1. MATEMATICA IV: 3º MATEMÁTICA Y DISEÑO (Reformulación 2006)
ACTIVIDAD No. 3: GEOMETRÍA DEL ESPACIO – Prof. Guillermo R. Osorio Salorio
CONSTRUYE UN OMNIPOLIEDRO:
http://personal.telefonica.terra.es/web/ies4hellin/matematicas/TMates/omnipoliedro.htm
Otras páginas para ampliar información: http://perso.wanadoo.es/jmora7/index.htm
http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html
Objetivo: Lo que pretendemos en esta actividad es construir un Omnipoliedro.
¿Qué es? Es un cuerpo geométrico en el que se inscriben los cinco sólidos platónicos. De dentro
hacia afuera el orden de los poliedros, en nuestra construcción, será: octaedro, tetraedro, cubo,
dodecaedro e icosaedro.
¿Cómo lo vamos a hacer?
El material que vamos a utilizar es:
 Varillas de madera u otro material que consigas
 Hilo de pescar u otro
 Cáncamos (uniones).
 Pintura de diversos colores.
A continuación tenemos que calcular la longitud de las distintas aristas, para ello tomaremos como base la
arista del cubo, por ejemplo tomemos un cubo de arista 20 cm.
Cálculo de la longitud de las aristas
Vamos a calcular la arista del tetraedro, la siguiente imagen nos puede servir para calcularla:
Calculamos ahora la arista del octaedro, utiliza esta imagen:

2. Para obtener la arista del dodecaedro:
La arista del icosaedro es igual que la arista del cubo (su cálculo es bastante complicado).
Debes decidir el color de cada poliedro:
El color es otro de los aspectos importantes de esta construcción. Se ha utilizado para distinguir el
armazón de cada poliedro de los otros cuatro. De esta forma resaltarán las propiedades específicas de cada
uno a la vez que se ponen de manifiesto las relaciones con los demás: planos de simetría, ejes de rotación,
dualidad, etc.
Para la elección de los colores se han tenido en cuenta dos factores. En primer lugar la simbología
clásica de los poliedros reseñada en el capítulo 1, ya desde la Grecia Clásica se relacionaban los poliedros
con los elementos de la materia: el fuego, la tierra, el aire y el mar, junto con el universo.
Platón (s.V a.c.) asignó a cada poliedro regular uno de los elementos que constituían la
materia en su obra Timeo:
TETRAEDRO: EL FUEGO tiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el elemento más
pequeño, ligero, móvil y agudo.
OCTAEDRO: Para los griegos EL AIRE, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo
intermedios, se compone de octaedros.
HEXAEDRO (CUBO): Los filósofos griegos consideraban que LA TIERRA debe tener la
forma del cubo, el sólido más estable de los cinco. El cubo es usado en la cristalización de algunos
minerales como la galena.
ICOSAEDRO: El AGUA, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia
o “semilla”, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad
puede rodar
DODECAEDRO: Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos, dejaba sin
pareja al dodecaedro. De forma un tanto forzada lo relacionaron con EL UNIVERSO como
conjunción de los otros cuatro: La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer
las constelaciones en los cielos
En segundo lugar se ha atendido a la distinta luminosidad de los colores, que depende la
estructura espectral de la luz reflejada por el pigmento. La idea básica es compensar los colores que
menos van a aparecer con la elección de un color de mayor luminosidad que los haga resaltar. Se ha
estudiado el porcentaje que suponen las barras de cada poliedro respecto del total de la composición. Para
los cálculos se ha tomado la arista del cubo de 1 m de longitud aunque los resultados son válidos para
cualquier tamaño.
Poliedro
Barras Porcentaj Luminosida Color
Octaedro
12 x 0.7 11%
e 8
d
Tetraedro
6 x 1.4 11% 6

3. Cubo
12 x 1 15% 6
Icosaedro
30 x 1 40% 6
Dodecaedr
o 30 x .6 25% 4
Poliedro Color nº aristas medida
Cubo 20 cm
Tetraedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro 20 cm
Aristas / Vértice Poliedro
3 Dodecaedro
4 Octaedro
5 Icosaedro
6 Cubo (3) Dodecaedro (3)
9 Tetraedro (3) Cubo (3) Dodecaedro (3)
Construcción: Ahora que ya sabes cuantas varillas necesitas de cada color las cortas e insertas los
cáncamos (uniones). Debes hacer la varilla un poco más corta de modo que entre la longitud de la varilla
y la de los dos cáncamos obtengas la longitud que tienes en la tabla. Las pintas según los colores que
hayas elegido y las dejas secar.
Montaje Vamos a montar el Omnipoliedro. Con el hilo de pescar unimos las varillas en los
correspondientes vértices siguiendo el siguiente esquema:
1. En primer lugar construye el tetraedro.
2. Si construyes también el cubo, verás como la estructura no se mantiene rígida, para darle rigidez,
vamos a inscribirle el tetraedro (los vértices del tetraedro deben coincidir con vértices del cubo).
3. Para encajar el octaedro señala los puntos medios de las varillas del tetraedro, ahí tendrán que
estar los vértices del octaedro. Ya tenemos tres de las figuras encajadas.
4. Construir el dodecaedro es bastante complicado, utiliza la estructura anterior y ten en cuenta que
las aristas del cubo deben coincidir con diagonales de los pentágonos que forman el dodecaedro,
ya tenemos cuatro de los cuerpos encajados, pero en esta construcción el dodecaedro aún no esta
rígido.
5. Vamos a construir el icosaedro, para ello observa que los vértices del icosaedro está en los centros
de las caras del dodecaedro y que las aristas del icosaedro y del dodecaedro se cortan en su punto
medio. Para dar total rigidez a la figura ataremos los puntos medios de las aristas del dodecaedro y
del icosaedro.

4. La construcción en imágenes
Cortamos varillas y ponemos cáncamos. Pintamos varillas. Construimos el tetraedro y el cubo.
Inscribimos el tetraedro en el cubo Construimos el octaedro y ... lo encajamos. Ya van tres.
Construir el dodecaedro es ... bastante complicado. Finalmente construimos el icosaedro.