3. Introducción
En este libro de ejercicios de ÁLGEBRA hemos querido proponer una
cantidad de trabajos que va desde los ejercicios más tradicionales
para el aprendizaje del álgebra hasta los problemas más modernos
y desafiantes que invitan al estudiante y al maestro a conversar y
discutir en torno a posibles soluciones.
Creemos sinceramente estar haciendo un aporte para colaborar con
aquellos estudiantes que se interesen en afianzar sus conocimientos
y sentar las bases de una sólida formación matemática.
Estimado lector: queremos invitarlo a recorrer estas páginas en
el orden que usted estime conveniente y de acuerdo con las
necesidades que se le vayan presentando. En estas líneas vamos
a tratar de darle una visión global del ámbito de trabajo de la
aritmética y del álgebra.
Nuestro mundo numérico se fue generando a lo largo de los
siglos según los hombres iban necesitando de diversos modos de
comunicación y de acuerdo con los requerimientos de otras áreas de
acción, como el comercio, la astronomía, la agricultura, el desarrollo
de las diversas ciencias, la matemática por sí misma y una infinidad
de actividades en que el hombre se ha interesado por crear su
expresión en términos numéricos.
En la página siguiente encontrará un esquema que contiene los
distintos conjuntos de números y la forma como los matemáticos los
han ido ordenando de acuerdo con distintos criterios; y más adelante
verá un gráfico de los diferentes conjuntos numéricos.
El objetivo que nos hemos propuesto al escribir esta introducción
y proponerle algunas actividades es que usted se forme una idea
global de los distintos ámbitos en que se mueve la aritmética y, como
consecuencia, el álgebra, que no es otra cosa que la descripción
de modelos matemáticos para representar múltiples situaciones de
la naturaleza y/o generaciones abstractas del matemático. Estos
modelos son las distintas relaciones entre variables, que al asignarles
los valores adecuados y haciendo los análisis pertinentes nos entregan
potentes herramientas para resolver problemas tradicionales, como
la trayectoria de un proyectil, que se puede describir a través de una
ecuación de segundo grado, u otros, como el uso de matrices para
organizar y manipular gran cantidad de información.
Introducción 3
4. Le vamos a pedir que observe con mucha detención el esquema
titulado Conjuntos Numéricos y analice con sus compañeros
estudiantes o con sus profesores toda la información que pueda
obtener de él. No sería extraño que la primera vez no logre recoger
mucha información, pero con el tiempo, y conforme el avance
en sus conocimientos, debería servirle de gran ayuda para tener
una visión global de los ámbitos numéricos que el hombre ha ido
definiendo y entender por qué los ha ordenado de esta manera
y no de otra.
Lo invitamos a observar el esquema propuesto y a reflexionar en
torno a la información que contiene.
A continuación le entregamos la misma información pero con otra
presentación y lo invitamos a que usted ubique correctamente, en
el conjunto correspondiente del “ESQUEMA DE LOS CONJUNTOS
NUMÉRICOS”, los números que listamos más adelante. El profesor
podrá inventar una infinidad de actividades para determinar si sus
alumnos(as) se ubican bien en los distintos conjuntos numéricos.
Por ejemplo: ¿Cuáles fueron los primeros números inventados?;
¿para qué servían?; ¿cómo se expresa la ausencia de valor?; ¿qué
operaciones aritméticas están definidas en cada conjunto?; ¿por qué?;
¿qué conjuntos son subconjunto de otros?; ¿cuáles son disjuntos?;
¿qué necesidad del hombre inspiró la ampliación de los Naturales
a los Enteros?; ¿y a los Racionales?; ¿qué ejemplo concreto puede
dar de un número irracional?; ¿cómo lo puede ubicar en la recta
numérica?; ¿qué diferencia hay entre una fracción y una razón?;
¿cómo se generaron los números Complejos?; ¿dónde y para qué se
usan?; ¿cómo se grafican?; etc.
4 Introducción
6. Con el objeto de que el estudiante pueda formarse una idea completa
de lo que abarca el Álgebra abordada en el texto, le proponemos, a
continuación, un resumen esquemático que puede ayudar a tener una
idea general de los contenidos.
Mapa de contenidos del Algebra
FUNCIONES MATRICES
ÁLGEBRA
COMPLEJOS
CANTIDADES
REALES ESCALARES VECTOR EN R2
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS CANTIDADES
VECTORIALES
TÉRMINO
ALGEBRAICO
POLINOMIO
COMPARACIONES
COEFICIENTE GRADO
IGUALDAD DESIGUALDAD
VARIABLE
ECUACIONES INECUACIONES
OPERACIONES
INTERVALO
EN R
LOGARITMO SISTEMAS DE SISTEMAS DE
ADICIÓN
ECUACIONES INECUACIONES
PRODUCTO RAÍCES
PROBLEMAS DE
POTENCIA OPTIMIZACIÓN
Obsérvelo, comente con sus compañeros y profesores lo que encuen-
tre en él; critíquelo y envíe sus observaciones al correo electrónico
ximenacs@entelchile.net.
En el texto hemos querido entregarle referencias para desarrollar sus
estructuras mentales, pero sin duda esto no se logrará si no se desea y
trabaja con esfuerzo y persistencia. Es probable que alguna vez haya
escuchado decir que el desarrollo del pensamiento es un proceso
interior de la persona. Efectivamente, el mundo circundante, cercano
o lejano físicamente, las inquietudes personales, las expectativas en
la vida, la disposición a trabajar son las únicas herramientas que lo
pueden llevar a desarrollar su capacidad de pensar y a enriquecer
sus estructuras mentales. Como usted sabe, el aprendizaje se produce
cuando relacionamos algo novedoso con algo que ya sabemos; por
eso es que la persona cada vez que aprende, potencia más aún su
capacidad de aprender. Ponemos en sus manos este texto con la ilusión
de que sea un medio eficaz para enriquecer sus estructuras mentales
y su aprendizaje en general. En la medida que ello suceda, el texto
estará sirviendo efectivamente como un medio para el aprendizaje, y
así estaremos colaborando en su crecimiento como persona en este
mundo globalizado.
6 Introducción
7. 4
E
CAPÍTULO
cuaciones e
inecuaciones
de segundo grado
Ecuación cuadrática 4.1
La expresión ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números
reales cualesquiera y a π 0, se llama ecuación cuadrática o
ecuación de segundo grado.
La solución de esta ecuación puede obtenerse por factorización
o aplicando la fórmula general.
Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones.
4.1.1. Solución de la ecuación
por factorización
Aplicamos aquí la siguiente propiedad:
a •b = 0 P a = 0 o b = 0
(si el producto de dos números reales es cero, entonces al menos
uno de ellos es cero).
1. Resolvamos la ecuación: x2 – 3x = 0
Ejercicios
Factorizando obtenemos: x2 – 3x = 0 resueltos
x (x – 3) = 0
y aplicando la propiedad indicada, nos queda:
x=0 o x–3=0
de donde obtenemos las soluciones x1 = 0
x2 = 3
Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado 227
10. Soluciones
58. y1 = – 6 y2 = – 4 59. x1 = 6 x2 = 6 60. x1 = –1 x2 = –1
61. x1 = 3 x2 = 3 62. x1 = 4 x2 = 4 63. x1 = –9 x2 = –9
1 2 2
64. x1 = 5 x2 = 5 65. x1 = – x2 = – 1 66. x1 = x2 =
2 2 3 3
1 1 5 5
67. x1 = x2 = 68. x1 = – x2 = – 69. x1 = – 4 x2 = – 4
3 3 2 2 3 3
3 3
70. x1 = x2 =
4 4
4.1.2. Solución de la ecuación
cuadrática aplicando la
fórmula general
A partir de la ecuación general de segundo grado
ax2 + bx + c = 0
podemos obtener las soluciones x1 y x2 aplicando la fórmula:
x = – b ± b – 4ac
2
2a
Ejercicios 1. Resolvamos la ecuación x2 + 3x – 10 = 0 aplicando la fórmula.
resueltos Primero determinamos los coeficientes que son:
a = 1 ; b = 3 y c = – 10
y luego reemplazamos estos valores en la fórmula.
x = – 3± 9 + 40
2
– 3± 7
x=
2
obteniendo x1 = 2 y x2 = – 5
2. Resolvamos la ecuación 4x2 + 4x + 1 = 0
Los coeficientes son a = 4, b = 4 y c = 1
Reemplazando en la fórmula obtenemos:
– 4± 16 – 16
x=
8
– 4± 0
x=
8
1
lo cual nos da las soluciones iguales a – , es decir,
2
1
x1 = – y x2 = – 1
2 2
230 Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado
11. CAPÍTULO 4
3. Resolvamos la ecuación 2x2 + 3x – 1 = 0
Aplicando la fórmula para los valores a = 2 ; b = 3 y c = – 1
– 3± 9+8
obtenemos: x= 4
– 3± 17
x=
4
– 3+ 17 – 3 – 17
y obtenemos x1= y x2 =
4 4
Nota: Si la cantidad subradical no es un cuadrado exacto, la dejamos
expresada tal cual aparece, así como en el ejemplo anterior.
4. Resolvamos la ecuación x2 + x + 2 = 0
Los coeficientes en este caso son a = 1 ; b = 1 y c = 2,
aplicando la fórmula obtenemos:
– 1± 1– 8
x= 2
– 1± – 7
x= 2
y las soluciones son:
– 1+ – 7 – 1– – 7
x1 = y x2 =
2 2
Nota: Si la cantidad subradical es un número negativo, entonces las
soluciones son números complejos. El capítulo de números complejos
está estudiado más adelante, pero aquí podemos definir:
– 1 = i unidad imaginaria
Ej. : –2 =i 2
– 25 = – 1 25 = 5 i .......etc.
entonces en el ejemplo anterior, las soluciones pueden ser
expresadas por:
– 1+ i 7 – 1– i 7
x1 = y x2 = 2
2
5. Resolvamos la ecuación x2 + 2x + 5 = 0
Apliquemos la fórmula directamente:
– 2± 4 – 20 – 2 ± – 16 – 2 ± 4i
x= = = = – 1 ± 2i
2 2 2
y las soluciones son x1 = – 1 + 2i y x2 = – 1 – 2i
Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado 231
13. CAPÍTULO 4
–1– i 119 1 + 13
15. x1 = –1+ i 119 x2 = 16. x1 = x2 = 1 – 13
12 12 6 6
1 + i 26 1 – i 26
17. x1 = x2 = 18. x1 = i 3 x2 = –i 3
9 9
–7 + 237 –7 – 237 17 + 277 17 – 277
19. x1 = x2 = 20. x1 = x2 =
2 2 2 2
–3+ i 41 –3– i 41
21. x1 = x2 = 22. x1 = –1 + 4i x2 = –1 – 4i
2 2
–8
23. x1 = 0 x2 = 24. x1 = 0 x2 = 5
3 2
25. x1 = –6 – 2 10 x2 = –6 – 2 10 26. x1 = 4 + 2 2 x2 = 4 – 2 2
– 9 + 97 –9 – 97
27. x1 = 61 x2 = No hay 28. x1 = x2 = 4
10 4
a+b+i a–b a+b–i a–b
29. x1 = x2 = 30. x1 = 0 x2 = –(a + b)
2 2
– a + a2 – 4b –a – a2 – 4b
31. x1 = x2 = 2
32. x1 = 3ab x2 = –3ab
2
a+b+ a– b 2+4 a+b– a– b 2+4 7+ 5 7– 5
33. x1 = x2 = 34. x1 = x2 =
2 2 2 2
–2+ 13 1 + 13 1 – 13
35. x1 = x2 = –2– 13 36. x1 = x2 =
3 3 4 4
4.1.3 Ecuaciones bicuadráticas
Estas ecuaciones tienen la forma
ax4 + bx2 + c = 0
y podemos resolverlas haciendo el siguiente cambio de variables
y = x2
Con este cambio, la ecuación original se transforma en una
ecuación cuadrática en la variable y:
ay2 + by + c = 0
y aplicando la fórmula general o factorizando podemos obtener los
dos valores de y, que son soluciones de la ecuación transformada.
A partir de cada valor obtenido para y, usando el cambio
de variable efectuado al comienzo, obtenemos dos valores para
la variable original x, y de este modo las 4 soluciones de la
ecuación original.
Nota: La ecuación original es de grado 4 y por lo tanto tiene
4 soluciones.
Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado 233
14. Ejercicios 1. Resolvamos la ecuación: x4 – 5x2 + 4 = 0
resueltos Haciendo el cambio de variable y = x2 obtenemos:
y2 – 5y + 4 = 0
Resolviendo esta ecuación (por factorización o aplicando fórmula)
obtenemos las siguientes soluciones: y1 = 1 ; y2 = 4
Pero como y = x2 (recordemos que “y” es variable auxiliar, nosotros
debemos buscar los valores para la variable original “x”).
y1 = 1, esto implica x2 = 1, es decir x1 = 1
x2 = – 1
y2 = 4, es decir x2 = 4, entonces x3 = 2
x4 = – 2
y las cuatro soluciones de la ecuación original son:
x1 = 1 ; x2 = – 1 ; x3 = 2 ; x4 = – 2
2. Resolvamos la ecuación: x4 – 11x2 + 18 = 0
Hacemos el cambio de variable y = x2 y reemplazamos; nos
queda:
y2 – 11y + 18 = 0
Podemos factorizar (y – 9) (y – 2) = 0
y obtenemos las soluciones auxiliares: y1 = 9 ; y2 = 2
Volvemos a nuestra variable original del siguiente modo:
y1 = 9 implica x2 = 9, es decir x1 = 3
x2 = – 3
y2 = 2 implica x2 = 2, es decir x3 = 2
x4 =– 2
3. Resolvamos la ecuación x4 – 3x2 – 4 = 0
Haciendo y = x2, reemplazando y factorizando obtenemos:
y2 – 3y – 4 = 0
(y – 4) (y + 1) = 0
las soluciones auxiliares son: y1 = 4; y2 = – 1
y= 4 implica x2 = 4, es decir x1 = 2
x2 = – 2
y = – 1 implica x2 = – 1, es decir x3 = i
x4 = – i
Las soluciones pedidas son:
x1 = 2 ; x2 = – 2 ; x3 = i ; x4= – i
234 Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado
16. El signo Δ determina la naturaleza de las soluciones de la
ecuación.
Se verifica:
Si Δ > 0, entonces las soluciones son números reales y distintos.
Si Δ = 0, entonces las soluciones son números reales e iguales.
Si Δ < 0, entonces las soluciones son números complejos.
Ejercicios 1. Determinemos la suma de las soluciones de la ecuación
3x2 – 9x – 16 = 0
resueltos
Notamos que no es necesario obtener las soluciones para
determinar su suma, pues podemos aplicar directamente la
propiedad
–b
x1 + x2 = a para este caso a = 3 y b = –9
9
Entonces tenemos x1 + x2 = =3
3
2. Determinemos el producto de las soluciones de la ecuación
2x2 + x – 15 = 0
Aquí también podemos aplicar directamente la propiedad
c
x1 • x2 = a para a = 2 y c = –15
y obtenemos: x1 • x2 = –15
2
3. ¿Qué valor(es) debe tomar k en la ecuación
9x2 – kx + 1 = 0
para que sus soluciones sean números reales e iguales?
La condición para que las raíces sean reales e iguales es que el
discriminante Δ sea igual a cero. En este ejemplo tenemos a = 9;
b = –k; c = 1
entonces: Δ = 0 ⇒ b2 – 4ac = 0
k2 – 36 = 0
k2 = 36
k=±6
y los valores que puede tomar k son +6 y –6
4. ¿Qué condición debe cumplir t en la ecuación
tx2 + 2x + 1 = 0
para que sus raíces sean números complejos conjugados?
236 Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado
17. CAPÍTULO 4
Para que las raíces de una ecuación sean números complejos
conjugados se debe cumplir que el discriminante sea negativo.
Aquí a = t ; b = 2 y c = 1
entonces: Δ < 0 ⇒ b2 – 4ac < 0
4 – 4t < 0
4 < 4t
1<t
y por lo tanto la condición pedida es que t sea mayor que 1.
5. Determine una ecuación cuadrática sabiendo que sus raíces son:
x1 = 5 y x2 = – 6
Solución 1:
Aplicando las propiedades que relacionan los coeficientes de una
ecuación cuadrática con sus soluciones obtenemos:
–b –b
x1 + x2 = a ⇒ –1 = a
c c
x1 • x2 = a ⇒ – 30 = a
Podemos asignar a “a” cualquier valor; en particular, hagamos
a = 1 y entonces obtenemos b = 1 y c = – 30 y la ecuación
pedida es:
x2 + x – 30 = 0
Solución 2:
Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación, entonces ésta se puede
factorizar por (x – x1) (x – x2) = 0
Aquí x1 = 5 y x2 = – 6,
entonces la ecuación factorizada es (x – 5) (x + 6) = 0
y la ecuación pedida es: x2 + x – 30 = 0
NOTA: Cualquier amplificación que hagamos a una ecuación cuadrática
nos dejará invariables las soluciones. Ésta es la razón que nos permitió
“elegir” a = 1 en la solución 1 del ejemplo anterior.
Ejercicios
1. ¿Cuál es la suma de las soluciones 3. ¿Cuál es la suma de las raíces de
de la ecuación: la ecuación:
3x2 – 5x – 2 = 0? 3x2 – 5x – 1 = 7(x – 3)?
2. ¿Cuál es el producto de las soluciones 4. ¿Cuál es el producto de las raíces de
de la ecuación: la ecuación:
3x2 + 5x + 2 = 0? (x – 5)2 = (x – 5) (x + 5)?
Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado 237
18. Ejercicios
con coeficientes enteros e irreductibles
15. Determine la suma y el producto de cuyas raíces sean:
las raíces de la ecuación: 1
x1 = 3 y x2 =
2ax2 – bx + a2b2 = 0 2
17. Determine una ecuación cuadrática
16. Determine la suma y el producto de
con coeficientes enteros e irreductibles
las raíces de la ecuación:
cuyas soluciones sean:
(a – x)2 + (b – x)2 = 0
1
x1 = – y x2 = 2
17. Determine una ecuación cuadrática- 2
cuyas raíces sean: 18. Determine una ecuación cuadrática
x1 = – 2 y x2 = – 5 con coeficientes enteros e irreductibles
(Esta ecuación debe tener coeficientes cuyas raíces sean:
enteros e irreductibles). 3 2
x1 = y x2 =
5 5
18. Determine una ecuación cuadrática
cuyas raíces sean: 19. Determine una ecuación cuadrática
x1 = 0 y x2 = 1 con coeficientes enteros que tenga
como soluciones:
19. Determine una ecuación cuadrática 2 3
x1 = – y x2 =
cuyas raíces sean: 7 2
x1 = 0 y x2 = 0
20. Determine una ecuación de segundo
10. Determine una ecuación cuadrática grado con coeficientes enteros que
cuyas raíces sean: tenga como soluciones:
x1 = 2 y x2 = – 2 5 3
x1 = y x2 = –
11 4
11. Determine una ecuación cuadrática
cuyas raíces sean: 21. Sin resolver la ecuación
x1 = 3 y x2 = – 3 2x2 + 3x – 5 = 0
determine la naturaleza de sus
12. Determine una ecuación cuadrática soluciones.
cuyas raíces sean:
22. Sin resolver la ecuación
x1 = 5 y x2 = – 5
x2 + x + 1 = 0
13. Determine una ecuación cuadrática determine la naturaleza de sus raíces.
cuyas raíces sean: En los ejercicios 23 Q 30, determine
x1 = 2 y x2 = – 2 la naturaleza de las raíces sin resolver
las ecuaciones.
14. Determine una ecuación cuadrática
cuyas raíces sean: 23. 2 (x – 3)2 – 3 (x + 1)2 = 0
x1 = 6 y x2 = – 6 24. (x – 6) ( x + 5) – 2 (x – 7)2 = (x + 3)2
15. Determine una ecuación cuadrática 25. 3x2 – 5x – 2 = 3 (x – 3) + 2 (x – 1)
con coeficientes enteros e irreductibles
cuyas raíces sean: 26. (1 + x)2 = (1 – 2x)2
2 27. 6x2 + 7x + 4 = 0
x1 = 2 y x2 =
3
16. Determine una ecuación cuadrática 28. 2x (x + 4) – x (x – 1) = (x – 3) (2x – 1)
238 Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado
19. CAPÍTULO 4
x + 5 2x – 3 x – 3
29. + =
x x x–2
35. 3x2 – x – 2k = 0
30. x – 2 + x + 3 = 1 Soluciones reales y distintas.
x+3 x–2
En los ejercicios 31 Q 40 determine qué 36. x2 + x + 3k = 0
valores debe tomar k o qué condiciones
Soluciones reales y distintas.
debe cumplir k para que las soluciones
sean como se requiere en cada caso. 37. 4x2 – 12x – k = 0
31. 2x2 + kx – 3 = 0 Soluciones reales e iguales.
Soluciones reales y distintas. 38. 3kx2 + 2x – 1 = 0
32. 3x2 – kx + 3 = 0 Soluciones complejas conjugadas.
Soluciones reales e iguales. 39. 3x2 – 2kx + 2 = 0
33. kx2 + kx – 2 = 0 Soluciones reales e iguales.
Soluciones reales e iguales. 40. 3kx2 – 2x + 5 = 0
34. 5x2 + 2x + k = 0 Soluciones reales e iguales.
Soluciones complejas conjugadas.
Soluciones
1. x1 + x2 = 5 14. x2 – 6 = 0 29. Δ > 0 Reales y distintas.
3
2 15. 3x2 – 8x + 4 = 0 30. Δ < 0 Complejas conju-
2. x1 • x2 =
3 16. 2x2 – 7x + 3 = 0 gadas.
3. x1 + x2 = 4 17. 2x2 – 3x – 2 = 0 31. k2 > – 24; cualquier k
4. Tiene 1 sola raíz. real.
18. 25x2 – 25x + 6 = 0
32. k = ± 6
5. x1 + x2 =
b 19. 14x2 – 17x – 6 = 0
2a 33. k = 0 o k = – 8;
20. 44x2 + 13x – 15 = 0
ab2
x1 • x2 =
2 21. Δ > 0 Reales y distintas. k2 + 8k > 0
6. x1 + x2 = a + b 22. Δ < 0 Complejas conju- 1
34. k >
a2 + b2 gadas. 5
x1 • x2 =
2 23. Δ > 0 Reales y distintas. 35. k > – 1
24
7. x2 + 7x + 10 = 0
24. Δ < 0 Complejas conju-
36. k < 1
8. x2 – x = 0 gadas. 12
9. x2 = 0 25. Δ < 0 Complejas conju- 37. k = – 9
gadas.
10. x2 – 4 = 0 38. k < – 1
26. Δ > 0 Reales y distintas. 3
11. x2 – 9 = 0
27. Δ < 0 Complejas conju- 39. – 6 < k < 6; k 2 < 6
12. x2 – 25 = 0 gadas.
1
13. x2 – 2 = 0 40. k =
28. Δ > 0 Reales y distintas. 15
Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado 239
20. 4.2 La función cuadrática
Corresponde a la expresión y = ax2 + b x + c, donde x es la
variable independiente; y es la variable dependiente; a,b, y c son
los coeficientes de la función.
La gráfica de la función cuadrática es una parábola y puede
tener una de las siguientes seis posiciones.
y y y
x x x
1 2 3
y y y
x x x
4 5 6
Es decir, se puede abrir hacia arriba (figuras 1-2-3) o hacia abajo
(figuras 4-5-6) y puede intersectar al eje x en 2 puntos (figuras 1 y 4);
en 1 punto (figuras 2 y 5) o en ningún punto (figuras 3 y 6).
La concavidad de la parábola o la posición en que se abre,
(hacia arriba o hacia abajo) está determinada por el signo del
coeficiente de x2 en la función y = ax2 + bx + c , es decir, está
determinada por el signo de "a". Así:
• si a > 0, entonces la concavidad es positiva y la parábola
se abre hacia arriba.
• si a < 0, entonces la concavidad es negativa y la parábola
se abre hacia abajo.
NOTA: “a” no puede tomar el valor 0 (cero) pues entonces la
función sería lineal y no cuadrática.
Las intersecciones de la gráfica con el eje X corresponden
a las soluciones de la ecuación cuadrática asociada; es decir a;
240 Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado
21. CAPÍTULO 4
ax2 + bx + c = 0 (cuando y toma el valor cero la gráfica está
sobre el eje x).
Como sabemos, los tipos de soluciones de la ecuación dependen
del signo del discriminante Δ = b2 – 4ac.
Si Δ > 0, entonces las soluciones son reales y distintas y
por lo tanto hay dos intersecciones con el eje x; éstas son los
puntos x1 y x2.
Si Δ = 0, las soluciones son reales e iguales y hay una sola
intersección con el eje x. Aquí x1 = x2.
Si Δ < 0, las soluciones son complejas conjugadas y entonces
no hay intersección con el eje x.
La intersección de la parábola con el eje Y se obtiene haciendo
x = 0 y corresponde por supuesto a y = c.
Todas las parábolas tienen un vértice que corresponde al valor
mínimo (si la parábola se abre hacia arriba) o al valor máximo
(si se abre hacia abajo).
Las coordenadas del vértice son: x = –b
2a
b b2 – 4ac
V – ,–
2a 4a
b
La recta x = – es el eje de la parábola.
2a
El dominio de la función cuadrática es R
(no hay restricción).
El recorrido depende de la concavidad: x1
. .x
2
Si a > 0 entonces c
.
Rec.(f) = [(
–
b2 – 4ac
4a )
,+• [ V
Si a < 0 entonces
Rec.(f) = ] ( 2
– • , – b – 4ac
4a
)]
1. Determinemos la concavidad y el número de intersecciones con
Ejercicios
el eje x de la gráfica de la función:
y = 2x2 + 3x – 1
resueltos
En esta función tenemos: a = 2, b = 3, c = –1.
Para la concavidad nos basta con analizar el signo de a.
a = 2; a > 0 implica concavidad positiva, la parábola se
abre hacia arriba.
Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado 241
22. Ejercicios Para determinar las intersecciones con el eje X analizamos el signo
del discriminante Δ = b2 – 4ac
resueltos Δ=9+8
Δ = 17; Δ > 0, es decir, las soluciones son reales y distintas, por lo
tanto hay dos intersecciones con el eje X.
2. Determinemos la concavidad y el número de intersecciones de la
gráfi de la función: (con el eje X)
ica
y = – 3 x2 – x + 2
De inmediato; a = – 3; a < 0 implica concavidad negativa y la
parábola se abre hacia abajo.
Δ = b2 – 4ac
Δ = 1 + 24 = 25
Δ > 0 , hay dos intersecciones con el eje X.
3. Determinemos concavidad e intersecciones con el eje X en la
función
y = – x2 + 6x – 9
a = – 1 , concavidad negativa, por lo tanto la parábola se abre
hacia abajo.
Δ = 36 – 36
Δ = 0, es decir, hay un solo punto de intersección con el eje X.
4. Determinemos, en la función
y = x2 – 4x – 32
la concavidad, las intersecciones con ambos ejes, las coordenadas
del vértice, el dominio y el recorrido y esbocemos la gráfica.
Tenemos:
y = x2 – 4x – 32 a = 1 ; b = – 4 ; c = – 32
a) concavidad
a=1,a>0fi
b) intersecciones
con eje X : Δ = 144
Δ > 0 fi 2 intersecciones.
Solucionamos la ecuación para determinar los puntos de
intersección, que están dados por las soluciones x1 y x2
x2 – 4x – 32 = 0 fi (x – 8) (x + 4) = 0
fi x1 = 8 y x 2 = – 4
con eje Y:
hacemos x = 0 en la función y = x2 – 4x – 32 y obtenemos
y = – 32
c) Coordenadas del vértice.
b b2 – 4ac
V ,–
2a 4a
reemplazando obtenemos: V (2 , – 36)
242 Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado
23. CAPÍTULO
CAPITULO 4
d) Dom (f) = R
Rec (f) = [– 36, + • [ x2 = –4 2 x1 = 8
e) Gráfico
–32
–36 vértice
5. Dada la siguiente gráfica, determinemos
la función correspondiente.
Debemos determinar a, b y c. . 28
Tenemos x1 = – 7
x2 = 2
c = 28
(c es la intersección de la gráfica con el
eje y)
.
–7
.2
b
Sabemos que x1 + x2 = – a
c
y x1 • x2 = a
c 28
x1 x2 = 2 = a ⇒ – 14a = 28 ⇒
•
a :–7 • a=–2
b b
x1 + x2 = – b : – 7 + 2 = – a ⇒ – 5 =
a
⇒ b = – 10
2
entonces la función pedida es: y = – 2x2 – 10x + 28
Ejercicios
1. Dados los siguientes gráficos, determine signo de ‘a’, (concavidad)
y tipos de soluciones de la ecuación asociada:
a) b) c) d)
Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado 243
24. Ejercicios
c) coordenadas del
En los ejercicios 2 → 10, 33.
vértice
determine la concavidad y
el número de interseccio- d) recorrido de la
nes con el eje X. función
5
2. y = x2 –1 e) gráfico
3. y = x2 + 1 19. y = x2 + 4x + 3
2 5
20. y = – x2 + 5x
4. y = – 2x2 – 3x + 1
21 y = x2 – 6x + 5 34.
5. y = 3x2 + x + 1
22. y = – x2 + 2x + 24
6. y = – 5x2 + 2x
23. y = – x2 + 6x + 16
7. y = – 3x2 +4 4
24. y = 3x2 – 5x – 2
8. y = 6x2 – 2x – 3
25. y = 4x2 – 9x + 2 –8 –2
9. y = x2 + x + 1
26. y = – 4x2 + 9
10. y = – 5x2 27. y = 2x2 + 5x + 4 35.
Determine las coorde- 28. y = x2 + 5x
nadas del vértice de la 4
gráfica de las funciones 29. y = 6x2 – 13x – 5
dadas en los ejercicios 30. y = – 3x2 – 5x – 6
11 Q 18. –2 2
En los ejercicios 31 Q 42
11. y = x 2 – 5
determine la función corres-
12. y = x2 + 2x + 1 pondiente de acuerdo con
los datos dados:
13. y = 4x2 – 3x – 2
31. 36.
14. y = – 2x2 +x+1
15. y = 3x2 – 3x + 2 6 .
–2
. .4 3
3x 1
16. y = – 3x2 + – 2
4 32
–8 .
17. y = – x2 + 1
1 2
3x2
18. y = – 2x + 5
2
32. 37.
En los ejercicios 19 → 30 9
determine:
a) concavidad de la
parábola –3 3
–6
. .–2
b) intersección con el –1
eje X
244 Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado
25. CAPÍTULO 4
38. 40. 42.
–7
. –1
.
–4 4
. –8 . –14
39. 41.
6 .
–1
. .4
–2 .
3
Soluciones
7. Concavidad negativa; 19. a) positiva
1. a) a < 0 ; 2 intersecciones. b) x1 = – 1; x2 = – 3
soluciones reales 8. Concavidad positiva; c) V( – 2, – 1 )
y distintas. 2 intersecciones. d) Rec: [ – 1, • )
b) a > 0 ;
soluciones 9. Concavidad positiva; 20. a) negativa
complejas 0 intersecciones.
b) x1 = 0 ; x2 = 5
conjugadas. 10. Concavidad negativa;
c) a > 0 ;
soluciones reales
1 intersección. c) V ( 5 25
,
2 4 )
11. V (0, – 5)
y distintas.
d) a < 0 ;
d) Rec: ( – ∞ ,
25
4
]
12. V (– 1, 0)
soluciones 21. a) positiva
reales e
iguales. 13. V
3
8 ( )
,–
41
16
b) x1 = 5
c) V ( 3, – 4 )
; x2 = 1
2. Concavidad positiva;
2 intersecciones. ( )
14. V 4 , 8
1 9 d) Rec: [ –4, • )
3. Concavidad positiva; 22. a) negativa
0 intersecciones. 15. V ( ) 1 5
,
2 4
b) x1 = 6
c) V (1, 25)
; x2 = – 4
4. Concavidad negativa;
2 intersecciones.
5. Concavidad positiva;
16. V ( 1)1
,
8 64 d) Rec: (– •, 25]
0 intersecciones. 17. V (0, 1) 23. a) negativa
b) x1 = 8 ; x2 = –2
6. Concavidad negativa;
2 intersecciones.
18. V ( 2 13
,
3 3 ) c) V (3, 25)
Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado 245
26. Soluciones
d) Rec: ( – ∞ , 25] 5 7
c) V – , 31. y = x2 – 2x – 8
4 8
24. a) positiva 7
d) Rec: [ , ∞) 32. y = – x2 + 9
8
b) x1 = 2 ; x2 = – 1 1 2 7
3 28. a) positiva 33. y = x – x+5
5 49 2 2
c) V , – 4 2 40 64
6 12 b) x1 = 0 ; x2 = – 5 34. y = – x – x–
– 49 9 9 9
d) Rec: [ , ∞) 5 25
12 c) V – , – 35. y = x2
2 4
25. a) positiva
– 25 36. y = x2 – 4x + 6
1
d) Rec: [ , ∞)
4
b) x1 = 2 ; x2 = 1 2
4 29. a) positiva 37. y = x + 2x + 3
4
c) V 9 – 49
, 5 2
8 16 b) x1 = ; x2 = – 1 38. y = – x – 4x – 8
2 3 2
d) Rec: [ – 49 , ∞ ) 1
16 c) V 13 , – 289 39. y = x2 – 3x – 2
12 24 2 2
26. a) negativa
289
3 3 d) Rec: [ – ,∞) 40. (Faltan datos)
b) x1 = ; x2 = – 24
2 2
30. a) negativa
c) V (0, 9) 41. y = 2x2 – 4x + 6
b) no hay 3
d) Rec: ( – ∞ , 9 ]
5 47 42. y = –2x2 – 16x – 14
c) V – , –
27. a) positiva 6 12
b) no hay 47
d) Rec: ( – ∞ , – ]
12
4.3 Inecuaciones de segundo grado
Resolveremos aquí inecuaciones que pueden ser expresadas
en la forma:
ax2 + bx + c ≥ 0 o ax2 + bx + c ≤ 0
(por supuesto que las desigualdades también pueden ser estrictas,
es decir > ).
Usaremos la siguiente propiedad de los números reales:
a • b > 0 Pa > 0 A b > 0 o
a<0 A b<0
a • b < 0 Pa > 0 A b < 0 o
a<0 A b>0
es decir, un producto de dos factores es positivo si ambos tienen el
mismo signo y es negativo si ambos tienen distinto signo.
Entonces para resolver una inecuación cuadrática, la factorizamos
primero (esto es siempre posible determinando las raíces) y luego
aplicamos la propiedad señalada.
246 Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado
27. CAPÍTULO 4
1. Resolvamos la inecuación: x2 – 5x + 6 > 0
Ejercicios
Factorizándola nos queda: (x – 2) (x – 3) > 0
resueltos
Aplicando la propiedad, tenemos las siguientes condiciones:
ii) x–2>0 A x–3>0 o
ii) x–2<0 A x–3<0
De i) obtenemos x–2>0⇒x>2
x–3>0⇒x>3
Como deben cumplirse simultáneamente, la solución S1 es la
intersección de ambas soluciones parciales, es decir Si = ] 3, ∞[
De ii) tenemos el siguiente sistema x – 2 < 0 y
x–3<0
con lo cual obtenemos las condiciones x < 2 A x < 3
la intersección de ambas es S2 = ] – ∞, 2 [
La solución final es la unión de S1 y S2 (puesto que i) e ii) son
situaciones independientes), es decir;
S = ] – ∞, 2 [ K ] 3, + ∞ [
En forma gráfica:
2 3
2. Resolvamos la inecuación x(2x + 4) – (x2 + 2x) – 35 £ 0
Factorizando tenemos: (x + 7) (x – 5) ≤ 0
Aplicando la propiedad tenemos dos sistemas, que son:
i) x + 7 £ 0 y ii) x + 7 ≥ 0
x– 5≥0 x–5£0
De i) obtenemos x £ – 7 A x ≥ 5 ,
lo cual es una contradicción pues no hay ningún número que
cumpla simultáneamente ambas condiciones.
De ii) obtenemos x ≥ – 7 y x ≤ 5
lo que nos da como solución el intervalo [– 7, 5]
la solución gráfica es:
–7 5
3. Resolvamos la inecuación 2x2 + 9x – 5 > 0
Las raíces de la ecuación 2x2 + 9x – 5 = 0 son
x1 = 1 y x2 = – 5,
2
entonces podemos escribir (la ecuación) en la forma:
1
x– x+5 =0
2
Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado 247
28. Ejercicios Amplificándola por 2, nos queda la factorización correspondiente a
la inecuación original, es decir, estudiamos:
resueltos
(2x – 1) (x + 5) > 0
i) 2x – 1 > 0 Q x > 2
1 { 1
fi x > 2 (S1)
x+5>0 Qx>–5
ii) 2x – 1 < 0 Q x < 1 {
2
fi x < – 5 (S2)
x+5<0Qx<–5
S = S1 K S2, es decir
1
S = ] - •, – 5 [ K ] 2 , + • [
en forma gráfica:
–5 1
2
4. Resolvamos la ecuación 3x2 + 20x – 7 ≥ 0
Procedamos aquí de un modo diferente. Factorizando la expresión
nos queda (3x – 1) (x + 7) ≥ 0
Las raíces de la ecuación correspondiente son x1 = – 7 y x2 = 1
3
Ubicamos estos puntos en el eje real, obteniendo tres intervalos.
I II III
–7 1
3
Los signos que se obtienen al reemplazar la variable x de la inecuación
por un número real, van intercalados, es decir, cambian de un intervalo
al intervalo siguiente. La razón es obvia.
Por esto sólo basta reemplazar la variable x por un valor cualquiera;
esto nos determinará el signo del intervalo donde se encuentra ese valor
y por consiguiente, el signo de los otros intervalos.
Veamos qué pasa con x = 0, (x pertenece al segundo intervalo).
x = 0 Q 3x2 + 20x – 7 < 0
Entonces si x pertenece al segundo intervalo, la expresión es negativa
allí y por lo tanto es positiva en el primer y tercer intervalo.
1
(y es igual a cero en los puntos –7 y 3 )
+ – +
–7 1
3
Así, la solución para 3x2 + 20 x – 7 ≥ 0 es
1
S = ] – •, – 7] K [ 3 , + • [
248 Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado
29. CAPITULO 4
5. Resolvamos la inecuación 3x2 – 11 x – 4 < 0.
1
Las raíces de la ecuación asociada son x1 = – 3
y x2 = 4
por lo tanto la factorización correspondiente es
(3x + 1) (x – 4) < 0.
Ubicamos las raíces en la recta real (en este caso estos valores no
deben estar incluidos en la solución pues se trata de una desigualdad
estricta) y analizamos lo que pasa para cualquier valor de la variable,
por ejemplo para x = 0 :
I II III Nota:
+ – +
Si x = 0, que pertenece al segundo
1 x=0 4 intervalo, la inecuación queda:
3
3 • 02 – 11 • 0 – 4 < 0
(x = 0 pertenece al segundo intervalo) –4 < 0
1
Por lo tanto la solución pedida es: S = ] – 3 , 4 [ como esto es verdadero el intervalo
II es solución.
Ejercicios
Resuelva las siguientes inecuaciones:
1. x2 – 1 ≥ 0 12. 3 (2x2 + 1) > 11x
2. 8x2 + 5x ≥ 0 13. x (3x – 4) > 7
3. x (x – 3) – 2x (x – 2) + 3x < 0 14. 5x2 + 4x – 1 £ 0
4. 4x2 < 1 15. (x – 2)2 £ 2 (x2 + 2)
5. 3x2 – 5x < 0 16. x2 – 10x + 25 < 0
6. x (x – 5) – 2x (x + 3) + 6 £ x2 – 11x 17. 4x (x – 4) + 7 ≥ 0
7. x2 – 13x + 40 < 0
x+2 x
8. 2x2 + 3 £ 7x 18. 2x – 1 – x – 2 + 2 ≤ 0
9. 2x2 – 3x – 36 > x2 + 2x 2x x 5
19. – + ≥0
10. 3x2 + 16x – 12 < 0 x + 12 x + 3 x + 12 x + 3
x+1 x+2 x+3
11. 4x (x + 3) ≥ – 5 20. + ≤
x – 1 2x + 1 x – 1
Soluciones
–1 1
1. S = ]– •, –1] K [1, + •[
5 0
–
] 5
]
2. S = – •, – 8 K [0, + •[ 8
Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado 249
30. Soluciones
3. S = ] – •, 0 [K] 4, + • [ 0 4
4. S = ] –1 1
,
2 2 [ 1
2
1
2
5. S = 0,] 5
3
[ 0 5
3
6. S = ]– •, – 3] K [ 3, + •[
– 3 3
7. S = ] 5, 8 [ 5 8
8. S = [ 1 , 3]
2
1
2
3
9. S = ]– •, – 4 [ K ] 9, + •[ –4 9
]
10. S = – 6,
2
3
[ –6 2
3
]
11. S = – •, – 2
5
]K[ –1
2
,+ • [ 5
2
1
2
]
12. S = – •, 3
1
[ K ] 3 , + •[
2
1
3
3
2
13. S = ] – •, – 1[ K ] 7 , + •[
3
–1 7
3
[
14. S = – 1,
1
5
] –1 1
5
15. S = ] – •, – 4] K [0, + •[ –4 0
16. S = Δ
]
17. S = – •, 1
2
]K [ 7
2
,+• [ 1
2
7
2
1
18. S = [ 0, [ K ] 2, 3 ] 0 1 2 3
2 2
19. S = ] – •, – 12 [ K ] – 3, 1 ] K [ 5, + • [
– 12 –3 1 5
1
20. S = [ –1, – [ K ] 1, 4 ] –1
2 –1 1 4
2
250 Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado
31. CAPÍTULO 4
Sistemas de ecuaciones de 4.4
segundo grado
Un sistema de ecuaciones en dos variables es de segundo grado si
alguna de las ecuaciones contiene alguno de los términos x2, y2 o xy
(suponiendo que las variables son x e y por supuesto).
No hay métodos generales que puedan ser aplicados en forma
práctica a todos los sistemas.
Veremos aquí algunos tipos de ellos.
4.4.1 Sistemas que contienen
una ecuación lineal y una
ecuación cuadrática
Para resolverlo, despejamos una de las variables de la ecuación
lineal y la sustituimos en la ecuación cuadrática.
1. Resolvamos: 2x + y = 10 Ejercicios
2 x2 – y2 = 12 resueltos
Despejemos la variable “y” de la primera ecuación:
y = 10 – 2x
Reemplacemos en la segunda ecuación la variable “y” despejada.
Obtenemos:
x2 – (10 – 2x)2 = 12
x2 – (100 – 40x + 4x2) = 12
Ordenando los términos tenemos la siguiente ecuación cuadrática:
3x2 – 40x + 112 = 0
28
cuyas soluciones son: x1 = 4 y x2 =
3
x1 = 4 Q y1 = 2
Si 28 26
x2 = Q y2 = – 3
3
La solución de la ecuación es el conjunto
S= { (4, 2), ( 28 , – 26 )}.
3 3
Notemos que la solución de este tipo de sistemas puede estar
formada por 2 puntos, 1 punto o ninguno (geométricamente representa
la intersección de una línea recta con una cónica, o bien, la intersección
de dos cónicas).
Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado 251
32. Ejercicios 2. Resolvamos el sistema: x + y =6
resueltos x2 + y2 = 16
Despejamos la variable x (o la variable “y”) de la primera ecuación
y obtenemos:
x=6–y
y la reemplazamos en la segunda ecuación:
(6 – y)2 + y2 = 16
2y2 – 12y + 20 = 0 o y2 – 6y + 10 = 0
las soluciones algebraicas de esta ecuación son los puntos
y1 = 3 + i y y2 = 3 – i
y por lo tanto
x1 = 3 – i ; y1 = 3 + i
x2 = 3 + i ; y2 = 3 – i
geométricamente el sistema no tiene solución.
3. Resolvamos el sistema: x – y = – 7
xy = – 10
Despejando la variable “y” de la primera ecuación:
y=x–7
y reemplazándola en la segunda: x (x – 7) = – 10
x2 – 7x + 10 = – 0
las soluciones de la ecuación son: x1 = 2 y x2 = 5.
Si x = 2 entonces y=– 5
x = 5 entonces y=– 2
y la solución del sistema es: S = {(2, – 5), (5, – 2)}
Ejercicios
Resuelva los siguientes sistemas:
1. x – y = 2 4. 2x + y2 = – 1 7. 3x – 2y = 6
x2 + y2 = 20 2 x – y2 =–8 2x2 – y2 = 23
2. 2x + y = 4 5. 2x – y2 = 29– 8. 2x + 4y = – 18
x2 + y2 = 5 2xy = – 40 4xy = – 40
3. x – 2y = 7 6. 2x + y = – 6 9. 5x – y = 8
x2 – y = 26 x2 + 2y = – 0 – 2xy = 6
252 Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado
