1. 4636135-187960-38735116840Examen:Lecciones:Deberes:Otros:ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORALInstituto de Ciencias MatemáticasCÁLCULO DIFERENCIALExamen de la Segunda EvaluaciónI Término – 04/septiembre/2009Nombre: ___________________________ Paralelo: ___ TEMA No. 1 ( 16 puntos) Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdadera o falsa. Justifique formalmente su respuesta. Sea entonces SOLUCIÓN: Derivando implícitamente: Reemplazando y simplificando: Por tanto la proposición es VERDADERA DESEMPEÑOINSUFICIENTEREGULARSATISFACTORIOEXCELENTEDeriva incorrectamente o califica correctamente la proposición sin justificarEncuentra la primera derivada y no establece procesos correctos para determinar la segunda derivadaEstablece procesos correctos para determinar la primera y segunda derivada pero se equivoca en la simplificaciónEncuentra la segunda derivada y califica correctamente la proposición012-34 Sea una función inversible y diferenciable. Si en el punto la recta tangente es paralela a la recta , entonces . SOLUCIÓN: La recta dada tiene pendiente , que será la misma que la de la recta tangente a en el punto , es decir . Por otro lado La proposición es VERDADERA DESEMPEÑOINSUFICIENTEREGULARSATISFACTORIOEXCELENTENo establece procesos coherentes que conduzcan al cálculo de la derivada de la inversa en el punto indicado o califica correctamente la proposición sin justificarEncuentra la pendiente de la recta dada pero no la relaciona con la pendiente de la recta tangente a Relaciona la pendiente de la recta dada con la pendiente de la recta tangente a , deriva pero se equivoca en el cálculo de la derivada de la inversa Encuentra la derivada de la inversa en el punto indicado por procesos correctos y califica correctamente la proposición012-34 Suponga que es derivable en el intervalo y continua en . Si entonces es constante para . SOLUCIÓN: Sea . Consideremos el intervalo . Por el teorema del Valor Medio tal que , pero , entonces ; Entonces es constante La proposición es VERDADERA DESEMPEÑOINSUFICIENTEREGULARSATISFACTORIOEXCELENTENo establece procesos coherentes que conduzcan a la demostración o califica correctamente la proposición sin justificarIntenta justificar porque la proposición es verdadera pero no utiliza el teorema del Valor Medio. Aplica el teorema del valor Medio pero no generaliza correctamente. Realiza correctamente la demostración y califica correctamente la proposición012-34 SOLUCIÓN: Tenemos una indeterminación de la forma . Primero simplificamos: Dado que persiste la indeterminación aplicamos L´Hopital Dado que persiste la indeterminación volvemos a aplicar L´Hopital Por tanto la proposición es FALSA DESEMPEÑOINSUFICIENTEREGULARSATISFACTORIOEXCELENTENo sabe cómo enfrentar esta indeterminación o califica correctamente la proposición sin justificarDefine la indeterminación y aplica incorrectamente la regla de L´Hopital.Aplica correctamente la regla de L´Hopital pero se equivoca en la manipulación algebraica. Calcula el límite mostrando procesos correctos y completos y califica correctamente la proposición012-34 TEMA No. 2 ( 12 puntos) Sea (2 puntos) Hallar el valor de si se conoce que tiene un punto crítico estacionario en . SOLUCIÓN: DESEMPEÑOINSUFICIENTEREGULAR SATISFACTORIOEXCELENTENo establece procesos coherentes que conduzcan al cálculo de o deriva incorrectamenteDeriva correctamente pero se equivoca en el cálculo de Calcula correctamente mostrando procesos correctos y completos012 (2puntos) Hallar el valor de si se conoce que contiene al punto . SOLUCIÓN: DESEMPEÑOINSUFICIENTEREGULAR SATISFACTORIOEXCELENTENo establece procesos coherentes que conduzcan al cálculo de Evalúa la función en el punto dado pero se equivoca en el cálculo de Calcula correctamente mostrando procesos correctos y completos012 (4puntos) Utilizando los valores de y encontrados hallar los puntos de inflexión. SOLUCIÓN: Puntos de Inflexión: ; ; DESEMPEÑOINSUFICIENTEREGULARSATISFACTORIOEXCELENTENo establece procesos o Deriva incorrectamenteDetermina la primera derivada y se equivoca en obtener la segunda derivadaDeriva correctamente pero no obtiene los puntos de inflexión. Obtiene los puntos de inflexión mediantes procesos correctos y completos012-34 (4 puntos) Bosqueje la gráfica de . SOLUCIÓN: ; es impar y ; Asíntota horizontal Puntos críticos estacionarios: y Puntos de Inflexión: ; ; Gráfica de --Decreciente y cóncava hacia abajo-+Decreciente y cóncava hacia arriba++Creciente y cóncava hacia arriba+-Creciente y cóncava hacia abajo--Decreciente y cóncava hacia abajo-+Decreciente y cóncava hacia arriba DESEMPEÑOINSUFICIENTEREGULARSATISFACTORIOEXCELENTEVacio o inicia procedimientos para establecer intervalos Realiza operaciones pero no obtiene los intervalosCalculo numéricos correctos pero se equivoca en la gráfica o no grafica. Bosqueja correctamente el gráfico de mostrando procesos correctos y completos012-34 TEMA No. 3 ( 8 puntos) Encuentre el polinomio de Maclaurin de cuarto grado para , y utilícelo para aproximar la función en SOLUCIÓN: ; ; ; ; ; ; ; ; en DESEMPEÑOINSUFICIENTEREGULARSATISFACTORIOEXCELENTEVacio o planteamiento desenfocadoEncuentra las derivadas pero evalúa incorrectamente o no evalúaEncuentra el polinomio de Maclaurin correctamente pero no aproxima la función en el punto indicado o hace incorrectamente. Encuentra correctamente el polinomio de Maclaurin y el valor aproximado de la función en el punto indicado012-34 Sea y , encuentre la derivada de en . SOLUCIÓN: La derivada de la función dada es: Ahora evaluamos en el punto indicado: DESEMPEÑOINSUFICIENTEREGULARSATISFACTORIOEXCELENTEVacio 0 deriva incorrectamenteDeriva correctamente pero no evalúa.Deriva y evalúa correctamente pero se equivoca en el resultado. Obtiene el resultado correcto mostrando procedimientos correctos y completos012-34 TEMA No. 4 ( 8 puntos) Obtener una formula general para , donde y son funciones de . SOLUCIÓN: DESEMPEÑOINSUFICIENTEREGULARSATISFACTORIOEXCELENTEDeriva incorrectamenteObtiene correctamente sólo la primera derivada.Obtiene correctamente las tres derivadas pero se equivoca en la simplificación. Obtiene la formula pedida mostrando procedimientos correctos y completos012-34 Determine para la función dada en forma implícita SOLUCIÓN: Primero aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación: Ahora derivamos implícitamente: También se considera válida otra solución equivalente, por ejemplo usar la exponencial. DESEMPEÑOINSUFICIENTEREGULARSATISFACTORIOEXCELENTENo indica procesos o los que indica no son pertinentes.Aplica procesos correctos pero se equivoca en la derivación.Deriva correctamente pero se equivoca en simplificar y despejar. Obtiene mostrando procedimientos correctos y completos012-34 TEMA No. 5 ( 6 puntos) Se requiere transportar a dos grupos diferentes de personas a dos ciudades desde la misma cooperativa de transporte. Las vías tomadas forman entre sí un ángulo de . El conductor del primer bus maneja a una velocidad de , mientras que el conductor del segundo bus lo hace a . ¿Con qué rapidez se alejan los dos buses después de una hora de haber abandonado simultáneamente la cooperativa de transporte?. SOLUCIÓN: Después de una hora: Reemplazando: DESEMPEÑOINSUFICIENTEREGULARSATISFACTORIOEXCELENTEVacio o intentos desenfocadosAplica procesos correctos pero se equivoca en la derivación o hace sustitución prematura.Deriva correctamente pero los cálculos algebraicos son incorrectos. Obtiene la rapidez de separación mostrando procedimientos correctos y completos01-23-56 TEMA No. 6 ( 10 puntos) Si el perímetro de un triángulo isósceles es unidades, determine cuáles deben ser las medidas de sus lados para que el volumen del sólido generado al rotar el triángulo alrededor de su base (el lado de longitud distinta), sea el mayor posible. SOLUCIÓN: Perímetro: Se forman dos conos de y Entonces: Sustituimos : Derivamos: y < 0 Entonces: , Implica que en , V tiene un máximo es decir la longitud del lado de longitud distinto sería Y las longitudes de los lados de igual medida serían DESEMPEÑOINSUFICIENTEREGULARSATISFACTORIOEXCELENTENo identifica el sólidoIdentifica el sólido pero se equivoca en relacionar las variables o en plantear el problemaRelaciona correctamente las variables pero se equivoca en derivar o determinar las longitudes pedidas. Obtiene las longitudes mostrando procedimientos correctos y completos01-45-89-10