1. Geometrie diferen ială An.1 Sem.2 MI – Info
A Curbe Plane
B Curbe in spatiu Grila actuala
C Suprafete
D Prima grila (157 subiecte)
E Grila 2007 - Curbe plane - True / False
F Grila 2007 - Curbe strimbe - True / False
G Grila 2007 - Suprafete - True / False
H Grila 2007 - Completion
Autor: Cris_43 – Deva Anul I. MI – Informatica, naerpo@xnet.ro
Cercul cu centrul în origine şi de raza r scris în coordonate polare are ecua ia
A 1 a
a. p=r b. x = p cos t , y = p sin t (t ∈ »)
Conditia de ...........................ORTOGONALITATE....................... a doua curbe ( γ 1 ) şi (γ 2 ) pe o suprafata
r = r ( u, v )
C 25
este:
Eduδ u + F ( duδ v + dvδ u ) + Gdvδ u = 0
Curba (C) de ecua ie:
( C ) : x = 1 + t 3 , y = t 2 + t 3 , z = 5t 2 + 2t 2 + 3, t ∈ » este:
D 103 c
a. situată în planul: x + 8 y − 10 z − 3 = 0 c. situată în planul: 3x + 2 y − z = 0
b. tangenta la planul: 3 x + 2 y + z − 1 = 0 d. tăiată de planul: 3 x + 2 y − z = 0 în două
puncte.
 x = r cos θ

Curba (C) definită prin ecua iile parametrice:  y = r sin θ este o:
D 85
 z = kθ
 b
a. elipsă în spa iu. c. elice conică.
b. elice circulară. d. altă curbă din spa iu.
Curba a carei ecuatie implicita este:
2 2 2
A 41 (C ) : x 3 + y 3 = a 3 ( a > 0)
se numeste ……………..…ASTROIDA……………..…
Curba a carei ecuatie implicita este:
2 2 2
H 197 (C ) : x 3 + y 3 = a 3 ( a > 0)
se numeste .....................ASTROIDA.....................
Curba de ecuatie
( C ) : ρ = a (1 + cos α )
reprezinta
A 4 c
a. un cerc scris în coordonate b. un lantisor c. o cardioida
a
polare şi de raza
2
1

2. Curba de ecuatie:
E 3 ( C ) : ρ = a (1 + cos α ) F
este numita (se numeste) si cicloida.
Curba de ecuatie:
E 6 ( C ) : ρ = a (1 + cos α ) T
este numita (se numeste) si cardioida.
Curba de ecuatie:
 ρ = at

B 34 z = 0
reprezinta ......................SPIRALA LUI ARHIMEDE......................
Curba definita de ecuatiile parametrice:
 x = a ( t − sin t )

E 2 (C ) :  F
 y = a (1 − cos t )

se numeste cisoida.
Curba definita de ecuatiile parametrice:
 x = a ( t − sin t )

E 4 (C ) :  T
 y = a (1 − cos t )

se numeste cicloida.
Curba definita parametric de ecuatiile:
 x = at cos t
( C ) :  y = at sin t , t ∈ [0, 2π ]

B 2  z = bt
 c
reprezintă:
a. o elipsă în spa iu. c. o elice conica.
b. o elice circulara. d. altă curba în spa iu.
 x = r cos θ

Curba ( C ) definita prin ecuatiile parametrice:  y = r sin θ este o:
B 1
 z = kθ
 b
a. elipsă în spa iu. c. elice conica.
b. elice circulara. d. altă curba din spa iu.
Curba definită parametric de ecua iile:
 x = at cos t
( C ) :  y = at sin t , t ∈ [0, 2π ]

D 88
 z = bt
 c
reprezintă:
a. o elipsă în spa iu. c. o elice conică.
b. o elice circulară. d. altă curbă în spa iu.
2

3. Curba definită parametric prin ecua iile:
 x = r cos θ
( C )  y = r sin θ

D 136
 z = kθ
 c
reprezinta o:
a. spirală logaritmică c. elice circulară
b. elice conica d. cerc în spa iu.
Curba în spa iu:
( C ) : x = 3 + 2t + 4t 3 , y = 4 + 3t + 2t 3 , z = 2 + 4t + 3t 3 , t ∈ »
este situată întrun plan ( P ) de ecua ie:
D 102 b
a. 10 x + y − 8 z − 27 = 0 c. 10 x − y + 8 z − 27 = 0
b. x + 10 y − 8 z + 27 = 0 d. x − 10 y + 8 z − 27 = 0
Curba lui Viviani, definită implicit de ecua iile:
 2 2 2 2
x + y + z − r = 0
(C )  2 2
 x + y − rx = 0

admite reprezentarea parametrică:
 x = r cos t  x = r sin t cos t
D 135   2 b
a.  y = r sin t cos t , t ∈ [ 0, 2π ] c.  y = r sin t , t ∈ [ 0, 2π ]
 z = r sin t  z = r cos t
 
 x = r cos 2 t  x = r sin 2 t
 
b.  y = r sin t cos t , t ∈ [ 0, 2π ] d.  y = r sin t cos t , t ∈ [ 0, 2π ]
 z = r sin t  z = r sin t
 
H 198 Curba plana a carei .....................CURBURA.....................constanta este un cerc.
A 42 Curba plana a carei ……………..…CURBURA……………..… constanta este un cerc.
Curba stramba a carei ecuatie implicita este
 x2 + y 2 − r 2 = 0
H 213
(C ) : 
z = 0
reprezinta un .....................CERC.....................
Curba stramba a carei reprezentare parametrica este
 x = at ⋅ cos t
( C ) :  y = at ⋅ sin t
 (t ∈ » )
H 216  z = bt

ste o elice .....................CONICA.....................
3

4. Curba stramba a carei reprezentare parametrica este
 x = r ⋅ cos t
H 224
( C ) :  y = r ⋅ sin t
 ( t ∈ » ) (C):
 z = kt

este o elice ……………CIRCULARA……….............
Curba strimba a carei ecuatie implicita este:
 x2 + y 2 − r 2 = 0
B 18 (C ) : 
z = 0
reprezinta un ......................CERC......................
Curba strimba a carei reprezentare parametrica este:
 x = at cos t
B 16 ( C ) :  y = at sin t , ( t ∈ » )

 z = bt

este o elice ......................CONICA......................
Curba strimba a carei reprezentare parametrica este:
 x = r cos t
B 17 ( C ) :  y = r sin t , ( t ∈ » )

 z = kt

este o elice ......................CIRCULARA......................
Curbe de ecuatie implicita
 x2 + y 2 + z 2 − r 2 = 0
B 33

z = 0
este un ......................CERC......................
Curbele ( C1 ) şi ( C2 ) admit în punctul M un contact de ordinul n, dacă cele două curbe au (n +1) puncte
A 100
……………..…CONFUNDATE……………..…
A 98 Curbele plane a căror curbură este constantă sunt ……………..…CERCURI……………..….
A 91 Curbura cercului de raza 1/2 este ……………..…2……………..…
1
B 32 Curbura unui cerc de raza este egala cu ......................4......................
4
1
Daca în punctul M (x,y) ∈ (C): F ( x, y ) = 0, F ∈ C ( D ) , D ⊂ »2
2
A 48 ( F ′′ )
xy − Fx′′ Fy′′ < 0,
2 2
atunci M se numeste ……………..…PUNCT IZOLAT……………..… al curbei.
C 38 Dacă normala în punctul curent al unei suprafe e păstrează direc ia fixă, suprafa a este un …....…PLAN………
Determinati punctele singulare ale curbei
( C ) : y 2 − ( x − 2 )( x − 1) = 0
A 14 şi sa se scrie ecuatiile tangentelor corespunzatoare. b
a. A ( 0, 2 ) y = x ± 2 b. A ( 0, 2 ) y = ± ( x − 2 )
4

5. Distanta de la un punct M la punctul T, unde tangenta (MT ) taie axa Ox se numeste
A 59
……………..…SEGMENT TANGENTA……………..…
Ecuatia normalei intr-un punct ordinar M la o suprafata definita de ecuatia explicita:
( S ) : z = f ( x, y )
este:
G 8 X −x Y −y Z−z T
= =
p q −1
unde p = z ′ si q = z ′
x y
Ecuatia normalei intr-un punct ordinar M la o suprafata definita de ecuatia explicita:
( S ) : z = f ( x, y )
este:
G 9 X −x Y −y Z−z F
= =
p q 1
unde p = z ′ si q = z ′ .
x y
Ecuatia planului normal la sfera:
( S ) : x2 + y 2 + z3 = R2
G 4 T
in punctul M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ ( S ) este
xx0 + yy0 + zz0 = 0 .
Ecuatia planului tangent la o suprafata definita de ecuatia explicita:
( S ) : z = f ( x, y )
G 6 este: F
p ( X − x ) + q (Y − y ) + ( Z − z ) = 0
unde p = z′ si q = z′
x y
Ecuatia planului tangent la o suprafata definita de ecuatia explicita:
( S ) : z = f ( x, y )
G 7 este: T
p ( X − x ) + q (Y − y ) − ( Z − z ) = 0
unde p = z′ si q = z′
x y
Ecuatia planului tangent la sfera:
( S ) : x2 + y 2 + z3 = R2
G 5 F
in punctul M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ ( S ) este
xx0 + yy0 + zz0 = R 2 .
Ecuatiile:
 x = R cos α sin β

G 1  y = R sin α sin β (α ∈ [0, π ) , β ∈ [0, 2π ]) T
 z = R cos β

constituie o reprezentare parametrica a unei sfere.
5

6. Ecuatiile:
 x = R cos α sin β

G 2  y = R sin α sin β (α ∈ [0, π ) , β ∈ [0, π ]) F
 z = R cos β

constituie o reprezentare parametrica a unei semi-sfere.
Ecua ia tangentei la curba
 x = et cos t
A 53
(C ) : 

 y = e sin t
t

în punctul A(1,0).este ……………..…X - y - 1 = 0……………..…
Ecua ia:
(Y − y ) Fy′ + ( X − x ) Fx′ = 0
A 52
reprezinta ……………..…TANGENTA……………..… la o curba regulata F ( x, y ) = 0 , dusa printr-un punct
( x, y ) al curbei.
Elementul de arc al curbei circulare:
 x = a ⋅ cos θ
( C ) :  y = a ⋅ sin θ
 (θ ∈ [0, 2π ])
F 1  z = kθ F

este
ds = 2π a 2 + k 2
Elementul de arc al curbei circulare:
 x = a ⋅ cos θ
( C ) :  y = a ⋅ sin θ
 (θ ∈ [0, 2π ])
F 2  z = kθ T

este
ds = 2π a 2 + k 2 dθ
Elementul de arc al curbei:
( C ) : ρ = a (1 + cos α )
E 10 este: T
α
ds = 2a cos dα
2
Elementul de arc al curbei:
( C ) : ρ = a (1 + cos α )
E 9 este: F
2 α
ds = 2a cos dα .
2
6

7. Elementul de arc pe curba:
 x = a cos θ
( C ) :  y = a sin θ , t ∈ [0, 2π ]

 z = kθ
D 141
 c
este:
a. ds = a 2 − k 2 dθ c. ds = a 2 + k 2 dθ
1
b. ds = a 1 + k 2 dθ d. ds = 1 + k 2 dθ
a
Elementul de arc pe elicea conică:
 x = at cos t
( C )  y = at sin t

 z = bt

D 139 este: d
a. ds = a 2t 2 + b 2 dt c. ds = a + b 2t 2 dt
b2
b. ds = t 2 + dt d. ds = a 2 + t 2 + b 2 dt
a2
Elementul de arc pe lantisorul de ecuatie:
E 12 ( C ) : y = chx T
este: ds = chx .
Elementul de arc pe lantisorul de ecuatie:
E 11 ( C ) : y = chx F
este: ds = shx .
Eliminand parametrul t intre ecuatiile parametrice reprezentand curba:
x = t +1

( C )  y = t 2 + t + 2 obtinem ecuatiile implicite ale curbei:
 z = −t 2 + 2

D 143 b
 x + ( z − 1)2 − 2 = 0
  x 2 + 2 ( z − 1) − y = 0
a. ( C )  c. (C ) 

x − y − z − 3 = 0
 x − y − z = 0

 z + 2 ( x − 1)2 − 2 = 0
  x + ( y − 1)2 − 2 z = 0

b. ( C) d. ( C)
x − y − z + 3 = 0
 x − y − z + 3 = 0

7

8. Eliminând parametrul t între ecua iile curbei:
 x = r cos 2 t

( C ) :  y = r sin cos t
 z = r sin t

să se scrie ecua iile curbei (C) sub formă implicită.
D 84 b
x + y − z − r = 0

2 2 2 2
 2 2
 x + y − ry = 0
a.  2 2 2
c.  2 2
 x + y + z − rx = 0
  x + y − rz = 0

 x2 + y 2 + z 2 − r 2 = 0
  2 2 2
 x + y + z − rx = 0
b.  2 2
d.  2 2 2
 x + y − rx = 0
  x + y + z − rz = 0

Eliminând parametrul ϕ între ecua iile parametrice ale curbei:
 x = 2a sin 2 ϕ
(C ) 
 sin 3 ϕ (cisoida lui Diocles)
 y = 2a
 cos ϕ
D 21 se ob ine ecua ia curbei sub formă implicită: b
a. y ( x 2 + y 2 ) − 2ax 2 = 0 c. x ( x2 + y 2 ) + a2 ( x2 − y 2 ) = 0
b. x ( x 2 + y 2 ) + 2ay 2 = 0 d. x ( x 2 + y 2 ) − 2ay 2 = 0
C 32 Elipsoidul este o suprafata ……………………..…REGULATA…………..
Fie ( S ) datã de ecua ia explicitã:
( S ) : z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D ⊂ » 2
C 21
Coeficientii lui ………....GAUSS...................... se scriu sub forma:
E = 1 + p 2 , F = pq, G = 1 + q 2
Fie ( C ) : F ( x, y ) = 0 o curba plana iar M ∈ ( C ) a.i prin M trec două ramuri ce admit tangente distincte
în acest punct (vezi figura ).
A 19 a
Atunci:
2 2 2
a. ( F ′′ )
xy − Fx′′ Fy′′ > 0
2 2 b. ( F ′′ )
xy − Fx′′ Fy′′ = 0
2 2 c. ( F ′′ )
xy − Fx′′ Fy′′ < 0
2 2
8

9. Fie ( C ) : F ( x, y ) = 0 o curba plana iar M ∈ ( C ) un punct izolat (vezi figura ).
A 20 a
Atunci:
2 2 2
a. ( F ′′ )
xy − Fx′′ Fy′′ < 0
2 2 b. ( F ′′ )
xy − Fx′′ Fy′′ = 0
2 2 c. ( F ′′ )
xy − Fx′′ Fy′′ > 0
2 2
Fie ( C ) : F ( x, y ) = 0 o curba plana şi M ( x, y ) un punct regulat. Atunci dreapta de ecuatie:
A 82 ( X − x ) Fy′ − (Y − y ) Fx′ = 0
se numeste ……………..…NORMALA……………..… la curba dusa prin punctul M
3
Fie ( S ) ⊂ » o suprafata reprezentatã prin ecuatiile ei parametrice Se stie ca unghiul a doua curbe
coordonate este dat de relatia:
C 29 F
cos α = .
EG
Condtia de ortogonalitate a curbelor este …………..…F = 0…………...
Fie ( C ) un arc de curbă plana, iar
1 def ε
= lim ,
R ∆x → 0 ∆s
unde ε are semnificatia din figura alaturata
A 90
ε
Atunci, reprezinta ……………..…ABATEREA UNITARA……………..…
∆s
Fie (C) un arc de curbă regulat din spatiu iar M ( x, y, z ) un punct arbitar pe (C). Numarul
r ′ × r ′′
B 39 3
r′
defineste ............................CURBURA......................... curbei
9

10. Fie (C) un arc de curbă regulat din spatiu iar M ( x, y, z ) un punct arbitar pe (C). Numarul
( r′ × r′′) ⋅ r′′′
B 40 2
r ′ × r ′′
defineste ……………….....TORSIUNEA...................... curbei
Fie ( C ) : r = ( 2 cos t ) i + ( 2sin t ) j + ( 4t ) k , o curba definita prin ecuatia sa vectorială şi
 π
M o  t =  un punct pe aceasta curbă. Atunci ecua iile tangentei si planului normal sunt respectiv:
 4
X − 2 Y − 2 Z −π
a. = = si 2 X − 2Y + 4 Z − 4π = 0
2 − 2 4
D 151 X − 2 Y − 2 Z −π b
b. = = si − 2 X + 2Y + 4 Z − 4π = 0
− 2 2 4
X − 2 Y − 2 Z −π
c. = = si X + Y + 2 Z − 2π = 0
1 1 2
π
Z−
X − 3 Y −1 4 si
d. = = 2 X − 2Y + 4 Z − 2π = 0
2 − 2 4
Fie AB un segment de lungime AB=k (const), care se deplasează sprijinindu-se cu capătul A pe axa
OX şi cu capătul B pe axa OY . Să se afle înfăşurătoarea familiei de drepte AB .
2 2 2
x
D 73 a. y = ach c. x3 + y3 = k 3 a
a
3 3 3
 x = a cos 2 t

b. x2 + y2 = k 2 d.  3
, t ∈»
 y = a sin t

 x = ρ cos θ
Fie arcul de curba: ( C ) :  ρ > 0, θ ∈ [ 0, π ]
E 1  y = ρ sin θ T
Atunci elementul de arc pe curba este: ds = ρ ′2 + ρ 2 .
Fie arcul de curbă regulat, definit parametric de ecuatiile:
x = x (t ) , y = y (t )
A 51 Atunci derivatele de ordinul intai x ( t ) , y ( t ) calculate intr-un punct arbitrar al curbei reprezinta
t t
……………..…PARAMETRII DIRECTORI……………..… ai tangentei
Fie conica:
( C ) : F ( x, y ) ≡ a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0
A 89 Atunci, un punct M ( x, y ) ∈ ( C ) este un punct singular doar daca conica este
……………..…DEGENERATA……………..…
10

11.  p 
Fie curba ( C ) y 2 = x3 + px,  3 , 0  un punct singular al curbei. Atunci:
p ∈ » şi fie A   b
D 47  
a. A este punct de întoarcere pentru p < 0 c. A este punct dublu pentru p < 0
b. A este nod pentru p > 0 d. A este punct izolat pentru orice p > 0.
Fie curba ( C ) de ecua ii parametrice:
 x = a cos θ
( C ) :  y = a sin θ

 z = bθ

Atunci versorii triedrului lui Frenet in punctul A de parametru θ =0 sunt:
aj − bk bj + ak
D 147
a. τ ( A) = , n ( A) = i , b =
c
2 2
a +b a 2 + b2
aj + bk −bj + aj
b. τ ( A) = i , n ( A) = , b=
a 2 + b2 a 2 + b2
aj + bk −bj + ak
c. τ ( A) = , n ( A) = , b = −i
a 2 + b2 a 2 + b2
ai − bj aj + bj
d. τ ( A) = , n ( A) = , b = −i
2 2
a +b a 2 + b2
Fie curba ( C ) definită implicit de ecua ia: ( C ) : F ( x, y ) = 0 şi M ( x0 , y0 ) ∈ » un punct singular.
Atunci:
2
a. M este nod dacă ( Fxy ) − Fxx Fyy < 0 în M
′′ ′′ ′′
D 49 2 b
b. M nu un punct izolat dacă ( Fxy ) − Fxx Fyy = 0 în M
′′ ′′ ′′
c. Prin M trec două ramuri ale curbei ce admit tangente distincte în acest punct
2
( ) − ( F ′′ ) ( F ′′ ) = 0 în M
′′
dacă Fxy xx yy
d. Toate variantele de mai sus sunt adevărate
Fie curba ( C ) definită în coordonate polare de ecua ie: ( C ) ρ = ρ (θ ) – (posibil (C)=ρ= ρ(θ)). Să se
scrie ecua iile tangentei (t ) şi normalei (n) la curba ( C ) în punctul curent
ρ tgθ 2 ρ ′ ⋅ tgθ
a. (t ) : Y − y = ( X − x) c. (t ) : Y − y = ( X − x)
ρ ′ − ρ tgθ ρ ′ − tgθ
D 15 ρ tgθ − ρ ′ tgθ − ρ ′ b
( n) : Y − y = ( X − x) ( n) : Y − y = ′ ( X − x)
ρ tgθ 2 ρ tgθ
ρ ′tgθ + ρ
b. (t ) : Y − y = ′ ( X − x) d. ( t ) : Y − y = ρ ′tgθ ( X − x )
ρ − ρ tgθ
ρ tgθ − ρ ′ 1
( n) : Y − y = ′ ( X − x) ( n) : Y − y = ( X − x)
ρ tgθ + ρ ρ ′tgθ
11

12. Fie curba (C) definita implicit de ecua ia: (C): F(x,y) = 0 şi M ( x0 , y0 ) ∈ » un punct singular.
Atunci:
2
a. M este nod daca ( Fxy ) − Fxx Fyy < 0 în M
′′ ′′ ′′
A 29 2 b
b. M nu un punct izolat daca ( Fxy ) − Fxx Fyy = 0 în M
′′ ′′ ′′
c. Prin M trec doua ramuri ale curbei ce admit tangente distincte în acest punct
2
daca ( Fxy ) − ( Fxx ) ( Fyy ) = 0 în M
′′ ′′ ′′
d. Toate variantele de mai sus sunt adevarate
Fie curba (C) definita în coordonate polare de ecuatie: (C) ρ = ρ (θ ). Notam V - unghiul dintre
tangenta MT şi raza vectoare OM . Atunci:
A 24 c
1 1 ρ ρ′
a. tgV = b. tgV = c. tgV = d. tgV =
ρ ρ′ ρ′ ρ
Fie curba ( C ) : x = t cos ( a ln t ) , y = t sin ( a ln t ) , z = bt , atunci binormala ( Bn ) într-un punct
( x, y, z ) ∈ ( C ) are ecua iile:
X − t cos ( a ln t ) Y − t sin ( a ln t ) Z − bt
( Bn ) : = = , unde:
A B C
ab
a. A=  a sin ( a ln t ) + cos ( a ln t ) 
t  
ab
B=  a cos ( a ln t ) − a sin ( a ln t ) 
t  
a
C = (1 + a 2 )
t
ab
b. A=  a sin ( a ln t ) − cos ( a ln t ) 
t  
ab
B=  a cos ( a ln t ) + a sin ( a ln t ) 
D 118
t  
b
a
C = (1 + a 2 )
t
ab
c. A=  a cos ( a ln t ) − a sin ( a ln t ) 
t  
ab
B=  cos ( a ln t ) + a sin ( a ln t ) 
t  
ab
C = (1 + a 2 )
t
ab
d. A= sin ( a ln t ) + t cos ( a ln t ) 
t  
ab
B= t cos ( a ln t ) − sin ( a ln t ) 
t  
ab
C = (1 + a 2 )
t
12

13. Fie curba ( C ) : ρ = a cos nθ , n ∈ » . Notăm S n - lungimea segmentului subnormală polară şi R -
n n
raza
de curbură. Atunci:
D 45 a
R
a. S n = ( n + 1) R b. Sn = c. Sn = n2 R d. Sn = R n
n +1
Fie curba ( C ) a carei ecuatie vectoriala este ( C ) : r = r ( t ) , t ∈ I . Notam:
. .. ...
r , r , r - derivatele de ordinul intai, doi, respectiv trei ale vectorului r ( t ) ,
1 1
, - curbura respectiv torsiunea curbei.
R T
F 18 Atunci: F
 . .. ...  . ..
r,r,r  r× r
1   1
= =
R . .. 2 T . 3
r× r r
Fie curba de ecuatie implicita:
( C ) : F ( x, y ) = 0
şi M ( a, b ) ∈ ( C ) un punct care satisface conditiile:
 F ( a, b ) = 0
A 38  t

 Fx ( a, b ) = 0
 t
 Fy ( a, b ) = 0

Atunci, M se numeste ……………..…PUNCT SINGULAR……………..…al curbei ( C )
Fie curba de ecuatie implicita:
( C ) : F ( x, y ) = 0
si M ( a, b ) ∈ ( C ) un punct care satisface conditiile:
 F ( a, b ) = 0
H 212 
 Fx ( a, b ) = 0

 Fy ( a, b ) = 0
Atunci, M se numeste .....................PUNCT SINGULAR..................... al curbei ( C ) .
Fie curba de ecuatie: F ( x, y ) = 0 şi M un punct pentru care
2
( F ′′ )
xy − Fx′′ Fy′′2 > 0,
2
A 13 Atunci b
a. M este un punct izolat c. M este un punct regulat
b. prin M trec doua ramuri ce admit
tangente distincte în acest punct d. M este un punct de intoarcere
Fie curba de ecuatie:
A 71 (C) : y2 − (x−2)(x−1)=0
Atunci A ( 2, 0 ) este un punctul singular de tip ……………..…NOD……………..…
13

14. Fie curba de ecuatie:
(C):x4+2ax2y−ay3 =0
Să se stabileasca care dintre afirmatiile de mai jos este adevarata:
A 21 e
a. Originea este singurul punct regulat d. Originea este un punct dublu
b. A ( 2, 0 ) este un punct singular al curbei e. Originea este un punct triplu
c. Toate punctele curbei sunt regulate
Fie curba de ecuatii parametrice:
x = x (t )

(C ) :  ( t ∈ (α , β ) )
 y = y (t )

A 35 şi M ( X , Y ) ∈ ( C ) un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie:
xt ( X − x ) + y t (Y − y ) = 0
reprezinta ……………..…NORMALA……………..… în punctul curent la curba data
Fie curba de ecuatii parametrice:
x = x (t )

(C ) :  ( t ∈ (α , β ) )
 y = y (t )

A 36 şi M ( X , Y ) ∈ ( C ) un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie:
X −x Y −y
= t
xt y
reprezinta ……………..…TANGENTA……………..… în punctul curent la curba data.
Fie curba de ecuatii parametrice:
x = x (t )

(C ) :  ( t ∈ (α , β ) )
 y = y (t )

A 37 şi M ( X , Y ) ∈ ( C ) un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie: ?
X −x Y −y
= t
− xt y
reprezinta ……………..………………..…în punctul curent la curba data.
Fie curba de ecuatii parametrice:
 x = x (t )

(C )  ( t ∈ (α , β ) )
 y = y (t )

H 202 si M ( X , Y ) ∈ ( C ) un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta:
x′ ( X − x ) + y ′ ( Y − y ) = 0
este ecuatia .....................NORMALEI..................... in punctul curent la curba data.
14

15. Fie curba de ecuatii parametrice:
x = x (t )

(C ) :  ( t ∈ (α , β ) )
 y = y (t )

H 215 si M ( X , Y ) ∈ ( C ) un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta:
X −x Y −y
=
x′ y′
este ecuatia .....................TANGENTEI.....................in punctul curent la curba data.
Fie curba de ecua ie:
x
( C ) : y = ach , a ≠ 0 (lăn işorul)
a
1
Notăm: - curbura curbei şi S n - segmentul normală corespunzătoare unui punct arbitrar pe curbă.
D 62 R c
Atunci:
1 1 1 2
a. = Sn b. = 2Sn c. Sn = const d. Sn =
R R R R
Fie curba de ecua ie:
( C ) : ρ = aeka , (spirala logaritmică)
1
Notăm: - curbura curbei şi S n - segmentul normală corespunzător unui punct arbitrar pe curbă.
D 63 R c
Atunci:
1 1 1 2
a. = Sn b. = 2Sn c. Sn = const d. Sn =
R R R R
Fie curba de ecua ii parametrică:
x = t +1

(C )  y = t 2 + t + 2
z = 2 − t2

D 144 c
atunci ecua ia planului osculator într-un punct arbitrar situat pe curba ( C ) este:
a. ( 2 − t ) x + y − tz − 2 = 0 c. x− y− z +3= 0
b. tx + ( t − 1) y − z + 2t = 0 d. 2 x − y + z − 3t = 0
15

16. Fie curba de ecua ii parametrice:
 1
 x=
t

1
(C )  y = 2 ( )

 t
z = t2


Atunci:
D 148 a. ( C ) este o curba plană d
1 2t 2 + 1
b. curbura curbei este =
R ( 3t 4 + 24t 5 + 1)3/2
1 4 + 5t 2
c. torsiunea curbei este =
T ( 3t 4 + 24t 5 + 1)2
d. Td 2 = constant, unde d este distanta de la originea axelor de coordonate la planul
osculator într-un punct M ( t ) ∈ ( C )
Fie curba de ecua ii parametrice:
 x = t cos ( a ln t )

( C )  y = t sin ( a ln t )
 z = bt

Atunci binormala in punctul curent are ecuatia:
X − t sin ( a ln t ) Y − t cos ( a ln t ) Z − bt
a. = =
ab ab a
 t (1 + a t )
2
 ab sin ( a ln t ) − ab cos ( a ln t ) 
   a cos ( a ln t ) − cos ( a ln t ) 

D 146 t t b
X − t cos ( a ln t ) Y − t sin ( a ln t ) Z − bt
b. = =
 a cos ( a ln t ) + a sin ( a ln t )  t (1 + a )
ab ab 2
 ab sin ( a ln t ) − cos ( a ln t ) 
   
t t
X − at ln t Y − a ln t Z − bt
c. = = 2 2
ab  abt sin ( a ln t ) − abt cos ( a ln t )  ab  abt cos ( a ln t ) − abt sin ( a ln t )  ( a + t )
   
X + t sin ( a ln t ) Y + t cos ( a ln t ) Z + bt
d. = =
ab ab a
 ab sin ( a ln t ) + ab cos ( a ln t ) 
t    ab cos ( a ln t ) + ab sin ( a ln t ) 
t   t
(1 + a 2 )
Fie curba de ecua ii parametrice:
1+ t 1 t
(C ) : x = , y= 2
, z= , t ∈ » {±1}
1− t 1− t 1+ t
şi planul (P) de ecua ie:
( P ) : x2 − 4 y + 2 z + 3 = 0
D 89 atunci: b
 1 
a. curba în eapă planul în punctul A  1, − , −3  c. curba este con inută în plan.
 2 
b. planul este tangent la curbă în punctul M (1,0, −2) d. tangenta la curbă în punctul curent
are direc ia normală a planului.
16

17. Fie curba de ecua ii:
 x2 + z 2 − 4 = 0
(C ) : 
 2 2
x + y − 4 = 0

atunci, ecua ia tangentei ( t ) şi ecua ia planului normal ( Pn ) în punctul M 0 ( )
3,1,1 sunt respectiv:
X − 3 Y −1 Z −1
a. (t ) : = = , ( n ) : 3 X + 3Y − Z − 1 = 0
3 3 1
D 111 d
X − 3 Y −1 Z −1
b. ( t ) : = = , ( n ) : 3 X + Y − 3Z − 1 = 0
3 1 3
X − 3 Y −1 Z −1
c. (t ) : = = , ( n ) : X + 3Y + 3Z − 3 = 0
1 3 3
X − 3 Y −1 Z −1
d. (t ) : = = , ( n ) : X − 3Y − 3Z + 3 = 0
−1 3 3
Fie curba ( C ) definită în coordonate polare de ecua ie: ( C ) ρ = ρ (θ ) – (posibil (C)=ρ= ρ(θ)). Notăm V
- unghiul dintre tangenta MT şi raza vectoare OM . Atunci
D 14 c
1 1 ρ ρ′
a. tgV = b. tgV = c. tgV = d. tgV =
ρ ρ′ ρ′ ρ
Fie curba în spa iu:
( C ) : r ( t ) = 2ti + t 2 j + ( ln t ) k , t > 0
Să se calculeze versorul tangentei δ , în punctul P ( 2,1, 0 ) şi ecua ia tangentei la curbă în acest punct.
2 2 1 X − 2 Y −1 Z
a. δ = i+ j + k si (T ) : = =
3 3 3 2 2 1
D 132 a
X − 2 Y −1 Z
b. δ = 2i + 2 j + k si (T ) : = =
2 2 1
1 X − 2 Y −1 Z
c. δ = i + j + k si (T ) : = =
2 2 1 2
2 2 1 X − 2 Y −1 Z
d. δ = i + j − k si (T ) : = =
3 3 3 2 2 −1
Fie curba plana reprezentata cartezian de ecua ia
( C ) : F ( x, y ) = 0, ( x, y ) ∈ D ⊂ » 2
1
unde F ∈ C ( D ) . În acest caz, solutiile sistemului
 F ( x, y ) = 0
A 12  a
 Fx′ ( x, y ) = 0
 ′
 Fy ( x, y ) = 0
se numesc puncte
a. singulare b. regulate c. izolate
17

18. Fie curba plana:
(C) : F(x,y) ≡x3+xy2+xy+y3−2x2−2y2=0
A 88
Atunci, punctul originea este un ……………..…PUNCT IZOLAT……………..… pentru curba data.
Fie curba plana:
(C) : y2 − (x−2)(x−1)=0
A 86
Atunci, punctul A ( 2, 0 ) este un ……………..…NOD……………..… pentru curba data.
Fie curba plana:
(C) : y2 − (x−2)(x−1)=0
A 87
Atunci, punctul A ( 2, 0 ) este un ……………..…NOD……………..… pentru curba data.
3 2 2 3 2 2
Fie curba plană ( C ) : F ( x, y ) ≡ x + xy + yx + y − 2 x − 2 y = 0
Să se stabilească punctele singulare ale curbei.
D 54 d
a. O(0,0), punct izolat. c. B(−1,−1) , punct singular de tip nod.
b. A(1,1) , punct dublu. d. altă variantă.
r
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul τ = se numeste versorul
F 10 r F
binormalei la curba in punctul curent pe curba.
.
r
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul τ = .
se numeste versorul
F 11 r T
tangentei la curba in punctul curent pe curba.
r ×r
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul b = se numeste
H 225
r ×r
versorul .....................BINORMALEI..................... la curba in punctul curent pe curba.
r ×r
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul b = se numeste
F 12 r ×r F
versorul tangentei la curba in punctul curent.
r ×r
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul b = se numeste
F 13 r ×r T
versorul binormalei la curba in punctul curent.
r
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul τ = se numeste versorul
H 214 r
.....................TANGENTEI..................... la curba in punctul curent.
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu τ respectiv b versul tangentei
F 14 F
respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul: n = b × τ se numeste versorul
canonic la curba in punctul curent pe curba.
18

19. Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu τ respectiv b versul tangentei
F 15 T
respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul: n = b × τ se numeste versorul
normalei principale la curba in punctul curent pe curba.
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu τ respectiv n versorii tangentei
respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare.
F 16 Atunci T
dτ 1
= n
ds R
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu τ respectiv b versorii tangentei
respectiv al binormalei la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci
F 17 F
dτ 1
= b
ds R
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu τ respectiv b versul tangentei
H 206 respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul: n = b × τ se numeste versorul
.....................NORMALEI PRINCIPALE..................... la curba in punctul curent pe curba.
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu τ respectiv n versorii tangentei
respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare.
Atunci
H 222
dτ 1
− n= .....................0.....................
ds R
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu b respectiv n versorii binormalei
respectiv al tangentei la curba in punctul curent si cu T raza de torsiune in punctul curent. Atunci
H 223
db 1
− n= .....................0.....................
ds T
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala r = r ( t ) , t ∈ I . Notam:
{τ , n, b} - versorii triedrului lui Frenet
H 217 R , T - razele de curbura respectiv de torsiune corespunzatoare. Atunci:
dn 1 1
− τ+ b= .....................0.....................
ds R T
r
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul: τ = se numeste versorul
B 23 r
..........................DIRECTOR AL TANGENTEI...................... la curba în punctul curent.
r ×r
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: r = r ( t ) , t ∈ I . Atunci vectorul: b = se numeste
B 24 r ×r
versorul ......................DIRECTOR AL BINORMALEI...................... la curba în punctul curent pe curba.
19

20. Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: r = r ( t ) , t ∈ I . Notam :
{τ , n, b} - versorii triedrului lui Frenet
B 27 R,T - razele de curbura şi respectiv de torsiune corespunzaroare. Atunci:
dn 1 1
− τ + b = ......................0......................
ds R T
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu τ respectiv b versul tangentei
B 25 respectiv al binormalei la curba în punctul curent.Atunci vectorul: n = b × τ se numeste versorul
..................DIRECTOR AL NORMALEI PRINCIPALE...................... la curba în punctul curent pe curba.
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: r = r ( t ) , t ∈ I . Notam cu b respectiv n versorii binormalei
respectiv ai tangentei la curba în punctul curent şi cu T raza de torsiune în punctul curent. Atunci:
B 28
db 1
− n = ......................0......................
ds T
Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: r = r ( t ) , t ∈ I .Notam cu τ respectiv n versorii tangentei
respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci:
B 26
dτ 1
− n = ......................0......................
ds R
Fie curba regulata definita parametric de ecuatiile x = x ( t ) , y = ( t ) t ∈ » . Atunci dreapta de ecuatie:
X −x Y −y
=
A 9 − y′ x′ b
dusa printr-un punct arbitrar ( x, y ) al curbei reprezinta
a. tangenta la curba b. normala la curba
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) , t ∈ I

B 19 z = z (t )
Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitar M ( X , Y , Z ) definita prin:
X −x Y −y Z−z
= t = t
xt y z
este ecua ia ......................TANGENTA...................... la curba data.
20

21. Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) , t ∈ I

B 20 z = z (t )
Atunci ecua ia:
xt ( X − x ) + y t (Y − y ) + z t ( Z − z ) = 0
reprezinta planul ......................NORMAL...................... la curba intr-un punct arbitar M ( X , Y , Z ) .
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) , t ∈ I

z = z (t )
B 21 Atunci ecua ia:
X −x Y −y Z−z
xt yt zt =0
x tt y tt z tt
reprezinta planul ......................OSCULATOR...................... la curba intr-un punct arbitar M ( X , Y , Z ) .
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) , t ∈ I

z = z (t )
B 22
Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitar M ( X , Y , Z ) definita prin ecuatiile:
X −x Y −y Z−z yt zt zt xt xt yt
= = , unde A = tt , B = tt , C = tt
A B C y z tt z x tt x y tt
este ......................BI.NORMALA...................... la curba data.
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) t ∈ I

z = z (t )
H 220
Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) definita prin ecuatia:
X −x Y −y Z−z y′ z′ z ′ x′ x′ y′
= = , unde A = , B= , C=
A B C y′′ z ′′ z ′′ x′′ x′′ y′′
este .....................BINORMALA..................... la curba data.
21

22. Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) t ∈ I

H 227 z = z (t )
Atunci ecuatia:
x′ ( X − x ) + y ′ ( Y − y ) + z ′ ( Z − z ) = 0
reprezinta planul ........................NORMAL........................ la curba intr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) .
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) t ∈ I

F 8 z = z (t ) T
Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) definita prin:
X −x Y −y Z−z y′ z′ z ′ x′ x′ y′
= = unde A = , B= , C=
A B C y′′ z ′′ z ′′ x′′ x′′ y′′
este ecuatia normalei principale la curba data.
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) t ∈ I
F 5  T
z = z (t )
Atunci ecuatia planului normal la curba intr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) este:
x′ ( X − x ) + y ′ ( Y − y ) + z ′ ( Z − z ) = 0
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) t ∈ I

F 3
z = z (t ) F
Atunci ecuatia normalei la curba intr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) este:
X −x Y −y Z−z
= =
x′ y′ z′
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) t ∈ I
F 
z = z (t )
4 T
Atunci ecuatia tangentei la curba intr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) este:
X −x Y −y Z−z
= = .
x′ y′ z′
22

23. Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) t ∈ I

F 9  z = z (t ) T
Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) definita prin:
X −x Y −y Z−z y′ z′ z ′ x′ x′ y′
= = unde A = , B= , C=
A B C y′′ z ′′ z ′′ x′′ x′′ y′′
este ecuatia binormalei la curba data.
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) t ∈ I

 z = z (t )
H 218 Atunci ecuatia:
X −x Y −y Z−z
x′ y′ z′ = 0
x′′ y′′ z ′′
reprezinta planul .....................OSCULATOR..................... la curba intr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) .
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) t ∈ I

z = z (t )
F 7 Atunci ecuatia: T
X −x Y −y Z−z
x′ y′ z′ = 0
x′′ y′′ z ′′
reprezinta planul osculator la curba intr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) .
Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) t ∈ I

z = z (t )
H 226
Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) definita prin:
X −x Y −y Z−z
= =
x′ y′ z′
este ecuatia .....................TANGENTEI..................... la curba data.
23

24. Fie curba strimba ( C ) care are reprezentarea parametrica:
 x = x (t )

(C ) :  y = y (t ) t ∈ I

z = z (t )
F 6 Atunci ecuatia: F
X −x Y −y Z−z
x′ y′ z′ = 0
x′′ y′′ z ′′
reprezinta planul normal la curba intr-un punct arbitrar M ( X , Y , Z ) .
2
Fie curba ( C ) : y = 1 + e şi M un punct arbitrar situat pe curbă. Notăm R , raza de curbură, St şi S n
x
lungimile segmentelor subtangentă, respectiv subnormală corespunzătoare punctului M . Atunci
D 44 a
St S 
a. R= b. R = St − S n c. R= t  d. R = St + S n
Sn  Sn 
Fie curba(C) , definita de ecuatiile parametrice
 x = et cos t
A 62
(C ) : 

 y = e sin t
t

şi M (0) punctul fixat pe curba.Atunci segmentul subtangenta este
PN = ……………..…0……………..…
Fie curba:
 2 2 2 2
x + y + z − r = 0
(C ) :  2 2
 x + y − rx = 0

atunci ecua iile parametrice ale curbei date sunt:
 x = r cos 2 t  x = r sin t cos t
D 83   2
a
a.  y = r sin cos t , t ∈ [ 0, 2π ] c.  y = r cos t , t ∈ [ 0, 2π ]
 z = r sin t  z = r sin t
 
 x = r sin 2 t

b.  y = r sin cos t , t ∈ [ 0, 2π ] d. alt raspuns
 z = r cos t

Fie curba:
  t3 
x = 4 t + 
(C ) 
  3
 2 2
 y = (1 + t )

D 9 c
5
Se ştie că raza de curbură este dată de rela ia R = 4 y . Dacă S n este segmentul de normală al curbei,
4
atunci:
1
a. R = Sn b. R = 2Sn c. R = 4Sn d. Sn =
R
24

25. Fie curba:
  t3 
 x = 4t + 
(C ) : 
  3 t ∈ »
 2 2
D 8  y = (1 + t )
 c
Notăm R - raza de curbură în punctul curent pe curbă. Atunci:
2 3 5 4
a. R = 4y 3
b. R = 4y 2
c. R = 4y 4
d. R = 4y 5
Fie curba:
2
( C ) : F ( x, y ) ≡ y 2 − ( x − a ) ( x − b ) = 0, a, b ≠ 0
Să se studieze punctele singulare ale curbei.
D 51 a. B ( 0, b ) , este nod pentru curba ( C ) dacă a < b . b
b. A ( a, 0 ) , este nod pentru curba ( C ) dacă a > b .
c. A ( a, 0 ) , este punct izolat pentru a > b .
d. B ( 0, b ) , este punct izolat pentru a < b .
Fie curbele
 x = x (t )

( C1 ) :  ; ( C2 ) : F ( x , y ) = 0 .
 y = y (t )

A 103 Dacă
ϕ ( t ) = ϕ ′ ( t ) = ... = ϕ ( n ) ( t ) = 0; ϕ ( n +1) ( t ) ≠ 0,
atunci cele două curbe au în punctul M ( t ) un ......................CONTACT...................... de ordinul n
x2
Fie curbele ( C1 ) : y = e , ( C2 ) : y = 1 + x +
x
. Să se calculeze curburile K1 şi K 2 corespunzătoare
2
lui ( C1 ) şi respectiv ( C2 ) în punctul comun A.
D 5 c
1 1
a. A (1, 0 ) , K1 = K 2 = c. A (1, 0 ) , K1 = K 2 =
3
2 2 2
1 2 1 1
b. A (1,1) , K1 = , K2 = 3 d. A ( −1, 0 ) , K1 = , K2 =
3
2 3 3 2 2
Fie curbele plane ( C1 ) şi ( C2 ) . Se spune ca cele două curbe au un contact într-un punct M ce apar ine
A 101
ambelor curbe dacă cele două curbe date admit în M aceeasi ......................TANGENTA......................
Fie curbele
 x = x (t )

( C1 ) :  ; ( C2 ) : F ( x , y ) = 0 .
A 102  y = y (t )

Dacă cele două curbe au în punctul M 0 ( t0 ) un contact de ordinul n, atunci t0 este rădăcină multiplă de
ordinul ......................n+1......................
25

26. 2 3
Fie curbura ( C ) : y = x + px, p ∈ » . Să se determine punctele singulare ale curbei
 p   p   p  p
a. A ,0, B − ,0 c. A  0,  , B  0, − 
D 46  3   3   3   3  b
       
 p   p   p  p
b. A − , 0  , B  − − , 0 
 d. A  0, −  , B  0, − − 
 3    3  

 3 
  3

2 2 2
Fie ( C ) : ( x − α ) + ( y − β ) = r ecua ia cercului osculator la curba de ecua ie carteziană:
( C ) : y = f ( x ) . atunci:
  
y′2 (1 + y′2 ) α = x − y (1 + y )
′2 ′2  y ′2
α = x + α = x−
 y′′  y′′  x′y′′ − x′′y′
D 69    b
 y′2 (1 + y′2 ) 
 y′2 (1 + y′2 ) 
 y ′2
a.  β = y − b. β = y + c. β = x +
 y′′  y′′  x′y′′ − x′′y′
  
 (
1 + y ′2 ) 
3
(1 + y′2 ) 2  ( x′2 + y ′2 ) 2
3
r = r = r =
 y′′ 
 y′′  ( x′y′′ − x′′y′)

d. alta varianta
Fie elicea circulara:
( C ) : r = ( 2 cos t ) i + ( 2sin t ) j + ( )
5t k
B 35 ( )
Sa se calculeze lungimea arcului AB situat pe curba ( C ) unde A şi B corespund bijectiv valorilor
t = 0 şi respectiv t =1.
l AB = ......................3......................
Fie elicea circulară:
( C ) : r = ( 2 cos t ) i + ( 2sin t ) j + ( )
5t k
( )
Să se calculeze lungimea arcului AB situat pe curba ( C ) unde A şi B corespund bijectiv valorilor
D 92 t = 0 şi respectiv t =1. c
a. l AB = 5 c. l AB = 3
( ) ( )
b. l =4 d. l AB = 2 5
( AB ) ( )
26

27. Fie elicea circulară:
( C ) : x = a cos t , y = a sin t , z = bt
Să se scrie ecua iile tangentei la curba ( C ) în punctul curent.
D 97 a
X − a cos t Y − a sin t Z − bt X − a cos t Y − a sin t Z − bt
a. ( t ) : = = c. (t ) : = =
a sin t a cos t b a cos t a sin t b
X + a cos t Y + a sin t Z + bt X + a cos t Y + a sin t Z + bt
b. ( t ) : = = d. (t ) : = =
a sin t a cos t 0 a cos t a sin t b
Fie familia de curbe (n +1) − parametrice:
(C a1 ...an+1 ) : F ( x, y; a , a ,..., a ) = 0
1 2 n +1
A 99
Curba (γ ) se zice ……………..…OSCULATOARE……………..… la o curbă din familia Ca1 ...an+1 ( ) într-un
punct M al acestei curbe, dacă cele două curbe au în M un contact de ordinul n.
Fie o curba data ( C ) şi M un punct pe curba a.i. prin acest punct trec în figura alaturata.
A 70
Atunci M este punct de ……………..…INTOARCERE……………..…
Fie o curba definita prin coordonatele sale polare: ρ = ρ (α ) şi un punct regulat M situat pe curba (vezi
A 11 c
figura).
Atunci: segmentul tangenta polara este
ρ + ρ ′2
a. ON = ρ ′ b. TN = c. MN = ρ 2 + ρ ′2
ρ′
27

28. Fie o curba definita prin coordonatele sale polare: ρ = ρ (α ) şi un punct regulat M situat pe curba (vezi
figura).
A 32 c
Atunci: segmentul tangentă polară este
ρ + ρ ′2
a. ON = ρ ′ b. TN = c. MN = ρ 2 + ρ ′2
ρ′
Fie o curba plana ( C ) şi M ∈ ( C ) un punct regulat (vezi fig.)
A 18 a
Atunci:
a. n = − sin α i + cos α j c. τ = cos α i − sin α j
b. τ = sin α i + cos α j d. n = sin α i + cos α j
Fie o curba regulata de ecuatie: y = f ( x ) , x ∈ » şi M ( x, y ) un punct pe curba (vezi figura)
Atunci:
A 10
y
a. XT = x − ; a
y′
y
b. PN = x ;
y′
c. X N = yy′
28