最短経路問題と最小全域木問題の説明とそのためのアルゴリズムの解説

1. 1

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3. •
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•
•
•
•
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•
3

4. R×C
•
R C
Sy Sx
Gy Gx
𝑐(+,+) 𝑐(+,.) … 𝑐(+,0)
𝑐(1,+) 𝑐(1,.) … 𝑐(1,0)
•
1 ≤ R, C ≤ 1000
4
S
G

5. R×C
•
5
S
G

6. • G
S
G
6
S
G

7. • G
S
G
7
S
G

8. • G
S
G
•
8
S
G

9. • G
S
G
•
9
S
G

10. • G
S
G
•
10
S
G
S G

11. •
S
11
S
G

12. •
S
S
12
S 1
1
G

13. •
S
S
• S
13
S 1
1
G

14. •
S
S
• S
14
2
S 1 2
1
2 G

15. •
S
S
• S
15
2
S 1 2
1
2 G
G

16. (Breadth First Search)
•
•
16
S
……

17. 17
S
G
0
S S S
S

18. 18
1
1 ★ 1
1
G
0

19. 19
1
1★ 1
1
G

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12
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2
G
1

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1
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2
2
★ 2
G

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2 G
1

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2
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G
2

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G
2

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3
3
3
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3
2

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4
★ 4
G
3

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3
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★ 4
G
3

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3
3
4
★ 4
G
3

29. 29
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11
11
G 11
★
10

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11
11
12
G
12 ★
11

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12
G
★
12
11

32. 32
12
12
G 12
1212 ★ 12
11

33. 33
12
G 12
12
1313
★
12

34. 34
G 12
12
13
13
13 ★
12

35. 35
12
13
13
★
G 12

36. 36
12
13
13
★
G 12
G

37. (Queue)
•
•
First In, First Out
37

38. 38

39. 39
#include <queue>
queue< > q;
q.push(x); O(1)
q.front(); O(1)
q.pop(); O(1)
q.empty(); O(1)

40. •
O(1)
•
O(RC)
40
R: C

41. 41

42. •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
42

43. •
•
•
43

44. •
•
•
•
•
44

45. •
•
•
•
•
45

46. •
•
•
•
V E
46

47. 47

48. 48

49. •
49

50. •
50
INF INF INF INF INF
INF INF INF
INF INF INF
INF INF INF INF
INF INF
INF INF INF
INF

51. 51

52. •
52

53. •
53

54. 54

55. 55

56. 56

57. 57
O(V.
) O(V + E)
O(1) O(Δ)
O(V) O(Δ)
Δ:

58. 58
O(V.
) O(V + E)
O(1) O(Δ)
O(V) O(Δ)
Δ:

59. s
g
g
59

60. v e
a b
c
•
v e s g
𝑎+ 𝑏+ 𝑐+
𝑎^ 𝑏^ 𝑐^
•
1 ≤ v ≤ 100
1 ≤ e, c ≤ 10000
60

61. •
61

62. •
62
120
30
90
210
90 120 150
180120
210
210
90

63. •
= min ( + 210 ,
+ 180 )
•
63
..
..
:
180
210
:
:
.. ..
..

64. •
= min ( + 210 ,
+ 180 )
•
•
u
= min ( u + u )
64
..
..
:
180
210
:
:
.. ..
..

65. (Bellman-Ford algorithm)
•
65

66. (Bellman-Ford algorithm)
•
•
66

67. (Bellman-Ford algorithm)
•
•
•
67

68. 0
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
68
210
90 120
30
90
210
90 120 150
180120
210

69. 0
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
69
120
30
90
210
90 120 150
180120
210
0
210
120
90
210
90

70. 0
90
210
INF
INF
120
INF
INF
INF
INF
70
120
30
90
210
90 120 150
180120
210
0
210
120
90
210
90

71. 0
90
210
INF
INF
120
INF
INF
INF
INF
71
120
30
90
210
90 120 150
180120
210
90
180
210
90

72. 0
90
210
300
INF
120
INF
INF
INF
INF
72
120
30
90
210
90 120 150
180120
210
210
240
420
300
210
90

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90
210
300
510
120
420
INF
INF
510
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30
90
210
90 120 150
180120
210
300
420
510
510
210
90

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90
210
300
510
120
420
INF
INF
510
74
120
30
90
210
90 120 150
180120
210
510
210
90

75. 0
90
150
300
510
120
210
INF
INF
510
75
120
30
90
210
90 120 150
180120
210
120 210
150210
90

76. 0
90
150
300
510
120
210
330
INF
510
76
120
30
90
210
90 120 150
180120
210
210 330
210
90

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90
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300
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210
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480
510
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30
90
210
90 120 150
180120
210
330 480
210
90

78. 0
90
150
300
510
120
210
330
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510
78
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30
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210
90 120 150
180120
210
510
210
90

79. 0
90
150
300
510
120
210
330
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510
79
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30
90
210
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180120
210
510
210
90

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210
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510
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30
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210
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210
90

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510
82
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30
90
210
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180120
210
0
210
90

83. 0
90
150
300
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120
210
330
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510
83
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30
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210
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180120
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90
210
90

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150
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150
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0
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510
86
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30
90
210
90 120 150
180120
210
150
240

87. 87
•

88. 88
•
O(E)

89. 89
•
O(E)
•

90. •
O(E)
•
V
O(VE)
90

91. 91

92. 92
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30
90
210
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180120
210
210
300
210
90
•
(Dijkstra’s algorithm)

93. 0
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INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
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210
90 120 150
180120
210
210
90

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INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
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0
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180120
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0
210
90

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0
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90
120
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210
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180120
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90
120
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0
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210
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INF
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INF
INF
INF
210
90

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210
90 120 150
180120
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0
90
210
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INF
120
INF
INF
INF
INF
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210
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0
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210
INF
INF
120
INF
INF
INF
INF
210
90
(180)

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98
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0
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INF
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INF
INF
INF
INF
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99
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INF
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INF
INF
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90
(240)

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INF
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INF
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INF
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90

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210
330
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INF
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210
90

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450
450
103
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330
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450
240
210
90

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450
480
104
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330
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90

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480
105
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90

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106
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450
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90

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0
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480
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90

108. 0
90
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240
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108
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90 120 150
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210
210
90

109. •
109

110. •
•
O(E)
110

111. •
•
O(E)
•
sort
111

112. (Priority Queue)
112
•

113. 113
•
(Priority Queue)

114. 114
•
(Priority Queue)

115. 115
•
(Priority Queue)

116. 116
•
(Priority Queue)

117. 117
•
(Priority Queue)

118. 118
•
(Priority Queue)

119. 119
•
(Priority Queue)

120. 120
•
(Priority Queue)

121. •
• First In, First Out
121
(Priority Queue)

122. 122

123. 123
#include <queue>
priority_queue< > pq;
pq.push(x); O(log n)
pq.top(); O(1)
pq.pop(); O(log n)
pq.empty(); O(1)
n: pq

124. •
O(E)
•
124

125. •
O(E)
•
O(log E)
O(E log E)
125

126. •
126

127. •
•
127

128. 128

129. •
O(VE)
O(E log E)
129

130. •
O(VE)
O(E log E)
•
•
130

131. 0
INF
INF
INF
0
131
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30
−100
−50 20

132. 0
30
10
INF
10
30
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−100
−50 20
0
0 30
10

133. 0
30
10
INF
30
133
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30
−100
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10
10

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30
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50
−20
50
134
10
30
−100
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30
30
−20 50

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135
10
30
−100
−50 20
−20
0
30
−20
50
−20

136. −50
136
10
30
−100
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50
0
30
−50
50
−50 50

137. 137
10
30
−100
−50 20
−50
0
30
−50
50
−50

138. •
•
138

139. •
•
•
V
139

140. •
•
•
V
140

141. •
141
(Warshall–Floyd algorithm)
dp

142. •
142
(Warshall–Floyd algorithm)
dp

143. •
143
dp
90 210 120
90
210 90 30
90 210 120 210
210
120 30 90
120 90 120
120 150 180
150
210 180

144. •
144
dp
0 90 210 120
90 0
210 0 90 30
90 0 210 120 210
210 0
120 30 0 90
120 90 0 120
120 0 150 180
150 0
210 180 0

145. 145
•
dp
0 90 210 120
90 0
210 0 90 30
90 0 210 120 210
210 0
120 30 0 90
120 90 0 120
120 0 150 180
150 0
210 180 0
for(int k = 0; k < V; k++)
for(int i = 0; i < V; i++)
for(int j = 0; j < V; j++)
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);

146. 146
•
dp
0 90 150 240 450 120 210 330 480 450
90 0 240 330 540 210 300 420 570 540
150 240 0 90 300 30 120 240 390 300
240 330 90 0 210 120 120 240 390 300
450 540 300 210 0 330 330 450 600 420
120 210 30 120 330 0 90 210 360 330
210 300 120 120 330 90 0 120 270 300
330 420 240 240 450 210 120 0 150 180
480 570 390 390 600 360 270 150 0 300
450 540 300 210 420 330 300 180 330 0

147. for(int k = 0; k < V; k++)
for(int i = 0; i < V; i++)
for(int j = 0; j < V; j++)
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);
•
i j
k
• O( 𝐕 𝟑)
147

148. for(int k = 0; k < V; k++)
for(int i = 0; i < V; i++)
for(int j = 0; j < V; j++)
if(dp[i][k] != INF && dp[k][j] != INF)
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);
•
•
148

149. • Dijkstra
149

150. • Dijkstra
150

151. • Dijkstra
151

152. •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
152

153. 153
•
•
•
•

154. •
•
•
•
154

155. •
•
•
•
155

156. •
156

157. •
•
157

158. •
•
•
158

159. •
•
•
•
159

160. (Spanning Tree)
•
160
10
2
13
7
1013
7
10
2
7
2
13
7

161. (Spanning Tree)
•
161
10
2
13
7
1013
7
10
2
7
2
13
7

162. (Spanning Tree)
•
162
10
2
13
7
1013
7
10
2
7
2
13
7

163. 163

164. v e
a b
d
•
v e
𝑎+ 𝑏+ 𝑑+
𝑎^ 𝑏^ 𝑑^
•
1 ≤ v ≤ 100
1 ≤ e, d ≤ 10000
164

165. •
165

166. •
166
160
45
135
260
125 180 135
170130
240
175
110

167. •
•
167
(Prim’s MST algorithm)
29
7 61
43

168. •
•
168
(Prim’s MST algorithm)
7 61
29 43

169. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
0
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
0
169
(Priority Q)
260
0

170. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
INF
170
0
(Priority Q)
260
0

171. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
110
175
INF
INF
160
INF
INF
INF
INF
110
160
175
171
175
160
110
(Priority Q)
260
0

172. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
USED
175
INF
INF
160
INF
INF
INF
INF
160
175
172
110
(110)
(Priority Q)
260
110

173. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
USED
175
INF
INF
160
INF
INF
INF
INF
160
175
173
(110)
(Priority Q)
260
110

174. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
USED
45
INF
INF
USED
125
INF
INF
INF
45
125
175
174
160
45
125
(160)
(Priority Q)
260
270

175. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
USED
USED
135
INF
USED
125
INF
INF
INF
125
135
175
175
45
(Priority Q)
135
260
315

176. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
USED
USED
130
INF
USED
USED
180
INF
INF
130
135
175
180
176
125
(Priority Q)
130
440
180
260

177. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
USED
USED
USED
260
USED
USED
180
INF
240
135
175
180
240
260
177
130
(Priority Q)
260
240260
570

178. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
USED
USED
USED
260
USED
USED
180
INF
240
175
180
240
260
178
135
(Priority Q)
260
570

179. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
USED
USED
USED
260
USED
USED
180
INF
240
180
240
260
179
175
(Priority Q)
260
570

180. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
USED
USED
USED
260
USED
USED
USED
135
170
135
170
240
260
180
180
(Priority Q)
170
135
260
750

181. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
USED
USED
USED
260
USED
USED
USED
USED
170
170
240
260
181
135
(Priority Q)
260
885

182. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
USED
USED
USED
260
USED
USED
USED
USED
USED
240
260
182
170
(Priority Q)
260
1055

183. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
USED
USED
USED
260
USED
USED
USED
USED
USED
260
183
240
(Priority Q)
260
1055

184. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
USED
USED
USED
USED
USED
USED
USED
USED
USED
184
260
(Priority Q)
260
1315

185. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
USED
USED
USED
USED
USED
USED
USED
USED
USED
USED
185
(Priority Q)
260
1315

186. U
X
X U＼X e
e T’
1. T’ e
2.
X U＼X e e’
3. T’ e’ e
4. e e’ e
e
186

187. U
X
X U＼X e
e T’
1. T’ e
2.
X U＼X e e’
3. T’ e’ e
4. e e’ e
e
187
e
e

188. U
X
X U＼X e
e T’
1. T’ e
2.
X U＼X e e’
3. T’ e’ e
4. e e’ e
e
188
T‘

189. U
X
X U＼X e
e T’
1. T’ e
2.
X U＼X e e’
3. T’ e’ e
4. e e’ e
e
189
T‘ + e
e
e’

190. U
X
X U＼X e
e T’
1. T’ e
2.
X U＼X e e’
3. T’ e’ e
4. e e’ e
e
190
T‘ − e’ + e
e

191. •
−
+
− USED
−
• O(E log E)
191

192. 192

193. •
•
193
(Kruskal’s algorithm)

194. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
194
45
110
125
130
135
135
160
170
175
180
240
260
260
0

195. 160
135
125 180 135
170130
240
175
110
195
45
110
125
130
135
135
160
170
175
180
240
260
45
260
45

196. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
196
45
110
125
130
135
135
160
170
175
180
240
260
260
155

197. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
197
45
110
125
130
135
135
160
170
175
180
240
260
260
280

198. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
198
45
110
125
130
135
135
160
170
175
180
240
260
260
410

199. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
199
45
110
125
130
135
135
160
170
175
180
240
260
260
410

200. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
200
45
110
125
130
135
135
160
170
175
180
240
260
260
545

201. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
201
45
110
125
130
135
135
160
170
175
180
240
260
260
705

202. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
202
45
110
125
130
135
135
160
170
175
180
240
260
260
875

203. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
203
45
110
125
130
135
135
160
170
175
180
240
260
260
875

204. 160
45
135
125
180 135
170130
240
175
110
204
45
110
125
130
135
135
160
170
175
180
240
260
260
1055

205. 160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
205
45
110
125
130
135
135
160
170
175
180
240
260
260
1055

206. 260
160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
206
45
110
125
130
135
135
160
170
175
180
240
260
1315

207. 260
160
45
135
125 180 135
170130
240
175
110
207
45
110
125
130
135
135
160
170
175
180
240
260
1315

208. •
O(E log E)
208

209. •
O(E log E)
•
O(E)
209

210. •
O(E log E)
•
O(E)
•
210

211. 211

212. • Union-Find Tree
(disjoint-set forest)
Union-Find Tree
212

213. •
213
Union-Find Tree

214. •
•
214
Union-Find Tree

215. •
•
215
Union-Find Tree

216. •
•
•
216
Union-Find Tree

217. •
•
•
217
Union-Find Tree

218. 218
Union-Find Tree

219. O(n)
219
Union-Find Tree
n:

220. O(n)
220
Union-Find Tree
n:

221. •
221
Union-Find Tree

222. •
222
Union-Find Tree

223. •
O(α(n))
223
Union-Find Tree
n:

224. •
O(α(n))
• α(n)
𝜶 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
− 𝟑 = 𝟒
224
Union-Find Tree
n:

225. •
O(α(n))
• α(n)
𝜶 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
− 𝟑 = 𝟒
O(1)
225
Union-Find Tree
n:

226. •
O(E log E)
•
O(E)
•
226

227. •
O(E log E)
•
O(E)
•
O(1)
O(E log E) + O(E) = O(E log E)
227

228. 228

229. 229

230. •
Union-Find Tree
230

231. •
Union-Find Tree
•
•
O(E)
•
231

232. •
•
232

233. •
•
•
233