Barisan dan deret merupakan susunan bilangan dengan pola tertentu. Barisan adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan fungsi, sedangkan deret adalah penjumlahan bilangan-bilangan pada suatu barisan. Terdapat tiga jenis pola dasar yaitu barisan aritmetika, barisan geometri, dan deret geometri tak hingga.

1. 1
karena ada
dibedakan menjadi
membentuk membentuk
membentuk
BARISAN DAN DERET
Barisan dan Deret
Keteraturan Pola Tertentu
Barisan Geometri
푈푛 = 푎푟푛−1
Barisan Aritmetika
푈푛 = 푎 + (푛 − 1)푏
Deret Aritmetika
푆푛 =
푛
2
[2푎 + (푛 − 1)푏]
Deret Geometri
푆푛 =
푎푟푛−1
푟 − 1
Deret Geometri Tak Hingga
푆∞ =
푎
1 − 푟

2. 2
Barisan atau pola bilangan adalah jajaran bilangan dengan urutan tertentu. Tepatnya,
barisan adalah daerah nilai suatu fungsi dengan daerah asal bilangan asli.
Contoh:
1. 푈푛 = 2푛 − 1
adalah suku ke-푛 dari suatu barisan, dimana 푛 ϵ N = {1,2,3,.....}
Barisan itu adalah : 1,3,5,7, …
2. Diketahui barisan
1
3
,
1
6
,
1
9
3. Rumus suku ke-푛 barisan ini adalah 푈푛 =
1
3
푛
 Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah suatu barisan dimana selisih atau beda dua suku yang
berurutan konstan (tetap).
Misal:
1) 3, 7, 11, 15, 19, …
2) 30, 25, 20, 15, 10, …
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang
demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja
dan dilambangkan dengan c.
Barisan l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik
karena nilai suku-sukunya makin besar.
Barisan 2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun
karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Perhatikan kembali contoh barisan 1)!
3, 7, 11, 15, 19, ...
Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka
U1 = 3 = 3+ 4 (0)
U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)

3. 3
U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
⋮
Un = 3 + 4 (n-1)
Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan
adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh
sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan
푼풏 = 풂 + (풏 − ퟏ)풃
Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika
naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.
U1, U2, U3, …, Un-1, Un disebut barisan aritmetika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstan.
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-푛 barisan aritmetika a, a + b, a + 2b, …, a + (n-1)b
U1, U2, U3, …, Un
Rumus suku ke-푛:
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n
 Barisan Geometri

4. 4
Jika kita memulai barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r maka kita
mendapatkan barisan berikut.
Jadi, U1, U2, U3, …, Un-1, Un disebut barisan geometri, jika
푈2
푈1
=
푈3
푈2
= ⋯ =
푈푛
푈푛−1
=
konstan.
Konstanta ini disebut pembanding atau rasio (r).
Rasio 풓 =
푼풏
푼풏−ퟏ
Suku ke-n barisan geometri:
a, ar, ar² , …, arn-1
U1, U2, U3, …, Un
Suku ke n Un = arn-1 → Fungsi eksponen (dalam n)
Catatan:
Suatu barisan geometri disebut barisan geometri turun jika 0 < r < 1 dan
disebut barisan geometri naik jika r > 1.

5. 5
Deret Aritmetika Deret Geometri Deret Geometri Tak Hingga
Bentuk umum:
푎 + (푎 + 푏) + (푎 + 2푏) + ⋯
Rumus-rumus
1. 푏 = 푈푛 − 푈푛−1
2. 푈푛 = 푎 + (푛 − 1)푏
3. 푆푛 =
4. 푆푛 =
5. 푆푛 = 푛 ∙ 푈푡
6. 푈푛 = 푆푛 − 푆푛−1
7. 푈푡 =
8. 푏′ =
dimana:
Deret
푛
2
(2푎 + (푛 − 1)푏)
푛
2
(푎 + 푈푛)
푎+푈푛
2
푏
푘+1
Bentuk umum:
푎 + 푎푟 + 푎푟2 + ⋯
Rumus-rumus
1. 푟 =
푈푛
푈푛−1
2. 푈푛 = 푎푟푛−1
3. 푆푛 =
푎(1−푟푛)
1−푟
, 푟 < 1
4. 푆푛 =
푎(푟푛−1)
푟−1
, 푟 > 1
5. 푈푛 = 푆푛 − 푆푛−1
6. 푈푡 = √푎 ∙ 푈푛
7. 푟′ = √푟 푘+1
푎 = 푈1= suku awal 푏′ = beda baru
Bentuk umum:
푏 = beda 푟 = rasio/pembanding
푈푛 = suku ke n 푟′ = rasio baru
푆푛 = jumlah suku ke n 푘 = banyaknya sisipan
푈푡 = suku tengah 푆 = jumlah tak hingga
푆∞ =
푎
1 − 푟
 Jika |푟| < 1 deret
konvergen
(mempunyai limit
jumlah)
 Jika |푟| ≥ 1 deret
devergen

6. 6
 Deret Geometri
Jika setiap suku barisan geometri tersebut dijumlahkan, maka diperoleh deret
geometri.
Jadi, bentuk penjumlahan dari barisan geometri U1, U2, U3, …, yaitu U1 + U2 + U3 +
… disebut deret geometri.
a + ar² + … + arn-1 disebut deret geometri.
dimana:
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
o Jumlah n suku
푆푛 =
푎(푟푛−1)
푟−1
, jika 푟 > 1
=
푎(1−푟푛)
1−푟
, jika 푟 < 1 → Fungsi eksponen (dalam n)
Keterangan:
 Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
 Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
Un > Un-1

7. 7
 Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
 Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
 Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
푈푡 = √푈1 ∙ 푈푛 = √푈2 ∙ 푈푛−1 … 푑푠푡
 Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk
memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah
푎
, 푎, 푎푟
푟
 Deret Geometri Tak Berhingga
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan | r | < 1. Jumlah S deret
geometri tak hingga adalah
Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak
terhingga, terdapat dua kasus yang harus kita perhatikan, yaitu:
Kasus 1
Deret geometri dengan -1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat).

8. 8
Kasus 2
Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 ini disebut deret geometri divergen
(memencar).
Jadi, deret geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
U1 + U2 + U3 + …
∞풏
Σ 퐔퐧
=ퟏ = a + ar + ar² + …
dimana 풏 → ∞ dan -1 < r < 1 sehingga rn → 0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat:
Jumlah tak berhingga
푆∞ =
푎
1 − 푟
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
Catatan:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + …
 Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a + ar2 + ar4 + …
푺품풂풏풋풊풍 =
풂
ퟏ − 풓ퟐ
 Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar3 + ar5 + …
푺품풆풏풂풑 =
풂풓
ퟏ − 풓ퟐ
Didapat hubungan:
푺품풆풏풂풑
푺품풂풏풋풊풍
= 풓

9. 9
CARA CEPAT MENYELESAIKAN SOAL PADA BARISAN ARITMETIKA
BILANGAN GANJIL
Contoh soal:
1. Jumlah 5 buah bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah 75. Jika hasil kali
bilangan terkecil dan terbesar adalah 161, maka selisih bilangan terbesar dan terkecil
adalah . . .
Penyelesaian:
Kita misalkan kelima bilangan tersebut adalah
푎 − 2푏, 푎 − 푏, 푎, 푎 + 푏, 푎 + 2푏
Maka:
푎 − 2푏 + 푎 − 푏 + 푎 + 푎 + 푏 + 푎 + 2푏 = 푆푛
↔ 5푎 = 75
↔ 푎 =
75
5
↔ 푎 = 15
(푎 − 2푏) ∙ (푎 + 2푏) = 161
↔ 푎2 − 4푏2 = 161
↔ 152 − 4푏2 = 161
↔ 225 − 4푏2 = 161
↔ 4푏2 = 225 − 161
↔ 4푏2 = 64
↔ 푏2 =
64
4
↔ 푏2 = 16
↔ 푏 = √16
↔ 푏 = ±4
Ambil nilai 푏 = 4 → (푎 + 2푏) − (푎 − 2푏) = 푎 + 2푏 − 푎 + 2푏 = 4푏 = 4(4) = 16
Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 16.

10. 10
2. Tiga bilangan merupakan barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan itu 36 dan
hasil kalinya 1536, maka bilangan terbesarnya adalah . . .
Penyelesaian:
Kita misalkan ketiga bilangan tersebut adalah
푎 − 푏, 푎, 푎 + 푏
Maka:
푎 − 푏 + 푎 + 푎 + 푏 = 푆푛
↔ 3푎 = 36
↔ 푎 =
36
3
↔ 푎 = 12
(푎 − 푏) ∙ 푎 ∙ (푎 + 푏) = 1536
↔ 푎(푎 − 푏)(푎 + 푏) = 1536
↔ 푎(푎2 − 푏2) = 1536
↔ 12(122 − 푏2) = 1536
↔ 12(144 − 푏2) = 1536
↔ 144 − 푏2 =
1536
12
↔ 144 − 푏2 = 128
↔ 푏2 = 144 − 128
↔ 푏2 = 16
↔ 푏 = √16
↔ 푏 = ±4
Ambil nilai 푏 = 4 → 푎 + 푏 = 12 + 4 = 16
Jadi, bilangan terbesarnya adalah 16.
3. Jumlah dari tiga bilangan yang membentuk deret aritmetika adalah 27. Jika bilangan
terbesar ditambah 12 maka ketiga bilangan tersebut membentuk deret geometri.
Bilangan terkecil dari ketiga bilangan tersebut adalah . . .
Penyelesaian:
Kita misalkan ketiga bilangan tersebut adalah

11. 11
푎 − 푏, 푎, 푎 + 푏
Maka:
푎 − 푏 + 푎 + 푎 + 푏 = 푆푛
↔ 3푎 = 27
↔ 푎 =
27
3
↔ 푎 = 9
푈푡 = √푎′ ∙ 푈푛
dimana: 푈푡 = 푎
푎′ = 푎 − 푏
푈푛 = 푎 + 푏 + 12
maka:
푎 = √(푎 − 푏) ∙ (푎 + 푏 + 12)
↔ 푎2 = (푎 − 푏) ∙ (푎 + 푏 + 12)
↔ 푎2 = 푎2 + 푎푏 − 푎푏 − 푏2 + 12푎 − 12푏
↔ 푎2 = 푎2 − 푏2 + 12푎 − 12푏
↔ 푎2 − 푎2 = −푏2 − 12푏 + 12푎
↔ 0 = −푏2 − 12푏 + 12(9)
↔ 0 = −푏2 − 12푏 + 108
↔ −108 = −(푏2 + 12푏)
↔ 108 = (푏2 + 12푏)
↔ 푏2 + 12푏 − 108 = 0
↔ (푏 − 6)(푏 + 18) = 0
↔ (푏 − 6) = 0 ∨ (푏 + 18) = 0
↔ 푏 = 6 ∨ 푏 = −18
Ambil nilai 푏 = 6 → 푎 − 푏 = 9 − 6 = 3
Jadi, bilangan terkecil dari ketiga bilangan tersebut adalah 3.

12. 12
4. Tiga bilangan membentuk deret aritmetika. Jumlah ketiga bilangan tersebut 42 dan
hasil kalinya 1610. Tentukan ketiga bilangan tersebut!
Penyelesaian:
푈1 + 푈2 + 푈3 = 42
푈2 − 푑 + 푈2 + 푈2 + 푑 = 42
푈1 + 푈2 + 푈3 = 42
3푈2 = 42
푈2 = 14
푈1 ∙ 푈2 ∙ 푈3 = 1610
(푈2 − 푑) ∙ 푈2 ∙ (푈2 + 푑) = 1610
(14 − 푑) ∙ 14 ∙ (14 + 푑) = 1610
(14 − 푑)(14 + 푑) = 115
196 − 푑2 = 115
푑 = ±9
Jika 푑 = +9, barisannya adalah 5, 14, 23.
Jika 푑 = −9, barisannya adalah 23, 14, 5.
5. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah 5 suku yang pertama = 35 dan jumlah 4 suku
yang pertama = 24, suku yang ke-15 = …
Penyelesaian:
Kita misalkan kelima bilangan tersebut adalah
푎 − 2푏, 푎 − 푏, 푎, 푎 + 푏, 푎 + 2푏
Maka:
푎 − 2푏 + 푎 − 푏 + 푎 + 푎 + 푏 + 푎 + 2푏 = 푆푛
↔ 5푎 = 35
↔ 푎 =
35
5
↔ 푎 = 7
푎 − 2푏 + 푎 − 푏 + 푎 + 푎 + 푏 = 24
↔ 4푎 − 2푏 = 24
↔ 4(7) − 2푏 = 24

13. 13
↔ 28 − 2푏 = 24
↔ 2푏 = 28 − 24
↔ 2푏 = 4
↔ 푏 =
4
2
↔ 푏 = 2
푎′ = 푎 − 2푏 = 7 − 2(2) = 7 − 4 = 3
푈푛 = 푎′ + (푛 − 1)푏
푈15 = 3 + (15 − 1)2 = 3 + (14)2 = 3 + 28 = 31
Jadi, suku ke-15 dari deret aritmetika tersebut adalah 31.
6. Jika (x+2), (2x+3), (5x-2) merupakan tiga suku pertama yang berurutan dari barisan
aritmetika. Tentukan nilai x dan jumlah 20 suku pertama barisan tersebut!
Penyelesaian:
Kita misalkan ketiga bilangan tersebut adalah
푎 − 푏, 푎, 푎 + 푏
Maka:
푎 − (푎 − 푏) = (푎 + 푏) − 푎
푏 = 푏
(2푥 + 3) − (푥 + 2) = (5푥 − 2) − (2푥 + 3)
푥 + 1 = 3푥 − 5
2푥 = 6
푥 = 3
Sehingga diperoleh:
푈1 = 푥 + 2 = 3 + 2 = 5 = 푎′
푈2 = 2푥 + 3 = 6 + 3 = 9
푈3 = 5푥 − 2 = 15 − 2 = 13
푏 = 푈3 − 푈2 = 푈2 − 푈1 = 4
푈20 = 푎′ + (푛 − 1)푏 = 5 + (19)4 = 81
푆20 =
푛
2
∙ (푎 + 푈20) =
20
2
∙ (5 + 81) = 10(86) = 860

14. 14
7. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri dan jumlahnya -48. Hasil kali
bilangan kedua dan ketiganya adalah -512. Jika bilangan ke-2 dan ke-3 ditukar
letaknya menghasilkan sebuah barisan aritmatika, maka nilai bilangan ke-2 dari
barisan semula ialah …
Penyelesaian:
Kita misalkan ketiga bilangan tersebut adalah
푎
푟
, 푎, 푎푟
Jika bilangan ke-2 dan ke-3 ditukar letaknya menghasilkan sebuah barisan aritmetika,
maka:
푎
푟
, 푎푟, 푎 ↔ 푎′ − 푏, 푎′, 푎′ + 푏
푎′ − 푏 + 푎′ + 푎′ + 푏 = −48
3푎′ = −48
푎′ = −16
푎′ = −16 = 푎푟
푎 ∙ 푎푟 = −512
↔ 푎 ∙ (−16) = −512
↔ 푎 =
−512
−16
↔ 푎 = 32
Jadi, nilai bilangan ke-2 dari barisan semula ialah 32.
8. Jumlah 9 buah bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah 207. Jika suku
terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka tentukan suku – suku pada barisan
aritmetika tersebut!
Penyelesaian:
Kita misalkan kelima bilangan tersebut adalah
푎 − 4푏, 푎 − 3푏, 푎 − 2푏, 푎 − 푏, 푎, 푎 + 푏, 푎 + 2푏, 푎 + 3푏, 푎 + 4푏
Maka:
푎 − 4푏 + 푎 − 3푏 + 푎 − 2푏 + 푎 − 푏 + 푎 + 푎 + 푏 + 푎 + 2푏 + 푎 + 3푏 + 푎 + 4푏 = 207
↔ 9푎 = 207
↔ 푎 =
207
9

15. 15
↔ 푎 = 23
푈3 = 푎 + 2푏 ↔ 푎 + 2푏 = 13 (1)
푎 = 푈5 = 푎 + 4푏 ↔ 푎 + 4푏 = 23 (2)
Dari (1) dan (2)
푎 + 4푏 = 23
푎 + 2푏 = 13 −
2푏 = 10
푏 = 5
Sehingga diperoleh:
푈1 = 푎 − 4푏 = 23 − 4(5) = 3
푈2 = 푎 − 3푏 = 23 − 3(5) = 8
푈3 = 푎 − 2푏 = 23 − 2(5) = 13
푈4 = 푎 − 푏 = 23 − 5 = 18
푈5 = 푎 = 23
푈6 = 푎 + 푏 = 23 + 5 = 28
푈7 = 푎 + 2푏 = 23 + 2(5) = 33
푈8 = 푎 + 3푏 = 23 + 3(5) = 38
푈9 = 푎 + 4푏 = 23 + 4(5) = 43
Jadi, suku – suku pada barisan aritmetika tersebut adalah 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38,
dan 43.