Методи за решаване на квадратни уравнения

1. Методи
за решаване на
квадратни
уравнения

2. Класификация .
Квадратни уравнения.
b = 0;
аx + c = 0
2
непълни
c = 0;
аx + bx = 0
2
пълни
аx + bx + c = 0
2
b = 0; c = 0;
аx = 0 2
приведени
x + px + q = 0
2

3. Непълни квадратни уравнения:
b =0; c ≠0
b ≠ 0; c = 0
axс + =0,
2
b = 0;
ax + bx = 0,
2
с
c=0
x 2 =−
x( ax + b ) = 0 а
с
ако − <0, то няма корени
ax 2 = 0,
x = 0 а
x=0
 с c
x = − b ако −
а
>0, то x =± −
a
 a
3 x 2 + 4 x = 0,
2 x 2 +=
8 0 7x2 = 0
x( 3 x + 4 ) = 0
x 2 =4няма корени
−- x =0
x = 0
 5x 2 − =
15 0
x = − 4 x2 =3
 3
x =±3

4. Теорема на Виет
Ако x1 и x2 са корени Ако x1 и x2 са корени
на x2 + px + q = 0, то на ax 2 + bx +c = 0, то
b с
x1+x2= - , x1x2=
x1+x2=-p, x1x2=q. a а
Други съотношения между корените и коефициентите на
приведеното квадратно уравнение x 2+ px + q=0:
x12 + x2 = x12 + 2 x1 x2 + x2 − 2 x1 x2 =
2 2
= ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = p 2 − 2q
2

5. Приложение формулите на Виет
x 2 – 14 x + 24 = 0 x 2 + 3 x – 10 = 0
D = b 2 – 4ac = D = 32-4 ⋅1 ⋅ (-10 ) = 49
196 – 96 = 100 x1 ⋅ x2 = −10 ,значи корените
x1 = 2 , x2 = 12 имат различни
x1 + x2 =14 , знаци = −3
x1 + x2
x1 ⋅ x2 = 24 , ,значи по-големия
по модул корен е отрицателен
Намираме корените :
x1 = −5; x2 = 2

6. Специални методи:
1. Метод на отделяне на точен
квадрат
2. Метод «прехвърляне» на
старшия коефициент
3. С използването на теореми:

7. Метод на отделяне на точен квадрат.
Цел: привеждане на квадратното уравнение в общ вид
към непълно квадратно уравнение.
Пример:
x −6 x +8 =0
2
x −2 ⋅3 x +9 =9 −8
2
( x −3) 2
=1
x −3 =1 _ или _ x −3 =−1
x =4 ________ x =2

8. Метод «прехвърляне» на старшия
коефициент.
Корените на квадратните уравнения
ax + bx + c = 0
2
и y 2 +by +ac = 0
са свързани със съотношенията
y1 y2
x1 = и x2 =
a a
В някои случаи е по-удобно да решим първо не даденото
квадратно уравнение, а приведеното, получено чрез «прехвърляне» на
коефициента а .
2 x −9 x −5 =0
2
Пример:
y 2 −9 y − =0
10
D =81 +40 =121
y1 =10 ___ x1 =5
1
y 2 =− ___ x2 =−
1
2

9. С използването на теореми :
Ако в квадратното уравнение Ако в квадратното уравнение
a+b+c=0, то единия от a+c=b, то единия от корените е
корените е равен на 1, а втория равен на -1, а втория по
 c
по формулите на Виет е c формулите на Виет е − 
a  a
157 x 2 + 20 x − 177 = 0 203 х 2 + 220 х +17 = 0
157 + 20 − 177 = 0 203 − 220 +17 = 0
− 177
х = 1; х = −17
157 х1 = −1;х2 =
203
Примери:

10. Общи методи:
 Разлагане на множители;
 Въвеждане на нова променлива;
 Графически метод.

11. Метод разлагане на множители
Цел: привеждане на квадратното уравнение в общ вид към
вида А(х)·В(х)=0,
където А(х) и В(х) – са многочлени относно х.
Способи:
 Изнасяне на общ множител пред скоби;
 Използване на формулите за съкратено умножение;
 Способ на групиране.
3x 2 + x − =
2 1 0
Пример: 3x 2 + x − − =
3 x 1 0
3x( x + − x + =
1) ( 1) 0
(x +1)(3 x − =
1) 0
x1 = 1
−
1
x2 =
3

12. Въвеждане на нова променлива.
Умението удачно да се въведе нова променлива е важен
елемент от математическата култура. Удачния избор на нова
променлива прави структурата на уравнението по-прозрачна.
( 5 x + 3) 2
= 3( 5 x + 3) − 2
Пример: 5x + 3 = t
t 2 − 3t + 2 = 0
D = 9 −8 =1
t1 = 2 ____ t 2 = 1
5 x + 3 = 2 ___ или ___ 5 x + 3 = 1
x1 = −0,2 ____ x 2 = −0,4

13. Графически метод
За решение на уравнението f(x) = g(x) е
необходимо да се построят графиките на функциите
y = f(x), y = g(x)
и да се намерят пресечните им точки; абсцисите на
точките на пресичане ще са корени на уравнението.
Графическия метод често се използва, не за намиране
корените на уравнението, а за определяне на тяхното
количество.

14. Примерни решения на квадратни
уравнения чрез графически способ
x2-2x-3=0; x2-2x-3=0;
Y=x2-2x-3; x2-2x=3;
y=x2-2x;
(1;-4)- връх на y=3.
параболата
(1;-1)-връх на параболата. Отг: x=-1; x=3.
Отг: x=-1; x=3.
x2-2x-3=0; x2-2x-3=0;
x2-3=2x; x2=2x+3;
y=x2-3; y=x2;
y=2x. y=2x+3.
(0;-3)- връх на параболата. (0;0)- връх на параболата.
Отг: x=-1; x=3. Отг: x=-1; x=3.

15. Решение на квадратни уравнения,
съдържащи параметър*.
( a − 1) x 2 + 2(2a + 1) x + (4a + 3) = 0
7
1. Ако а =1, то имаме линейно уравнение 6х+7=0, х= −
6
2. Ако а ≠ 1 , то разглеждаме квадратното уравнение
( a − 1) x 2 + 2(2a + 1) x + (4a + 3) = 0
Dа=( 2 +1) −( −
2
1 а а 1)(4 +3) =5 +4
а
4
ако D1 <0, т.е.5а +4 <0, а <− няма корени
5
− а +1)
(2 1
ако D1 =0, то има един корен х = =−
а −1 3
− а +1) ± 5а +4
(2
ако D1 >0, то има два корена х =
а −1
4
Отговор : ако а <− то няма корени
5
7
ако а =1, то х =−
6
4 − а +1) ± 5а +4
(2
ако а ≥− , а ≠1, то х1,2 =
5 а −1

16. Решение на квадратни уравнения с
модул*.
2
x
x +
2
−6 = 0
x
x = t, t > 0
t 2 +t −6 = 0
D = 25, D > 0
t1 = −3
t2 = 2
х =2
х = ±2