Đây là Slide bài giảng của tôi về Geogebra. Slide này đã lâu nhưng chưng có thời gian cập nhật lại.

1. Phần mềm hình học động
Geogebra
www.geogebra.org
Bùi Việt Hà,
habuiviet@gmail.com
0903454818

2. Nội dung tổng quát
• Mô phỏng kiến thức có tương tác và
vai trò của CNTT trong mô hình Dạy và
Học hiện nay.
• Giới thiệu phần mềm Geogebra
• Khái niệm đối tượng toán học trong
GeoGebra.
• Geogebra 2D
• Geogebra 3D
• Geogebra CAS

3. Vai trò của CNTT, phần
mềm tương tác trong
mô hình Học và Dạy

4. Một cuộc cách mạng trong đổi
mới học và dạy
• Xưa: Các trò nghe giảng rõ không?
Nay: Các trò nhìn có rõ không?
• Xưa: Có thể hiểu tất cả những gì nhìn
thấy được
Nay: Có thể nhìn được tất cả những gì
hiểu được.

5. Giới thiệu phần
mềm Geogebra

7. Geogebra có thể làm được gì?
• Geogebra có thể vẽ các hình hình học
một cách chính xác và đẹp.
• Có thể tương tác trên hình để hỗ trợ
hiểu biết và giảng dạy.
• Có rất nhiều công cụ bổ sung để hỗ trợ
bài giảng và bài học.
• Hỗ trợ tính toán và dự đoán chứng
minh.

8. Thực đơn
Thanh công cụ
Khu vực thể hiện
các đối tượng hình
học
Dòng nhập lệnh

9. Các cài đặt ban đầu
• Cài đặt phần mềm.
• Chuyển đổi hệ thống sang tiếng Việt.
• Đặt kích thức chữ, số mặc định.
• Đặt các chế độ mặc định khác.
• Phần mềm trực tuyến.

10. Bắt đầu làm quen, các bài học đầu tiên.
Màn hình giao diện của phần mềm. Các
đối tượng và quan hệ cơ bản. Làm thế
nào để vẽ được 1 hình động hoàn
chỉnh. Tương tác trên hình động phải
như thế nào.

11. Các khái niệm cơ bản
• Khái niệm đối tượng toán học: đối
tượng độc lập và đối tượng phụ thuộc.
• Quan hệ toán học (hình học) giữa các
đối tượng.
• Bảng chọn, thanh công cụ tạo hình.

12. Đối tượng hình học
• Đối tượng điểm
• Đối tượng đoạn, đường thẳng, tia, vector.
• Các hình đa giác, hình chóp, lăng trụ.
• Đường tròn, cung tròn, hình nón, trụ, cầu.
• Góc, các số đo độ dài, diện tích, thể tích
• Các phép biến đổi hình học
• Đối tượng Text.
• Đối tượng số - thanh trượt.

13. Quan hệ toán học giữa các
đối tượng
• Đối tượng tự do:
điểm.
 Đối tượng phụ
thuộc: điểm,
đường, mặt
phẳng, ...
Điểm nằm
trên đường
thẳng
Đường thẳng đi
qua 2 điểm
A
A
B
Điểm A phụ thuộc vào
đường thẳng
Đường thẳng phụ thuộc vào
2 điểm A, B

14. Quan hệ giữa các đối tượng
Điểm nằm
trên đường
thẳng
Đường thẳng đi
qua 2 điểm
A
A
B
Điểm A là đối tượng con
của đường thẳng
Đường thẳng là đối tượng
con của 2 điểm A, B
Điểm A là đối tượng con của
2 đường thẳng
A
A
B
Điểm A, B là con của 2 đối
tượng là vòng tròn
Giao điểm
của 2
đường
thẳng
Giao điểm
của 2 vòng
tròn

15. Nguyên tắc của hình học
động
• Các đối tượng
được quyền chuyển
động tối đa trong
phạm vi cho phép
của mình.
 Quan hệ giữa các
đối tượng luôn
được bảo toàn.
 Hệ quả 1: nếu đối
tượng bị xóa, tất cả
các đối tượng (con)
có quan hệ sẽ bị xóa
theo.
 Hệ quả 2: nếu đối tượng
chuyển động, tất cả các
đối tượng (con) có quan
hệ sẽ chuyển động theo

16. Các quan hệ toán học chính
• Quan hệ Đi qua
• Quan hệ Nằm trên / thuộc về
• Quan hệ giao nhau
• Quan hệ Song song
• Quan hệ Vuông góc
• Quan hệ trung điểm, trung trực, phân giác
• Quan hệ là đích của 1 phép tính, 1 phép biến
đổi

17. Hình hình học là gì?
• Là 1 tập hợp các đối tượng hình học
được vẽ trên màn hình, giữa chúng có
các quan hệ toán học chằng chịt, nhiều
cấp, phụ thuộc vào nhau.
• Các đối tượng tự do chỉ có thể là 1 số
điểm ban đầu. Tất cả các đối tượng khác,
còn lại đều là phụ thuộc.
• Chính các quan hệ phụ thuộc này tạo
thành khái niệm hình học động hay toán
học động.

18. Thế nào là 1 hình động hoàn
chỉnh?
• Phải là 1 hình được vẽ với các quan hệ
hình học đúng đắn.
• Hình phải được vẽ sao cho có thể "động"
càng nhiều càng tốt.
• Phải dễ dàng điều khiển. Nguyên tắc là phải
điều khiển từ các đối tượng điểm hoặc số.
• Việc điều khiển phải đảm bảo tính sư
phạm, tính logic của bài toán hay vấn đề
đang truyền đạt.

19. Đối tượng tự do
• ĐIỂM là đối tượng tự do duy nhất trong
phần mềm.
• Dịch chuyển điểm tự do:
– Rê chuột: dịch chuyển điểm tự trên mặt
phẳng.
• Dịch chuyển màn hình.

20. Các công cụ hình học chính
• Công cụ điểm.
• Công cụ đoạn, đường thẳng
• Công cụ ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN
• Công cụ tạo các hình đa giác
• Công cụ tạo các đối tượng phụ thuộc.
• Công cụ tạo các biến đổi
• Công cụ làm việc với góc và số đo
• Các công cụ nâng cao khác

21. Bắt đầu vẽ các hình đơn giản
• Tam giác vuông
• Tam giác cân
• Hình bình hành
• Hình vuông
• Thay đổi thuộc tính điểm, đường, màu
sắc, kiểu đường
• Phóng to, thu nhỏ, dịch chuyển

22. Chú ý quan trọng nhất khi bắt
đầu vẽ hình
• Câu hỏi: chúng ta sẽ bắt đầu vẽ từ các
điểm TỰ DO nào?
• Tất cả các hình đều bắt đầu từ 1 số
điểm tự do ban đầu. Các điểm tự do
này đóng vai trò rất quan trọng cho cả
việc vẽ hình chính xác và việc có thể
dùng hình để hỗ trợ giảng dạy.

23. Tìm hiểu các đối tượng hình học cơ
bản (tiếp theo). Thuộc tính của đối
tượng hình học.

24. Nhắc lại các điều cơ bản đã
biết
• 1 hình hình học = 1 tập hợp các đối
tượng có quan hệ toán học chặt chẽ
với nhau (quan hệ phụ thuộc cha -
con).
• Các đối tượng tự do ban đầu chỉ là các
điểm.
• Quan hệ giữa các đối tượng nếu đã
thiết lập thì tồn tại vĩnh viễn.

25. Làm việc với cửa sổ DS các đối tượng
Cửa sổ DS đối tượng.
Thao tác với các đối tượng này rất dễ dàng, thuận tiện
trong rất nhiều lúc khi làm việc với hình vẽ.

26. Đối tượng và công cụ tương ứng
• Điểm
– Công cụ tạo điểm mới.
– Công cụ trung điểm.
– Công cụ giao điểm.
• Đường thẳng
– Công cụ đoạn thẳng, đường thẳng, tia,
vector.
– Công cụ đường vuông góc, đường song
song
– Công cụ đường phân giác, đường trung
trực
– Công cụ tạo tiếp tuyến

27. Đối tượng và công cụ tương ứng
• Đường tròn
– Đường tròn biết tâm và 1 điểm.
– Đường tròn đi qua 3 điểm cho trước.
– Đường tròn biết tâm và số đo bán kính.
– Công cụ Compa.
• Cung tròn
– Cung tròn qua 3 điểm (theo chiều thứ tự các
điểm).
– Cung nửa vòng tròn (theo chiều kim đồng hồ).
– Cung tròn biết tâm và 2 điểm (xác định tâm
trước, 2 điểm theo chiều ngược kim đồng hồ)

28. Đối tượng và công cụ tương ứng
• Hình quạt
– Hình quạt biết tâm và 2 điểm (xác định
tâm, điểm thứ nhất trên vòng tròn, điểm
thứ 2 theo chiều ngược kim đồng hồ).
– Hình quạt đi qua 3 điểm (theo chiều ngược
kim đồng hồ)
• Góc
– Góc tạo bởi 3 điểm, điểm thứ 2 là đỉnh,
góc xác định theo chiều ngược kim đồng
hồ.
– Góc tạo bởi 2 điểm (điểm thứ 2 là đỉnh
góc) và số đo góc cho trước).

29. Đối tượng và công cụ tương
ứng
• Đa giác
– Công cụ đa giác (tổng quát)
– Công cụ tạo đa giác đều
• Chèn đối tượng Text
– Text có thể là văn bản bình thường hoặc
công thức LateX
– Nhập công thức toán học bằng LateX.
• Vẽ tự do
– Đối tượng vẽ tự do không có tọa độ do đó
không liên kết với bất kỳ các đối tượng
toán học khác.

30. Đối tượng và công cụ tương
ứng
• Chèn ảnh
– Có thể gán 2 hoặc 3 điểm liên kết với hình
ảnh.
– Chèn ảnh từ Clipboard
– Thay đổi kích thước ảnh
– Xoay ảnh

31. Tên, giá trị, nhãn (tiêu đề)
• Tên (Name) là tên duy nhất
đại diện cho đối tượng
này.
• Giá trị (value) = số đo của
đối tượng (tọa độ, độ dài,
số đo góc, chu vi đa giác,
phương trình vòng tròn,
...)
• Nhãn, tiêu đề (Label) = tên
thể hiện
Đối tượng
hình học

32. Các thuộc tính cơ bản của đối
tượng
• Tên thể hiện (tên, giá trị, tiêu đề)
• Màu sắc
• độ dày
• độ chắn sáng
• kiểu đường
• kiểu đánh dấu (đoạn, góc)
• kiểu chữ, kích thước chữ

33. Thực hành: vẽ các hình sau
• Tam giác với các đường trung tuyến,
phân giác, đường cao.
• Tam giác với vòng tròn nội tiếp, ngoại
tiếp, bàng tiếp.
• Đường thẳng Simson
• Đường thẳng Euler
• Vòng tròn 9 điểm Euler

34. Làm việc với hình ảnh. Đối
tượng Text. Text đồng bộ với
dữ liệu. Các kỹ thuật điều khiển
số. Quĩ tích.

35. Nhắc lại các điều đã biết
• 1 hình hình học = 1 tập hợp các đối
tượng có quan hệ toán học chặt chẽ
với nhau (quan hệ phụ thuộc cha -
con).
• Các đối tượng tự do ban đầu chỉ là các
điểm.
• Quan hệ giữa các đối tượng nếu đã
thiết lập thì tồn tại vĩnh viễn.

36. Nhắc lại các điều đã biết (2)
• Mỗi đối tượng có 3 tham số quan trọng
liên quan để thể hiện trên màn hình:
– Tên (Name): tên biến nhớ chính thức, duy
nhất trong hệ thống.
– Giá trị (Value): giá trị số đặc trưng cho đối
tượng này.
– Nhãn (Label): tên phụ, có thể được thể
hiện.

37. Nhắc lại các điều đã biết (3)
• Mỗi đối tượng được gán với 1 tập hợp
các thuộc tính quan trọng:
– Màu sắc
– Độ dày, độ lớn, độ chắn sáng.
– Kiểu thể hiện
– Các đánh dấu khác (với góc, đoạn thẳng)

38. Tên, giá trị, nhãn (tiêu đề)
• Tên (Name) là tên duy nhất
đại diện cho đối tượng
này.
• Giá trị (value) = số đo của
đối tượng (tọa độ, độ dài,
số đo góc, chu vi đa giác,
phương trình vòng tròn,
...)
• Nhãn, tiêu đề (Label) = tên
thể hiện
Đối tượng
hình học

39. Các thuộc tính cơ bản của đối
tượng
• Tên thể hiện (tên, giá trị, tiêu đề)
• Màu sắc
• độ dày
• độ chắn sáng
• kiểu đường
• kiểu đánh dấu (đoạn, góc)
• kiểu chữ, kích thước chữ
• Lớp (layer): lớp dưới cùng là 0. Cho
phép gán 10 layer từ 0 --> 9.

40. Đối tượng ảnh

41. Các công cụ làm việc với hình
ảnh
• Chèn ảnh
– Chèn ảnh từ Image File
– Chèn ảnh từ Clipboard
– Có thể gán 2 hoặc 3 điểm liên kết với hình
ảnh.
– Mặc định, ảnh luôn cố định tỉ lệ, kích
thước ảnh
– Cho hình chuyển động cùng các đối tượng
khác (gán 1 điểm)
– Xoay ảnh, phóng to, thu nhỏ (gán 2 điểm)
– Co giãn, xoay ảnh (gán 3 điểm)

42. Đối tượng ảnh
• Mỗi ảnh có thể được xác định bởi 3
điểm (1, 2, 4)
1 2
4

43. Đối tượng Text
• Công cụ text:
• Cách tạo:
– Chọn công cụ.
– Nháy chuột lên vị trí muốn tạo văn bản.
– Xuất hiện hộp hội thoại “Văn bản”.
– Nhập Text và bấm nút OK.
– Có thể chèn các biểu tượng toán học, chỉ
số, ký tự Hy lạp vào văn bản.

44. Đối tượng Text
• Bổ sung 2 tính năng quan trọng:
– Nội dung Text đồng bộ với đối tượng, ví
dụ cần đưa tọa độ, độ dài, chu vi, diện
tích, ... của đối tượng vào 1 văn bản để
đồng bộ dữ liệu.
– Gắn văn bản với 1 đối tượng để khi dịch
chuyển đối tượng, văn bản sẽ chuyển
động theo (chú ý không phải là nhãn của
đối tượng).

45. Ví dụ:

46. Quĩ tích

47. Bài toán quĩ tích
• Có 2 cách mô tả bài toán quĩ tích:
– Dùng vết của đối tượng.
– Dùng công cụ quĩ tích (Locus).
• Chú ý: bài toán quĩ tích luôn có 2 đối
tượng tham gia:
– bản thân đối tượng cần tìm quĩ tích
(Locus).
– đối tượng gốc (nguồn) tạo ra quĩ tích.

48. Bài toán quĩ tích
Đối tượng gốc,
nguồn, nguyên
nhân
Đối tượng cần tìm
quĩ tích, kết quả,
đích

49. Mô tả quĩ tích
• Cách 1: mở vết của đối tượng cần tìm
quĩ tích.
• Cách 2: sử dụng công cụ Locus. Cách
thực hiện như sau:
– Chọn Công cụ.
– Chọn đối tượng đích.
– Chọn đối tượng nguồn.

50. Ví dụ: quĩ tích
• Cho trước đường tròn
tâm O và đường thẳng d.
Điểm M chuyển động
trên vòng tròn. OM cắt d
tại N. Tìm quĩ tích trung
điểm E của MN.
• Cách thiết lập đối tượng
quĩ tích:
– Chọn công cụ Locus.
– Chọn điểm M (nguồn).
– Chọn điểm E (đích).

51. Đối tượng số: Slider
• Đối tượng số là đối tượng đại số đặc biệt
trong Geogebra, được sử dụng rất nhiều
trên thực tế.
• Có 2 loại đối tượng số: tự do và phụ thuộc.
Đối tượng phụ thuộc như độ dài, diện tích,
thể tích.
• Có 2 cách tạo đối tượng số tự do:
– 1. Sử dụng công cụ Slider (Thanh trượt).
– Gõ trực tiếp từ thanh nhập liệu, ví dụ:
m: = 2 (hoặc m = 2).

52. Điều khiển số: Slider

53. Đối tượng Slider
Đối tượng
Thanh trượt
• Kiểu: số thực / góc /
số nguyên.
• Khoảng giá trị. Bước
nhảy.
• Thể hiện: hướng
(ngang, thẳng), chiều
dày.
• Animation On/Off.
• Vị trí trên màn hình.
• Hiệu ứng dao động

54. Điều khiển số: Slider
Điều khiển số
trên thanh
trượt
• Điểm chuyển động
trên đoạn, đường
thẳng, vòng tròn.
• Góc thay đổi.
• Tia, đường xoay xung
quanh một điểm.

55. Ví dụ
• Dùng thanh trượt để điều khiển điểm
chạy trên dường thẳng, vòng tròn.
điểm chạy theo 2 chiều
điểm chạy theo 1 chiều
điểm chạy 1
vòng rồi quay
lại
điểm chạy
liên tục theo
1 chiều

56. Điều khiển điểm chạy trên
đoạn, đường thẳng
Độ dài đoạn thẳng = a
Độ dài thanh trượt = c
Công thức tính điểm
chạy trên đoạn thẳng:
X = m*a/c
Thanh trượt lấy số đo là
góc, từ -90 đến + 90 độ.

57. Đối tượng đại số. Dòng
nhập liệu (Input Bar)

58. Vị trí dòng
nhập lệnh

59. Làm việc với đối tượng Đại số
• Đối tượng đại số thực chất là các đối tượng
lõi của phần mềm, bao gồm cả các số, hàm
số.
• Người dùng sẽ làm việc với các đối tượng
đại số thông quan Input Bar – Dòng nhập
liệu.
• Dòng nhập liệu cho phép thực hiện các
lệnh, phép tính đại số với tất cả các đối
tượng đại số của phần mềm. Đây chính là
tính năng mạnh nhất của Geogebra.

60. Ví dụ các lệnh và phép tính
trên dòng nhập liệu
• Ví dụ:
– A = (5,3)
– m = 4
– dt:=x+y=3
– c:=x^2 - 2y^2=3
– n = 2*m

61. Ví dụ - bài tập
1. Hãy chia 3 một đoạn thẳng cho trước.
2. Chia 3 một góc cho trước
3. Vẽ 1 hình chữ nhật có chiều dài gấp 3
chiều rộng.
4. Vẽ hình thang cân có đáy lớn gấp 3 lần
đáy bé.

62. Đồ thị hàm số

63. Hàm số trong Geogebra. Khảo
sát đồ thị hàm số. Mô phỏng
bài toán dựng hình

64. Hàm số trong Geogebra

65. Định nghĩa, khởi tạo hàm số
trong Geogebra

66. Thanh Input dữ liệu (Input Bar)
• Dòng, Line Input dữ liệu nằm phía dưới
màn hình.
• Có thể nhập tất cả các đối tượng hình
học, các lệnh, hàm số từ dòng Input
này.
• Có thể tạo đối tượng bằng cách gán
trực tiếp giá trị cho đối tượng.
• Việc gán dữ liệu có thể dùng ký hiệu
“=“ hoặc “:=“.

67. Ví dụ gán giá trị để tạo đối
tượng
• Cú pháp:
– <tên đối tượng> = <giá trị>
– <tên đối tượng> := <giá trị>
• Ví dụ:
– A = (5,3)
– m = 4
– dt:=x+y=3
– c:=x^2 - 2y^2=3

68. Định nghĩa hàm số trong Geogebra
• Hàm số là 1 đối tượng trong Geogebra
(cùng với số và các đối tượng hình học
khác)
• Cú pháp:
– <tên hàm> = <biểu thức chứa x>
– <tên hàm> := <biểu thức chứa x>
• Ví dụ:
– f = x^2 + 2x - 15
– m = 4
– g:=mx^3 + (m-1)x^2 –x + m

69. Đồ thị hàm số
• Tạo, gán biểu thức cho hàm số tại Input
bar

70. Hàm 1 biến và nhiều biến

71. Thiết lập thông số trục tọa độ
• Cửa sổ thuộc tính
Vùng làm việc:
– Căn bản
– Trục hoành
– Trục tung
– Lưới

72. Thiết lập thông số trục tọa độ
• Vùng làm việc:
– Hiển thị trục tọa độ On/Off; Kiểu đường kẻ
trục tọa độ (bt, đậm). màu sắc, kiểu mũi tên.
• Trục hoành / trục tung:
– Hiển thị hay không On/Off; hiện số chia trục
(Yes/No); Tên trục tọa độ; đơn vị độ dài trục
(độ, mm, cm, ....)
– Tương tự với cả trục tung và trục hoành.

73. Khảo sát đồ thị hàm số

74. Khảo sát đồ thị hàm số
• Sử dụng thanh trượt để điều khiển các
tham số chuyển động m trong bài toán
khảo sát hàm số.
• Sử dụng các hàm:
– Đạo hàm: f'(x), f''(x)
– Tiemcan(<hàm số>)
– Cuctri(<hàm số>,xmin,xmax)
– Tieptuyen(<điểm>,<hàm số)

75. Một số ví dụ

76. Bài toán dựng hình

77. Mô tả bài toán dựng hình
• Geogebra cho phép xem lại các bước
thực hiện vẽ đối tượng hình học trên
màn hình và có thể điều khiển màn
hình này theo ý của người dùng.
• Cho phép:
– Xem lại từng bước.
– Xem lại từng quá trình.
– Tự động chạy các bước này.

78. Mô phỏng bài toán dựng hình
• Giáo viên phải hiểu và chủ động thiết lập
việc mô phỏng bài toán dựng hình.
• Có 3 cách mô phỏng bài toán dựng hình:
– C1: sử dụng các nút điều khiển ẩn/hiện đối
tượng. Dễ.
– C2: Sử dụng công cụ thiết lập dựng hình của
Geogebra để mô phỏng. Hay.
– C3: Tự thiết lập các hình làm công cụ để mô
phỏng trực tiếp trên màn hình các bước dựng
hình. Khó.

79. Cách 1: công cụ ẩn/hiện đối
tượng
• Sử dụng công cụ này để tạo các nút lệnh
cho phép ẩn / hiện 1 hoặc 1 nhóm các
đối tượng trên màn hình.
• GV kết hợp dùng các nút này để điều
khiển quá trình giảng dạy cách vẽ hình,
dựng hình.

80. Cách 2: sử dụng cửa sổ dựng
hình

81. Ý nghĩa cửa sổ cách dựng
hình
• Cửa sổ này cho phép HS quan sát được lần
lượt các bước khởi tạo đối tượng và thiết
lập quan hệ giữa các đối tượng của hình.
• Mỗi bước là 1 đối tượng mới được khởi tạo.
• Các điểm ngắt / điểm dừng có ý nghĩa rất
quan trọng: là các điểm nhấn chính trong
quá trình dựng hình.

82. Thiết lập mô phỏng dựng hình
• Qui trình thực hiện như sau:
– Thiết lập tham số cho cửa sổ cách dựng
hình (chú ý các điểm ngắt/dừng). Lựa
chọn "Chỉ hiện các điểm dừng / ngắt".
– Thiết lập lựa chọ vùng làm việc để hiện
Thanh công cụ dựng hình. Chú ý có nút
Chạy trên thanh công cụ này.
– Trình diễn quá trình dựng hình để giảng
dạy.

83. Cách 3: sử dụng các công cụ tự
tạo
• GV tạo ra các hình dùng để mô tả các
công cụ dựng hình ảo như thước kẻ,
thước góc vuông, thước đo góc,
compa, ....
• Khi giảng dạy, GV sử dụng các công cụ
"ảo" trên và sử dụng các công cụ của
phần mềm để tạo ra bài giảng mô
phỏng dựng hình.

84. Ví dụ bài toán: Cho trước 1 đường thẳng và 1 điểm
ngoài đường thẳng. Chỉ dùng thước thẳng và thước
đo độ kẻ đường thẳng song song với đường thẳng
đã cho.

85. Bắt đầu làm quen với các đối
tượng hình học không gian.
Các lệnh cơ bản

87. Làm quen với cửa sổ 3D
• Màn hình thể hiện 3D được kích hoạt bằng
tổ hợp phím Ctrl-Shift-3 (màn hình 2D: Ctrl-
Shift-1).
• Hai cửa sổ 2D và 3D sử dụng các nút lệnh,
lệnh hoàn toàn khác nhau, nhưng cùng tác
động lên một danh sách đối tượng hình
học chung. Do vậy các chức năng, lệnh,
tác động sẽ không giống nhau trong 2 cửa
sổ này.

88. Làm quen với cửa sổ 3D
• Nguyên tắc hoạt động thông qua quan hệ
toán học vẫn giữ đúng hoàn toàn trong
không gian 3D.
• Các đối tượng được thể hiện trên các cửa
sổ là đồng nhất. Các đối tượng 2D sẽ hiển
thị trên 3D đầy đủ.
• Trên 3D sẽ được bổ sung rất nhiều loại đối
tượng toán học khác như mặt phẳng, mặt
cong, các loại hình 3D như hình hộp, chóp,
lăng trụ, nón, cầu, ...

89. Các thao tác cơ bản trên 3D
• Nguyên tắc hoạt động và sử dụng các nút
lệnh trên thanh công cụ 3D hoàn toàn
tương tự như 2D.
• Các thao tác cơ bản:
– Dịch chuyển hình: Shift hoặc Ctrl + rê chuột
– Phóng to, thu nhỏ: nút cuộn của chuột.
– Xoay hình: bấm giữ chuột phải và di chuyển
chuột.
• Đặc biệt chú ý cách dịch chuyển điểm.

90. Điều khiển điểm trong 3D
Điều khiển điểm
chuyển động NGANG
Điều khiển điểm
chuyển động THẲNG
ĐỨNG

91. Quan sát cửa sổ 3D
• Các yếu tố sau xác định khung nhìn, quan
sát của cửa sổ 3D:
– Hệ trục tọa độ XYZ.
– Mặt phẳng chuẩn (On/Off).
– Hạn chế khu vực vẽ hình bởi khối hộp Clipping.
Độ lớn của hộp Clipping.
– Thể hiện lưới trên mặt phẳng chuẩn (On/Off).
– Góc nhìn (projection):
• Orthographic: phép chiếu song song
• Persective: phép chiếu tự nhiên, phối cảnh.
• Glass: nhìn qua kính 2 mắt.
• Oblique: chiếu xiên xuống mặt 2 chiều.

92. Các lệnh tương tự như trong
2D
• Điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tia, vector.
• Giao điểm 2 đoạn, đường, tia trên 1 mặt
phẳng.
• Đường thẳng song song, phân giác.
• Vòng tròn qua 3 điểm.
• Các lệnh với cung tròn.
• Đa giác phẳng.
• Các lệnh tạo góc phẳng.

93. Các lệnh mới về tính chất trong trong
3D
• Giao của đường thẳng và mặt phẳng.
• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
• Vẽ vòng tròn biết trục và đi qua 1 điểm.
• Vẽ vòng tròn biết tâm, hướng trục và bán
kính.
• Các phép biến đổi dời hình: tịnh tiến, đối
xứng tâm, phép quay quanh trục, đối xứng
mặt, vị tự.

94. Các đối tượng mới hoàn toàn 3D
• Mặt phẳng
– Khởi tạo mp, mp song song, mp vuông góc.
• Hình chóp (tứ diện)
• Hình lăng trụ
• Hình nón
• Hình trụ
• Hình cầu
• Trải hình chóp, hình nón
• Trải hình trụ, lăng trụ
• Đa diện đều, hình lập phương

95. Một số chú ý quan trọng (1)
• Công cụ Mặt phẳng: tạo đối tượng mặt phẳng:
– Xác định bởi 3 điểm.
– 1 điểm và 1 đường thẳng.
– 2 đường thẳng giao nhau trong không gian.
– 1 mặt của 1 đa diện bất kỳ.
• Công cụ Đường thẳng vuông góc
– Từ 1 điểm có thể hạ đường vuông góc xuống 1 mặt
phẳng hoặc 1 đường thẳng bất kỳ.

96. Một số chú ý quan trọng (2)
• Công cụ Hình chóp:
– Cách 1: có sẵn 1 đa giác và 1 đỉnh ngoài. Chọn
công cụ; chọn đa giác, chọn điểm ngoài.
– Cách 2: có sẵn 1 đa giác, chưa có đỉnh. Chọn công
cụ; chọn đa giác, di chuyển chuột trong không gian
và click để chọn đỉnh.
– Cách 3: Chưa có đáy, có hoặc chưa có đỉnh. Chọn
công cụ; dùng chuột nháy trên mặt phẳng để tạo đa
giác đáy, khi đa giác đáy tạo xong thì di chuyển
chuột tìm hoặc tạo mới đỉnh.

97. Một số chú ý quan trọng (3)
• Công cụ Hình lăng trụ:
– Cách 1: có sẵn 1 đa giác và 1 đỉnh ngoài. Chọn
công cụ; chọn đa giác, chọn điểm ngoài. Đỉnh ngoài
sẽ được nối với đỉnh đầu tiên của đa giác.
– Cách 2: có sẵn 1 đa giác, chưa có đỉnh. Chọn công
cụ; chọn đa giác, di chuyển chuột trong không gian
và click để chọn đỉnh. Chú ý: chọn đỉnh nảy bên
ngoài đa giác.
– Cách 3: Chưa có đáy, có hoặc chưa có đỉnh. Chọn
công cụ; dùng chuột nháy trên mặt phẳng để tạo đa
giác đáy, khi đa giác đáy tạo xong thì di chuyển
chuột tìm hoặc tạo mới đỉnh.

98. Công cụ trải hình tạo nhanh đối tượng
• Công cụ trải hình chóp / nón
– Thao tác: di chuyển chuột vào bên trong 1 đa giác hoặc hình
tròn (chú ý: nếu đa giác hoặc hình tròn là trong suốt thì phải
đưa chuột lên biên của đa giác, hoặc đường tròn. Nhấn giữ
chuột và rê chuột theo hướng vuông góc để tạo ra hình chóp
hoặc hinh nón. Nhả chuột để kết thúc thao tác.
• Công cụ trải hình lăng trụ / trụ
– Thao tác: di chuyển chuột vào bên trong 1 đa giác hoặc hình
tròn (chú ý: nếu đa giác hoặc hình tròn là trong suốt thì phải
đưa chuột lên biên của đa giác, hoặc đường tròn. Nhấn giữ
chuột và rê chuột theo hướng vuông góc để tạo ra hình lăng
trụ / trụ. Nhả chuột để kết thúc thao tác.

99. Thực hành
• Thực hành vẽ 1 số hình mô phỏng các
khái niệm về mặt phẳng, đường thẳng
song song, vuông góc trong không
gian.
• Thực hành vẽ một số hình mô phỏng
bài toán tìm thiết diện của lớp 11.
• Thực hành vẽ 1 số hình mô phỏng các
bài học về hình cầu, trụ, nón.

100. Các đối tượng hình học không
gian. Các kỹ năng và lệnh nâng
cao

102. Một số kỹ thuật vẽ hình 3D
• Sắp xếp cửa sổ làm việc
• Một số đối tượng đặc biệt chưa đồng bộ
trong không gian 3D (Number, Slider, Text,
....).
• Lệnh Net
• Một số kỹ thuật vẽ nâng cao trong không
gian.

103. Sắp xếp các cửa sổ làm việc
Thiết lập cửa sổ làm việc
2D tại đây để thể hiện 1 số
đối tượng số điều khiển

104. Number, Slider, Text Object,
lệnh Net
• Đây là các đối tượng không có tương
tác trên 3D.
• Riêng các đối tượng điều khiển số
Number, Slider sẽ không thể hiện trong
3D.
• Lệnh Net được điều khiển bằng một
slider trong cửa sổ 2D.

105. Một số kỹ thuật nâng cao
• Hiển thị thông tin 2D và 3D đồng thời.
• Hiển thị một mặt phẳng chuyên biệt.
• Sử dụng trực tiếp các hàm số:
– Có khá nhiều lệnh làm việc với đối tượng mà
chưa có trên thanh công cụ, hoặc mở rộng
nhiều so với trên thanh công cụ.
– duongvuonggoc[<Diem>,<đối tượng>]
– Matphangiac[<đoạn thẳng>]

106. Một số hàm, lệnh mở rộng
• Hinhnon[]: lệnh tạo hình nón. Cone[]
– HinhNon[<Đường tròn đáy>,<Chiều cao>]
– HinhNon[ <Đỉnh>, <Tâm đáy>, <Bán kính>]
– HinhNon[ <Đỉnh>, <Véc tơ hướng>, <Góc>]
• Matnon[]: tạo mặt nón vô hạn 2 phía. InfiniteCone[]
– MatNon[<Đỉnh>, <Véc tơ hướng>, <Góc đỉnh>]
– MatNon[<Đỉnh>, <Điểm hướng>,<Góc đỉnh>]
– MatNon[<Đỉnh>, <Đường thẳng hướng>, <Góc
đỉnh>]

107. Matnon[]: mặt nón vô hạn
–MatNon[<Đỉnh>,
<Véc tơ hướng>,
<Góc đỉnh>]
–MatNon[<Đỉnh>,
<Điểm
hướng>,<Góc
đỉnh>]
–MatNon[<Đỉnh>,
<Đường thẳng
hướng>, <Góc
đỉnh>]

108. Một số hàm, lệnh mở rộng
• Hinhtru[]: lệnh tạo hình lăng trụ. prism[]
– HinhTru[ <Đa giác>,<Điểm>]
– HinhTru[ <Đa giác>,<Đường cao>]
– HinhTru[ <Điểm>, <Điểm>, ... ]
• Mattru[]: mặt trụ vô hạn. InfiniteCylinder[]
– MatTru[ <Đường thẳng trục>, <Bán kính> ]
– MatTru[ <Điểm>, <Véc tơ>, <Bán kính> ]
– MatTru[ <Điểm 1>, <Điểm 2>, <Bán kính> ]
• Cylinder[]: tạo hình trụ thường
– Cylinder[<vòng tròn đáy>, <chiều cao>]
– Cylinder[<Điểm 1>, <Điểm 2>, <Bán kính>]

109. Mattru[]: mặt trụ vô hạn
–MatTru[<Đường
thẳng trục>,
<Bán kính>]
–MatTru[<Điểm>,
<Véc tơ>, <Bán
kính>]
–MatTru[<Điểm
1>, <Điểm 2>,
<Bán kính>]

110. Sử dụng mặt phẳng riêng để quan sát
Mặt phẳng này có thể hiện trong
cửa sổ riêng biệt bên phải

111. Làm việc với các lệnh CAS
Hàm số và lệnh trong Geogebra

112. Cửa sổ CAS
Cửa sổ CAS - Computer
Algebra SystemThanh công cụ CAS

113. Chức năng chính của CAS
• CAS là 1 cửa sổ riêng cho phép thực hiện
các lệnh riêng biệt, độc lập với các cửa sổ
khác trong Geogebra.
• CAS cung cấp 1 môi trường tính toán
chính xác và gần đúng.
• CAS cung cấp 1 loạt các lệnh, hàm số
riêng hỗ trợ tính toán theo mô hình CAS -
tính toán đại số và số học.
• Tất cả các hàm, lệnh hỗ trợ trong
Geogebra đều có thể nhập trong CAS,
nhưng ngược lại không đúng.

114. CAS Toolbars
Tính
chính xác
Tính
gần đúng
Giữ
nguyên
biểu thức
nhập
Khai triển
thừa số
Khai triển
mở ngoặc
Thay thế và
tính toán
Giải
phương
trình chính
xác
Giải
phương
trình gần
đúng
Đạo
hàm
Tích
phân
Xóa đối
tượng

115. Mô tả các nút lệnh CAS
1. Môi trường tính toán
Tính chính xác.
Khi nhập 1 biểu thức (số hoặc chữ),
phần mềm sẽ tự động tính chính xác.
Tính gần đúng.
Khi nhập 1 biểu thức (số hoặc chữ),
phần mềm sẽ tự động tính gần đúng.
Giữ nguyên biểu thức nhập.
Khi nhập 1 biểu thức (số hoặc chữ),
phần mềm sẽ cố gắng giữ nguyên biểu
thức nhập đúng khuôn dạng.

116. Mô tả các nút lệnh CAS
2. Các công cụ Số học
Khai triển ra thừa số
- Nhập đối tượng; lựa chọn đối tượng;
chọn công cụ để thực hiện.
Khai triển mở ngoặc
- Nhập đối tượng; lựa chọn đối tượng;
chọn công cụ để thực hiện.
Thay thế và tính toán
- Nhập đối tượng; lựa chọn đối tượng;
chọn công cụ để thực hiện.

117. Mô tả các nút lệnh CAS
3. Giải phương trình
Giải phương trình, bất phương trình, tính
chính xác
Tìm nghiệm phương trình, bất phương
trình, tính gần đúng
Đạo hàm
Tích phân

118. Làm việc trên CAS
• Trong cửa sổ CAS các dòng nhập liệu có
tính năng khác biệt với Input Bar như sau:
– CAS hỗ trợ các biểu thức đại số trìu tượng
(symbol algebra) nên có thể dùng trực tiếp các
ký hiệu mà không cần gán giá trị. Ví dụ có thể
gõ (a+b)^3.
– Dấu = chỉ phương trình; dấu := có ý nghĩa định
nghĩa, gán giá trị.
– Biểu thức toán học bắt buộc gõ đầy đủ, ví dụ
a*(b+c).

119. Các lệnh và hàm số trong CAS
• Trong CAS có rất nhiều lệnh và hàm số
quan trọng được sử dụng để hỗ trợ giảng
dạy, tính toán.
• Các lệnh được gõ trực tiếp trên dòng CAS
tương tự như tại dòng Input. Tuy nhiên
chúng chỉ có tác dụng trong CAS.

120. Một số lệnh quan trọng CAS
• Solve[]: Giải pt, hệ pt, bất pt, hệ bất pt
– Solve[<pt>]
– Solve[<pt>,<biến>]
– Solve[{<các pt>},{<các biến>}]
• Factor[]: Khai triển thành thừa số
– Factor[<Số>]
– Factor[<đa thức>]
– Factor[<biểu thức>,<biến>]
• Factors[]: Khai triển và liệt kê thừa số

121. Một số hàm quan trọng CAS (1)
• iFactor[]: Khai triển thành thừa số trên tập
hợp vô tỉ
– iFactor[<biểu thức>]
– iFactor[<biểu thức>,<biến>]
• CiFactor[]: Khai triển thừa số trên số phức
– CiFactor[<biểu thức>]
– CiFactor[<biểu thức>,<biến>]

122. Một số hàm quan trọng CAS (2)
• GCD[]: tìm ước số chung lớn nhất
– GCD[<số 1>,<số 2>]
– GCD[{<dãy các số>}]
– GCD[<đa thức 1>,<đa thức 2>]
– GCD[{<dãy các đa thức>}]
• LCM[]: tìm bội số chung nhỏ nhất
– LCM[<số 1>,<số 2>]
– LCM[{<dãy các số>}]
– LCM[<đa thức 1>,<đa thức 2>]
– LCM[{<dãy các đa thức>}]

123. Một số hàm quan trọng CAS (3)
• CommonDenominator[]: tìm mẫu số chung
– CommonDenominator[<bt1>, <bt2>]
• Expand[]: triển khai, mở ngoặc
– Expand[<biểu thức>]
• Simplify[]: triển khai và rút gọn
– Simplify[<hàm số>]

124. Một số hàm quan trọng CAS (4)
• IsPrime[<số>]: trả về true nếu <số> là số
nguyên tố.
• NextPrime[<số>]: trả về số nguyên tố đầu
tiên lớn hơn <số>.
• PreviousPrime[<số>]: trả về số nguyên tố
lớn nhất nhỏ hơn <số>.
• PrimeFactors[<số>]: trả về dãy các ước số
nguyên tố của <số>.

125. Một số hàm quan trọng CAS (5)
• Division[]: phép chia nguyên và đa thức.
– Division[<số bị chia>,<số chia>].
Ví dụ Division[16,3] --> (5,1).
– Division[<đa thức bị chia>,<đa thức chia>].
• Divisors[<số>]: trả lại dãy các ước nguyên
dương của <số>, tính cả số gốc.
• Mod[]: phép lấy số dư nguyên và đa thức.
– Mod[<số bị chia>,<số chia>].
Ví dụ Mod[16,3] --> 1.
– Mod[<đa thức bị chia>,<đa thức chia>].

126. Một số hàm quan trọng CAS (6)
• Div[]: phép lấy thương số nguyên và đa
thức.
– Div[<số bị chia>,<số chia>].
Ví dụ Div[16,3] --> 5.
– Div[<đa thức bị chia>,<đa thức chia>].

127. Một số hàm quan trọng CAS (7)
• Derivative[]: phép lấy đạo hàm
– Derivative[<hàm số>]: trả lại đạo hàm của hàm
số.
– Derivative[<hàm số>,<số tự nhiên>]: trả lại đạo
hàm bậc <số tự nhiên> của <hàm số>.
– Ví dụ Derivative[x^3-2x^2+1, 2] ---> 6x
– Derivative[<hàm số>,<biến> <số tự nhiên>]: trả
lại đạo hàm theo <biến>, bậc <số tự nhiên> của
<hàm số>.

128. Một số hàm quan trọng CAS (8)
• Integral[]: phép lấy tích phân tổng quát
– Integral[<hàm số>]: trả lại nguyên hàm của
<hàm số>
– Integral[<hàm số>, <biến số>]: trả lại nguyên
hàm của <hàm số> theo <biến số>
– Integral[<hàm số>, <bắt đầu>, <kết thúc>]: trả lại
tích phân xác định của <hàm số> theo các giới
hạn từ <bắt đầu> đến <kết thúc>. Các giới hạn
có thể là biến.
– Integral[<hàm số>, <biến số><bắt đầu>, <kết
thúc>]: tương tự trên nhưng theo <biến số>

129. Một số hàm quan trọng CAS (9)
• NIntegral[]: tính tích phân gần đúng
– NIntegral[<hàm số>, <gt bắt đầu>, <gt kết
thúc>]: trả lại giá trị tích phân gần đúng xác
định của <hàm số> theo các giới hạn từ <gt bắt
đầu> đến <gt kết thúc>.
– NIntegral[<hàm số>, <biến số><gt bắt đầu>, <gt
kết thúc>]: tương tự trên nhưng theo <biến số>

130. Một số hàm quan trọng CAS (10)
• NSolve[]: giải gần đúng phương trình, hệ
phương trình
– NSolve[<phương trình>]
– NSolve[<phương trình>,<biến>]
– NSolve[<phương trình>,<biến>=<gt bắt đầu]:
tìm nghiệm tính từ <gt bắt đầu>
– NSolve[{<dãy phương trình>},{dãy <biến>}]: giải
hệ phương trình.
– NSolve[{<dãy phương trình>},{dãy <biến=gt ban
đầu>}]: giải hệ phương trình.
• NSolution[]: tương tự NSolve[]

131. Một số hàm quan trọng CAS (11)
• Solvecubic[<hàm bậc 3>]: giải phương trình
đa thức bậc 3
• Limit[]: tính giới hạn hàm hoặc dãy số
– Limit[<hàm số>, <giá trị tới hạn>]
– Limit[<biểu thức>, <giá trị tới hạn>]
– Limit[<biểu thức>, <biến>, <giá trị tới hạn>]
• Asymptote[]: tìm tiệm cận của hàm số
– Asymptote[<hàm số>]

132. Thực hành 1: môi trường tính
toán
• Làm quen với môi trường tính toán
chính xác và gần đúng trong CAS.
– Lựa chọn công cụ, chế độ tính toán.
– Nhập biểu thức, nhấn Enter để tính toán.

133. Thực hành 2: số học
• Giải bài tập khai triển ra số nguyên tố.
• Khai triển đa thức thành tích các thừa
số.
• Nhân, chia đa thức.
• Tìm BSCNN, USCLN của 2 số, 2 đa
thức.

134. Thực hành 3: đại số, giải tích
• Giải phương trình, hệ phương trình.
• Giải bất phương trình, hệ bất phương
trình.
• Tính đạo hàm, tích phân bất định và
xác định.

135. Thiết lập và chia sẻ tài
nguyên

136. Tài nguyên trên
GeogebraTube
• Website tài nguyên:
http://tube.geogebra.org
• Bất cứ ai cũng có thể tạo 1 Account
(miễn phí) trên Site này để sử dụng các
tài nguyên chung và tự tạo cho mình
các tài nguyên riêng.

137. Giao diện trang tài nguyên

138. Thiết lập & ứng dụng tài
nguyên
• Sử dụng tài nguyên có sẵn trên kho
Geogebra.org
– Sử dụng Online
– Tải về và sử dụng Offline
• Tự tạo tệp ggb và chia sẻ lên kho dữ
liệu tube.geogebra.org
– Qui trình chia sẻ tài nguyên.

139. Bài tập
Mỗi nhóm thiết kế 01 bài giảng (chỉ cần 1 hoạt động cụ
thể) bao gồm 4 phần :
1. Nội dung, dàn bài
2. Phần mô phỏng bằng Animation hoặc tương tắc
mức Slide.
3. Kết hợp với một phần mềm bên ngoài ví dụ: kết
nối với Cùng học tạo 1 đề kiểm tra trắc nghiệm.
4. Có 1 hoặc 1 vài hình minh họa được vẽ bằng
Geogrbra, liên kết với 1 nút lệnh trên Slide.
Chú ý: quan trọng là ý tưởng thiết kế bài học chứ
không phải là các thao tác cụ thể. Nếu không làm
được có thể ghi ra giấy các ý tưởng thiết kế của
mình.