en la Figura 1.2 3 , las trayectorias de precios de casas y arriendos
var´an en el tiempo. Es importante poder entender cuales son los elementos que afectan
ı
estos movimientos. El reciente aumento explosivo en el valor de las casas acompa˜ ado de
n
su posterior ca´da (con las consecuencias conocidas por todos), lleva a que esta interrogante
ı
est´ m´ s vigente que nunca. Dada la enorme p´ rdida econ´ mica sufrida, en parte por no
e a e o
entender bien como se mueve el precio de las casas, cualquier intento de comprender mejor
las determinantes que podr´an ayudar explicar este fen´ meno pareciera razonable.
ı o
1.1.3. Bienes Ra´ces y Instrumento Derivados
ı
Resulta interesante constatar que el numero de contratos de instrumentos derivados
cuyo valor est´ basado en precios accionarios, tasas de inter´ s, precios de commodities y
a e
´
tipo de cambio, han experimentado un crecimiento explosivo en las ultimas d´ cadas. Sin
e
embargo, contratos basados en precios de bienes ra´ces, no se han desarrollado en igual
ı
medida. Esto ha evitado que tanto instituciones de inversi´ n, como el p´ blico general,
o u
puedan contar con los beneficios que traen este tipo de instrumentos (realizar coberturas,
facilitar la transmisi´ n de informaci´ n de precio al mercado). Esto llama la atenci´ n si
o o o
constatamos que una parte importante de la riqueza familiar est´ invertida en el bien ra´z
a ı
en el que habitan (m´ s a´ n en pa´ses donde no es com´ n que el p´ blico general invierta
a u ı u u
3
Indices ajustados a un valor de 100 para el a˜ o 1983. Las series de precios y arriendos se calculan seg´ n
n u
lo explicado en la Secci´ n 4.2. La serie de ”Arriendo Propietario” corresponde a la serie del equivalente de
o
arriendo del propietario de residencia primaria explicada en la Secci´ n 3.4.
o
2
14. 250
Casas (Shiller)
Casas (CMHPI)
Arriendos (CPI)
Arriendo Propietario (CPI)
200
Índice
150
100
50
1890 1910 1930 1950 1970 1990 2010
Año
F IGURA 1.2. Indices de largo plazo para precios de casas y arriendos reales
directamente en mercados accionarios o de deuda), lo que tender´a a indicar una importante
ı
demanda potencial por instrumentos derivados de este tipo (Case, Shiller, & Weiss, 1993).
La mayor´a de las innovaciones que ha presentado el mercado inmobiliario se relacio-
ı
nan con m´ todos de financiamiento para la adquisici´ n de un bien ra´z (letras hipotecarias o
e o ı
mutuos hipotecarios), pero no para el monitoreo, cobertura o especulaci´ n de su precio fu-
o
turo. El pobre desarrollo de instrumentos ligados al mercado inmobiliario se debe en parte
a la heterogeneidad de las caracter´sticas propias de cada bien ra´z (ya sea por su ubicaci´ n
ı ı o
geogr´ fica o caracter´sticas de la construcci´ n), lo que hace dif´cil distinguir entre cambios
a ı o ı
de precios que se deban a una nueva valoraci´ n de caracter´sticas propias de ese inmueble
o ı
en particular o a un cambio en la valoraci´ n de caracter´sticas que comparten todos los bie-
o ı
nes ra´ces de una zona. A´ n as´ es claro que una parte importante del precio de cualquier
ı u ı
inmueble se ve afectado por la valoraci´ n del ”mercado inmobiliario” en su conjunto. Con
o
esto se deber´a poder construir un ´ndice que refleje dichos cambios (existen factores en
ı ı
com´ n que mueven parte del precio de todos los bienes ra´ces de una cierta area). La
u ı
ausencia de ´ndices transparentes que sirvan de buen indicador para el precio de las casa de
ı
una zona en particular hace dif´cil la implementaci´ n de instrumentos financieros deriva-
ı o
dos (a diferencia de los mercados de monedas o commodities donde es relativamente f´ cil
a
3
15. ponerse de acuerdo sobre las caracter´sticas que describen al subyacente). A´ n as´ se puede
ı u ı
mencionar el gran esfuerzo realizado para elaborar ´ndices tales como el S&P/Case-Shiller
ı
Home Price Indices que pretenden reflejar dichos movimientos y que han sido utilizados
para la elaboraci´ n de los primeros instrumentos derivados para esta clase de activos.
o
Para el desarrollo del mercado de instrumentos derivados se requiere de un conocimiento
b´ sico por parte de las partes involucradas de los factores que mueven los precios del sub-
a
yacente. Es ah´ donde parece correcto explorar modelos que nos entreguen luces de lo que
ı
mueve tanto la inversi´ n como los precios del mercado inmobiliario.
o
1.2. Objetivos
Entender lo que motiva la inversi´ n en bienes ra´ces, la din´ mica de sus precios y su
o ı a
impacto en el nivel de precios nominales. Al mismo tiempo se pretende estudiar el efecto
de distintas metas de pol´tica monetaria. El modelo debe permitir encontrar justificaciones
ı
econ´ micas para todo esto. Se utiliza este marco conceptual para explorar la din´ mica de
o a
la raz´ n precio arriendo y la utilidad de considerar el precio de las casas para la toma de
o
decisiones de pol´tica monetaria.
ı
1.3. Hip´ tesis
o
La hip´ tesis de este trabajo es que un modelo de equilibrio general de tipo affine en
o
tiempo continuo permite estudiar la inversi´ n en bienes ra´ces, explicar la din´ mica de
o ı a
sus precios, y su efecto en la inflaci´ n. A la vez que se puede encontrar una justificaci´ n
o o
econ´ mica para todos estos fen´ menos. Este enfoque permite encontrar una conexi´ n entre
o o o
variables reales y el nivel de precios.
1.4. Metodolog´a
ı
Se utilizar´ un modelo de equilibrio general en tiempo continuo el cual permita captar
a
las din´ micas propias del capital, la inversi´ n en bienes ra´ces y el consumo. Se utilizar´
a o ı a
una funci´ n de utilidad para el agente representativo que valore de manera expl´cita, tanto el
o ı
4
16. consumo, como los beneficios provenientes de los bienes ra´ces. Para conectar las variables
ı
reales con las nominales se utilizar´ una canasta de consumo que incorpora el valor de los
a
arriendos (estableciendo de este modo una relaci´ n entre el mercado inmobiliario y el nivel
o
de precios). Una vez resuelto dicho modelo se podr´ ver el comportamiento esperado de
a
las variables de inter´ s, lo que se comparar´ con la evidencia emp´rica.
e a ı
1.5. Marco Te´ rico
o
Durante el desarrollo del modelo se tocan varios temas que han sido estudiados con
anterioridad en la literatura financiera. A continuaci´ n se presenta una breve explicaci´ n
o o
de los temas m´ s relevantes incluyendo referencias a parte de la literatura existente.
a
1.5.1. Finanzas, Macroeconom´a y Modelos Equilibrio General
ı
Existe una larga tradici´ n en literatura econ´ mica que ha tratado de emplear mode-
o o
los de equilibrio general en tiempo continuo para estudiar el comportamiento de variables
macroecon´ micas tales como el consumo y la inversi´ n. Estos modelos se construyen
o o
a partir de un agente representativo que busca maximizar su utilidad en cada momento
decidiendo cuanto consumir o invertir. La idea detr´ s de esta abstracci´ n es tratar de en-
a o
contrar las bases econ´ micas que motivan el comportamiento del mercado. Primero se fija
o
la funci´ n de utilidad del agente representativo y a partir de esto se encuentra la trayectoria
o
de consumo que maximiza su utilidad esperada. De este modo el comportamiento de las
variables macroecon´ micas de obtiene de manera end´ gena a partir de la trayectoria de
o o
´
consumo optima.
Al establecer el comportamiento de algunas variables macroecon´ micas como el con-
o
sumo y la inversi´ n, estos modelos fijan condiciones para la din´ mica que siguen vari-
o a
ables financieras claves como lo son tasas de inter´ s o los precios de los activos. Es decir,
e
la mayor´a de los modelos que buscan explicar el movimiento consumo, la inversion o
ı
tasas marginales de sustituci´ n (variables t´picas que buscan explicar los modelos macroe-
o ı
con´ micos) est´ impl´citamente dando informaci´ n del comportamiento de los mercados
o a ı o
5
17. financieros (los precio y tasas de inter´ s presentes en la econom´a corresponden a los nive-
e ı
les a los cuales se equilibran las variables macroecon´ micas antes mencionadas, es decir,
o
donde se equilibran las tasas marginales de sustituci´ n y transformaci´ n con los niveles de
o o
precios). Por esto existe una interconexi´ n estrecha entre los mercados financieros y los
o
agregados macroecon´ micos que se observan en la econom´a.
o ı
Lamentablemente los modelos desarrollados en la actualidad no han logrado concil-
iar ambas caras del problema. La gran mayor´a de los modelos macroecon´ micos tienen
ı o
impl´cito niveles de varianza en los precios de los activos financieros que son varios or-
ı
denes de magnitud m´ s bajo que los que se observan en la econom´a real. Este tipo de
a ı
problemas se volvieron evidente a partir de los trabajos de Mehra and Prescott (1985) es-
tudiando los premios por riesgo que presenta el mercado accionario en comparaci´ n con
o
bonos. Dichos problemas ponen en tela de juicio la validez de los modelos empleados tanto
en macroeconom´a como en finanzas, mostrando de manera expl´cita las inconsistencias al
ı ı
considerar los vasos comunicantes entre ambos mundos.
Por lo tanto hay un problema que debe ser solucionado. Como se explicita en Cochrane
(2005), si aceptamos que los precios de las acciones se mueven por modas o sentimientos
desconectados de la econom´a real, se pierde cualquier esperanza de entender el mecanismo
ı
por el que se ajustan las tasas de sustituci´ n y transformaci´ n. Bajo ese marco conceptual
o o
utilizar cualquier modelo que asuma precios de equilibrio que vac´an el mercado pierde
ı
sentido (por el hecho de que los precios de los activos se deber´an ajustan de manera de
ı
equilibrar consumo e inversi´ n). De este modo se socavan las bases te´ ricas de cualquier
o o
modelo macroecon´ mico que est´ construidos bajo esa l´ gica, y por lo tanto cualquier
o e o
recomendaci´ n de pol´tica econ´ mica que de ellos se desprenda. Por todo esto los precios
o ı o
deben estar conectados con la econom´a real, y es mediante los modelos de equilibrio que
ı
esto se puede lograr.
Por otro lado la literatura financiera ha centrado su atenci´ n en la construcci´ n de
o o
modelos basados en portafolio y en la b´ squeda de factores de riesgo que pudieran explicar
u
las variaciones de retorno entre distintos activos a la vez de explicar la trayectoria de los
6
18. retornos a trav´ s del tiempo. La mayor´a de las metodolog´as de valorizaci´ n por arbitraje
e ı ı o
requieren de conocer los premios por riesgo de alg´ n activo y a partir de eso estiman los
u
premios que otros activos deber´an tener, pero no dan informaci´ n sobre que es lo que
ı o
mueve a los premios por riesgo. Si queremos entender donde se originan, el camino m´ s
a
f´ rtil parece ser el de explorar modelos que se conecten con las bases macroecon´ micas
e o
que mueven al consumo y la inversi´ n.
o
Este tipo de conexi´ n se puede encontrar en Cox, Ingersoll, and Ross (1985a) donde
o
se establece un modelo de equilibrio general apropiado, para luego en Cox, Ingersoll, and
Ross (1985b) utilizarlo para encontrar un modelo del comportamiento de la estructura de
tasas de inter´ s que se observa en la econom´a. El hecho de derivar la trayectoria de las
e ı
variables macroecon´ micas y de los precios del comportamiento maximizador de un agente
o
representativo hace que este tipo de modelos no puedan ser cuestionados a partir de los
argumentos esgrimidos en la cr´tica de Lucas4 , esto por el hecho que las trayectorias de las
ı
variables quedan definidas de manera end´ gena (Lucas et al., 1976).
o
1.5.2. Consumo y Mercado Inmobiliario
El nivel de consumo general de la econom´a ha sido una de las variables macroe-
ı
con´ micas que ha generado mayor atenci´ n por parte de la literatura econ´ mica. El modelo
o o o
presentado en esta tesis busca estudiar la relaci´ n entre el consumo y la inversi´ n en bienes
o o
ra´ces.
ı
Estudios emp´ricos han encontrado que existe una relaci´ n entre el consumo, la in-
ı o
versi´ n en bienes ra´ces a trav´ s del ciclo de vida de una persona. En Campbell and Cocco
o ı e
(2007) se encuentra en los datos que familias due˜ as de casa de mayor edad presentan
n
una mayor elasticidad entre consumo y precio de sus casa que arrendatarios j´ venes. En
o
Kraft and Munk (2008) se construye un modelo de ciclo de vida que permite estudiar el
comportamiento del consumo y la inversion en bienes ra´ces poniendo especial atenci´ n en
ı o
4
La cr´tica de Lucas apunta a que sugerir cambios en pol´ticas econ´ micas por observaciones cuya validez
ı ı o
se acota a las reglas vigentes es un error pues el cambio de pol´tica podr´a cambiar el comportamiento de los
ı ı
agentes y alterar la validez de las observaciones.
7
19. cambios impredecibles en el mercado inmobiliario y viendo como estrategias de coberturas
financieras que podr´an mejorar el bienestar de la poblaci´ n.
ı o
Otros estudios se concentran en analizar el efecto que tiene el precio de las casas por
la v´a de ser colateral para cr´ ditos y el efecto que movimientos en su valor tienen en
ı e
el consumo (Aoki, Proudman, & Vlieghe, 2004). Tambi´ n se pueden encontrar modelos
e
donde ambas cuestiones se mezclan, tratando a las residencias como activos y como bienes
de consumo (Piazzesi, Schneider, & Tuzel, 2007).
1.5.3. Modelos de Bienes Durables
El modelo trata la inversion en bienes ra´ces de manera similar a la que se emplea
ı
para el estudio de consumo en bienes durables como el empleado en (Yogo, 2006) y bienes
durables en modelos de equilibrio continuos (Mamaysky, 2001). La idea de un bien durable
es que este no se consume totalmente en el momento en el que se adquiere sino que otorga
beneficios por un periodo prolongado. En nuestro modelo tomamos prestada algunas ideas
de esta literatura. Las casas otorgan un beneficio proporcional al stock que se mantiene,
similar a lo que ocurre con el stock de bienes durables en estos modelos.
1.5.4. Dinero en Modelos de Equilibrio General
Si queremos incorporar el dinero a un modelo de equilibrio general debemos tratar de
explicar la raz´ n por la que la gente mantiene un stock de dinero. Existen varias alternati-
o
vas que han sido exploradas en el pasado. En primer lugar podemos incorporar el dinero
directamente en la funci´ n de utilidad. Bajo este framework se extrae utilidad por el hecho
o
de mantener dinero de la misma manera que se extrae utilidad por el consumo de bienes
(Sidrauski, 1967). Desde el punto de vista de la modelaci´ n esta alternativa resulta c´ moda
o o
porque inmediatamente se explica la raz´ n por la que el agente representativo mantiene
o
dinero, pero desde el punto de vista econ´ mico parece d´ bil (la gente deber´a mantienen
o e ı
´
dinero porque con el quiere adquirir bienes para consumir, y no por el mero hecho de tener
dinero). Una segunda alternativa es utilizar modelos del tipo dinero por adelantado (cash
in advance). En este tipo de modelos existe la restricci´ n de que cierto tipo de bienes s´ lo
o o
8
20. pueden ser adquiridos con dinero. De este modo el agente representativo mantiene dinero
porque le permiten consumir ese tipo de bienes (de los cuales extrae utilidad). Ejemplos
de este tipo de modelos se encuentran en Lucas and Stokey (1987) y Balduzzi (2007). Una
tercera manera de incorporar el dinero es mediante la inclusi´ n de costos de transacci´ n
o o
(shopping time). En este tipo de modelos el agente representativo gasta recursos al mo-
mento de consumir, pero la cantidad de dinero que mantiene le permite reducir la cantidad
de recursos que gasta. Por otro lado el hecho de mantener dinero implica una p´ rdida por
e
no pagar intereses.
El modelo desarrollado se enmarca dentro de la familia de modelos tipo dinero por
adelantado, pero haciendo algunos ajustes podr´a adaptar para poner el dinero directa-
ı
mente en la funci´ n de utilidad. En nuestro modelo existen dos tipos de bienes de los
o
cuales se extrae utilidad. Uno de ellos afecta el nivel de precios nominales de la econom´a
ı
pues se necesita de dinero para ser adquirido, mientras que el otro no. Dado que estamos
dentro de un modelo continuo se deber´a poder llegar a un resultado equivalente poniendo
ı
directamente el dinero en la funci´ n de utilidad.
o
1.5.5. Regla de Taylor, Pol´tica Monetaria y Control de la Inflaci´ n
ı o
La oferta monetaria se fija de manera end´ gena siguiendo una pol´tica monetaria del
o ı
tipo regla de Taylor (reglas que apuntan a fijar metas de inflaci´ n o de producto (Taylor,
o
1993)). Generalmente las reglas se utilizan para guiar la tasa de inter´ s de corto plazo a la
e
cual deber´a apuntar el banco central. En este caso utilizamos las reglas para determinar
ı
el crecimiento que debe seguir la masa monetaria circulante en la econom´a (Buraschi &
ı
Jiltsov, 2005). Adem´ s en nuestro modelo incorporamos una tercera meta que tiene que
a
ver con el crecimiento de los precios de casas.
Parte de la tesis aborda temas relacionados con el control de la inflaci´ n y pol´ticas
o ı
´
monetarias optimas. Dada la importancia de las estimaciones futuras de inflaci´ n en el
o
comportamiento actual de las variables macroecon´ micas resulta vital que el Banco Cen-
o
tral conduzca la pol´tica monetaria basado en reglas conocidas por todos los agentes del
ı
mercado, de modo que el comportamiento futuro del ente monetario pueda incorporarse de
9
21. manera correcta a las expectativas del p´ blico (Woodford, 2004). Nuestro modelo es con-
u
sistente con la tendencia mundial de conducir la pol´tica de manera transparente al p´ blico
ı u
general. Por otro lado nuestro modelo explora el efecto de incluir los precios de casas en
la conducci´ n de pol´tica monetaria. Este tema es m´ s controversial y es posible encon-
o ı a
trar literatura que entrega argumentos en ambos sentidos. Los trabajos de Bernanke and
Gertler (2001) y Mendicino and Pescatori (2005) establecen que no se obtienen beneficios
de incorporar metas por precios de activos, dado que un control lo suficientemente estricto
de la inflaci´ n deber´a ser suficiente para asegurar estabilidad de precios 5 . Por otro lado
o ı
los trabajos de Cecchetti, Genberg, Wadhwani, and Street (2002) y Tomura (2009) encuen-
tran que el reconocer que est´ pasando con el precio de acciones o casas puede entregar
a
informaci´ n valiosa para una mejor pol´tica monetaria. Nuestro modelo permite control de
o ı
o e e ı ´
precios s´ lo con metas de inflaci´ n pero tambi´ n entrega luces de por qu´ podr´an ser util
o
seguir precios particulares, en este caso, casas (de modo de poder relajar la respuesta frente
a inflaci´ n).
o
1.5.6. Efectos Reales de los Shocks Monetarios
Un aspecto central de nuestro modelo es la incorporaci´ n de shocks monetarios que
o
afectan la inversi´ n residencial real. La evidencia emp´rica que sustenta esto se encuentra
o ı
documentada en trabajos como los de Gupta, Jurgilas, Kabundi, and Miller (2009). La
evidencia emp´rica demuestra que el sector monetario afecta el comportamiento de la in-
ı
versi´ n en bienes ra´ces. En ellos se encuentra que en periodos monetarios contractivos
o ı
se disminuye significativamente la inversi´ n. Las razones por las que esto sucede est´ n
o a
relacionadas con la cadena de cr´ dito (fundamental para el financiamiento de los nuevos
e
hogares), y las tasas de inter´ s (Mishkin, 2007).
e
5
”Bernanke and Gertler (2001), entre otros, concluyen que Bancos Centrales con metas de inflaci´ n noo
deber´an responder a cambios en precios de activos. De hecho, bajo el supuesto de una respuesta fuerte
ı
frente a la inflaci´ n, la ganancia de responder a cambios en precio de activos es despreciable” (Mendicino
o
& Pescatori, 2005).
10
22. ´
2. MODELO - ECONOMIA REAL
En este cap´tulo se resuelven los aspectos reales del modelo, dejando para el pr´ ximo
ı o
cap´tulo la modelaci´ n y el an´ lisis de las variables monetarias. Se resuelven la mayor parte
ı o a
del modelo de manera gen´ rica (sin imponer una determinada estructura a varias funciones
e
claves), para luego concentrarse en un caso particular.
2.1. Funci´ n de Utilidad
o
Partimos definiendo los elementos que componen el modelo. Los bienes de consumo
se dividen entre bienes que para ser adquiridos requieren de dinero, que denominaremos
bienes en efectivos Z, y bienes que se adquieren directamente de la transformaci´ n de
o
capital que denominaremos bienes a cr´ dito C (esto porque no requieren de dinero en
e
efectivo para ser consumidos). Ambas cantidades corresponden a flujos que se obtiene
del consumo de cada tipo de bien (Z y C). Es importante hacer la distinci´ n pues los
o
bienes en efectivo ser´ n importantes dentro del comportamiento del sector monetario de
a
al econom´a, mientras que los bienes a cr´ dito no. Por otro lado establecemos que existe
ı e
un stock de bienes ra´ces en la econom´a que llamaremos H. Al agente representativo le
ı ı
reporta utilidad tanto el consumo de ambos bienes como mantener stock de bienes ra´ces.
ı
Se establece que el agente representativo presenta una funci´ n de utilidad separable
o
en los logaritmos de cada variable. Este tipo de funci´ n es lo suficientemente simple para
o
mantener el modelo manejable, y al mismo tiempo de cumple con caracter´sticas deseables
ı
en una funci´ n de utilidad (mon´ tona, c´ ncava y continua).
o o o
U [C, Z, H] = φLog[C] + ψLog[Z] + γLog[H] (2.1)
φ > 0, ψ > 0, γ>0 γ =1−φ+ψ
Mediante las constantes φ y ψ, se establece el beneficio relativo que extrae el agente repre-
sentativo de cada variable relevante de la funci´ n de utilidad (γ queda definido en funci´ n
o o
de estos otros dos par´ metros).
a
11
23. 2.2. Procesos Reales
Una vez que se establece el beneficio que extrae el agente representativo tanto de los
flujos de consumo como del stock de bienes ra´ces, se describe el proceso de acumulaci´ n
ı o
de capital K y de bienes ra´ces H. En cada momento el agente representativo debe tomar
ı
la decisi´ n de transformar parte del stock de capital ya sea en bienes a cr´ dito C, bienes
o e
en efectivo Z o invertirlo en bienes ra´ces I. El resto de stock de capital que no se trans-
ı
forma en ninguno de los elementos antes descrito se utiliza para generar m´ s capital en el
a
pr´ ximo instante a una tasa de producci´ n dada por la funci´ n f [K, H]. La volatilidad de
o o o
la trayectoria de acumulaci´ n del capital se modela por un proceso Browniano dado por
o
WK . El par´ metro σK , determinan la varianza del componente estoc´ stico del proceso. De
a a
este modo el modelo incorpora posibles shocks al stock de capital, los que constituyen el
ciclo econ´ mico. En cuanto a la trayectoria del stock de bienes inmobiliarios, queda deter-
o
minada por la funci´ n de producci´ n de la inversi´ n que se establezca. La forma de dicha
o o o
funci´ n de producci´ n se escribe como w[K, H, η] + g[H]Log[I]. Se establece rendimiento
o o
decreciente del capital en la inversi´ n (dado por la funci´ n logar´tmica), esto se justifica
o o ı
con que los factores productivos de la econom´a presentan fricciones ante la transformaci´ n
ı o
entre capital y bienes ra´ces (el n´ mero de trabajadores o de maquinaria puede ya estar to-
ı u
talmente utilizado por lo que se debe incurrir en costos extra si se desea aumentar aun
m´ s la producci´ n). Por otro lado se establece que existe una curva de aprendizaje en el
a o
mercado inmobiliario. Esto se modela por el hecho de que la funci´ n de producci´ n est´
o o a
multiplicada por una funci´ n del stock existente g[H] (si ya existe una capacidad instalada
o
se obtiene mayor productividad del capital en la inversion de inmuebles)1 .
dK = (f [K, H] − C − Z − I)dt + KσK dWK (2.2)
dH = (w[K, H, η] + g[H]Log[I])dt (2.3)
La funci´ n de producci´ n del capital se ve afectada por una variable econ´ mica que de-
o o o
nominamos η que corresponde a los efectos reales de los shocks monetarios. El proceso
1
Las funciones f, g, w se mantienen de manera gen´ rica para no perder generalidad en el an´ lisis inicial del
e a
modelo. M´ s adelante se establece la estructura de dichas funciones.
a
12
24. estoc´ stico que sigue dicha variable est´ dado por la siguiente relaci´ n (tipo modelo de
a a o
Vasicek en torno a cero).
dη = (−κη η)dt + ση dWM (2.4)
Con esto se tiene que el valor de η tiende a cero (con una velocidad de reversi´ n dada
o
por κη ), y que su valor se ve perturbado por shocks monetarios dados por ση dWM (pro-
ceso Browniano WM ). La justificaci´ n para incluir alg´ n efecto en la econom´a real de los
o u ı
shocks monetarios viene dado por la amplia literatura que ha estudiado el impacto de la
pol´tica monetaria (Gupta et al., 2009), (Mishkin, 2007). En este modelo, los shocks mone-
ı
tarios tienen un impacto en la funci´ n de inversi´ n que tiende a desaparecer en el tiempo,
o o
con lo que se cumple el hecho de que existe un efecto, pero este s´ lo se manifiesta en el
o
corto plazo (en el largo plazo los precios tienden a ajustarse, y el efecto en la econom´a
ı
´
real a desaparecer). El efecto viene dado unicamente por los cambios no anticipados en la
cantidad de dinero (shocks).
´
2.3. Control Optimo
Una vez que han sido definidas las tres variables de estado que determinan la situaci´ n
o
de la econom´a real2 , podemos encontrar el comportamiento optimo que debe seguir el
ı ´
agente representativo (el agente representativo debe elegir el consumo de C[K, H, η] y
Z[K, H, η], junto con la inversion I[K, H, η]). Lo primero que hacemos es definir la
funci´ n que representa la utilidad proveniente de la elecci´ n de consumos. Esta funci´ n se
o o o
denomina funci´ n de valor J.
o
∞
J[K, H, η, t] = max Et e−β(u−t) U [C, Z, H]du (2.5)
{C,Z,I} t
2
K, H, η son variables de estado de la econom´a real, y por lo tanto los consumos optimos como la inversi´ n
ı ´ o
´
optima deben depender de dichas variables.
13
25. Lo que cuantifica la funci´ n de valor es la utilidad esperada desde el momento t hasta
o
el infinito. El par´ metro β representa la tasa de descuento que se le aplica a la utilidad
a
futura dada la impaciencia intertemporal que presenta el agente representativo (se prefiere
obtener utilidad hoy antes que ma˜ ana). Cabe recordar que la estructura logar´tmica de la
n ı
funci´ n de utilidad contribuye a preferir consumos m´ s estables en el tiempo (aversi´ n al
o a o
riesgo).
´
Para encontrar el comportamiento optimo se debe encontrar la ecuaci´ n de Hamilton-
o
Jacobi-Bellman (HJB) asociada a este problema. Para esto se calcula la siguiente expresi´ n,
o
max Et e−βt U [C, Z, H]dt + dJ = 0 (2.6)
{C,Z,I}
Para encontrar el valor de dJ utilizamos el lema de It¯ 3 para una funci´ n que dependa
o o
de las tres variables de estado del problema. Una vez calculado dJ hacemos el reemplazo
de J = e−βt J, y dividimos la expresi´ n anterior por e−βt para encontrar la ecuaci´ n di-
o o
ferencial en J que cumple el criterio de optimalidad (el factor e−βt no es importante pues
queremos que la optimalidad se cumpla para todo periodo de tiempo, de este modo la
ecuaci´ n de HJB pasa a ser independiente del tiempo).4
o
1
HJB = U + f JK − CJK − ZJK − IJK + K 2 σK JKK
2
(2.7)
2
1
−HθJH + gLog[I]JH + wJH − ηκη Jη + κ2 Jηη − βJ
2 η
La funci´ n de valor optima debe cumplir que HJB = 0. Una vez calculada la ecuaci´ n
o ´ o
de HJB, podemos encontrar tanto los consumos y como la inversi´ n optima. Para hacer
o ´
eso se debe derivar esta ecuaci´ n por la variable de control que se desea encontrar y luego
o
3
Ver Anexo A.
4
Se omiten las variables sobre las que act´ a cada funci´ n. Recordar que w → w[K, H, η], U → U [C, Z, H],
u o
al igual que el resto de las funciones. La notaci´ n XY se se utiliza para expresar la derivada de la funci´ n X
o o
con respecto a la variable Y.
14
26. igualar a cero. Es as´ como obtenemos que,
ı
φ
HJBC = UC − JK = C[K,H,η]
− JK =0 (2.8)
ψ
HJBZ = UZ − JK = Z[K,H,η]
− JK =0 (2.9)
g[H]
HJBI = J
I[K,H,η] H
− JK = 0 (2.10)
Luego despejamos C[K, H, η], Z[K, H, η] y H[K, H, η] para encontrar las condiciones que
´
deben cumplir en el optimo el agente representativo.
φ
C∗ = (2.11)
JK
ψ
Z∗ = (2.12)
JK
JH
I ∗ = g[H] (2.13)
JK
2.4. Precios Reales
El concepto de precio dice relaci´ n con cuanto estoy dispuesto a dar de algo para
o
recibir a cambio cierta cantidad de otra cosa. En este caso nuestro modelo est´ construido
a
en base a unidades de consumo, que corresponden tambi´ n, a unidades de capital (K). De
e
este modo cuando hablamos al precio real, nos estamos refiriendo al precio en unidades
de capital. Dado que en nuestra econom´a junto con el stock de capital existe un stock de
ı
housing (H), nos gustar´a saber el precio de equilibrio de un delta extra de H (es decir,
ı
cuanto capital estoy dispuesto a entregar a cambio de obtener un delta extra de H). Para
esto planteamos la siguiente relaci´ n,
o
J[K − S H , H + , η] − J[K, H, η] = 0 (2.14)
La idea detr´ s de esta relaci´ n es encontrar el precio S H , que nos deja indiferentes entre
a o
la situaci´ n actual dada por una funci´ n de valor J[K, H, η] y un nuevo escenario donde
o o
perdemos S H unidades de capital pero ganamos unidades de H. Para encontrar el valor
de S H hacemos una expansi´ n de Taylor de primer orden con como variable en torno a
o
15
27. cero. Despreciamos los errores de segundo orden y obtenemos las siguiente aproximaci´ n,
o
J[K − S H , H + , η] − J[K, H, η] ≈ (JH − S H JK ) = 0 (2.15)
Por lo tanto la condici´ n de primer orden para el precio real de equilibrio de obtener un
o
delta extra de H est´ dada por,
a
JH
SH = JK
(2.16)
2.5. Factor de Descuento Estoc´ stico Real y Tasa de Inter´ s Libre de Riesgo Real
a e
o o ´
Ya hemos definido la ecuaci´ n diferencial que debe cumplir la funci´ n de valor optima
(ecuaci´ n de HJB = 0) y las restricciones que de ella se desprenden para los consumos y
o
o ´
la inversi´ n (consumos e inversi´ n optimas). Ahora podemos mirar la estructura que esto
o
impone sobre el factor de descuento estoc´ stico de la econom´a descrita por nuestro modelo
a ı
(tambi´ n conocido como Pricing Kernel). El concepto de factor de descuento corresponde
e
a la magnitud por la que deben ser descontados flujos futuros para poder explicar el precio
actual que presenta un determinado activo. Dado que las variables de estado que describen
nuestra econom´a presenta un comportamiento estoc´ stico, el factor de descuento (que de-
ı a
pende de dichas variables) tambi´ n sigue un proceso estoc´ stico. Por todo lo anterior existe
e a
una estrecha relaci´ n entre el factor de descuento y la tasa de inter´ s libre de riesgo pre-
o e
sente en la econom´a. Para ver de donde viene este factor podemos pensar en la funci´ n de
ı o
valor evaluada en t = 0 con lo que,5
∞
J ∗ = Et e−βt U [C, Z, H]dt (2.17)
0
Si decimos que existe un activo que nos proporciona un flujo de dividendos dados por Dt
y cuyo precio hoy es pt (en unidades de capital), la condici´ n de primer orden para que
o
5
´
Utilizamos el valor de la funci´ n de valor en el optimo, es decir, utilizando ya una estrategia de consumo e
o
o ´
inversi´ n optima *
16
28. estemos dispuestos a disminuir consumo actual por un flujo de dividendos futuros es que6 ,
∞
pt UC,t = Et e−βs UC,t+s Dt+s ds (2.18)
0
La parte izquierda de la ecuaci´ n esta relacionado con la perdida de utilidad por tener
o
que disminuir el consumo hoy mientras que el lado derecho de la ecuaci´ n representa el
o
beneficio que se obtendr´ por los dividendos futuros que entregar´ el activo. De este modo
a a
obtenemos que la anterior es la ecuaci´ n b´ sica de valoraci´ n de cualquier activo de la
o a o
econom´a El precio por la utilidad marginal del consumo en el momento t debe ser igual al
ı
valor esperado de la suma de todos los dividendos futuros descontados por la impaciencia
al consumo que presenta el agente representativo dada por e−βt , por la utilidad marginal
del consumo de ese momento UC .
Resulta conveniente entonces descomponer la ecuaci´ n anterior en la parte que depende de
o
cada activo (Dt ) y lo que es com´ n para todos los activos de la econom´a dado por e−βt UC
u ı
(que corresponde al factor de descuento estoc´ stico). Por lo tanto el pricing kernel real de
a
nuestra econom´a queda definido por,
ı
ξt = e−βt UC,t
R
(2.19)
El factor de descuento nos entrega informaci´ n relevante con respecto a como se valorar´ n
o a
activos en el mercado. Bajo esta estructura se puede ver f´ cilmente que activos cuyos
a
flujos se encuentren en per´odos de gran riqueza, donde la utilidad marginal sea baja (por el
ı
hecho de que la funci´ n de utilidad es c´ ncava) ser´ n castigados fuertemente, mientras que
o o a
activos cuyos flujos est´ n concentrados en periodos de escasez donde la utilidad marginal
e
del consumo sea alta casi no ser´ n descontados. Un activo riesgoso ser´ aquel que paga
a a
en momentos de gran riqueza (por lo que su precio ser´ bajo), mientras que un activo que
a
se comporta como un seguro (pues paga en periodos cuando el consumo posee una alta
utilidad marginal) presentar´ un precio m´ s alto. De este modo la medida de riego de
a a
nuestra econom´a esta relacionada con la utilidad marginal del consumo, por lo que existe
ı
6
Una deducci´ n m´ s explicativa puede encontrarse en (Cochrane, 2001). La idea principal es que la utilidad
o a
marginal del consumo es la medida que indica cuan dispuesto voy a estar a reemplazar consumo actual por
consumo futuro.
17
29. una conexi´ n fuerte entre la funci´ n de utilidad y los t´ picos financieros t´picos (premios
o o o ı
por riesgo, tasas de inter´ s y precios).
e
Es as´ como el precio de cualquier activo debe cumplir las siguientes ecuaciones de valori-
ı
zaci´ n (la misma ecuaci´ n escrita de dos maneras distintas),
o o
ξ R Ddt + Et [d(ξ R p)] = 0 (2.20)
D ξ R dp ξ R dp
dt + Et [ R + + R ] = 0 (2.21)
p ξ p ξ p
Podemos pensar al activo libre de riesgo como aquel que no paga dividendos pero cuyo
f dξ R
precio crece a una tasa constante ( dp = rf dt). Con esto tenemos que rt dt = −Et
p ξR
.
Por todo esto es muy interesante conocer la trayectoria que seguir´ el factor de descuento
a
φ
estoc´ stico. Recordar que UC =
a C ∗ [K,H,η]
. ´
Si reemplazamos por el consumo optimo obte-
nemos que UC = JK .7 Para encontrar la trayectoria que sigue este factor aplicamos el lema
o ´
de It¯ . Reemplazamos los consumos y la inversi´ n optima junto con reemplazar el termino
o
de tercer orden que aparece (JKKK ).8 El resultado que obtenemos puede escribirse bajo la
siguiente estructura.
dξ R
ξR
= −rR dt − λξR ,K dWK − λξR ,M dWM (2.22)
Donde cada uno de los elementos del Pricing Kernel corresponden a,
JKK
λξR ,K = −KσK (2.23)
JK
JKη
λξR ,M = −ση (2.24)
JK
rR = fK − IK + S H (gLog[I])K + wK − σK λξR ,K (2.25)
Los t´ rminos λξR ,K y λξR ,M corresponden a los premios por riesgo asociados a los shocks
e
de capital y los shocks monetarios. En tanto que rR corresponde a la tasa libre de riesgo en
la econom´a. Es interesante analizar la estructura que presenta dicha tasa. Vemos que la tasa
ı
7
Todo el an´ lisis anterior fue pensado utilizando C como consumo, pero en nuestra econom´a tambi´ n existe
a ı e
ψ
el consumo Z. El an´ lisis es equivalente por el hecho de que UZ = Z ∗ [K,H,η] = JK = UC .
a
8
Resolvemos HJBK = 0 y despejamos JKKK . Hacemos esto pues sabemos que esa derivada se cumple en
´
el optimo.
18
30. libre de riesgo est´ compuesta por la productividad marginal del capital en el crecimiento
a
del stock de capital, m´ s la productividad marginal del capital en el crecimiento del stock
a
de bienes ra´ces multiplicada por el precio del este, todo esto ajustado por el riesgo asociado
ı
a los shocks de capital. La tasa de inter´ s libre de riesgo est´ relacionada con la tasa a la
e a
que crece nuestra econom´a, descont´ ndole el componente riesgoso. Si en vez de consumir
ı a
un delta de capital lo invertimos, aumentaremos nuestra dotaci´ n de capital en fK − IK
o
y nuestra dotaci´ n de H en (gLog[I])K + wK ), lo que al multiplicarlo por su precio S H
o
nos indica la riqueza extra en unidades de consumo que habr´amos obtenido. Dado que
ı
existe una posibilidad de que un shock afecte la dotaci´ n de capital, la tasa de inter´ s
o e
se debe ajustar para compensar a quienes corren este riesgo con un premio. La funci´ n
o
de utilidad logar´tmica hace que a´ n cuando los shocks presenten distribuci´ n normal con
ı u o
media cero, la varianza hace disminuir la utilidad esperada de un flujo de consumo variable.
Tener capital es riesgoso, por lo que la tasa libre de riesgo debe ser menor a la tasa de
productividad del capital en la econom´a.
ı
2.6. Arriendo de Equilibrio
El arriendo de un bien ra´z se define como el monto de dinero que se cobra por su
ı
utilizaci´ n. De este modo establecemos que dicho monto corresponde a una fracci´ n del
o o
precio del bien ra´z de acuerdo a,
ı
Ω = δH S H (2.26)
Donde Ω corresponde al arriendo, S H el precio del bien ra´z y δ H el retorno de arriendo.
ı
Con esto el retorno de arriendo se expresa como del beneficio que se extrae por el hecho
de mantener cierto bien ra´z. A partir de esta afirmaci´ n podemos hacer un paralelo entre
ı o
el retorno de arriendo (o ratio arriendo-precio) y el retorno por conveniencia (convenience
yield) que se extrae por el hecho de mantener stock de alg´ n commodity. La literatura
u
financiera ha estudiado con atenci´ n los componentes del antes mencionado convenience
o
yield pues resulta vital al momento de entender los precios que se observan en los mercados
internacionales los derivados financieros de petr´ leo, cobre o cualquier otro commodity. Un
o
19
31. completo an´ lisis puede verse en Casassus and Collin-Dufresne (2005). Tomamos prestada
a
esas herramientas y las utilizamos para entender los determinantes de la retorno de arriendo.
Para encontrar el retorno por conveniencia impl´cito en el modelo hacemos un cambio
ı
de unidades (cambio de num´ raire) en el factor de descuento estoc´ stico (de unidades de
e a
capital a unidades de H). Para hacer eso multiplicamos por el precio,
χH = ξ R S H (2.27)
Aplicando el lema de It¯ sobre esta nueva relaci´ n para encontrar la trayectoria que sigue
o o
χH .9
dχH
χH
= −δ H dt − λχH ,K dWK − λχH ,M dWM (2.28)
Los elementos que componen la trayectoria de χH son,
JKH
λχH ,K = −KσK (2.29)
JH
JHη
λχH ,M = −ση (2.30)
JH
1 UH
δ H = wH + (gLog[I])H + H
(fH − IH + ) (2.31)
S UC
La literatura se˜ ala que el retorno por conveniencia corresponde a la expresi´ n dada por δ H .
n o
Si analizamos los elementos que lo componen nos damos cuenta que su estructura sigue
concordancia con lo que hab´amos encontrado anteriormente para la tasa libre de riesgo.
ı
Los primeros t´ rminos corresponden al beneficio en productividad marginal que representa
e
H sobre el stock de housing, m´ s el beneficio marginal de H en el crecimiento del capital,
a
esto llevado al dividir por el precio a unidades de bien ra´z. El t´ rmino que m´ s sorprende
ı e a
UH
es quiz´ s
a UC
. La intuici´ n econ´ mica detr´ s de esto corresponde a que en momentos donde
o o a
la utilidad marginal del consumo sea mayor a la utilidad marginal derivada por el service
flow de housing el retorno de arriendo deber´a bajar. Por otro lado, en momentos donde
ı
el efecto marginal en utilidad de un delta extra de H sea mayor al efecto del consumo los
9
Al aplicar el lema de It¯ aparecen t´ rminos de tercer orden (JHηη y JKKH ). Resolvemos HJBH = 0
o e
y despejamos dichos t´ rminos, para poder reemplazarlos. Al hacer esto s´ lo quedan t´ rminos de segundo
e o e
orden.
20
32. arriendos subir´ n de valor. Si analizamos todos los t´ rminos que componen el retorno de
a e
1 UH
arriendo, es f´ cil imaginar que el t´ rmino
a e S H UC
domine al resto (los efectos de H sobre
su propio crecimiento o sobre el crecimiento del capital pueden ser menos evidentes que
los beneficios en utilidad marginal que presenta el service flow de housing). Dado que la
dotaci´ n de H no se ve afectada directamente por shocks, no existe una compensaci´ n por
o o
riesgo.
Luego el arriendo de equilibrio queda definido como,
1 UH
Ω = wH + (gLog[I])H + H
(fH − IH + ) SH (2.32)
S UC
UH
Ω = SH wH + (gLog[I])H + fH − IH + (2.33)
UC
2.7. Caso de Estudio
Para poder seguir desarrollando el modelo se debe dar cierta estructura a las funciones
f [K, H], w[K, H, η] y g[H]. Al momento de elegir estas funciones se deben reconciliar
dos objetivos distintos. Por un lado debemos encontrar funciones que modelen el com-
portamiento real de las variables, funciones que tengan sentido econ´ mico y que puedan
o
generar comportamientos similares a los que se observan en la realidad. Por otro lado se
quiere seguir desarrollando el modelo de manera anal´tica. Es por eso que dentro de las
ı
funciones que se podr´an elegir nos limitamos a formas funcionales que nos permitir´ n en-
ı a
contrar una soluci´ n cerrada para la funci´ n de valor y permitan la resoluci´ n de el sector
o o o
monetario de la econom´a (con el costo de alejarnos de la complejidad que se observa en la
ı
realidad). Se elige una forma para f [K, H] del tipo,
f [K, H] = µK (2.34)
La funci´ n elegida le da una productividad al capital constante de µ (Lo que significa que
o
el stock total de capital que no se invierta ni se consuma crecer´ a una tasa de µ).
a
Ahora debemos encontrar los valores de w[K, H, η] y g[H] que nos permitan tener una
funci´ n de inversi´ n en housing bien comportada. Se deben cumplir varios criterios (aparte
o o
21
33. de que de origen a soluciones cerradas). Nos gustar´a que existiera un efecto positivo en
ı
la productividad por los shocks monetarios η. Debe cumplirse tambi´ n que el proceso del
e
housing sea estable (con lo que la tasa de crecimiento del housing debe ser estacionaria).
Una funci´ n que cumple con las caracter´sticas deseadas es ϕLog
o ı eη I[K,H,η] H, con esto
K
tenemos que,
I[K, H, η]
w[K, H, η] + g[H]Log[I] = ϕLog eη H (2.35)
K
Lo que implica que las funciones deben adoptar la forma de,
w[K, H, η] = Hϕ(η − Log[K] + Log[ ]) (2.36)
g[H] = Hϕ (2.37)
En este caso la separabilidad de las variables de estado junto con el uso de logaritmos
nos permite encontrar soluci´ n anal´tica al problema. Al mismo tiempo incorporamos tres
o ı
par´ metros que determinan las funciones de producci´ n. En el caso del capital tenemos µ.
a o
En el caso de la trayectoria del housing los par´ metros son ϕ y
a .
2.8. Resoluci´ n de la Funci´ n de Valor
o o
Todos el an´ lisis hecho hasta ahora se ha hecho sin conocer la forma funcional de
a
la funci´ n de valor J. Dado que ya le asignamos una forma a f [K, H], w[K, H, η] y
o
g[H] podemos encontrar la forma que la funci´ n de valor debe cumplir. La condici´ n de
o o
optimalidad establece que HJB = 0, con lo que tenemos la siguiente ecuaci´ n diferencial
o
en J.
1
U + f JK − CJK − ZJK − IJK + 2 K 2 σK JKK
2
(2.38)
1
+gLog[I]JH + wJH − ηκη Jη + 2 κ2 Jηη − βJ = 0
η
Dada la forma elegida para la funci´ n de utilidad y el resto de f [K, H], w[K, H, η] y g[H]
o
junto con el resto de la estructura del problema se sabe que la forma de la soluci´ n debe ser
o
22
34. del tipo.
J[K, H, η] = A0 + AK Log[K] + AH Log[H] + Aη η (2.39)
Con A0 , AK , AH y Aη constantes. Esto es precisamente lo que hace que este modelo se
clasifique dentro de la familia de modelos affine. Encontramos los valores de las constantes
que satisfacen la ecuaci´ n,
o
(φ + ψ)
AK = (2.40)
β
γ
AH = (2.41)
β
γϕ
Aη = (2.42)
β (β + κη )
La constante A0 se muestra en el Anexo B.
2.9. Resultados Reales
Dado que ya conocemos la forma que sigue la funci´ n de valor podemos describir
o
todas las variables y trayectorias en t´ rminos de las variables de estado y los par´ metros
e a
originales. De este modo resulta interesante revisar la forma que adoptan las variables de
control y los proceso originales al reemplazar con J,
φ βφ
C[K, H, η] = JK
= K (2.43)
φ+ψ
ψ βψ
Z[K, H, η] = JK
= K (2.44)
φ+ψ
JH γϕ
I[K, H, η] = g[H] JK = K (2.45)
φ+ψ
El precio del housing,
K γ
S H [K, H, η] = H φ+ψ
(2.46)
23
35. Con esto los procesos que siguen el capital y el housing quedan definidos como,
dK γϕ
= µ−β− dt + σK dWK (2.47)
K φ+ψ
dH
= ϕ η + Log[γ] + Log[ ] + Log[ϕ] − Log[φ + ψ] dt (2.48)
H
Aplicando el lema de It¯ sobre la funci´ n de precio S H [K, H, η], podemos encontrar la
o o
trayectoria que estos seguir´ n,
a
dS H γϕ
= − β + µ − ηϕ − − ϕLog[γ] − ϕLog[ ] − ϕLog[ϕ]
SH φ+ψ
+ϕLog[φ + ψ] dt + σK dWK (2.49)
Tambi´ n podemos obtener la tasa libre de riesgo real y los premios por riesgo.
e
γϕ
rR = µ − σK −
2
(2.50)
φ+ψ
λξR ,K = σK (2.51)
λξR ,M = 0 (2.52)
Resulta interesante revisar la estructura que adopta el retorno de arriendo (retorno por con-
veniencia o ratio arriendo-precio),
δ H = β + ηϕ + ϕLog[γ] + ϕLog[ ] + ϕLog[ϕ] − ϕLog[φ + ψ] (2.53)
Resulta interesante notar que el valor del ratio precio arriendo depende del valor de η. El
resto de los elementos que determinan su valor son par´ metros cuyo valor no cambia en el
a
tiempo. El hecho de que el proceso que sigue η presente reversi´ n a cero hace que el ratio
o
tambi´ n presente reversi´ n a un valor de largo plazo (que se encuentra haciendo η = 0).
e o
24
36. ´
3. MODELO - ECONOMIA MONETARIA
Hasta ahora hemos trabajado utilizando las variables que afectan el comportamiento
real de la econom´a [K, H, η]. En este cap´tulo incorporaremos variables monetarias que
ı ı
nos permitir´ n encontrar precios nominales y analizar distintos aspectos de pol´tica mone-
a ı
taria.
3.1. Teor´a Cuantitativa del Dinero
ı
Para incorporar el sector monetario en nuestra econom´a se recurre a una versi´ n de
ı o
la Teor´a Cuantitativa del Dinero que nos permite establecer una relaci´ n entre el nivel de
ı o
precios nominales de la econom´a y variables reales. La relaci´ n que utilizamos es,
ı o
MV = PX (3.1)
Donde tenemos la cantidad de dinero en la econom´a M , la velocidad con la que circula el
ı
dinero V , el nivel nominal de precios de la econom´a P , y la canasta de consumo general
ı
de la econom´a X. Esta forma de modelar el nivel de precios cumple con algunas de las
ı
caracter´sticas que esperar´amos presentara el nivel de precios. A mayor cantidad de dinero
ı ı
en la econom´a, bajo todo lo dem´ s constante, mayor nivel de precios nominales. Si se
ı a
mantiene constante la cantidad de dinero, pero aumenta la cantidad de bienes disponibles
para el consumo, los precios caen.
3.2. Masa Monetaria
Incorporamos en nuestro modelo una nueva variable que representa el stock de dinero
que circula en la econom´a M . Se establece la existencia de un ente que administra la
ı
masa monetaria a partir de ciertas reglas conocidas. El set de reglas de pol´tica monetaria
ı
que se siguen se parecen a una ”regla de Taylor” pero en vez de fijar una tasa de inter´ s,
e
se modifica el stock monetario de la econom´a de acuerdo a ciertas metas. En el modelo
ı
incluimos metas de tasa de crecimiento del capital θK , inflaci´ n θP , y cambio en precios
o
del sector inmobiliario θS . Es as´ como la trayectoria del stock monetario queda definida
ı
25
37. por,
dM dK dP dS H
= µM dt + bK − θK dt + bP − θP dt + bS − θS dt + σM dWM
M K P SH
(3.2)
Donde bK , bP , bS representan la importancia de cada meta en la trayectoria de la masa mo-
netaria, µM permite ajustar el nivel de crecimiento promedio y σM representa la desviaci´ n
o
est´ ndar de los shocks monetarios.
a
3.3. Velocidad de Circulaci´ n del Dinero
o
Dentro del modelo incorporamos un t´ rmino para la velocidad con la que circula el
e
dinero dentro de la econom´a V . La idea es representar el hecho de que el cuociente entre
ı
lo que se gasta en la econom´a y la masa monetaria no es siempre igual a uno. De este modo
ı
la literatura ha mostrado que la velocidad del dinero tiende a fluctuar entre ciertos valores a
lo largo del tiempo. Se deja abierta la posibilidad de que presente cierta correlaci´ n con el
o
ciclo econ´ mico. Modelamos el comportamiento de esta variable mediante las siguientes
o
ecuaciones (modelo de Vasicek),
dν = κν (θν − ν)dt + σν (ρKν dWK + 1 − ρ2 dWν )
Kν (3.3)
V = eν (3.4)
Con esto tenemos que el valor de largo plazo para la velocidad es de eθν , con κν como el
factor que determina la rapidez con la que se vuelve a este valor luego de una perturbaci´ n.
o
Podemos ver que la trayectoria de la velocidad se ve afectada tanto por los shocks al capital
dWK como shocks propios de la velocidad dWν . La correlaci´ n entre los shocks esta dada
o
por ρKν . El proceso que sigue ν presenta una desviaci´ n est´ ndar de largo plazo de
o a √σν .
2κν
3.4. Canasta de Consumo
La canasta de consumo est´ compuesta por dos elementos, el consumo de bienes en
a
efectivo que produce la econom´a y los arriendos de los bienes ra´ces. Desde el comienzo
ı ı
26
