الجبر الدوال الحقيقية
- 1. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
http://thanawy.fi5.us/vb/
- 2. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
ﺱ– ١
ﻣﺜﻼً : ﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( =
ﺱ– ٢
ﻧﻮﺟﺪ ﺃﺻﻔﺎﺭ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ :
ﻫﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻭﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ
ﺑﻮﺿﻊ ﺱ – ٢ = ٠
ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﻓﻤﺜﻼً :
∴ﺱ=٢
١ • ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﻳﻮﺿﺢ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺎ :
∴ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ﺡ – } ٢ { • ٢
ﺱ– ١ ٧ • • ٣ ﺣﻴﺚ : ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ = } ٢ ، ٣ ، ٥ ، ٦ {
، ﻭﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺭ ) ﺱ ( = ٤ •
ﺱ٢ + ٥ ﺱ – ٦ • ٥ ، ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ = } ١ ، ٧ ، ٤ ، ٥ ، ٩ {
ﻧﻮﺟﺪ ﺃﺻﻔﺎﺭ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻭﺫﻟﻚ ﺑﻮﺿﻊ ٥ • • ٦ ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = } ٧ ، ٥ ، ٩ {
ﺱ +٥ﺱ– ٦=٠ ٢ ٩ •
ﻭﻳﻜﻮﻥ :
∴)ﺱ+٦()ﺱ– ١(=٠ ﺩ ) ٢ ( = ٧ ، ﺩ ) ٣ ( = ٧ ، ﺩ ) ٥ ( = ٥ ، ﺩ ) ٦ ( = ٩ ، ﺩ ) ٤ ( = ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ
∴ ﺱ = – ٦ ﺃ، ﺱ = ١
∴ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺭ ) ﺱ ( = ﺡ – } - ٦ ، ١ {
) ١ ( ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ = ﺡ ) ﺣﻴﺚ ﺡ = ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ (
:
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻣﻦ ﻭﺿﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ = ٠ ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺣﻞ ) ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ﻛﻤﻴﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ( ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮﺓ ﺍﻟﺤﺪﻭﺩ ﻫﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻻ ﺗﺤﺘﻮﻯ ﻋﻠﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎﻟﻤﻘﺎﻡ
ﻓﺈﻥ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻋﻨﺪﺋﺬ ﻫﻮ ﺡ . ﻣﺜﻼً : ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺡ :
ﻣﺜﺎﻝ : ، ﺩ٢)ﺱ(=٥ ﺩ١)ﺱ(=٣ﺱ– ١
ﺱ–١
ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ– ١
ﺱ٢ + ٢ ﺱ + ٤ ، ﺩ٤)ﺱ(= ﺩ ٣ ) ﺱ ( = ٤ ﺱ٢ – ٣ ﺱ + ١
ﺍﻟﺤﻞ : ٢
ﺑﻮﺿﻊ ﺱ٢ + ٢ ﺱ + ٤ = ٠ ﺣﻴﺚ ﺍ = ١ ، ﺏ = ٢ ، ﺟـ = ٤ ) ٢ ( ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ = ﺡ – } ﺃﺻﻔﺎﺭ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ {
ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ﺏ٢ – ٤ ﺍ ﺟـ = ) ٢ (٢ – ٤ × ١ × ٤ = – ٢١ ) ﻛﻤﻴﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ( : ( ١ )
ﺇ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ = ﺡ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ ﻫﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻘﺎﻣﻬﺎ ﻳﺤﺘﻮﻯ ﻣﺘﻐﻴﺮ
: ( ٢ )
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺃﺻﻔﺎﺭ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻫﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻗﻴﻢ ﺱ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ = ﺻﻔﺮ
- 3. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
ﺱ ﺱ ) ٣ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻰ ﻟﺪﺍﻟﺔ :
ﺱ– ٣
، ﺭ)ﺱ(= ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( : ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺩ ) ﺱ ( =
ﺱ+١ ﺃﻭﻻً : ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﻓﻰ ﺍﻟﺒﺴﻂ :
ﺩﺍﻟﺘﻴﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﺘﻴﻦ . ﺃﻛﺘﺐ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻭﻋﻴﻦ ﻣﺠﺎﻝ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ :
ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﻫﻮ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﻣﺎﺗﺤﺖ ﺍﻟﺠﺬﺭ ≤ ﺻﻔﺮ
)ﺍ()ﺩ– ﺭ()ﺱ(
ﺩ ﺛﺎﻧﻴﺎً : ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺠـﺬﺭ ﺑﺎﻟﻤﻘـﺎﻡ :
)ﺏ() ﺭ ()ﺱ(
ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﻫﻮ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﻣﺎ ﺗﺤﺖ ﺍﻟﺠﺬﺭ < ﺻﻔﺮ
ﺭ
)ﺝ() ﺩ ()ﺱ( ﻣﺜﻼً : ﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ] ٢ /ﺱ /+ /٦/
ﻧﻀﻊ ٢ ﺱ – ٦ ≤ ٠
)ﺍ(ﻡ١=ﺡ– }-١{ ، ﻡ٢=ﺡ– }٣{
ﻭﻣﻨﻬﺎ ٢ ﺱ ≤ ٦
ﻡ١ﻁ ﻡ٢=ﺡ– }-١،٣{
∴ﺱ≤٣
ﺱ ﺱ
– )ﺩ– ﺭ()ﺱ(= ∴ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ] ٣ ، ∞ ]
ﺱ– ٣ ﺱ+١
ﺱ)ﺱ– ٣(– ﺱ)ﺱ+١( ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﻓﻰ ﻣﻘﺎﻡ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ = [ ٣ ، ∞ ]
= ]ﺱ /– /٢/
)ﺱ+١()ﺱ– ٣(
ﻭﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺕ ) ﺱ ( =
– ٤ﺱ ]٣ – / ﺱ/
= ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺒﺴﻂ = ﻡ ١ = ] ٢ ، ∞ ]
ﺱ٢– ٢ﺱ– ٣
ﻭﻧﻮﺟﺪ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ = ﻡ ٢ = [ - ∞ ، ٣ ] ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺕ ﻫﻮ
) ﺏ ( ﻻﺣﻆ ﺃﻧﻨﺎ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﻘﺴﻢ ﻋﻠﻰ ﺭ ) ﺱ ( ﻓﻜﺄﻧﻨﺎ ﻧﻀﺮﺏ × ﻣﻘﻠﻮﺑﻬﺎ ﻓﻴﺼﺒﺢ ﻓﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ
ﻡ١∩ﻡ٢=]٢،٣]
ﺹ)ﺭ(=}٠{
ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻰ ﻻ ﻳﻨﻈﺮ ﻟﻪ ﻋﻨﺪ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ .
ﻡ١ﻁ ﻡ٢ – ﺹ)ﺭ(=ﺡ– }-١،٠،٣{
ﺱ– ٣ ﺱ ﺱ ﺩ
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺩ ١ ﺩﺍﻟﺔ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻡ ١ ، ﺩ ٢ ﺩﺍﻟﺔ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻡ ٢ ﻓﺈﻥ :
= ÷ ) ﺭ ()ﺱ(=
ﺱ+١ ﺱ– ٣ ﺱ+١
) ١ ( ) ﺩ ١ ± ﺩ ٢ ( ) ﺱ ( = ﺩ ١ ) ﺱ ( ± ﺩ ٢ ) ﺱ ( ﻭﻣﺠﺎﻟﻬﺎ = ﻡ ١ ﻁ ﻡ ٢
)ﺝ(ﻡ١ﻁ ﻡ٢– ﺹ)ﺩ(=ﺡ– }-١،٠،٣{
٢
) ٢ ( ) ﺩ ١ . ﺩ ٢ ( ) ﺱ ( = ﺩ ١ ) ﺱ ( × ﺩ ٢ ) ﺱ ( ﻭﻣﺠﺎﻟﻬﺎ = ﻡ ١ ﻁ ﻡ
ﺱ+١ ﺱ ﺱ ﺭ )٣()ﺩ١÷ﺩ٢()ﺱ(=ﺩ١)ﺱ(÷ﺩ٢)ﺱ(
= ÷ ) ﺩ ()ﺱ(=
ﺱ– ٣ ﺱ+١ ﺱ– ٣
. ٢
ﻭﻣﺠﺎﻟﻬﺎ = ﻡ ١ ﻁ ﻡ ٢ – ﺹ ) ﺩ ٢ ( ﺣﻴﺚ ﺹ ) ﺩ ٢ ( ﻫﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺃﺻﻔﺎﺭ ﺩ
- 4. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
ﻣﺜﺎﻝ ) ٢ ( : ﺃﺑﺤﺚ ﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ ﺃﻣﺎﻣﻚ ﻣﺒﻴﻨﺎً ﺍﻟﻤﺪﻯ :
ﻳﻘﺼﺪ ﺑﺈﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﻭﺍﻟﻤﺪﻯ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻋﻦ ﻃﺮﻳﻖ ﺷﻜﻞ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً
)٣( )٢( )١(
ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ) ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ (
ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ) ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻦ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ (
ﺷﻜﻞ ) ١ ( : ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] ٠ ، ٢ [
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻓﻰ ] - ٢ ، ٠ [ ، ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻰ ] ٠ ، ٣ [ ، ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻰ ] ٣ ، ٥ [ ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( : ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﻭﺍﻟﻤﺪﻯ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ ﺃﻣﺎﻣﻚ :
ﺷﻜﻞ ) ٢ ( : ﺍﻟﻤﺪﻯ = ]– ٥ ، ∞ ] )٣( )٢( )١(
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، – ١ [ ﻭﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻓﻰ ] – ١ ، ∞ ]
٣ ﺷﻜﻞ )٣( : ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] - ٥ ، ١ [
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻓﻰ ] – ٣ ، ٠ ] ، ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻰ ] ٠ ، ٣ ] ، ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻰ ] ٣ ، ٥ ]
) ١ ( ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ = [ – ٢ ، ٥ [ ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] ٠ ، ٢ [
) ٢ ( ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ = [ – ٢ ، ٤ [ ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] - ٢ ، ٢ [
ﺍﻟﺒﺤﺚ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً ﺍﻟﺒﺤﺚ ﺟﺒﺮﻳﺎً ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ
) ٣ ( ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ = ﺡ ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] ٠ ، ∞ ]
ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﺩ)–ﺱ(=ﺩ)ﺱ( ﺯﻭﺟﻴﺔ
ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ ﺩ)–ﺱ(=–ﺩ)ﺱ( ﻓﺮﺩﻳﺔ
ﻳﻘﺼﺪ ﺑﺎﻃﺮﺍﺩ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺍﻟﻔﺘﺮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ ﻋﻨﺪﻫﺎ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ :
) ٣ ( ﺛﺎﺑﺘﺔ ) ٢ ( ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ) ١ ( ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ
ﺧﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺒﺤﺚ :
) ١ ( ﻧﻮﺟﺪ ﺩ ) – ﺱ ( ﻭﺫﻟﻚ ﻳﺘﻢ ﺑﺎﺳﺘﺒﺪﺍﻝ ﻛﻞ ) ﺱ ( ﺑـ ) – ﺱ ( ﻓﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ
) ٢ ( ﻧﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺍﻷﻗﻮﺍﺱ ﻭﻧﻔﻜﻬﺎ
) ١ ( ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻛﻠﻤﺎ ﺍﺗﺠﻬﻨﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻦ ﻳﺼﻌﺪ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻷﻋﻠﻰ
) ٣ ( ﻧﻘﺎﺭﻥ ﺑﻴﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻭﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ﻭﻧﺤﻜﻢ ﻋﻠﻰ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻟﻤﺒﻴﻦ
) ٢ ( ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻛﻠﻤﺎ ﺍﺗﺠﻬﻨﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻦ ﻳﻬﺒﻂ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻷﺳﻔﻞ
) ٣ ( ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮﺍﺯﻯ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ .
- 5. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
ﻣﺜﺎﻝ ) ٤ ( : ﺃﺑﺤﺚ ﻧﻮﻉ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻛﻮﻧﻬﺎ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﺃﻡ ﻓﺮﺩﻳﺔ :
٢ ١ ١
)١(ﺩ)ﺱ(=)ﺱ+ ﺱ (٢+)ﺱ– ﺱ ( ﻋﺪﺩ ﻓﺮﺩﻯ ﻋﺪﺩ ﺯﻭﺟﻰ
١
=– ﺱ )– ﺱ( ، =ﺱ )١()–ﺱ(
٥
) ٢ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ ) ﺱ – ﺱ ( ) ٣ ( ﺩ ) ﺱ ( = | ٣ – ﺱ| + ٥ ) ٢ ( ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ) – ﺱ ( ﺗﻌﺎﻣﻞ ﻣﻌﺎﻣﻠﺔ ﺍﻟﺮﺑﻊ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﻓﻰ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ
٢
) ٥ ( ﺩ ) ﺱ ( = |ﺱ – ٢| +|ﺱ + ٢| ) ٤ ( ﺩ ) ﺱ ( = ٢|ﺱ| – ﺱ ﺃﻯ : ﺟﺎ ) – ﺱ ( = – ﺟﺎ ﺱ ، ﻇﺎ ) – ﺱ ( = – ﻇﺎ ﺱ ، ﺟﺘﺎ ) – ﺱ ( = ﺟﺘﺎ ﺱ
٢ ١ ١ ) ٣ ( |– ﺱ| = |ﺱ|
)١(ﺩ)–ﺱ(=)–ﺱ– ﺱ(٢+)–ﺱ+ ﺱ (
١ ٢ ١
=)ﺱ+ ﺱ (٢+)ﺱ– ﺱ( =ﺩ)ﺱ( ﻣﺜﺎﻝ ) ٣ ( : ﺃﺑﺤﺚ ﻧﻮﻉ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻛﻮﻧﻬﺎ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﺃﻡ ﻓﺮﺩﻳﺔ :
∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ) ٢ ( ﺩ ) ﺱ ( = ٤ ﺟﺎ ﺱ ) ١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ – ٣
٥ ١ ) ٣ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ + ﻇﺎ٢ ﺱ ) ٤ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٣ + ﺟﺘﺎ ﺱ
)٢(ﺩ)–ﺱ(=)–ﺱ()–ﺱ+ ﺱ ( ٣
) ٥ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺟﺎ ﺱ
١ ٥
=–ﺱ×–)ﺱ– ﺱ ( =ﺩ)ﺱ( ) ١ ( ﺩ ) – ﺱ ( = ) – ﺱ (٢ – ٣ = ﺱ٢ – ٣ = ﺩ ) ﺱ (
∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ
∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻻ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ ) ٣ ( ﺩ ) - ﺱ ( = |٣ + ﺱ | + ٥ ) ٢ ( ﺩ ) – ﺱ ( = ٤ ﺟﺎ ) – ﺱ ( = – ٤ ﺟﺎ ﺱ = – ﺩ ) ﺱ (
٢
) ٤ ( ﺩ ) - ﺱ ( = ٢| - ﺱ| – ) - ﺱ ( ∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﺮﺩﻳﺔ
٢
= ٢|ﺱ| – ﺱ = ﺩ ) ﺱ ( ∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ) ٣ ( ﺩ ) – ﺱ ( = ) – ﺱ (٢ + ﻇﺎ٢ ) – ﺱ ( = ﺱ٢ + ﻇﺎ ﺱ = ﺩ ) ﺱ (
) ٥ ( ﺩ ) - ﺱ ( = | - ﺱ – ٢|+| - ﺱ + ٢| ∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ
=|ﺱ + ٢|+|ﺱ – ٢| = ﺩ ) ﺱ ( ) ٤ ( ﺩ ) – ﺱ ( = ) – ﺱ (٣ + ﺟﺘﺎ ) – ﺱ ( = – ﺱ٣ + ﺟﺘﺎ ﺱ
∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ = – ) ﺱ٣ – ﺟﺘﺎ ﺱ (
∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻻ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ
) ٥ ( ﺩ ) – ﺱ ( = ﺟﺎ ) – ﺱ (٣ = – ﺟﺎ ﺱ٣ = – ﺩ ) ﺱ (
ﺩ)ﺱ(+ﺩ)– ﺱ(=٠
∴ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﺮﺩﻳﺔ
ﺗﺒﻘﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﺮﺩﻳﺔ
- 6. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
ﺷﻜﻞ ) ٨ (
ﺷﻜﻞ ) ٧ (
ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺩﻭﺍﻝ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ :
ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ :
) ٣ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ + ٥ )٢(ﺩ)ﺱ(=٢ﺱ+٣
ﺱ ١ ﺱ٢ + ﺱ ﻭﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺩﻭﺍﻝ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ :
) ٥ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ+ ﺱ )٤(ﺩ)ﺱ(=
ﺱ+٢
٣ ]ﺱ /– /٢/
) ٧ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ ]ﺱ / – / ٢/ )٦(ﺩ)ﺱ(=
]ﺱ /+/ ٢/
ﺃﺑﺤﺚ ﻧﻮﻉ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻛﻮﻧﻬﺎ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﺃﻡ ﻓﺮﺩﻳﺔ :
) ٠١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٣ + ﺱ ) ٩ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ + ١
:
) ٢١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ ﺟﺘﺎ ﺱ ) ١١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ ﺟﺎ ﺱ
ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﻟﻴﺴﺖ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻓﻼ ﻫﻰ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻭﻻ ﻫﻰ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ
}
، ﺱ<٠ ﺱ+٢
٦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ .
، ﺱ>٠ ﺱ– ٢ ) ٣١ ( ﺩ ) ﺱ ( =
) ٤١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ) ٤ – ﺱ ( ٣ – ) ٤ + ﺱ ( ٣ ( )
) ٥١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ) ٣ – ﺱ ( ٣ + ) ٣ + ﺱ ( ٣ ) ١ ( ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻛﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ
ﺃﻡ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﺃﻡ ﻏﻴﺮ ﺫﻟﻚ :
) ٦١ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ + ٣ ، ﺭ ) ﺱ ( = ﺱ – ٢ ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺘﺎﻥ ﻓﺄﻭﺟﺪ
ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻭﻋﻴﻦ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ :
ﺷﻜﻞ ) ٢ (
ﺷﻜﻞ ) ١ (
ﺷﻜﻞ ) ٣ (
)ﺍ()ﺩ+ﺭ()ﺱ(
)ﺏ()ﺩ– ﺭ()ﺱ(
)ﺝ()ﺩ٠ﺭ()ﺱ(
ﺷﻜﻞ ) ٦ (
ﺷﻜﻞ ) ٥ (
ﺷﻜﻞ ) ٤ (
ﺭ
)ﺩ() ﺩ ()ﺱ(
- 7. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
} اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
ﺩ ) ﺱ ( = ﺍ ﺱ + ﺏ ﻟﻜﻞ ﺱ ، ﺍ ، ﺏ ∋ ﺡ
ﻫﻰ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺗﻤﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً ﺑﺨﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻴﻠﻪ ﺍ ﻭﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ﺝ ﻟﻜﻞ ﺱ ، ﺝ ∋ ﺡ
) ٠ ، ﺏ ( ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍ < ٠ ، ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍ > ٠ ﺗﻤﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً ﺑﺨﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮﺍﺯﻯ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ، ﻣﺪﺍﻫﺎ = } ﺝ { ، ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ .
ﻓﻤﺜﻼً : ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ٣ ﺱ – ٢ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻭﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻭﻣﺪﺍﻫﺎ = ﺡ ﻭﻫﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﻣﺪﺍﻫﺎ ﻧﻘﻄﺔ ﺃﻭ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ .
، ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ٢ – ٣ ﺱ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻭﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻭﻣﺪﺍﻫﺎ = ﺡ
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺝ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ
، ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ٢ ﺱ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻭﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻭﻣﺪﺍﻫﺎ = ﺡ ﻭﻓﺮﺩﻳﺔ .
ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺝ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﺳﻔﻞ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ
، ﺱ∋]-٤،-٢[ ﺱ+٤
، ﺱ∋[–٢،٢[
، ﺱ∋[٢،٤[ ٤– ﺱ
٢ } ﻣﺜﺎﻝ ) ٣ ( : ﺍﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( =
ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( : ﺍﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ ) ﺱ ( = ٣ ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ
ﺍﻟﻤﺪﻯ = } ٣ {
ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ = ] - ٤ ، ٤ [ ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] ٠ ، ٢ [ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻓﻰ ] - ٤ ، - ٢ [ ، ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻟﺘﻤﺎﺛﻠﻬﺎ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .
ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻰ [ – ٢ ، ٢ [ ، ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ [ ٢ ، ٤ [ .
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .
، ﺱ>٠
-٢ ، ﺱ<٠
٢
ﻣﺜﺎﻝ ) ٢ ( : ﺍﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ : ﺩ ) ﺱ ( = }
٩– ﺱ
٢
،ﺱﻵ ٣ ﻣﺜﺎﻝ ) ٤ ( : ﺇﺭﺳﻢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ﺍﻟﻤﺪﻯ = } - ٢ ، ٢ {
٣– ﺱ
ﻭﻋﻴﻦ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻭﻣﺪﺍﻫﺎ . ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻰ [ - ∞ ، ٠ [ ﻭﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻰ [ ٠ ، ∞ ]
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻓﺮﺩﻳﺔ ﻟﺘﻤﺎﺛﻠﻬﺎ ﺣﻮﻝ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻷﺻﻞ .
ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ = ﺡ – } ٣ {
)٣– ﺱ()٣+ﺱ(
=٣+ﺱ ﺩ)ﺱ(=
)٣– ﺱ(
ﺍﻟﻤﺪﻯ = ﺡ – } ٦ {
- 8. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
( )
: ﻫﻮ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻄﻠﻘﺔ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻌﺪﺩ . ﺃﻯ ﺃﻥ : |ﺱ| ≤ ٠ ﺃﺭﺳﻢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺃﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﺪﻯ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ
ﻓﻤﺜﻼً : |٣| = ٣ ، | - ٣| = ٣ ، |٠| = ٠ ﻭﻛﺬﻟﻚ ﺍﻃﺮﺍﺩﻫﺎ ﻭﺑﻴﻦ ﻧﻮﻋﻬﺎ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﻛﻮﻧﻬﺎ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﺃﻡ ﻓﺮﺩﻳﺔ :
:ﻫﻮ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻣﻦ ﻭﺿﻊ ﻣﺎ ﺑﺪﺍﺧﻞ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻣﺴﺎﻭﻳﺎً ﺍﻟﺼﻔﺮ . )٢(ﺩ)ﺱ(=٠ )١(ﺩ)ﺱ(=٤
)٤(ﺩ)ﺱ(=٢ﺱ– ١ )٣(ﺩ)ﺱ(=ﺱ
) ١ ( ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ، ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﻄﻠﻖ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﺑﻨﻔﺲ ﺇﺷﺎﺭﺗﻪ (
)٦(ﺩ)ﺱ(=– ﺱ )٥(ﺩ)ﺱ(=٢– ﺱ
ﺃﻭ ) ٢ ( ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻫﻮ
–٣ ،ﺱ>٢
) ٣ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺴﺒﻖ ﻋﻼﻣﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻳﻔﺘﺢ ﻷﺳﻔﻞ .
) ٤ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺴﺒﻖ ﻋﻼﻣﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻳﻔﺘﺢ ﻷﻋﻠﻰ .
،ﺱ=٠
،ﺱ<٢ ٣
٠ } )٧(ﺩ)ﺱ(=
) ٥ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ = ٠ ﻓﺎﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﺑﻮﺟﻪ ﻋﺎﻡ ، ﺱ≤٠ ٢
) ٦ ( ﻣﺤﻮﺭ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ) ﻭﻳﺘﻐﻴﺮ ﺗﺒﻌﺎً ﻟﻠﺴﺆﺍﻝ ( ، ﺱ>٠ -١ ) ٨ ( ﺩ ) ﺱ ( =}
– ٢ ،– ٥≥ ﺱ≥-٢
ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( : ﺍﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = |ﺱ| ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻋﻴﻦ
ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﻧﻮﻋﻬﺎ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺍﻟﺰﻭﺟﻴﺔ ﻭﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ
ﺱ ،– ٢>ﺱ>٢
، ٢≥ ﺱ≥٥ ٢
} )٩(ﺩ)ﺱ(=
ﻭﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻳﻔﺘﺢ ﻷﻋﻠﻰ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ٠ ، ٠ ( ﺱ+ ١ ،ﺱ>١
ﺑﺄﺧﺬ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻗﺒﻞ ﻭﺑﻌﺪ ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ : ) – ١ ، ١ ( ، ) ١ ، ١ (
ﻣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ = ] ٠ ، ∞ ] ، ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، ٠ ]
،١>ﺱ>٣ ٢
٥– ﺱ ،ﺱ<٣
} ) ٠١ ( ﺩ ) ﺱ ( =
، ﺱ≤٠ ﺱ
ﻭﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ ] ٠ ،∞ ] ، ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .
، ﺱ>٠ -ﺱ ) ١١ ( ﺩ ) ﺱ ( = }
ﻣﺜﺎﻝ )٢( : ﺍﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = – |ﺱ| ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﻯ ،ﺱ∋]-٥،-١] ٢– ﺱ
ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﻧﻮﻋﻬﺎ ﻣﻦ ﺣﻴﺚ ﺍﻟﺰﻭﺟﻴﺔ ﻭﺍﻟﻔﺮﺩﻳﺔ . ،ﺱ∋]-١،٤[ ﺱ+٤ } ) ٢١ ( ﺩ ) ﺱ ( =
ﺍﻟﻤﺪﻯ = [ - ∞ ، ٠ [
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ [ - ∞ ، ٠ ] ﻭﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ ] ٠ ، ∞ ]
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻷﻧﻬﺎ ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .
- 9. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) – ٢ ، ١ (
ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺇﺿﺎﻓﻴﺘﻴﻦ : ) ٠ ، – ١ ( ، ) – ٣ ، ٠ ( ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻤﺴﻄﺮﺓ ﻋﻨﺪ ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻭﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﻭﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ
ﻣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ = [ - ∞ ، ١ [ ﻣﺜﺎﻝ )٣( : ﺃﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = |ﺱ – ١ | ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، – ٢ ] ، ﻭﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ ] – ٢ ، ∞ ] ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ .
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻻ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ .
ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = – ٢ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ١ ، ٠ (
ﺍﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ﻟﺪﻗﺔ ﺍﻟﺮﺳﻢ : ) ٠ ، ١ ( ، ) ٢ ، ١ (
ﻣﺜﺎﻝ ) ٦ ( : ﺃﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ٢|ﺱ| – ١
ﻣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ = ] ٠ ، ∞ ]
ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ ] – ∞ ، ١ ] ، ﻭﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ ] ١ ، ∞ ]
ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ٠ ، - ١ ( ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = ١
ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺇﺿﺎﻓﻴﺘﻴﻦ : ) ١ ، ١ ( ، ) – ١ ، ١ ( ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻻ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ
ﻣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ = ] - ١ ، ∞ ] ﻣﺜﺎﻝ ) ٤ ( : ﺃﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = | ٢ ﺱ + ٣| – ٢
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، ٠ ] ، ﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ ] ٠ ، ∞ ] ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ .
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻟﺘﻤﺎﺛﻠﻬﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ : ﺱ = ٠
ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) – ٥,١ ، – ٢ (
ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻟﺪﻗﺔ ﺍﻟﺮﺳﻢ : ) ٠ ، ١ ( ، ) – ٢ ، – ١ (
ﻟﻮ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﻣﺮﺍﻳﺔ ﻣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ = ] - ٢ ، ∞ ]
ﺗﺒﻘﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، – ٥,١ ]
ﻭﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ ] – ٥,١، ∞ ]
ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = – ٥,١
ﻣﺜﺎﻝ ) ٥ ( : ﺃﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ١ – |ﺱ + ٢|
ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ
- 10. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
( )
: ﻫﻮ ﻗﻴﻤﺔ ﺱ ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻣﻦ ﻭﺿﻊ ﻣﺎ ﺑﺪﺍﺧﻞ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻣﺴﺎﻭﻳﺎً ﺍﻟﺼﻔﺮ .
ﺃﺭﺳﻢ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻓﻰ ﺷﻜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻰ ﻣﻨﻔﺼﻞ ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺇﺳﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻤﺪﻯ
ﻭﻣﻨﻬﺎ ﺱ = ٣ ﻓﻤﺜﻼً ﻹﻳﺠﺎﺩ ﺻﻔﺮ |٢ ﺱ – ٦| ﻧﻀﻊ ٢ ﺱ – ٦ = ٠
ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ :
∴ ﺻﻔﺮ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻫﻮ ) ٣ ( ﻭﻫﻮ ﻳﻔﻴﺪﻧﺎ ﻓﻰ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﺑﺴﻬﻮﻟﺔ .
) ١ ( ﺩ ) ﺱ ( = |– ٢|
ﻧﺄﺧﺬ ﻣﺎ ﺑﺪﺍﺧﻞ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﺑﻨﻔﺲ ﺇﺷﺎﺭﺍﺗﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ≤ ) ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ( ، ﻭﻧﺄﺧﺬﻩ ﺑﻌﻜﺲ ) ٢ ( ﺩ ) ﺱ ( = |ﺱ| – ١
ﺇﺷﺎﺭﺍﺗﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ > ) ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ( ) ٣ ( ﺩ ) ﺱ ( = ٢|ﺱ|
: ) ٤ ( ﺩ ) ﺱ ( = – ٢|ﺱ + ٢|
)١( ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﺩﺍﺋﻤﺎً ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﺃﻭ ﺻﻔﺮ ، ﺃﻯ ﺃﻥ |ﺱ| = |– ﺱ| ≤ ٠ ) ٥ ( ﺩ ) ﺱ ( = |ﺱ + ١|
٢
)٢( |ﺱ٢|=|ﺱ|٢ = ﺱ ) ٦ ( ﺩ ) ﺱ ( = |ﺱ| + ١
)٣( ]ﺱ٢ =|ﺱ| ) ٧ ( ﺩ ) ﺱ ( = | ﺱ + ١| + ٢
ﻓﻤﺜﻼً : ] ﺱ٢ : – :٦ :ﺱ: :+ :٩: = ] ) ﺱ: – :٣ :(٢: = |ﺱ – ٣|
: : ) ٨ ( ﺩ ) ﺱ ( = |– ﺱ|
)٤( |ﺍ – ﺱ|=|ﺱ – ﺍ| ﻭﻳﺠﺐ ﺍﻟﺘﻌﺪﻳﻞ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﺒﺪﺀ ﺑﺎﻟﺤﻞ ) ٩ ( ﺩ ) ﺱ ( = ٢ – |ﺱ|
)٥( |ﺱ × ﺹ| =|ﺱ|×|ﺹ| ) ٠١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ٢ – |ﺱ – ٣|
)٦( ﻋﻨﺪ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻹﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻳﻔﻀﻞ ﻭﺿﻊ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻠﻴﻬﺎ ﺩﺍﺧﻞ ﻗﻮﺱ . ) ١١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ١ – |٢ ﺱ + ٣|
) ٢١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ١ + |٢ﺱ – ٣|
ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( :ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : ٥ +|ﺱ – ٣| = ٠
) ٣١ ( ﺩ ) ﺱ ( = |ﺱ – ١ |+ ﺱ
ﺱ>٣ ﺱ≤٣ ) ٤١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ١ + ﺱ – |ﺱ + ١ |
٥– )ﺱ– ٣(=٠ ٥+ﺱ– ٣=٠ ) ٥١ ( ﺩ ) ﺱ ( = | ﺱ + ١ | + ٢ |ﺱ + ١ |
٥– ﺱ+٣=٠ ﺱ+٢=٠
٨– ﺱ=٠ ﺱ = – ٢ ﻣﺮﻓﻮﺽ ﻷﻧﻪ ﻟﻴﺲ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ ٣
ﺱ = ٨ ﻣﺮﻓﻮﺽ ﻷﻧﻪ ﻟﻴﺲ ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ ٣
∴ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = ∅
- 11. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
٢
∴ ﺱ =٩ ﺣﻞ ﺁﺧﺮ :
∴ ﺱ = ٣ ﻳﺤﻘﻖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺑﺎﻟﻨﻈﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ﻧﺠﺪ ﺃﻥ | ﺱ – ٣ | = – ٥
، ﺱ = – ٣ ﻣﺮﻓﻮﺽ ﻭﻫﺬﺍ ﻣﺮﻓﻮﺽ ﻷﻥ ﻧﺎﺗﺞ ﺃﻯ ﻣﻘﻴﺎﺱ ﻻﺑﺪ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻮﺟﺒﺎً ، ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﻓﻼ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻬﺬﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
∴ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = } ٣ { ﻣﺜﺎﻝ ) ٢ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : |٢ ﺱ – ٧| = ٣
|٢ﺱ–٥| ٧ﺱ+٤
= ﻣﺜﺎﻝ ) ٥ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : ﺱ > ٥,٣ ﺱ ≤ ٥,٣
٢ ٥
– )٢ﺱ– ٧(=٣ ٢ﺱ– ٧=٣
ﻳﻨﺘﺞ ﺃﻥ : ٥ | ٢ ﺱ – ٥ | = ٢ ) ٧ ﺱ – ٤ ( ﺑﺎﻟﻀﺮﺏ × ٠١
–٢ﺱ+٧=٣ ∴ ٢ﺱ=٣+٧
= ٥,٢ %٢؛ ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ = ∴ – ٢ﺱ=–٤ ∴ ٢ ﺱ = ٠١
ﺱ > ٥,٢ ﺱ ≤ ٥,٢ ∴ ﺱ = ٢ ﻳﺤﻘﻖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﻳﺤﻘﻖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ∴ ﺱ=٥
–٥)٢ﺱ– ٥(=٢)٧ﺱ+٤( ٥)٢ﺱ– ٥(=٢)٧ﺱ+٤( ∴ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = } ٢ ، ٥ {
– ٠١ ﺱ + ٥٢ = ٤١ ﺱ + ٨ ٠١ ﺱ – ٥٢ = ٤١ ﺱ + ٨ ﻣﺜﺎﻝ ) ٣ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : | ٢ ﺱ – ٥| – ٣ ﺱ = ٢
– ٤٢ ﺱ = – ٧١ – ٤ ﺱ = ٣٣ ﺱ > ٥,٢ ﺱ ≤ ٥,٢
ﻳﺤﻘﻖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ &؛٤!٢؛ ﺇ ﺱ= ﺇ ﺱ = – ٥٢,٨ ﻣﺮﻓﻮﺽ –٢ﺱ+٥– ٣ﺱ=٢ ٢ﺱ– ٥– ٣ﺱ=٢
{ &؛٤!٢؛ ﺇ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = } –٥ﺱ=٢– ٥ –ﺱ=٢+٥
ﻳﺤﻘﻖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ = ٦,٠ #٥؛ ﺱ= ﺱ = – ٧ ﻣﺮﻓﻮﺽ
ﻣﺜﺎﻝ ) ٦ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : ] ﺱ٢ :+ :٢ :ﺱ: :+: ١: = ٥
∴ ﺱ ∋ } ٦,٠ {
]ﺱ٢ :+ :٢ :ﺱ: +: ١ : = ٥ ﺉ ] ) ﺱ: +: ١ :(:٢ = ٥ ﺉ |ﺱ + ١|= ٥ ﻣﺜﺎﻝ ) ٤ ( : ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : |ﺱ|٢ – ٣ ﺱ|ﺱ|= - ٨١
ﺱﺁ– ١ ﺱﲨ – ١ ﺱ>٠ ﺱ≤ ٠
– )ﺱ+١(=٥ ﺱ+١=٥ ﺱ٢ – ٣ ﺱ ) – ﺱ ( = – ٨١ ﺱ٢ – ٣ ﺱ × ﺱ = – ٨١
ﺱ = – ٦ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺱ = ٤ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺱ٢ + ٣ ﺱ٢ = – ٨١ ﺱ٢ – ٣ ﺱ٢ = – ٨١
ﺇ ﺱﻱ }– ٦ ، ٤ { ﻣﺮﻓﻮﺽ ٤ ﺱ٢ = – ٨١ - ٢ ﺱ٢ = – ٨١
- 12. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
ﺍﻷﻳﻤﻦ = |٢ ) – ٢ ( + ١| – ) – ٢ ( = | – ٣|+ ٢ = ٣ + ٢ = ٥ = ﺍﻷﻳﺴﺮ
ﺛﺎﻧﻴﺎً : ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ٤
ﺍﻷﻳﻤﻦ = |٢ ) ٤ ( + ١| – ٤ = |٩| – ٤ = ٩ – ٤ = ٥ = ﺍﻷﻳﺴﺮ )١( ﻧﺠﻌﻞ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ﻓﻰ ﻃﺮﻑ ﻟﻮﺣﺪﻩ
ﻣﺜﺎﻝ ) ٣ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻦ ﺍﻵﺗﻴﺘﻴﻦ : )٢( ﻧﺮﺳﻢ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻛﺪﺍﻟﺔ ﻣﻨﻔﺼﻠﺔ ﻭﻟﺘﻜﻦ ﺩ ١ ) ﺱ ( ) ﺑﺪﻗﺔ ﻣﺘﻨﺎﻫﻴﺔ (
) ٢ (|ﺱ – ٢|=|ﺱ| ) ١ (|ﺱ – ٢|+|٢ ﺱ – ٧|= ﺱ )٣( ﻧﺮﺳﻢ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻛﺪﺍﻟﺔ ﻣﻨﻔﺼﻠﺔ ﻭﻟﺘﻜﻦ ﺩ ٢ ) ﺱ ( ) ﺑﺪﻗﺔ ﻣﺘﻨﺎﻫﻴﺔ (
)٤( ﻧﺤﺴﺐ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ ﻟﻨﻘﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺩ ١ ) ﺱ ( ∩ ﺩ ٢ ) ﺱ ( ﻭﻧﻜﺘﺐ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ
) ٢ ( ﺩ ١ ) ﺱ ( =|ﺱ – ٢| ) ١ ( ﺩ ١ ) ﺱ ( =|ﺱ – ٢|
، ﺩ ٢ ) ﺱ ( =|ﺱ| ﺩ ٢ ) ﺱ ( = ﺱ – | ٢ ﺱ – ٧| ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : |ﺱ – ٢| = ١ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً
ﻭﺣﻘﻖ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺟﺒﺮﻳﺎً .
ﺩ١)ﺱ(= ﺱ– ٢ ، ﺩ٢)ﺱ(=١
ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻳﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = } ١ ، ٣ {
ﺍﻟﺘﺤﻘﻴﻖ ﺍﻟﺠﺒﺮﻯ :
ﺃﻭﻻً : ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ١ : ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ = |١ – ٢| = |– ١| = ١ = ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ
ﺛﺎﻧﻴﺎً : ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ٣ : ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ = |٣ – ٢| =|١| = ١ = ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ .
ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ : ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ :
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = } ١ { ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = } ٥,٢ ، ٥,٤ { ﻣﺜﺎﻝ ) ٢ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ : |٢ ﺱ + ١| – ﺱ = ٥
ﻭﺣﻘﻖ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺟﺒﺮﻳﺎً .
| ٢ ﺱ + ١| = ﺱ + ٥
ﻋﺰﻳﺰﻯ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ
ﻭﻳﻜﻮﻥ : ﺩ ١ ) ﺱ ( =|٢ ﺱ + ١| ، ﺩ ٢ ) ﺱ ( = ﺱ + ٥
ﺗﻮﺟﺪ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺃﺧﺮﻯ ﻭﻫﻰ ﺟﻌﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺻﻔﺮﻳﺔ ﺛﻢ ﺭﺳﻤﻬﺎ ﻛﺪﺍﻟﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ
ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ : ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = } – ٢ ، ٤ {
ﻭﻓﻰ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ ﻧﻘﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻊ
ﺍﻟﺘﺤﻘﻴﻖ ﺍﻟﺠﺒﺮﻯ :
ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ .
ﻭﻟﻜﻨﻰ ﺃﻧﺼﺢ ﺑﺎﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ ﺍﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﺳﺎﺑﻘﺎً ﻷﻧﻬﺎ ﺗﺼﻠﺢ ﻟﺠﻤﻴﻊ ﺃﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ . ﺃﻭﻻً : ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = – ٢
- 13. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
) ٢ ( |٢ ﺱ + ٣ | ≥ ٥
ﺃ، – ) ٢ ﺱ + ٣ ( ﲪ ٥ ٢ﺱ+٣ ﲪ٥ ) ١ ( ﻻ ﻧﺴﺘﺨﺪﻡ ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ
٢ﺱ+٣ﲨ– ٥ ٢ﺱﲪ ٥– ٣ ) ٢ ( ﻧﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ) ﻓﻬﻮ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻮﺟﺒﺎً ﻣﺮﺓ ﻭﺳﺎﻟﺒﺎً ﻣﺮﺓ ﺃﺧﺮﻯ ( .
٢ﺱﲨ– ٥– ٣ ٢ﺱﲪ٢ ) ٣ ( ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮﻥ ﻋﻼﻣﺔ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ) > ( ﺃﺻﻐﺮ ﻣﻦ :
٢ﺱﲨ– ٨ ﺱﲪ١ ﺗﺼﺒﺢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻓﺘﺮﺓ ﺇﻣﺎ ﻣﻐﻠﻘﺔ ﺃﻭ ﻣﻔﺘﻮﺣﺔ .
ﺱﲨ– ٤ ) ٤ ( ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮﻥ ﻋﻼﻣﺔ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ ) < ( ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ :
ﺗﺼﺒﺢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ : ﺡ – ﻓﺘﺮﺓ ﻣﻌﻜﻮﺳﺔ
ﺇ ﺱﻱ ]– ٤،١[
) ٥ ( ﻳﺠﺐ ﺟﻌﻞ ﺱ ) ﺍﻟﺘﻰ ﺩﺍﺧﻞ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ ( ﻓﻰ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺍﻟﻜﻼﻡ ﻗﺒﻞ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ :
) ٣ ( |٣ ﺱ – ٤ | < ٥
ﻣﺜﻼً : |٣ – ﺱ| ﺗﺼﺒﺢ |ﺱ – ٣|
– )٣ﺱ– ٤(<٥ ﺃ، ٣ﺱ– ٤ <٥
) ٦ ( ﺗﺬﻛﺮ ﺃﻥ : ﻋﻨﺪ ﺿﺮﺏ ) ﺃﻭ ﻗﺴﻤﺔ ( ﻃﺮﻓﻰ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ × ) ﺃﻭ ÷ ( ﻛﻤﻴﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻓﺄﻧﻨﺎ ﻧﻌﻜﺲ
٣ﺱ– ٤ >– ٥ ٣ﺱ< ٥+٤
ﻋﻼﻣﺔ ﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ .
٣ﺱ>– ١ ٣ﺱ<٩
!٣؛ ﺱ>– ﺱ<٣ ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻓﺘﺮﺓ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ :
) ٢ ( |٢ ﺱ + ٣| ≥ ٥ ) ١ ( |ﺱ – ٥| > ٢
،٣[ !٣؛ ∴ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = ﺡ – ] –
) ٤ ( |ﺱ + ٧| ≤ ٠ ) ٣ ( |٣ ﺱ – ٤ | < ٥
) ٤ ( |ﺱ + ٧| ≤ ٠
– )ﺱ+٧(ﲨ٠ ﺃ، ﺱ+٧ﲨ٠
) ١ ( |ﺱ – ٥| > ٢
ﺱ+٧ﲪ٠ ﺱﲨ– ٧
ﺃ، – ) ﺱ – ٥ ( > ٢ ﺱ– ٥ >٢
ﺱﲪ– ٧
ﺱ– ٥<– ٢ ﺱ>٢+٥
ﺇ ﺱﻱﺡ
ﺱ<– ٢+٥ ﺱ>٧
ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ :
ﺱ<٣
ﻋﺰﻳﺰﻯ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ |ﺱ + ٧| < ٠ ﻭﻻﺣﻆ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨﻬﺎ ﻭﺑﻴﻦ
ﺇ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = [ ٣ ، ٧ ]
ﺍﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ .
- 14. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
( ) ﻣﺜﺎﻝ ) ٢١ ( : ﺃﻭﺟﺪ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻓﺘﺮﺓ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ :
) ٢ ( |٥ – ٣ ﺱ| ≤ ٢ ) ١ ( ﺱ٢ – ٨ ﺱ + ٦١ > ٣
ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ :
) ٣ ( |٢ ﺱ – ٣|< ٩ – |٦ – ٤ ﺱ|
|٢ ﺱ – ٣| = ٥١ )١(
|ﺱ + ١|٢ – ٢|ﺱ + ١| + ١ = ٠ )٢(
| ٢ ﺱ – ٥| = ٨ – ٣ ﺱ )٣( ) ١ ( ]ﺱ٢ – :٨: :ﺱ: :+: :٦١: > ٣ ﺉ ] ) ﺱ : – : :٤ (:٢: > ٣ ﺉ |ﺱ – ٤| > ٣
:
| ٢ ﺱ + ٣| – ﺱ = ٠ )٤( – )ﺱ– ٤(>٣ ﺱ– ٤>٣
| ٢ ﺱ – ٧| – ﺱ + ٥ = ٠ )٥( ﺱ– ٤<– ٣ ﺱ>٣+٤
|٣ ﺱ – ١|+ ٤ ﺱ – ٣١ = ٠ )٦( ﺱ<١ ﺱ>٧
| ٢ ﺱ + ٣| – ٥ = ٠ )٧( ﺇ ﺱﻱ[١،٧]
|ﺱ|+ ﺱ٢ = ٢ )٨( ﺉ |٣ ﺱ – ٥ | ﲨ ٢ ) ٢ ( | ٥ – ٣ ﺱ| ≤ ٢
ﺱ |ﺱ| – ٥ |ﺱ|+ ٦ = ٠ )٩( ﺃ، – ) ٣ ﺱ – ٥ ( ﲨ ٢ ٣ﺱ– ٥ﲨ٢
٥ + |ﺱ – ٢| = ٠ ) ٠١ ( ٣ﺱ– ٥ﲪ– ٢ ٣ﺱﲨ٢+٥
) ١١ ( | – ٢ ﺱ| – | – ٨| = ٠ ٣ﺱﲪ٣ ٣ﺱﲨ٧
) ٢١ ( |٧ – ٢ ﺱ| – ٣ = ٠ ﺱﲪ١ &٣؛ ﺱﲨ
] ٩ – :٦: :ﺱ: +: :ﺱ: : = ٢
٢
: ) ٣١ (
] &٣؛ ﺇ ﺱﻱﺡ – [١،
) ٤١ ( ٢|ﺱ – ٣| – ٥ = | ٣ – ﺱ|
) ٣ ( |٢ ﺱ – ٣|< ٩ – |٦ – ٤ ﺱ| ﺉ |٢ ﺱ – ٣|< ٩ – |٤ ﺱ – ٦|
ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎً ﺛﻢ ﺣﻘﻖ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺟﺒﺮﻳﺎً :
|٢ ﺱ – ٣|< ٩ – ٢|٢ ﺱ – ٣|
) ٥١ ( |ﺱ + ٢| – ٣ = ٠
ﺉ ٣| ٢ ﺱ – ٣| < ٩ ﺉ |٢ ﺱ – ٣|+ ٢|٢ ﺱ – ٣| < ٩
) ٦١ ( |٣ – ﺱ| = ﺱ – ٥
) ٧١ ( |ﺱ + ٢| = ٢ ﺱ ﺉ | ٢ ﺱ – ٣| < ٣
) ٨١ ( |ﺱ – ١| = |ﺱ + ٤| ﻋﺰﻳﺰﻯ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﺃﻛﻤﻞ ﺍﻟﺤﻞ ﻭﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻫﻮ ﺡ – ] ٠ ، ٣ [
) ٩١ ( |ﺱ + ٢| = ٠
- 15. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
) ( ) ٠٢ ( |ﺱ – ٢| + ١ = ٠
٢ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻓﺘﺮﺓ :
ﺩ)ﺱ(=)ﺱ– ﺍ( +ﺏ
) ١٢ ( |ﺱ – ٣| < ٨
) ١ ( ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ﺻﻔﺮ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻊ ، ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﻄﻠﻖ ﺧﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻊ ﺑﺈﺷﺎﺭﺗﻪ ( ) ٢٢ ( |ﺱ – ٢| ≥ ١
) ٣٢ ( |٢ ﺱ – ٧| ≤ ٣
ﺃﻭ ) ٢ ( ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ :
) ٤٢ ( |٢ ﺱ – ٥| > ٣
) ٣ ( ﻳﻔﺘﺢ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻷﻋﻠﻰ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻊ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻭﻳﻔﺘﺢ ﻷﺳﻔﻞ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺳﺎﻟﺒﺔ .
) ٥٢ ( |٤ – ٢ ﺱ| < ٠
) ٤ ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺻﻔﺮ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻊ = ﺻﻔﺮﺍً ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺯﻭﺟﻴﺔ .
) ٦٢ ( |٤ + ٢ ﺱ| > ٠
) ٥ ( ﻣﺤﻮﺭ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = ﺻﻔﺮ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻊ
) ٧٢ ( ٣ |٢ ﺱ – ٣| – ٢ |٣ – ٢ ﺱ| ﲪ ٧
٢
ﻣﺜﺎﻝ ) ١ ( : ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ ) ٨٢ ( | ٢ ﺱ – ٧| ﲪ ﺱ + ١
ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ٠ ، ٠ ( ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] ٠ ، ∞ ] ] ٤ ﺱ٢: +: :٢١: :ﺱ: +: :٩: > ٥ ) ٩٢ (
ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، ٠ [ ، ﻭﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻓﻰ ] ٠ ، ∞ ] ٣
ﲨ١ ) ٠٣ (
ﺍﻟﻨﻮﻉ : ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻟﺘﻤﺎﺛﻠﻬﺎ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ . |٤ – ﺱ|
ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = ٠
٢
ﻣﺜﺎﻝ ) ٢ ( : ﺩ ) ﺱ ( = ) ﺱ + ٢ (
ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) - ٢ ، ٠ ( ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] ٠ ، ∞ ] ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺻﻔﺮ ﺍﻟﻤﻘﻴﺎﺱ
ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، – ٢ [ ﻟﻜﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﻷﻩ
ﻭﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ ] ٣ ، ∞ ] - ﻻ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ
ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = – ٢
٢
ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺗﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ ﺑﺈﺯﺍﺣﺔ ﻗﺪﺭﻫﺎ ٢ ﻓﻰ ﺍﺗﺠﺎﻩ
ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﻰ ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ .
- 16. } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ } اﻹﻣﺘﯿﺎز { ﻓﻰ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﻟﻠﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ
٢
( ) ﻣﺜﺎﻝ ) ٣ ( : ﺩ ) ﺱ ( = ٢ – ﺱ
ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ٠ ، ٢ ( ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] – ∞ ، ٢ ]
ﺃﺭﺳﻢ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻭﺍﻻﻃﺮﺍﺩ ﻭﺍﻟﻨﻮﻉ ﻭﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ :
ﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، ٠ [ ، ﻭﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ ] ٠ ،∞ ]
) ١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ – ١
٢ ﺍﻟﻨﻮﻉ : ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻟﺘﻤﺎﺛﻠﻬﺎ ﺣﻮﻝ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .
)٢(ﺩ)ﺱ(=١– ﺱ
٢ ﻧﻘﻮﻝ ﺃﻥ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻧﺘﺞ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ﺑﺈﺯﺍﺣﺔ ﻗﺪﺭﻫﺎ ٢ ﻓﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ
)٣(ﺩ)ﺱ(=– ﺱ
ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .
) ٤ ( ﺩ ) ﺱ ( = ) ﺱ – ١ (٢
) ٥ ( ﺩ ) ﺱ ( = ) ﺱ – ٢ (٢ + ١ ﻣﺜﺎﻝ ) ٤ ( : ﺩ ) ﺱ ( = ) ﺱ – ٢ ( ٢ – ٣
) ٦ ( ﺩ ) ﺱ ( = – ) ﺱ – ١ (٢ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ٢ ، - ٣ ( ، ﺍﻟﻤﺪﻯ = ] – ٣ ، ∞ ]
) ٧ ( ﺩ ) ﺱ ( = ١ – ) ﺱ – ١ (٢ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻓﻰ [ – ∞ ، ٢ [ ﻭﺗﺰﺍﻳﺪﻳﺔ ﻓﻰ ] ٢ ، ∞ ]
ﻻ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ
) ٨ ( ﺩ ) ﺱ ( = ) ٢ – ﺱ (٢
ﻧﺘﺞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻷﺻﻠﻴﺔ ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٢ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﺇﺯﺍﺣﺔ ﻗﺪﺭﻫﺎ ﻭﺣﺪﺗﻴﻦ ﻓﻰ
١
)٩(ﺩ)ﺱ(=ﺱ)ﺱ– ﺱ ( ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﺛﻼﺙ ﻭﺣﺪﺍﺕ ﻓﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ .
) ٠١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﺱ٤ ) ٢ – ١ (٢
٢
ﺱ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = ٢
،– ٥≥ ﺱ≥– ٢ – ٢ ﻣﺜﺎﻝ ) ٥ ( : ﺍﺭﺳﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ : ﺩ ) ﺱ ( = ٢ – ) ﺱ – ١ ( ٢ ﻭﺃﻛﻤﻞ ﺍﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎﺗﻚ
،– ٢>ﺱ>٢
، ٢≥ ﺱ≥٥
٢
ﺱ
٢ } ) ١١ ( ﺩ ) ﺱ ( =
ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ = ) ١ ، ٢ ( ، ﻣﺪﻯ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ = [ – ∞ ، ٢ [
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﺰﺍﻳﺪﺓ ﻓﻰ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ [ – ∞ ، ١ [
،ﺱ∋]– ٥،– ١] ٢– ﺱ
،ﺱ∋]– ١،٤[ ﺱ٢ + ٤ } ) ٢١ ( ﺩ ) ﺱ ( = ﻭﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻰ ] ١ ، ∞ ]
ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻻ ﺯﻭﺟﻴﺔ ﻭﻻ ﻓﺮﺩﻳﺔ
ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻫﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ : ﺱ = ١
