.INTEGRACI´ON INDEFINIDA
Y SUS APLICACIONES
Hebeth Cueva Valladolid
Agosto del 2016

1
0.1. Introducci´on
El origen del c´alculo integral se remonta a la ´epoca de Arqu´ımedes (287-212 a.C.),
matem´atico griego de la antig¨uedad, que obtuvo resultados tan importantes como el
valor del ´area encerrada por un segmento parab´olico. La derivada apareci´o veinte siglos
despu´es para resolver otros problemas que en principio no ten´ıan nada en com´un con
el c´alculo integral. El descubrimiento m´as importante del c´alculo infinitesimal (creado
por Barrow, Newton y Leibniz) es la ´ıntima relaci´on entre la derivada y la integral
definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez
conocida la conexi´on entre derivada e integral (teorema de Barrow), el c´alculo de inte-
grales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas. El concepto de C´alculo
y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo
el an´alisis matem´atico, creando ramas como el c´alculo diferencial, integral y de varia-
ciones. El c´alculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis
y Newton entre otros. As´ı en 1711 Newton introdujo la f´ormula de interpolaci´on de
diferencias finitas de una funci´on f(x); f´ormula extendida por Taylor al caso de infinitos
t´erminos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el c´alculo diferencial
y el c´alculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del c´alculo diferencial era el
desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de
Taylor, desarroll´andose casi todas las funciones conocidas por los matem´aticos de la
´epoca. Pero pronto surgi´o el problema de la convergencia de la serie, que se resolvi´o en
parte con la introducci´on de t´erminos residuales, as´ı como con la transformaci´on de
series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron
nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asint´oticas
introducidos por Stirling y Euler. La acumulaci´on de resultados del c´alculo diferencial
transcurri´o r´apidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su es-
tructura actual Introducir el c´alculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli,
quien escribi´o el primer curso sistem´atico de c´alculo integral en 1742. Sin embargo, fue
Euler quien llev´o la integraci´on hasta sus ´ultimas consecuencias, de tal forma que los
m´etodos de integraci´on indefinida alcanzaron pr´acticamente su nivel actual. El c´alculo
de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllev´o el descubrimiento
de una serie de resultados de la teor´ıa de las funciones especiales. Como las funciones
gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones el´ıpticas. Los creadores del An´alisis
Infinitesimal introdujeron el C´alculo Integral, considerando los problemas inversos de
sus c´alculos. En la teor´ıa de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los prob-
lemas del c´alculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el
problema era m´as complejo: la integral surg´ıa inicialmente como definida. No obstante,
la integraci´on se reduc´ıa pr´acticamente a la b´usqueda de funciones primitivas. La idea
de la integraci´on indefinida fue inicialmente la dominante. El C´alculo Integral inclu´ıa
adem´as de la integraci´on de funciones, los problemas y la teor´ıa de las ecuaciones difer-
enciales, el c´alculo variacional, la teor´ıa de funciones especiales, etc. Tal formulaci´on
general creci´o inusualmente r´apido. Euler necesit´o en los a˜nos 1768 y 1770 tres grandes
vol´umenes para dar una exposici´on sistem´atica de ´el. Seg´un Euler el C´alculo Integral
constitu´ıa un m´etodo de b´usqueda, dada la relaci´on entre los diferenciales o la relaci´on

2
entre las propias cantidades. La operaci´on con lo que esto se obten´ıa se denominaba in-
tegraci´on. El concepto primario de tal C´alculo, por supuesto, era la integral indefinida.
El propio C´alculo ten´ıa el objetivo de elaborar m´etodos de b´usqueda de las funciones
primitivas para funciones de una clase lo m´as amplia posible. Los logros principales
en la construcci´on del C´alculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y de-
spu´es a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integraci´on llevada por este
´ultimo hasta sus ´ultimas consecuencias y las cuadraturas por ´el encontradas, todav´ıa
constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre C´alculo Integral,
cuyos textos actuales son s´olo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al
lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisi´on concreta del famoso C´alculo Inte-
gral de Euler y su comparaci´on con los textos actuales. La palabra c´alculo proviene del
lat´ın calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la
necesidad de contar, comienza la historia del c´alculo. Tales piedrecitas ensartadas en
tiras constitu´ıan el ´abaco romano que, junto con el suwanpan japon´es, constituyen las
primeras m´aquinas de calcular en el sentido de contar. El c´alculo integral, encuadrado
en el c´alculo infinitesimal, es una rama de las matem´aticas en la que se estudia el pro-
ceso de integraci´on o antiderivaci´on, es muy com´un en la ingenier´ıa y en la matem´atica
en general y se utiliza principalmente para el c´alculo de ´areas y vol´umenes de regiones
y s´olidos de revoluci´on.

3
0.2. Definiciones y F´ormulas b´asicas
Definici´on 1. La funci´on F : I → R se le llama Antiderivada ´o primitiva de f : I → R
si F (x) = f(x), ∀x I = [a, b].
Ejemplo : Si f(x) = 2x ⇒ F(x) = x2
es una antiderivada ,pu´es F (x) = 2x = f(x)
Tambi´en F1(x) = x2
+ 3 es una antiderivada de f(x)
¿Qu´e se Observa? al calcular las antiderivadas de una funci´on no se determina una
´unica funci´on sino una familia de funciones que se difieren entre si en una constante.En
General la representaci´on de su antiderivada mas general de f(x) la representaremos
por : F(x) + c
X
Y
Y=X
2
+C
Definici´on 2. Si F(x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I osea
F (x) = f(x)
Entonces a su antiderivada general F(x) + c se le denota por :
G(x) = f(x)dx = F(x) + c , ∀x I

4
En otras palabras la integral de una funci´on que se designa con f(x)dx no es m´as
que su antiderivada general F(x) + c.De ahora en adelante llamaremos integrando a lo
que est´a dentro de la integral es decir a f(x)dx
NOTA:De la definici´on anterior se tiene :
G (x) = F (x) = f(x)
i.e
d
dx
f(x)dx = f(x)
Propiedades
De la definici´on de integral indefinida se tiene :
1.
d
dx
( f(x)dx) = f(x)
2.
d( f(x)dx) = f(x)
3.
f (x)dx = f(x) + c
Teorema 0.1. Si dos funciones F y G son funciones primitivas o antiderivadas de
una funci´on f en un intervalo I (abierto o cerrado) entonces estas funciones difieren
de una constante

5
FORMULAS DE INTEGRACI´ON
Siendo u = f(x) una funci´on diferenciable en x
1. un
du =
un+1
n + 1
+ c , n = −1
2.
du
u
= ln|u| + c
3. eu
du = eu
+ c
4. au
du =
au
ln a
+ c ; a > 0, a = 1
5.
du
u2 + a2
=
1
a
arctan(
u
a
) + c
6.
du
a2 − u2
=
1
2a
ln|
u + a
u − a
| + c
7.
du
u2 − a2
=
1
2a
ln|
u − a
u + a
| + c
8.
du
√
a2 − u2
= arcsen(
u
a
) + c
9.
du
√
u2 + a2
= ln|u +
√
u2 + a2| + c
10.
du
√
u2 − a2
= ln |u +
√
u2 − a2| + c
11.
√
a2 − u2du =
u
2
√
a2 − u2 +
a2
2
arcsin(
u
a
) + c
12.
√
u2 − a2du =
u
2
√
u2 − a2 −
a2
2
ln|u +
√
u2 − a2| + c
13.
√
u2 + a2du =
u
2
√
u2 + a2 +
a2
2
ln|u +
√
u2 + a2| + c
14.
du
u
√
u2 − a2
=
1
a
arcosec
|u|
a
+ c
15. sin udu = −cosu + c
16. cos udu = senu + c

6
17. tan udu = − ln | cos u| + c
18. cot udu = ln | sin u| + c
19. csc udu = ln | csc u − cot u| + c
20. sec2
udu = tan u + c
21. csc2
udu = − cot u + c
22. sec u tan udu = sec u + c
23. csc u cot udu = − csc u + c
Ejercicios
1. Probar que las dos f´ormulas son equivalentes
sec xdx = ln | sec x + tan x |
sec xdx = − ln | sec x − tan x |
Para conseguir que ambas f´ormulas son equivalentes deber´ıamos probar la sigu-
iente igualdad :
− ln | sec x − tan x |= ln | sec x + tan x |
As´ı tenemos que :
− ln | sec x − tan x |= − ln |
1
cos x
−
sin x
cos x
|= − ln |
1 − sin x
cos x
|
= ln |
cos x
1 − sin x
|= ln |
cos x(1 + sin x)
(1 − sin x)(1 + sin x)
|
ln |
1
cos x
+
sin x
cos x
|= ln | sin x + tan x |
2. Probar que las dos f´ormulas son equivalentes
csc xdx = − ln | csc x + cot x |
csc xdx = ln | csc x − cot x |

7
Ejercicios de Aplicaci´on
Resolvamos los siguientes ejercicios aplicando las reglas para integrales :
1.
2x
· 3x+1
5x+2
dx
2.
ex
(1 + x ln x)
x
dx
3.
1 − x ln x
xex
dx
4.
sin x
cos2 x
dx
5.
tan y − sec y
cos y
dy
6.
√
x + 4
x
dx
7.
sin x − x ln x · cos x
x sin2
x
dx
8.
sec x − tan x
sec x + tan x
dx
9. Se d´a la gr´afica de la derivada de una funci´on.Esbozar las gr´aficas de 2 funciones
que tengan por derivada a la funci´on dada
2 f ´
x
y
Grafico (1) Gr´afico (2)
Del gr´afico (2) se observa que
f = 2 =⇒ f(x) = 2x + k

8
entonces las 2 funciones cuyas derivadas resultan f = 2 son :
f(x) = 2x + 1 , f(x) = 2x − 1
10. En cada caso ,f es una funci´on cont´ınua y la figura muestra la gr´afica de la
funci´on y = f (x) ,la funci´on derivada de f.Bosqueje la gr´afica de la funci´on
y = f(x),analizando intervalos de monoton´ıa y de concavidad,valores extremos y
puntos de inflexi´on ; si :
1 2 3 2
2
−1 3
−1
−2
Figura (1)
Figura(2)
Para la figura (1) se tiene que f(1) = 0 y x ≥ 0 ,de la misma forma para la figura (2)
se tiene que f(0) = 1 y x ≥ −1

9
M´ETODOS DE INTEGRACI´ON
0.3. Integraci´on por sustituci´on
Este m´etodo para resolver integrales es muy aplicado en su gran mayoria cuando sea
posible encontrar dentro del integrando una funci´on y su derivada consiguiendo una
integral conocida o f´acil de operar .El m´etodo consiste en que una vez identificada la
funci´on y su derivada se debe elegir a la funci´on como la nueva variable y luego usar
las f´ormulas de integraci´on descritas con anterioridad.
Ejemplos Resueltos
1. Resolver
x5
1 + x3
dx
Soluci´on
la idea es tratar de hacer aparecer dentro del integrando una funci´on y su derivada
para lo cu´al haremos un artificio f´acil que consiste en descomponer el numerador
de la siguiente forma :
x3
x2
1 + x3
dx
si llamamos al denominador u = 1 + x3
observamos que
du = 3x2
dx =⇒ x2
dx =
du
3
As´ı de este modo sustituyendo en la integral anterior se obtiene :
u − 1
u
du
3
=
1
3
(1 −
1
u
)du
=
1
3
du −
1
3
1
u
du =
1
3
u −
1
3
ln |u| + c
Luego regresemos a las variables originales
1
3
(1 + x3
) −
1
3
ln |1 + x3
| + c

10
2. Resolver
ln(ln x)
x ln x
dx
Soluci´on
Escogeremos u = ln x =⇒ du = 1
x
dx As´ı de ´este modo se tendr´ıa
ln u
u
du
y si aplicamos otro cambio de variable en esta nueva integral
v = ln u =⇒ dv =
1
u
du
se llega a:
vdv =
v2
2
+ c
volviendo a las variables originales
=
(ln u)2
2
+ c
=
(ln(ln x))2
2
+ c
3. Resolver
2ex
+ e−x
3ex + 4e−x
dx
Soluci´on
Es preciso observar que en el integrando no existe relaci´on entre el numerador y
el denominador ,lo ´unico que pudieramos hacer es separar en dos integrales
2ex
3ex + 4e−x
dx +
e−x
3ex + 4e−x
dx
Ahora en cada una de las integrales multipliquemos a la primera en su numerador
y denominador por ex
y en la segunda por e−x
asi se tendr´ıa :
2e2x
3e2x + 4
dx +
e−2x
3 + 4e−x
dx
Si en la primera elegimos el cambio de variable
u = 3e2x
+ 4 −→ du = 6e2x

11
4. Resolver
1
x2
(
1
x
− 1)
2
3 dx
Soluci´on
Considerando de que la derivada de 1
x
− 1 es − 1
x2 ,entonces se elige a u como
u = 1
x
− 1 ,du = − 1
x2 dx as´ı tenemos :
u
2
3 (−du) = − u
2
3 du = −
u
5
3
5
3
+ k
−
3
5
u
5
3 + k
−
3
5
(
1
x
− 1)
5
3 + k
5. Resolver
x3
(4 − x2
)
−1
2 dx
Soluci´on
Teniendo en cuenta que la derivada de 4 − x2
es −2x ,es preciso realizar una
descomposici´on en el integrando
x2
(4 − x2
)
−1
2 xdx
as´ı
4 − x2
= u2
=⇒ −2xdx = 2udu =⇒ xdx = −udu
Luego
(4 − u2
)(u2
)−1
2 (−udu) = − (4 − u2
)u−1
udu
= − (4 − u2
)du = −(4u −
u3
3
) + k
= −4
√
4 − x2 +
(
√
4 − x2)3
3
+ k

12
6. Resolver
1
ex + e−x
dx
Soluci´on
Al no encontrar una relaci´on entre alguna funci´on y su derivada ,multimplicamos
numerador y denominador por ex
con esa intenci´on ,as´ı
1
ex + e−x
ex
ex
dx =
ex
1 + (ex)2
dx
Luego elegiremos
u = ex
=⇒ du = ex
dx
=⇒
du
u2 + 1
= arctan u + k
arctan ex
+ k
7. Resolver
x
1
3 (x
2
3 + 1)
3
2 dx
Soluci´on
Si elegimos
u = x
2
3 + 1 −→ du =
2
3
1
x
1
3
dx
Lamentablementen el t´ermino 1
x
2
3
no aparece en el integrando ,por lo que es
necesario multiplicar en el numerador y denominador por x
2
3 y reformular el
cambio de variables mas conveniente,as´ı :
u2
= x
2
3 + 1 −→ 2udu =
2
3
1
x
1
3
dx
de all´ı se tiene que u2
− 1 = x
2
3 y que 3udu = 1
x
2
3
dx
Luego en la integral
x
1
3 (x
2
3 + 1)
3
2 dx = x
1
3 (x
2
3 + 1)
3
2
x
1
3
x
1
3
dx

13
= x
2
3 (x
2
3 + 1)
3
2
1
x
1
3
dx
= (u2
− 1)(u2
)
3
2 3udu = 3u(u2
− 1)u3
du
= 3 u4
(u2
− 1)du = 3 (u6
− u4
)du
= 3(
u7
7
−
u5
5
)
=
3
7
( x
2
3 + 1)7
−
3
5
( x
2
3
+1
)5
+ C
8. Resolver
arctan
√
x
√
x + 2x2 + x3
dx
Soluci´on
Primero factorizamos el denominador
arctan
√
x
√
x + 2x2 + x3
dx =
arctan
√
x
√
x
√
1 + 2x + x2
dx
=
arctan
√
x
√
x(x + 1)
dx
Aqu´ı hacemos :
u = arctan x −→ du =
dx
2
√
x(1 + x)
Asi reemplazando en la integral se tiene :
= 2udu = u2
+ C
= (arctan
√
x)2
+ C

14
9. Resolver
1
√
x − 1 +
√
x + 1
dx
Soluci´on
Se observa que no existe relaci´on entre el numerador y denominador por lo que
lo que multiplicaremos por su conjugada
[
1
√
x − 1 +
√
x + 1
][
√
x − 1 −
√
x + 1
√
x − 1 −
√
x + 1
]dx
=
√
x − 1 −
√
x + 1
√
x − 1
2
−
√
x + 1
2 dx
=
√
x − 1 −
√
x + 1
x − 1 − x − 1
dx
=
√
x − 1 −
√
x + 1
−2
dx
=
1
2
[
√
x + 1dx −
√
x − 1dx
En cada una de las integrales haremos
x + 1 = u2
−→ dx = 2udu
y
x − 1 = v2
−→ dx = 2vdv
As´ı queda
=
1
2
[ u(2udu) − v(2vdv)]
=
1
2
[2 u2
du − 2 v2
dv]
=
u3
3
−
v3
3
+ C
=
1
3
√
x + 1
3
−
1
3
√
x − 1
3
+ C

15
10. Resolver
cos3
x
1 − sin x
dx
Soluci´on
=
cos2
x cos xdx
1 − sin x
=
(1 − sin2
x) cos xdx
1 − sin x
Simplificando
= (1 + sin x) cos xdx
u = 1 + sin x −→ du = cos xdx
= udu =
u2
2
+ C =
(1 + sin x)2
2
+ C

16
Ejercicios Propuestos
1. Resolver
ln(2x) + ln2
x
3x
dx
2. Resolver
(x + 2)2
√
x3 + 6x2 + 12x + 4
dx
3. Resolver
x3
√
1 − x8
dx
4. Resolver
ex
dx
e2x − 6ex + 13
5. Resolver
dx
ex
√
1 − e2x
6. Resolver
ex
dx
√
2 − e2x + 3ex
7. Resolver
√
2 − x − x2dx
8. Resolver
√
x2 + xdx
9. Resolver
1
3x + 2
dx
10. Resolver
3
√
3x + 2 −
√
x
11. Resolver
2x −
√
arcsin x
√
1 − x2
dx
12. Resolver
ex+ex
dx

17
13. Resolver
eln(x)+ 1
x
x3
dx
14. Resolver
sin(2x)dx
cos2 x + 4
15. Resolver
x3
1 + x4
dx
16. Resolver
x2x
(ln(x) + 1)dx
17. Resolver
dx
sin2
x 3
cot(x) − 1
18. Resolver
cos2
x(tan2
x + 1)
(sin x + cos x)2
dx
19. Resolver
dx
√
ex − 1
20. Resolver √
1 + e−2x
e−3x
dx
21. Resolver
dx
√
x + 1
22. Resolver
cos3
x
1 − sin x
dx
23. Resolver
x
√
9 − x4
dx
24. Resolver
x
2 − x
dx
25. Resolver
2 +
√
xdx

18
26. Resolver
dx
x −
√
x2 − 1
dx
27. Resolver
x3
√
a2 − x2dx
28. Resolver
2
x(x4 + 25)
1
2
dx
29. Resolver
(x2
− 25)
3
2
x6
dx
30. Resolver
(4 − x2
)
1
2
x2
dx
31. Resolver
x2
− 3
x
√
x4 − 4
dx
32. Resolver
1
x2
√
1 + x2
dx
33. Resolver
e
1
x
x2
dx
34. Resolver
√
1 + sin xdx
35. Resolver
sin xetan2 x
cos3 x
dx
36. Resolver
4
cos x
√
1 − sin 2x + 2 cos2 x
dx
37. Resolver
ln x
x3((ln(x) − 1))3
dx
38. Resolver
x2
√
4 − x2dx

19
39. Resolver √
x2 + 1
x
dx
40. Resolver
dx
(x2 + 5)
3
2
dx
41. Resolver √
x2 − 16
x
dx
42. Resolver
x + 1
√
9 − x2
dx
43. Resolver √
x2 − 8
x4
dx
44. Resolver
x3
√
4 − x2
dx
45. Resolver
dx
x3
√
x2 − 1
dx

20
0.4. Integraci´on por partes
Este m´etodo es de mucha utilidad en la pr´actica,cuyo procedimiento lo describiremos
a continuaci´on:
Siendo u = f(x) y v = g(x) dos funciones diferenciables de la variable x .De la f´ormula
para la diferencial de un producto de dos funciones se tiene :
d(uv) = udv + vdu
que es equivalente a:
udv = d(uv) − vdu
ahora si integramos ambos miembros se tiene:
udv = uv − vdu
La cu´al se denomina F´ormula para la Integraci´on por partes
Nota: La elecci´on de u y de v es arbitraria no existe una f´ormula espec´ıfica para poder
tomarlos,lo que ayuda en gran medida es que cuando aparezcan dentro del integrando
funciones trigonom´etricas ,exponenciales o logar´ıtmicas es preferible tomarlas como dv.
Ejemplos Resueltos
1. Resolver
x2
sin(4x)dx
Soluci´on
En este caso por la nota anterior considerar´e
u = x2
=⇒ du = 2xdx
lo que queda dentro del integrando ser´a
dv = sin(4x)dx =⇒ v =
− cos(4x)
4
As´ı que al reemplazar en F´ormula para la Integraci´on por partes se tiene:
x2
sin(4x)dx =
−1
4
x2
cos(4x) − (
− cos(4x)
4
)(2xdx)

21
=
−1
4
x2
cos(4x) +
1
2
(cos(4x))(xdx)
En la integral del lado izquierdo nuevamente la integraremos por partes asi de
este modo en ella eligo
u = x =⇒ du = dx
dv = cos(4x)dx =⇒ v =
sin(4x)
4
Asi de este modo
x cos(4x)dx = x
sin(4x)
4
−
sin(4x)
4
dx
x cos(4x)dx = x
sin(4x)
4
+
cos(4x)
16
Luego
x2
sin(4x)dx =
−1
4
x2
cos(4x) +
1
2
(x
sin(4x)
4
+
cos(4x)
16
) + c
2. Resolver
ln(x)dx
Soluci´on
Aqu´ı hagamos u = ln(x) =⇒ du = 1
x
dx y dv = dx =⇒ v = x.
De esta forma al utilizar la f´ormula de integraci´on por partes se tiene:
ln(x)dx = (ln(x))(x) − (x)(
1
x
)dx
ln(x)dx = (ln(x))(x) − dx
ln(x)dx = (ln(x))(x) − x

22
3. Resolver
ln(2 + 3
√
x)
3
√
x
dx
Soluci´on
Dentro de todas las posibilidades en la elecci´on de u se sugiere la elecci´on de
logaritmo as´ı :
u = ln(2 + 3
√
x) =⇒ du =
dx
3x
2
3 (2 + 3
√
x)
dv =
1
3
√
x
dx =⇒=⇒ v = x
−1
3 dx =
3
2
x
2
3
ln(2 + 3
√
x)
3
√
x
dx =
3
2
x
2
3 ln(2 + 3
√
x) −
3
2
x
2
3
1
3x
2
3 (2 + 3
√
x)
dx
=
3
2
x
2
3 ln(2 + 3
√
x) −
1
2
1
2 + 3
√
x
dx
Para la integral que falta haremos un cambio de variable adicional
m3
= x =⇒ 3m2
dm = dx
As´ı :
1
2 + 3
√
x
dx =
1
2 +
3
√
m3
(3m2
dm) = 3
m2
2 + m
dm
Luego realizando un ´ultimo cambio de variable en la integral
n = 2 + m =⇒ dn = dm
As´ı
3
m2
2 + m
dm = 3
(n − 2)2
n
dn = 3
n2
− 4n + 4
n
dn
= 3[
(2 + m)2
2
− 4(2 + m) + 4 ln(m + 2)]
= 3[
(2 + 3
√
x)2
2
− 4(2 + 3
√
x) + 4 ln( 3
√
x + 2)] + k

23
4. Resolver
e
1
x
x3
dx
Soluci´on
Aqu´ı primero descomponemos la integral
1
x2
e
1
x
1
x
dx
luego realizamos el cambio de variable
m =
1
x
=⇒ dm =
−1
x2
dx
de donde se llega
em
m(−dm) = − mem
dm
esta integral se resuelve usando integraci´on por partes debido a que es imposible
encontrar una relaci´on entre alguna funci´on y su derivada
u = m =⇒ du = dm
dv = em
dm =⇒ v = em
− mem
dm = −[mem
− em
dm]
= −[mem
− em
] + k
= −[
1
x
e
1
x − e
1
x ] + k
5. Resolver
I = arctan
√
xdx
Soluci´on
u = arctan
√
x =⇒ du =
1
2
√
x(1 + x)
dx
dv = dx =⇒ v = x

24
I = x arctan
√
x − x(
1
2
√
x
(1 + x))dx
I = x arctan
√
x −
1
2
√
x
1 + x
dx
en la integral realizamos x = m2
−→−→ dx = 2mdm
I = x arctan
√
x −
1
2
m
1 + m
(2mdm)
I = arctan
√
x −
m2
m2 + 1
dm
I = arctan
√
x −
(m2
+ 1) − 1
m2 + 1
dm
I = arctan
√
x − (1 −
1
1 + m2
)dm
I = arctan
√
x − (m − arctan m) + k
I = arctan
√
x −
√
x + arctan
√
x + k
6. Resolver
I = x sin x cos xdx
Soluci´on
Haremos
u = x −→ du = dx y v = sin x cos xdx = 1
2
sin(2x)dx = −1
2
cos(2x)
2
= − cos(2x)
4
+
C
As´ı
I = x sin x cos xdx =
−x cos(2x)
4
−
−1
4
cos(2x)dx
= −
x
4
cos(2x) +
1
4
cos(2x)dx
= −
x
4
cos(2x) +
1
8
sin(2x) + C

25
7. Resolver
sin2
x
ex
dx
Soluci´on
I = e−x
sin2
xdx
Hacemos
u = sin2
x −→ du = 2 sin x cos xdx = sin(2x)dx
dv = e−x
dx −→ v = −e−x
sin2
x
ex
dx = −e−x
sin2
x − −e−x
sin(2x)dx
sin2
x
ex
dx = −e−x
sin2
x + e−x
sin(2x)dx
La integral del segundo mienbro se resuelve haciendo uso nuevamente de la inte-
graci´on por partes , de este modo en
I = e−x
sin(2x)dx
u = sin(2x) −→ du = 2 cos(2x)dx
dv = e−x
dx −→ v = −e−x
entonces :
I = −e−x
sin(2x) − −e−x
(2 cos(2x)dx)
I = −e−x
sin(2x) + 2e−x
cos(2x)dx
I = −e−x
sin(2x) + 2 e−x
cos(2x)dx
Luego en la integral del lado derecho
u = cos(2x) −→ du = −2 sin(2x)dx
dv = e−x
dx −→ v = −e−x

26
I = −e−x
sin(2x) + 2[−e−x
cos(2x) − 2 e−x
sin(2x)dx]
I = −e−x
sin(2x) − 2e−x
cos(2x) − 4I
5I = −e−x
sin(2x) − 2e−x
cos(2x)
I =
1
5
[−e−x
sin(2x) − 2e−x
cos(2x)]
Luego en
sin2
x
ex
dx = −e−x
sin2
x + e−x
sin(2x)dx
sin2
x
ex
dx = −e−x
sin2
x +
1
5
[−e−x
sin(2x) − 2e−x
cos(2x)] + C
8. Resolver
cos(ln x)dx
Soluci´on
u = cos(ln x) −→ du = − sin(ln x)
1
x
dx
dv = dx −→ v = x
I1 = cos(ln x)dx = x cos(ln x) − x(− sin(ln x))
1
x
dx
I1 = cos(ln x)dx = x cos(ln x) + x(sin(ln x))dx
En la integral
I = x(sin(ln x))dx
u = sin(ln(x)) −→ du = cos(ln(x))
1
x
dx
dv = dx −→ v = x

27
I = x sin(ln x) − x cos(ln(x))
1
x
dx
I = x sin(ln x) − I1
Luego
I1 = x cos(ln x)x sin(ln x) − I1
2I1 = x cos(ln x)x sin(ln x)
I1 =
1
2
[x cos(ln x)x sin(ln x)] + C
9. Resolver
I =
arctan
√
x
√
x
dx
Soluci´on
Sea
u = arctan(
√
x) −→ du =
1
2
√
x
1 + x
dx =
dx
2
√
x(1 + x)
dv =
1
√
x
dx −→ v = x
−1
2 dx = 2
√
x
= 2
√
x arctan(
√
x) − 2
√
x(
1
2
√
x(x + 1)
)dx
= 2
√
x arctan(
√
x) −
1
x + 1
dx
= 2
√
x arctan(
√
x) − ln(1 + x) + C
10. Resolver
x cos x
sin2
x
dx
u = x −→ du = dx
v =
cos x
sin2
x
dx

28
Hacemos m = sin x −→ dm = cos xdx
v =
dm
m2
= m−2
dm =
−1
m
=
−1
sin x
I =
−x
sin x
− −
1
sin x
dx =
−x
sin x
+
1
sin x
dx
I =
−x
sin x
+ csc xdx
I = −x csc x + ln | csc x − cot x| + C

29
Ejercicios Propuestos
1. Resolver
sec5
xdx
2. Resolver
arctan
√
x − 1dx
3. Resolver
sin 3
√
xdx
4. Resolver
x csc2
(
x
2
)dx
5. Resolver
sin
√
2xdx
6. Resolver
3x
cos xdx
7. Resolver
(arcsin x)2
dx
8. Resolver
arcsin x
x2
dx
9. Resolver
4x3
arcsin(
1
x
)dx
10. Resolver
x cos3
xdx
11. Resolver
sin2
x
ex
dx

30
12. Resolver
eax
cos(bx)dx
13. Resolver
e3x
sin(4x)dx
14. Resolver
x2
ex
sin(x)dx
15. Resolver
ln(cos x)
cos2 x
dx
16. Resolver
x2
+ 1
(x + 1)2
ex
dx
17. Resolver
sin( 2y)dx
18. Resolver
ln(
√
x +
√
x + 1)dx
19. Resolver
x ln(
1 − x
1 + x
)dx
20. Resolver
xex
(1 + x)2
dx
21. Resolver
ln(x +
√
1 + x2)dx
22. Resolver
(2x − 3)(x2
− 3x − 1)4
ln(x2
− 3x − 1)dx
23. Resolver
sec3
xdx
24. Resolver
x arctan2
xdx
25. Resolver
ln(x2
+ 2)dx

31
26. Resolver
x2
ln(x6
− 1)dx
27. Resolver
sin2
(ln x)dx
28. Resolver
esin x
cos4
x − 1
cos3 x
dx
29. Resolver
x2
− sin2
x
x − sin x cos x + x cos x − sin x
dx
30. Resolver
x arctan x
(1 + x2)
dx
31. Resolver
x2
sec2
x
(tan x − x sec2 x)2
dx

32
0.5. Generalizaci´on del m´etodo de Integraci´on por
partes
Presentamos en esta oportunidad la Generalizaci´on del m´etodo de integraci´on por
partes (GMIP)aplicados siempre y cuando en el integrando exista el producto de dos
funciones una de las cu´ales debe ser un polinomio y la otra una funci´on f´acil de inte-
grar,la explicaci´on del m´etodo se har´a en los ejercicios que a continuaci´on se muestran
Ejemplos Resueltos
1. Resolver
(x3
+ 2x + 1) cos xdx
Soluci´on
Como se observa dentro del integrando existe el producto de dos funciones una de
ellas es un polinomio y la otra es una funci´on de f´acil integraci´on,el proceso para
la resoluci´on por este m´etodo consiste en separar convenientemente el polinomio
y la funci´on mediante dos columnas a partir de la cu´al se deber´a en primer
lugar a derivar el polinomio tantas veces se llegu´e a cero y de la misma forma se
integrar´a la otra funci´on tantas veces se deriv´o la primera ,para luego empezar a
multiplicar intercaladamente incluyendo el signo que debe empezar con positivo
siendo ´este el resultado final de la integraci´on.
EL resultado final ser´a
(x3
+ 2x + 1) cos xdx

33
= (x3
+ 2x + 1)(sin x) + (3x2
+ 2)(cos x) − (6x)(sin x) − (6)(cos x)
2.
x5
sin xdx
3.
xn
ex
dx
4.
(3x2
− 2x + 6)e−2x
dx
5.
(4x3
+ 2x2
+ x + 1) sin(2x)dx
6. Resolver
3x2
+ 2x − 1
4e3x
dx

34
0.6. Integraci´on de funciones Trigonom´etricas
Recordemos algunas identidades trigon´ometricas :
sin2
θ + cos2
θ = 1
1 + tan2
θ = sec2
θ
1 + cot2
θ = csc2
θ
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β
Apartir de ´estas se puede deducir algunas m´as pero ´estas son las m´as importantes.
El procedimiento para resolver Integrales trigonom´etricas es tratar de que con ayuda
de las identidades dadas anteriormente hacer aparecer en el integrando funciones y sus
derivadas para as´ı de esa forma tener integrales conocidas y f´aciles de integrar mediante
un cambio de variables.
1.
√
cos x(sin5
x)dx
Soluci´on
Nuestro objetivo es buscar una relaci´on entre una funci´on y su derivada asi de
este modo
√
cos x(sin5
x)dx =
√
cos x(sin2
x)2
sin xdx =
√
cos x(1 − cos2
x)2
sin xdx
=
√
cos x(1−2 cos2
x+cos4
x)dx =
√
cos x sin x−2 cos
5
2 sin xdx+ cos
9
2 sin xdx
Si en todas las integrales hacemos el cambio
u = cos x =⇒ du = − sin xdx
asi se tiene :
− u
1
2 du + 2 u
5
2 du − u
9
2
= −
2
3
u
3
2 +
4
7
u
7
2 −
2
11
u
11
2 + k
regresando a las variables originales
= −
2
3
(cos x)
3
2 +
4
7
(cos x)
7
2 −
2
11
(cos x)
11
2 + k

35
2.
√
tan x sec6
xdx
Soluci´on
√
tan x sec6
xdx =
√
tan x(sec2
x)2
sec2
xdx
√
tan x(1 + tan2
x)2
sec2
xdx =
√
tan x(1 + 2 tan2
x + tan4
x) sec2
xdx
=
√
tan x sec2
xddx + 2
√
tan x tan2
x sec2
xd +
√
tan x tan4
x sec2
xdx
= tan
1
2 sec2
xdx + tan
5
2 sec2
xdx + tan
9
2 sec2
xdx
Si aqu´ı realizamos el cambio de variable
u = tan x =⇒ du = sec2
xdx
3. Resolver
sin3
x
3
√
cos4 x
dx
Soluci´on
Lo primero que se debe realizar es buscar una relaci´on entre las funciones trigonom´etri-
cas que aparecen en el integrando,caso contrario elegimos otro camino
De este modo en la integral
sin3
x
3
√
cos4 x
dx =
sin x sin2
x
3
√
cos4 x
dx
=
sin x(1 − cos2
x)
3
√
cos4 x
dx
entonces :
u3
= cos x =⇒ 3u2
du = − sin sin xdx
= −
(1 − u6
)
3
√
u3
4 (3u2
du) = −3
(1 − u6
)u2
u4
du
= −3
1 − u
6
u2
du = −3 (
1
u2
− u4
)du

36
= −3(
−1
u
−
u5
5
) + k
=
3
3
√
cos x
+
3
5
( 3
√
cos x)5
+ k
4. Resolver
(1 + cos 3x)
3
2 dx
Soluci´on
Para esto se debe recordar la identidad
cos2
θ =
1 + cos θ
2
con lo que elegimos 3x = 2θ =⇒ 3dx = 2dθθ
(1 + cos 2θ)
3
2
2
3
dθ =
2
3
(2 cos2
θ)
3
2
dθθ
=
2
3
2
3
2 cos3
θdθ
=
2
5
2
3
cos3
θdθ
=
2
5
2
3
cos θ cos2
θdθ
=
2
5
2
3
cos θ(1 − sin2
θ)dθ
Elegimos aqu´ı el cambio de variable u = sin θ =⇒ du = cos θθdθ
=
2
5
2
3
(u −
u3
3
) + k
=
2
5
2
3
(sin θ −
sin3
θ
3
) + k
=
2
5
2
3
(sin(
3x
2
) −
sin3
(
3x
2
3
)
3
) + k

37
5. Resolver
tan3
(3x) sec4
(3x)dx
Soluci´on
lo que se busca es una relaci´on entre alguna funci´on y su respectiva derivada ,asi
se tiene
tan3
(3x) sec2
(3x) sec2
(3x)dx
tan3
(3x) sec2
(3x)(1 + tan2
(3x))dx
Elegimos u = tan(3x) −→ du = 3 sec2
(3x)dx
u3
(1 + u2
)
1
3
du =
1
3
(u3
+ u5
)du
=
1
3
(
u4
4
+
u6
6
) + k
=
1
12
tan4
(3x) +
1
18
tan6
(3x) + k
6. Resolver
( sin(2x) − cos(2x))2
dx
Soluci´on
[sin(2x) − 2 sin(2x) cos(2x) − cos2
(2x)]dx
[sin(2x) − 2 sin(2x) cos(2x) −
1
2
(1 + cos(4x))]dx
sin(2x)dx − 2 sin(2x) cos(2x) −
1
2
(1 + cos(4x))dx
En la segunda integral hacemos
u2
= sin(2x) −→ 2udu = 2 cos(2x)dx −→ udu = cos(2x)dx
Luego

38
=
− cos(2x)
2
− 2 u2
du −
1
2
(x +
sin(4x)
4
) + C
=
− cos(2x)
2
−
2u3
3
−
1
2
(x +
sin(4x)
4
) + C
=
− cos(2x)
2
−
2 sin(2x)
3
3
−
1
2
(x +
sin(4x)
4
) + C
7. Resolver
sin(10x) sin(20x) sin(30x)dx
Soluci´on
Usaremos
sin A sin B =
1
2
[cos(A − B) − cos(A + B)]
As´ı
sin(10x) sin(20x) =
1
2
[cos(−10x) − cos(30x)]
Pero cos(−10x) = cos(10x)
sin(10x) sin(20x) =
1
2
[cos(10x) − cos(30x)]
Luego
sin(10x) sin(20x) sin(30x) =
1
2
(cos(10x) − cos(30x)) sin(30x)
Luego como
sin A cos B =
1
2
[sin(A + B) + sin(A − B)]
=
1
2
[
1
2
(sin(40x) + sin(20x)) −
1
2
(sin(60x) + sin 0)]
=
1
4
(sin(40x) + sin(20x)) −
1
4
sin(60x)

39
=⇒ sin(10x) sin(20x) sin(30x)dx =
1
4
(sin(40x) + sin(20x)) −
1
4
sin(60x)dx
=
−1
160
cos(40x) −
1
80
cos(20x) +
1
240
cos(60x) + C
8. Resolver
sin3
x cos(3x)dx
Soluci´on
Usaremos
sin A cos B =
1
2
[sin(A + B) + sin(A − B)]
sin x cos(3x) =
1
2
[sin(4x) + sin(−2x)] =
1
2
[sin(4x) − sin(2x)]
= sin3
x cos(3x) = sin2
x sin x cos(3x) = [
1 − cos(2x)
2
][
sin(4x − sin(2x))
2
]
=
1
4
[sin(4x) − sin(2x) − sin(4x) cos(2x) + sin(2x) cos(2x)]
=
1
4
[sin(4x) − sin(2x) −
1
2
[sin(6x) + sin(2x)] +
1
2
sin(4x)]
=
3
8
sin(4x) −
3
8
sin(2x) −
1
8
sin(6x)
=⇒ [
3
8
sin(4x) −
3
8
sin(2x) −
1
8
sin(6x)]dx
=
3
8
(
− cos(4x)
4
) −
3
8
(
− cos(2x)
2
) −
1
8
(
− cos(6x)
6
) + C
=
3
32
(− cos(4x)) +
3
16
(cos(2x)) −
1
48
(− cos(6x)) + C

40
9. Resolver
cos5
x
√
sin x
dx
Soluci´on
cos5
x
√
sin x
dx =
cos x(cos2
x)2
√
sin x
dx
=
(1 − sin2
x)2
cos x
√
sin x
dx
Hacemos el cambio
u2
= sin x −→ 2udu =
√
sin x
=
(1 − u4
)2
)
√
u2
2udu = 2
(1 − u4
)2
u
u
du
= 2 (1 − 2u4
+ u8
)du
= 2(u −
2
5
u5
+
u9
9
) + C
= 2[
√
sin x −
2
5
√
sin x
5
+
1
9
√
sin x
9
] + C
10. Resolver
√
cos2 x + cos xdx
Soluci´on
Usaremos que
cos2
θ =
1 + cos(2θ)
2
Haciendo θ = x
2
se llega a 1 + cos x = 2 cos2
(x
2
)
Luego
√
cos2 x + cos xdx = cos x(1 + cos x)dx

41
cos(2(
x
2
))2 cos2(
x
2
)dx =
√
2 cos2(
x
2
) − sin2
(
x
2
) cos(
x
2
)dx
√
2 1 − 2 sin2
(
x
2
) cos(
x
2
)dx
Hacemos
u
√
2
= sin(
x
2
) −→
du
√
2
=
1
2
cos(
x
2
)dx
=
√
2 1 − 2(
u2
2
)2
du
√
2
= 2
√
1 − u2du
= 2[
u
2
√
1 − u2 +
1
2
arcsin u] + C
= u
√
1 − u2 + arcsin u + C
=
√
2 sin(
x
2
) 1 − 2 sin2
(
x
2
) + arcsin(
√
2 sin(
x
2
)) + C

42
Ejercicios Propuestos
1. Resolver
√
sin x cos5
xdx
2. Resolver
sin3
(
x
3
) cos7
(
x
3
)dx
3. Resolver
tan3
(2x) cos3(2x)dx
4. Resolver
cos5
x
sin4
x
dx
5. Resolver
√
cot x cos9 xdx
6. Resolver
sin3
x
3
√
cos4 x
dx
7. Resolver
3 sin2
x
cos17 x
dx
8. Resolver
cos(9x − 20) cos(5x + 20)dx
9. Resolver
cos(3x + π) sin(9x − π) cos(2x)dx
10. Resolver
cos x cos(3x) cos(5x)dx
11. Resolver
cos2
x sin2
(4x)dx
12. Resolver
cos4
(2x) sin3
(2x)dx

43
13. Resolver
tan5
x
√
cos3 xdx
14. Resolver
sin3
x
3
√
cos4 x
15. Resolver
3 sin2
x
cos14 x
dx
16. Resolver
sin 2x · sin 3xdx
17. Resolver
sin x sin(3x) sin(5x)dx
18. Resolver
(
sec x
tan x
)4
dx
19. Resolver
sin(4x + 7) cos(5x + 8)dx
20. Resolver
tan4
x sec3
xdx
21. Resolver
cot5
x csc4
xdx
22. Resolver
x2
cos(2x3
)dx
23. Resolver
tan5
(3x) sec
9
2 (3x)dx
24. Resolver
sin2
(πx)
cos6(πx)
dx
25. Resolver
cos x
3
sin7
(2x) cos x

44
26. Resolver
dx
sin2
x cos4 x
dx
27. Resolver
cos4
x + sin4
x
cos2 x − sin2
x
dx
28. Resolver
dx
√
sin x cos3 x
29. Resolver
1 + tan x
1 − tan x
dx
30. Resolver
sin4
(
x
2
) cos2
(
x
2
)dx
31. Resolver
tan3
4x sec
9
2 4xdx
32. Resolver
x2
cos 2x3
dx
33. Resolver
sin6
2xdx

45
0.7. F´ormulas de Recurrencia
1. Obtener una f´ormula de recurrencia para la integral In = sinn
xdx
Soluci´on
En primer lugar dentro del integrando haremos la descomposici´on
sinn
xdx = sinn−1
x sin xdx
aqu´ı usaremos integraci´on por partes :
u = sinn−1
x =⇒ du = (n − 1) sinn−2
x cos xdx
dv = sin x =⇒ v = − cos x
luego :
In = −(sinn−1
x)(cos x) + (n − 1) sinn−2
x cos x cos xdx
= −(sinn−1
x)(cos x) + (n − 1) sinn−2
x cos2
xdx
In = −(sinn−1
x)(cos x) + (n − 1) sinn−2
x(1 − sin2
x)dx
= −(sinn−1
x)(cos x) + (n − 1) sinn−2
xdx + (n − 1) sinn
xdx
In = −(sinn−1
x)(cos x) + (n − 1)In−2 + (n − 1)In
In =
1
2 − n
[(sinn−1
x)(cos x) + (n − 1)In−2]
2. Obtener una f´ormula de recurrencia para la integral In = cosn
xdx
3. Demostrar que
xn
e−x
dx, n N −→ In = −xn
e−x
+ nIn−1
4. Obtener una f´ormula de recurrencia para la integral
secn
xdx

46
5. Halle una f´ormula de recurrencia para la integral
In = xn
(ax + b)dx
Donde n es entero ≥ 0.Calcule I2
6. Obtener una f´ormula de recurrencia de
In = (
x − a
x − b
)n
dx
7. Obtener una f´ormula de recurrencia de
In =
1
xn
√
1 + xdx
8. Obtener una f´ormula de recurrencia de
In =
1
xn
√
a + bxdx
9. Obtener una f´ormula de recurrencia de
In = (x2
− a2
)n
dx

47
0.8. Integraci´on de funciones Racionales
No existe un procedimiento general para resolver integrales del tipo racional,por
esta raz´on en los ejemplos que siguen detallaremos los tipos de Integrales que contienen
funciones racionales.
1. Integrales del tipo
P(x)
Q(x)
dx
Donde P(x), Q(x) son polinomios del mismo grado
Resolver la siguiente integral
x + 2
x + 1
dx
Cuando tengamos el cociente entre dos polinomios de igual grado es aconsejable
realizar la divisi´on entre polinomios para as´ı de esta forma obtener integrales
conocidas o f´aciles de integrar
(1 +
1
x + 1
)dx = dx +
1
x + 1
dx
= x + ln |x + 1| + k
2. Integrales del tipo
P(x)
Q(x)
dx
Donde P(x) es un polinomio de grado m y Q(x)es un polinomio de grado n
,adem´as m < n
Resolver la siguiente integral
4x2
+ 9x − 1
x3 + 2x2 − x − 2
dx
Para resolver integrales de este tipo donde el denominador sea un polinomio de
grado mayor que el polinomio del numerador es conveniente usar FRACCIONES
PARCIALES,m´etodo que a continuaci´on se detalla .
En primer lugar se debe factorizar el polinomio del denominador en la medida de
lo posible a lo m´as en factores cuadr´aticos irreducibles,para el problema se tiene
4x2
+ 9x − 1
x3 + 2x2 − x − 2
=
4x2
+ 9x − 1
(x + 1)(x − 1)(x + 2)
Una vez ejecutado el procedimiento y dado que en el denominador existen 3
factores todos lineales se debe realizar una separaci´on en tres factores cada uno
de los cuales contendr´a dentro de cada denominador a uno de los factores lineales

48
y en su numerador respectivo a un polinomio de grado uno menos que el polinomio
del denominador en este caso una constante asi :
4x2
+ 9x − 1
x3 + 2x2 − x − 2
=
4x2
+ 9x − 1
(x + 1)(x − 1)(x + 2)
=
A
x + 1
+
B
x − 1
+
C
x + 2
Ahora el objetivo es hallar cada uno de los valores que representan a las constantes
indicadas para asi de este modo simplificar la integraci´on
4x2
+ 9x − 1
x3 + 2x2 − x − 2
=
A(x + 2)(x + 1) + B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1)(x + 2)
x3 + 2x2 − x − 2
como se tiene el mismo denominador al cancelarlos queda
4x2
+ 9x − 1 = A(x + 2)(x + 1) + B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1)(x + 2)
Existen dos formas de conseguir los valores de A, B, C una de ellas es tratando de
igualar los coeficientes de los polinomios en ambos mienbros y la otra es tratando
de dar valores arbitrarios al x de tal forma que se elimine por lo menos algunas
de las variables y hallar las que quedan.En esta oportunidad realizar´e la segunda
opci´on y para esto
x = 1 −→ A = 2
x = −1 −→ C = 3
x = −2 −→ B = −3
Por lo tanto
4x2
+ 9x − 1
x3 + 2x2 − x − 2
=
A
x + 1
+
B
x − 1
+
C
x + 2
=
2
x + 1
−
3
x − 1
+
3
x + 2
=⇒
4x2
+ 9x − 1
x3 + 2x2 − x − 2
dx =
2
x + 1
dx −
3
x − 1
dx +
3
x + 2
dx
= 2 ln |x − 1| − 3 ln |x + 2| + 3 ln |x + 1| + k
3. Resolver
1
1 + x4
dx
Soluci´on
En esta integral es necesario recordar algunos m´etodos de integraci´on,recordemos
que nuestro objetivo es factorizar la suma que aparece en el denominador como el
productos de factores o lineales o a lo m´as en el de factores cuadr´aticos irreducibles
asi que completando cuadrados y haciendo uso de la diferencia de cuadrados se
tiene :
x4
+ 1 = x4
+ 2x2
+ 1 − 2x2
= (1 + x2
)2
− 2x2
x4
+ 1 = (1 + x2
)2
− (
√
2x)2
= (x2
+
√
2x + 1)(x2
−
√
2x + 1)

49
asi de este modo usando fracciones parciales
1
x4 + 1
=
Ax + B
x2 +
√
2x + 1
+
Cx + D
x2 −
√
2x + 1
de donde
1 = (A + C)x3
− (
√
2A + B +
√
2C + D)x2
+ (A −
√
2B + C +
√
2D)x + (B + D)
se obtiene el sistema de ecuaciones
A + C = 0
−
√
2A +
√
2C + B + D = 0
A + C −
√
2B +
√
2D = 0
B + D = 1
Del sistema se obtiene que :
A =
√
2
4
, C =
−
√
2
2
, B =
1
2
, D =
1
2
=⇒
1
x4 + 1
dx =
√
2
4
x
x2 +
√
2x + 1
dx+
1
2
1
x2 +
√
2x + 1
dx−
√
2
4
x
x2 −
√
2x + 1
+
1
2
dx
x2 −
√
2x + 1
4. Resolver
(2x + 1)
x3 − 7x + 6
dx
Utilizando rufinni factorizamos el denominador
x3
− 7x + 6 = (x − 1)(x + 2)(x + 3)
De esta forma
2x + 1
(x − 1)(x + 2)(x + 3)
=
A
x − 1
+
B
x + 2
+
C
x + 3
Para calcular el valor de A debemos multiplicar a toda la igualdad por el denom-
inador de A ,de este modo quedar´ıa
2x + 1
(x + 2)(x + 3)
= A +
B
(x + 2)
(x + 1) +
C
x + 3
(x − 1)
y luego reemplazar x por aqule valor que elimina al denominador de A es decir
por x = 1

50
As´ı A = 3
12
= 1
4
An´alogamente con B = 1 y con C = −5
4
Luego
2x + 1
x3 − 7x + 6
dx =
1
4
1
x − 1
dx +
1
x + 2
dx −
5
4
1
x + 3
dx
=
1
4
ln(x − 1) + ln(x + 2) −
5
4
ln(x + 3) + k
5. Resolver
x + 1
x3 + 4x
dx
Para resolver este tipo de integrales hay que tener en cuenta que luego de la
factorizaci´on por cada factor lineal en el denominador existe un polinomio de
grado cero en el numerador y por cada factor cuadr´atico irreducible(determinante
negativo) en el numerador existe un polinomio de grado uno en el numerador.
x + 1
x3 + 4x
=
x + 1
x(x2 + 4)
=
A
x
+
Bx + C
x2 + 4
x + 1
x(x2 + 4)
=
A(x2
+ 4) + (Bx + C)x
x(x2 + 4)
x + 1 = Ax2
+ 4A + Bx2
+ Cx
x + 1 = (A + B)x2
+ Cx + 4A
Teniendo en cuenta que dos polinomios son iguales cuando sus coeficientes son
iguales ,as´ı se tiene :
A + B = 0 , C = 1 , 4A = 1
A =
1
4
, B =
−1
4
, C = 1
x + 1
x3 + 4x
dx =
1
4
1
x
dx −
1
4
x
x2 + 4
dx +
1
x2 + 4
1
4
ln(x) −
1
8
ln(x2
+ 4) +
1
2
arctan
x
2
+ k

51
6. Resolver
2x2
− 1
x3 − x
dx
EL denominador se puede factorizar
x3
− x = x(x2
− 1) = x(x + 1)(x − 1)
Luego
2x2
− 1
x3 − x
=
2x2
− 1
x(x + 1)(x − 1)
=
A
x
+
B
x + 1
+
C
x − 1
De donde A = 1 ,B = 1
2
y C = 1
2
=⇒
2x2
− 1
x3 − x
dx =
1
x
dx +
1
2
1
x + 1
dx +
1
2
1
x − 1
dx
= ln |x| +
1
2
ln |x + 1| +
1
2
ln |x − 1| + C
7. Resolver
5x2
− 11x + 5
x3 − 4x2 + 5x − 2
dx
Los factorizaci´on del denominador es :
= x3
− 4x2
+ 5x − 2 = (x − 1)2
(x − 2)
As´ı tenemos
5x2
− 11
x − 2
=
A
x − 1
+
B
(x − 1)2
+
C
x − 2
B = 5−11+5
−1
= 1 ,C = 20 − 22 + 5 y si hacemos
x = 0 −→ −5
2
= −A + 1 − 3
2
−→ A = 2
Luego
5x2
− 11x + 5
x3 − 4x2 + 5x − 2
dx = 2
1
x − 1
dx +
1
(x − 1)2
dx + 3
1
x − 2
dx
= 2 ln |x − 1| −
1
x − 1
+ 3 ln |x − 2| + C

52
8. Resolver
x + 1
x3 + 4x
dx
x + 1
x3 + 4x
=
x + 1
x(x2 + 4)
=
A
x
+
Bx + C
x2 + 4
x + 1
x(x2 + 4)
=
A(x2
+ 4) + x(Bx + C)
x(x2 + 4)
−→ x + 1 = Ax2
+ 4A + Bx2
+ Cx
x + 1 = (A + B)x2
+ Cx + 4A
Igualando los coeficientes
A + B = 0 ,C = 1 y 4A = 1 ,de allo se tiene que A = 1
4
,B = −1
4
y C = 1
x + 1
3 + 4x
dx =
1
4
1
x
dx −
1
4
x
x2 + 4
dx +
1
x2 + 4
dx
=
1
4
ln |x| −
1
8
ln(x2
+ 4) +
1
2
arctan(
x
2
) + C

53
Ejercicios Propuestos
1. Resolver
2x2
x4 + x2 + 1
dx
2. Resolver
1
x2(x + 1)2
dx
3. Resolver
x5
(x2 + 4)2
dx
4. Resolver
1
x(x3 + 1)
dx
5. Resolver
2x2
+ 41x − 91
(x − 1)(x + 3)(x − 4)
dx
6. Resolver
2x2
− 5
x4 − 5x2 + 6
dx
7. Resolver
4x3
+ 4x2
− 18x + 6
x4 − 3x3 − x2 + 3x
dx
8. Resolver
x2
+ x − 1
x3 − x2 − x + 1
dx
9. Resolver
x6
− 2x4
+ 3x3
− 9x2
+ 4
x5 − 5x3 + 4x
dx
10. Resolver
x3
+ 4x + 1
x4 + x2 + 1
dx
11. Resolver
5x2
+ 6x + 9
(x − 3)2(x + 1)2
dx

54
12. Resolver
x + 1
x3 − 2x2 + 3x
dx
13. Resolver
x3
+ x2
− 5x + 15
(x2 + 5)(x2 + 2x + 3)
dx
14. Resolver
4x2
− 8x
(x − 1)2(x2 + 1)2
dx
15. Resolver
2x2
+ 1
x3 − x2 − 5x − 3
dx
16. Resolver
4x2
+ 6
x3 + 3x
dx
17. Resolver
x3
+ x − 1
(x2 + 2)2
dx
18. Resolver
x2
− x + 1
x4 − 5x3 + 5x2 + 5x − 6
dx
19. Resolver
2x4
− 2x + 1
2x5 − x4
dx
20. Resolver
x3
+ 4x + 1
x4 + x2 + 1
dx
21. Resolver
5x2
+ 6x + 9
(x − 3)2(x + 1)2
dx
22. Resolver
dx
x4 + x2 + 1
dx
23. Resolver
x2
+ 2x − 1
x3 − 27
dx
24. Resolver
3
8x3 + 1
dx
25. Resolver
2x2
16 − x4
dx

55
M´etodo de Hermite-Ostrogradski
Usando para integrales que presentan el tipo :
Ax + B
(x2 + bx + c)n
dx , n ∈ N, n ≥ 1
siendo x2
+ bx + c una cuadr´atica irreducible
Para esto se debe considerar :
Ax + B
(x2 + bx + c)n
dx =
P(x)
(x2 + bx + c)n−1
+
Cx + D
x2 + bx + c
dx
Donde :
P(x) es un polinomio de grado uno menos que su denominador ,C, D ∈ R
La explicaci´on del procedimiento se detalla en el siguiente ejemplo :
dx
(x2 + 1)2
=
Ax + B
(x2 + 1)
+
Cx + D
x2 + 1
dx
Para hallar las constantes A, B, C, D debemos integrar ambos mienbros as´ı tenemos
:
1
(x2 + 1)2
=
A(x2
+ 1) − 2x(Ax + B)
(x2 + 1)2
+
(Cx + D)
(x2 + 1)
1
(x2 + 1)2
=
A(x2
+ 1) − 2x(Ax + B)
(x2 + 1)2
+
(Cx + D)(x2
+ 1)
(x2 + 1)2
Luego
1 = Ax2
+ A − 2Ax2
− 2Bx + Cx3
+ Cx + Dx2
+ D
De aqu´ı
A = 1 , B = 0 , C = 0 , D = 1
reemplazando
dx
(x2 + 1)2
=
x
x2 + 1
+
1
x2 + 1
dx =
x
x2 + 1
+ arctan x
=
x2
arctan x + arctan x + x
x2 + 1
Adem´as en el caso en el que el denominador de la fucni´on racional P(x)
Q(x)
tenga
factores de multiplicidad
P(x)
Q(x)
dx =
f(x)
Q1(x)
+
g(x)
Q2(x)
dx

56
Donde Q1(x) es el m´aximo com´un divisor de los polinomios Q(x) y de su derivada
Q (x) y Q2(x) = Q(x)
Q1(x)
.Adem´as f(x) y g(x) son polinomios con coeficientes indtermi-
nados ,cuyos grados son menores en una unidad que los polinomios Q1(x) y Q2(x)
respectivamente.
Ejemplo : Resolver
dx
(x + 1)2(x2 + 1)2
Se observa que :
Q(x) = (x + 1)2
(x2
+ 1)2
=⇒ Q (x) = 2(x + 1)(x2
+ 1)(3x2
+ 2x + 1)
Luego
Q1 = (x + 1)(x2
+ 1)
y
Q(x)
Q1(x)
= (x + 1)(x2
+ 1)
dx
(x + 1)2(x2 + 1)2
=
Ax2
+ Bx + C
(x + 1)(x2 + 1)
+
Dx2
+ Ex + F
(x + 1)(x2 + 1)
dx
Derivando ambos mienbros y resolviendo se obtiene :
A =
−1
4
, B =
1
4
, C = 0 , D = 0 , E = −
1
4
, F =
3
4
dx
(x + 1)2(x2 + 1)2
=
−x2
+ x
4(x + 1)(x2 + 1)
+
−x + 3
4(x + 1)(x2 + 1)
dx
=
−x2
+ x
4(x + 1)(x2 + 1)
+
1
2
ln |x + 1| −
1
4
ln |x2
+ 1| +
1
4
arctan x + c

57
Ejercicios Propuestos
1.
4x2
− 8x
(x − 1)2(x2 + 1)
dx
2.
(x2
− 1)2
(x + 1)(1 + x2)3
dx
3.
1
x4(x3 + 1)2
dx
4.
x + 2
((x2 + 2x + 2)3)
dx
5.
1
(x4 − 1)2
dx
6.
1
(x2 + 1)4
dx

58
0.9. Integraci´on de funciones Racionales de Seno y
Coseno
Las integrales el tipo
f(sin x, cos x)dx
donde f es una funci´on racional.Generalmente se resuelve haciendo uso del siguiente
cambio de variables:
tan(
x
2
) = t −→ x = 2 arctan t −→ dx =
2
1 + t2
dt
sin(
x
2
) =
t
√
1 + t2
cos(
x
2
) =
1
√
1 + t2
sin x = sin 2(
x
2
) = 2 sin(
x
2
) cos(
x
2
) =
2t
1 + t2
cos x = cos 2(
x
2
) = cos2
(
x
2
) − sin2
(
x
2
) =
1 − t2
1 + t2
Si este cambio convierte la integral en una muy complicada se debe tener en cuenta lo
siguiente :
1. Si f es impar respecto a sin x es decir
f(− sin x, cos x) = −f(sin x, cos x)
entonces realizar la sustituci´on
cos x = t
2. Si f es impar respecto a cos x es decir
f(sin x, − cos x) = −f(sin x, cos x)
entonces realizar la sustituci´on
sin x = t
3. SI f es par con respecto a sin x y cos x es decir
f(− sin x, − cos x) = f(sin x, cos x)
entonces la sustituci´on es
tan x = t

59
1. Resolver
dx
(2 + cos x − 2 sin x) sin x
dx Usaremos
tan(
x
2
) = t −→ x = 2 arctan t −→ dx =
2
1 + t2
dt
sin(
x
2
) =
t
√
1 + t2
cos(
x
2
) =
1
√
1 + t2
sin x = sin 2(
x
2
) = 2 sin(
x
2
) cos(
x
2
) =
2t
1 + t2
cos x = cos 2(
x
2
) = cos2
(
x
2
) − sin2
(
x
2
) =
1 − t2
1 + t2
=⇒
dx
(2 + cos x − 2 sin x) sin x
dx =
1
(2 + 1
−
t21 + t2 − 4t
1+t2 )( 2t
1+t2 )
(
2dt
1 + t2
)
=
1 + t2
t(t2 − 4t + 3)
dt =
1 + t2
t(t − 3)(t − 1)
dt
Usando fracciones parciales
1 + t2
t(t − 3)(t − 1)
=
A
t
+
B
t − 3
+
C
t − 1
=⇒ A =
1
3
, B =
5
3
, C = −1
=
1
3
1
t
dt +
5
3
1
t − 3
dt− ∈
1
t − 1
tdt
=
1
3
ln |t| +
5
3
ln |t − 3| − ln |t − 1| + k
2. Resolver
2 − sin x
2 + cos x
dx
=
2 − 2t
1+t2
2 + 1−t2
1+t2
2
1 + t2
dt
2+2t2−2t
1+t2
2+2t2+1−t2
1+t2
2
1 + t2dt
4
t2
− t + 1
(t2 + 3)(t2 + 1)
dt
t2
− t + 1
(t2 + 3)(t2 + 1)
=
At + B
t2 + 3
+
Ct + D
t2 + 1

60
t2
− t + 1
(t2 + 3)(t2 + 1)
=
(At + B)(t2
+ 1) + (Ct + D)(t2
+ 3)
(t2 + 1)(t2 + 1)
t2
− t + 1 = At3
+ At + Bt2
+ B + Ct3
+ 3Ct + Dt2
+ 3D
t2
− t + 1 = (A + C)t3
+ (B + D)t2
+ (A + 3C)t + (B + 3D)
Luego
A + C = 0 , B + D = 1 , A + 3C = −1 , B + 3D = 1
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene :
A =
1
2
, B = 1 , C =
−1
2
, D = 0
t2
− t + 1
(t2 + 3)(t2 + 1)
dt =
1
2
t
t2 + 3
dt +
1
t2 + 3
dt −
1
2
t
t2 + 1
dt
=
1
4
ln(t2
+ 3) +
1
√
3
arctan(
t
√
3
) −
1
4
ln(t2
+ 1) + k
=
1
4
ln(tan2
(
x
2
) + 3) +
1
√
3
arctan(
1
√
3 tan tan(x
2
)
) −
1
4
ln(tan2
(
x
2
) + 1) + k
3. Resolver
1
tan2
+ sin2
x
dx
En esta integral ,si se elige el cambio general t = tan(x
2
) ,la integral se complica
y lo puedes comporbar ,as´ı que podemos elegir otro cambio ,para esto se debe
tener ehn cuenta que la funci´on que aparece en el integrando es par con respecto
a sin x y de cos x ,luego la sustituci´on conveniente ser´ıa :
tan x = t =⇒ x = arctan t =⇒ dx =
1
1 + t2
dt
dx =
1
1 + t2
dt
1
t2 + t2
1+t2
1
1 + t2
dt
1 + t2
t2 + t4 + t2
1
1 + t2
dt =
1
t4 + 2t2
dt

61
1
t2(t2 + 2)
=
A
t
+
B
t2
+
Ct + D
t2 + 2
1
t2(t2 + 2)
=
At(t2
+ 2) + B(t2
+ 2) + (Ct + D)t2
t2(t2 + 2)
1 = At3
+ 2At + Bt2
+ 2B + Ct3
+ Dt2
1 = (A + C)t3
+ (B + D)t2
+ 2At + 2B
A + C = 0, B + D = 0, 2A = 0, 2B = 1
resolviendo el sistema
C = 0, D =
−1
2
, A = 0, B =
1
2
reemplazando
1
t2(t2 + 2)
dt =
1
2
1
t2
dt −
1
2
1
t2 + 2
dt
= −
1
2t
−
1
2
√
2
arctan(
t
√
2
) + k
= −
1
2 tan x
−
1
2
√
2
arctan(
tan x
2
) + k

62
Ejercicios Propuestos
1. Resolver
1
(2 + cos x)(3 + cos x)
dx
2. Resolver
sin(2x)
sin4
x + cos4 x
dx
3. Resolver
1
1 − sin4
x
dx
4. Resolver
1
(sin x + 2 sec x)2
dx
5. Resolver
sec x
2 tan x + sec x − 1
dx
6. Resolver
sin x + 2 cos x − 3
sin x − 2 cos x + 3
dx
7. Resolver
sin2
x
1 − tan x
dx
8. Resolver
1
sin x + cos x + 2
dx
9. Resolver
1
5 + 3 cos x
dx
10. Resolver
1
(sin x + cos x)2
dx
11. Resolver
dx
1 + sin x + cos x
12. Resolver
cos x
1 + 2 cos x
dx

63
13. Resolver
1
4 sin x − 3 cos x
dx
14. Resolver
sec x
2 tan x + sec x − 1
dx
15. Resolver
sin2
x
1 − tan x
dx
16. Resolver
cos(2x)
sin4
x + cos4 x
dx

64
0.10. Integraci´on de Funciones Irracionales
De la misma forma que la integraci´on de funciones Racionales no existe m´etodo
general para el c´alculo de las mismas,lo primero que se debe buscar en una integral
del tipo irracional es convertirla en una racional y tal cambio se logra realizando con-
venientemente un cambio de variable;no siempre es posible hacer esto por est´a raz´on
detallamos el procedimiento de algunos de los tipos mas encontrados a la hora de
calcular una integral irracional.
1.
x2
+
√
1 + x
3
√
1 + x
dx
haremos un cambio de variable
1 + x = u6
=⇒ dx = 6u5
du
x2
+
√
1 + x
3
√
1 + x
dx =
(u6
− 1)2
+ u3
u2
(6u5
du) = (u12
− 2u6
+ 1 + u3
)6u3
du
= 6 (u15
− 2u9
+ u3
+ u6
)du = 6(
u16
16
−
2u10
10
+
u4
4
+
u7
7
) + k
regresando a la variable original
= 6(
(x + 1)16
16
−
2(x + 1)10
10
+
(x + 1)4
4
+
(x + 1)7
7
) + k
2. Integrales del tipo
ax + b
√
cx2 + dx + e
dx
Donde cx2
+ dx + e tiene discriminante distinto cero
Resolver la siguiente integral
x + 2
√
4 − 2x − x2
dx observemos en primer lugar que
el discriminante del polinomio cuadr´atico que se encuentra dentro del radical es
(−2)2
− 4(−1)(4) = 20 = 0,primero completemos cuadrados en el polinomio del
denominador e inmediatamente debemos dar forma ala expresi´on lineal que se
encuentra en el numerador tratando de que aparezca el factor lineal que est´a el-
evado al cuadrado y que est´a en el denominador el cu´al apareci´o al momento de
completar cuadrados
x + 2
5 − (x + 1)2
dx =
(x + 1) + 1
5 − (x + 1)2
dx
Luego de realizar la separaci´on conveniente realizar un cambio de variable en
ambas integrales
x + 1
5 − (x + 1)2
dx +
1
5 − (x + 1)2
dx

65
En la primera integral hacemos el cambio de variable
u2
= 5 − (x + 1)2
=⇒ 2udu = −2(x + 1)dx
As´ı se tiene
x + 1
5 − (x + 1)2
dx =
−u
u
du = −u = − 5 − (x + 1)2
En la segunda integral al hacer
u = x + 1 =⇒ du = dx
se tiene la integral conocida
1
5 − (x + 1)2
dx =
1
√
5 − u2
du = arcsin(
u
√
5
)
3. Integrales de la forma
Pn(x)
√
ax2 + bx + c
dx
(1)
Donde Pn(x) es un polinomio de grado n
Pn(x)
√
ax2 + bx + c
dx = Qn−1(x)
√
ax2 + bx + c + λ
dx
√
ax2 + bx + c
Donde Qn−1(x) es un polinomio de grado n − 1 con coeficientes indeterminados
y λ se encuentra derivando (1)
Resolver la siguiente integral
x2
√
x2 − x + 1
dx
La integral es del tipo en menci´on el polinomio que se encuentra en el numerador
Pn(x) es de segundo grado asi de este modo adecuando los datos se tiene :
x2
√
x2 − x + 1
dx = (Ax + B)
√
x2 − x + 1 + C
dx
√
x2 − x + 1
Como nuestro objetivo es hallar las cosntantes lo primero que se debe reazlizar
es la derivaci´on en ambos mienbros
x2
√
x2 − x + 1
= A
√
x2 − x + 1 + (Ax + B)
(2x − 1)
2
√
x2 − x + 1
+
C
√
x2 − x + 1
2x2
= 2A(x2
− x + 1) + (Ax + B)(2x − 1) + 2C
2x2
= (4A)x2
+ (−3A + 2B)x + (2A − B + 2C)

66
del sistema que se forma se obtiene que :
A =
1
2
, B =
3
4
, C =
−1
8
De aqu´ı
x2
√
x2 − x + 1
dx = (
1
2
x +
3
4
)
√
x2 − x + 1 −
1
8
dx
√
x2 − x + 1
para resolver la integral
dx
√
x2 − x + 1
T´an s´olo se completa cuadrados y se realiza un cambio de variable
dx
√
x2 − x + 1
=
1
(x − 1
2
)2 + 3
4
dx
sea
u = x −
1
2
=⇒ du = dx
1
(x − 1
2
)2 + 3
4
dx =
1
u2 + 3
4
du = ln |u + u2 +
3
4
|
=⇒
1
(x − 1
2
)2 + 3
4
dx = ln |(x −
1
2
) +
√
x2 − x + 1|
Luego
x2
√
x2 − x + 1
dx = (
1
2
x +
3
4
)
√
x2 − x + 1 −
1
8
ln |(x −
1
2
) +
√
x2 − x + 1| + k
4. Integrales de la forma
dx
(ex + f)n
√
ax2 + bx + c
, n Z+
Este tipo de integrales se resuelve realizando el cambio de variable
t =
1
ex + f
Resolver
dx
(x + 1)3
√
x2 + 2x − 3
t =
1
x + 1
=⇒ x =
1
t
− 1 =⇒ dx = −
1
t2
dt
dx
(x + 1)3
√
x2 + 2x − 3
= t3 1
(1
t
− 1)2 + 2(1
t
− 1) − 3
(
−1
t2
)dt

67
= −
t2
√
1 − 4t2
dt
El cambio de variable transform´o la integral en una del tipo anterior as´ı que
ejecutamos el procedimiento para tal tipo.
t2
dt
√
1 − 4t2
= (At + B)
√
1 − 4t2 + C
dt
√
1 − 4t2
Derivando ambos mienbros
t2
√
1 − 4t2
= A
√
1 − 4t2 + (At + B)(
−4t
√
1 − 4t2
) + C(
1
√
1 − 4t2
)
t2
= A(1 − 4t2
) − 4t(At + B) + C
De donde
A =
−1
8
, B = 0, C =
1
8
5. Integrales de la forma
xm
(a + bxn
)p
dx
LLamadas INTEGRALES DEL BINOMIO DIFERENCIAL donde m, n, p
son n´umeros racionales a y b son n´umeros reales distintos de cero.Para calcular
estas integrales se aplica las condiciones de CHEBICHEV y mediante este cri-
terio a la integral se puede expresar como una combinaci´on finita de funciones
elementales solamente en los tres casos siguientes :
a) Si p es un n´umero entero ,hacemos
x = zs
siendo s el com´un denominador de los exponentes fraccionarios m y n de la
variable x
b) Cuando m+1
n
es un n´umero entero en este caso
zs
= a + bxn
donde s es el divisor de la fracci´on de p
c) Cuando m+1
n
+ p es un n´umero entero ,en este caso hacer
zs
= ax−n
+ b
donde s es el divisor de la fracci´on de p.

68
1) Resolver
x3
(1 + 2x2
)
−3
2 dx
Haciendo una identificaci´on de los datos se tiene :
m = 3, a = 1, b = 2, n = 2, p = −3
2
m + 1
n
=
3 + 1
2
= 2
=⇒ z2
= 1 + 2x2
Luego 2zdz = 4xdx
x2
(1 + 2x2
)
−3
2 xdx = (
z2
− 1
2
)(z2
)
−3
2 (
zdz
2
)
=
1
4
(1 − z−2
)dz =
1
4
(z +
1
z
) + k
2) Resolver
dx
√
x3 3
1 +
4
√
x3
= x
−3
2 (1 + x
3
4 )
−1
3 dx
aqu´ı m = −3
2
, n = 3
4
, p = −1
3
m + 1
n
=
−3
2
+ 1
3
4
=
−2
3
como el n´umerador obtenido no es entero se debe considerar
m + 1
n
+ p =
−2
3
−
1
3
= −1
Luego
z3
= x
−3
4 + 1 =⇒ x =
1
(z3 − 1)
4
3
=⇒ dx = −4z2
(z3
− 1)
−7
3 dz
Por lo que
x
−3
2 (1 + x
3
4 )
−1
3 dx = ((z3
− 1)
−4
3 )
−3
2 (1 +
1
z3 − 1
)
−1
3 (−4z2
(z3
− 1)
−7
3 )dz
= −4 (z3
− 1)2+1
3
−7
3 zdz = −4 zdz = −2z2
+ k

69
Ejercicios Propuestos
a) Resolver
dx
1 +
√
1 − 2x − x2
b) Resolver
3 1 − x
1 + x
dx
x
c) Resolver
dx
√
x( 4
√
x + 2)10
d) Resolver
dx
x7(1 + x7)
1
7
e) Resolver
dx
(x + 2)
√
x + 1
f ) Resolver
x2
+
√
1 + x
3
√
1 + x
dx
g) Resolver
x2
√
x2 − x + 1
dx
h) Resolver
dx
(x + 1)3
√
x2 + 2x − 3
i) Resolver
dx
√
x + 3
√
x
j) Resolver
e2x
dx
4
√
ex + 1
k) Resolver
dx
x 3
√
x2 + 4

70
l) Resolver
dx
(x − 1)3
√
x2 + 3x + 1
m) Resolver
dx
3
√
1 + x3
n) Resolver
e2x
4
√
ex + 1
dx
˜n) Resolver
1 −
√
3x + 2
1 +
√
3x + 2
dx
o) Resolver
1
√
x + 1 + 4
√
x + 1
dx
p) Resolver
2 +
√
xdx
q) Resolver
2 + x
√
4 − 2x − x2
dx

71
0.11. Aplicaciones de Integraci´on Indefinida
Econ´omicas
1. PROPENSI´ON MARGINAL AL CONSUMO Suponga que la funci´on de
consumo para cierto pa´ıs es c(x), donde x es el ingreso nacional disponible. En-
tonces la propensi´on marginal al consumo es c (x). Suponga que x y c ambas se
miden en miles de millones de d´olares y
c (x) = 0,9 + 0,3
√
x
Si cuando x = 0 el consumo es de 10 mil millones de d´olares, determine c(x).
2. COSTO MARGINAL En cierta f´abrica, el costo marginal es 3(q − 4)2
d´olares
por unidad cuando el nivel de producci´on es q unidades.
a) Exprese el costo total de producci´on en funci´on de los gastos indirectos (el
costo de producir 0 unidades) y el n´umero de unidades producidas.
b) ¿Cu´al es el costo de producir 14 unidades si el gasto indirecto es de 436
d´olares?
3. INGRESO El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto art´ıculo
se estima que ser´a
R (x) = 50 + 3,5xe−0,01x2
D´olares por unidad, donde R(x) es el ingreso en d´olares.
a) Determine R(x), suponiendo que R(0) = 0.
b) ¿Qu´e ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?
4. Depreciaci´on El ritmo de depreciaci´on dV
dt
de una m´aquina es inversamente
proporcional al cuadrado de t+1,siendo V el valor a los t a˜nos de su adquisici´on.Si
el valor inicial era 500 000 d´olares y su valor decreci´o 100 000 en el primer
a˜no,estimar su valor los cuatro a˜nos despu´es de su compra.
5. Desembolso El ritmo de desembolso dQ
dt
de una subvenci´on estatal de 2 millones
de d´olares es proporcional al cuadrado de 100 − t .El tiempo t se mide en d´ıas
(0 ≤ t ≤ 100) y Q es la cantidad que resta por desembolsar.Calcular la cantidad
que resta por desembolsar tras 50 d´ıas,suponiendo que el desembolso se realiza
en 100 d´ıas.

72
6. Funci´on de costo
Suponga que la funci´on de costo Marginal para el producto de un fabricante esta
dada por :
dc
dq
=
100q2
− 4998q + 50
q2 − 50q + 1
donde C(x) es el Costo Total en d´olares cuando se producen q unidades.si los
Costos Fijos son de 10 000 d´olares encuentre el costo de producir 100 unidades.
7. Ingreso MarginalEl ingreso marginal derivado de la producci´on de q unidades
de cierto art´ıculo es :
dR
dq
= 4q − 12q2
d´olares por unidad.Si el ingreso derivado de la produc´on de 20 unidades es de 30
000.¿Cu´al ser´a el ingreso esperado por la producci´on de 40 unidades?
8. Funci´on de costo
La Funci´on de Costo Marginal para el producto de un fabricante est´a dada por :
dc
dq
=
9
10
√
q 0,04q
3
4 + 4
donde C es el costo total en d´olares cuando se producen q unidades.Los costos
fijos son de 360 d´olares .
a) Determine el costo marginal cuando se producen 25 unidades.
b) Encuentre el costo total de producir 25 unidades.
9. PRODUCCI´ON La Corporaci´on Bejax ha preparado una l´ınea de producci´on
para fabricar un nuevo tipo de telefonos celulares .La tasa de producci´on de los
tel´efonos es :
dP
dt
= 1500(2 −
t
2t + 5
)
unidades por mes.¿Cu´antos tel´efonos se producen durante el tercer mes?
10. PUBLICIDADUna agencia de publicidad inicia una campa˜na para propmover
un producto nuevo,y determina que t d´ıas despu´es ,el n´umero de personas N(t)que
ha escuchado acerca del producto cambia a una tasa dada por personas por d´ıa
N (t) = 5t2
−
0,04t
t2 + 3
personas por d´ıa.¿Cu´antas personas han o´ıdo sobre el producto durante la primera
semana?.¿cu´antas personas durante la segunda semana?

73
11. Funci´on de Ingreso EL Ingreso marginal de una empresa est´a dada por la
siguiente expresi´on :
R (x) =
e2x
√
1 + ex
determine el Ingreso para 200 unidades.
12. Funci´on de Ingreso La funci´on de Ingreso marginal para el producto de un
fabricante est´a dado por :
dr
dq
=
1
eq − 1
Calcule el ingreso total.
13. DEMANDAEl gerente de una zapater´ıa determina que el precio p d´olares por
cada par de zapatos deportivos de cierta marca popular,cambia a una tasa de :
dp
dx
=
−300x
(x2 + 9)
3
2
cuando los consumidores demandan x(miles) de pares.Cuando el precio es de
75 d´olares por par,son demandados 4000 pares.¿Aqu´e precio se demandar´an 5000
pares de zapatos deportivos?.¿Aqu´e precio no se demandar´an zapatos deportivos?
14. VALOR DE LA TIERRA Se estima que dentro de t a˜nos ,el valor V (x) de
un acre de tierra cultivable crecer´a a una tasa de :
dV (x)
dx
=
0,4x3
0,2x4 + 8000
d´olares por a˜no.Actualmente la tierra vale 500 d´olares por acre.¿Cu´anto valdr´a la
tierra dentro de 10 a˜nos?
15. Producci´on Total
La Raz´on de producci´on de un pozo en barriles diarios var´ıa de acuerdo con la
siguiente f´ormula
P (t) =
1200000
(t + 1600)
3
2
donde t es el tiempo (en d´ıas) a partir del inicio de la producci´on.Calcule la Pro-
ducci´on Total hasta el tiempo t,tambi´en encuentre la Producci´on Total disponible
es decir
l´ım
t−→∞
P(t)

74
16. El dinero depositado en cierto banco se incrementa de tal manera que la raz´on
de cambio del saldo es igual al 7 % del saldo en ese instante. Adem´as si en un
inicio se hizo un dep´osito de $3500 cu´anto se obtiene al cabo de 18 meses.
17. La relaci´on entre el precio p y la cantidad demandada x es tal que la tasa de
disminuci´on en la demanda, a medida que el precio aumenta, es proporcional a la
cantidad demandada e inversamente proporcional a la suma del precio m´as una
constante. Encontrar la funci´on de demanda si p = p0 cuando x = 1.
Geom´etricas
18. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) de ´esta curva es 3
√
x
, si el punto (9,4) est´a en la curva ,encontrar una ecuaci´on de la curva.
19. Halle una funci´on y = f(x) dos veces derivable que cumpla lo siguiente :
y = 4x−3
y la ecuaci´on de la recta tangente a su gr´afica en el punto (1,3) es
y + 2x = 5
20. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) en una curva es 10−4x
y el punto (1,-1) est´a en la curva.Encontrar una ecuaci´on de la curva
21. Si f (x) = −af(x) y g (x) = bg(x) ,donde a y b son constantes encontrar la
integral
f(x)g (x)dx
TRAYECTORIAS ORTOGONALES Dada una curva f(x) otra curva g(x)
ser´a ortogonal a esta en x0 si se cumple :
f (x0) · g (x0) = −1
22. Hallar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas
ex
+ e−y
= c
23. Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las par´abolas con v´ertice en el
origen y foco sobre el eje X

75
g(x)
f(x)
x
0
L
T
L
T g(x )
0
0f(x )
Recta
Tangente
en g(x )
Recta
Tangente
en f(x )
24. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias de centro
en el origen de coordenadas
25. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas.
a)
y = kx2
b)
y = (x + k)−1
c)
y = ke−x
26. Encuentre las trayectorias ortogonales asociadas a lafamilia de curvas y3
= kx2
27. Encuentre el valor de la constante a ,de tal forma que las familias
y3
= c1x , x2
+ ay2
= c2
sean ortogonales

76
F´ısicas
28. CONTAMINACI´ON DEL AGUA Un derrame de petr´oleo en el oc´eano tiene
una forma aproximadamente circular, con radio R(t) pies, t minutos despu´es del
inicio del derrame. El radio crece a una tasa de
R (t) =
21
0,07 + 5
a) Determine una expresi´on para el radio R(t), suponiendo que R = 0 cuando
t = 0
b) ¿Cu´al es el ´area A = πR2
del derrame despu´es de 1 hora?
29. CONCENTRACI´ON DE UN MEDICAMENTO La concentraci´on C(t) en
miligramos por cent´ımetro c´ubico mg
cm3 de un medicamento en el torrente sangu´ıneo
de un paciente es de 0,5 mg
cm3 inmediatamente despu´es de una inyecci´on y t minutos
m´as tarde disminuye a la tasa de
C (t) =
−0,01e0,01t
(e0,01t + 1)2
mg
cm3 por minuto.
Se aplica una nueva inyecci´on cuando la concentraci´on es menor que 0.05 mg/cm3.
Determine una expresi´on para C(t). ¿Cu´al es la concentraci´on despu´es de 1 hora?
¿Cu´al es despu´es de 3 horas?
30. CONCENTRACI´ON DE UN MEDICAMENTOLa concentraci´on C(t) en
miligramos por cent´ımetro c´ubico de un medicamento en el torrente sangu´ıneo de
un paciente es de 0.5 miligramos por cent´ımetro c´ubico inmediatamente despu´es
d euna inyecci´on y t minutos m´as tarde disminuye a la tasa de :
dC
dt
=
−0,01e0,01t
(e0,01t + 1)2
miligramos por cent´ımetro c´ubico.Se aplica una nueva inyecci´on cuando la con-
centraci´on es menor que 0.05 mg
cm3 .Determine una expresi´on para C(t) y la con-
centraci´on una hora y 3 horas despu´es.
31. FLUJO SANG´INEO Una de las leyes de Posieuille para el flujo sangu´ıneo en
una arteria establece que si v(r) es la velocidad del flujo a r cm del eje central de
la arteria,entonces la velocidad disminuye a una tasa proporcional a r .Es decir
dv
dr
= −ar

77
donde a es una constante positiva.Determine una expresi´on para v(r).Suponga
que v(R) = 0,donde R es el radio de la arteria.
32. Aceleraci´on :
Un autom´ovil tarda 13 segundos en acelerar de 25 km/h a 80 km/h.Suponiendo
aceleraci´on constante,calcular:
a) La aceleraci´on en
m
s2
b) La distancia que recorre en esos 13 segundos.
33. Movimiento
La velocidad de una part´ıcula que se desplaza a lo largo de una recta en el instante
v(t) = t
√
1 + t2
Determine la distancia recorrida por la part´ıcula desde el instante t1 =
√
8 hasta
t2 =
√
24.
34. Movimiento Vertical
Ra´ul arroja una piedra hacia arriba,desde el suelo.La piedra alcanza una altura
m´axima de 225 pies.¿Cu´al era su velocidad inicial?
35. Movimiento Vertical
Se lanza una bola verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad
inicial de 60 pies/s2
.¿Qu´e altura alcanza? .
(Despreciar la resistencia del aire y tomar a(t) = −32pies/s2
)
36. Movimiento Vertical
De lo alto de un edificio de 100 pies de altura se suelta una piedara.En funci´on
del tiempo,determinar la posici´on y la velocidad con que cae y,luego , el instante
que toca suelo y la velocidad con que lo hace.
37. Movimiento Vertical
De una altura a 2 m del suelo y con una velocidad de 10 m/seg,se lanza vertical-
mente hacia arriba una pelota.Determine la altura que alcanzar´a la pelota y el
instante que llege al suelo.

78
38. Crecimiento de un ´arbolUn vivero suele vender los ´arboles tras 6 a˜nos de
crecimiento.El ritmo de crecimiento en esos 6 a˜nos viene dado por :
dh
dt
= 1, 5t + 5
donde t es el tiempo en a˜nos y h es la altura en cm.en el momento de plantarlos
miden 12 cm.
Calcular su altura tras t a˜nos y en el momento de ser vendidos.
39. Crecimiento de una Poblaci´on El ritmo de crecimiento dP
dt
de una poblaci´on
de bacterias es proporcional a la ra´ız cuadrada de t ,donde p es el tama˜no de la
poblaci´on y t es el tiempo en dias (0 ≤ t ≤ 10).El tama˜no de la poblaci´on es
500.Tras un d´ıa ha crecido hasta 600.Estimar la poblaci´on a los 7 d´ıas
40. Ley de Enfriamiento de Newton Un term´ometro que marca 18o
F ,se lleva
a una cuarto cuya temperatura es de 70o
F,un minuto despu´es la lectura del
term´ometro es de 31o
F.Determ´ınese las temperaturas medidasd como una funci´on
del tiempo y en particular encontrar la temperatura que marca el term´ometro
cinco minutos despu´es que se lleva al cuarto.
41. Ley de Enfriamiento de Newton Un qu´ımico desea enfriar desde 80o
C hasta
60o
C una sustancia contenida en un matraz,se coloca el dispositivo en un recipi-
ente ampilo por el que circula agua a 15o
C.Se observa que despu´es de 2 minutos
la temperatura ha descendido a 70o
C.Estimar el tiempo total de enfriamiento.
42. Ley de Enfriamiento de Newton Dentro de cuanto tiempo la temperatura
de un cuerpo calentado hasta 100o
C descender´a hasta 30o
C.Si la temperatura del
local es de 20o
C y durante los primeros 20 minutos el cuerpo en cuesti´on se enfr´ıa
hasta 60o
C.
43. Un term´ometro que est´a inicialmente en el interior de una habitaci´on se lleva al
exterior donde la temperatura es aproximadamente constante a 15o
C. Despu´es
de un minuto marca 30o
C y despu´es de 10 minutos marca 20o
C. De acuerdo a la
ley de Newton ¿Cu´al era la temperatura de la habitaci´on?
44. Una masa de metal se extrae de un horno a 1000o
C y se pone a enfriar en un lugar
cuya temperatura se mantiene aproximadamente constante a 30o
C. Despu´es de
10 horas su temperatura desciende a 200o
C ¿Cu´anto tardar´a en llegar a 31o
C? ¿
Llegar´a en alg´un instante la temperatura a ser igual a la temperatura ambiente
de 30o
C? Justifique su respuesta.

79
LEY DE DESINTEGRACI´ON RADIOACTIVA La rapidez de cambio de
desintegraci´on de una sustancia radioactiva de una sustancia es proporcional,en
cualquier instante,a la cantidad de sustancia que est´a presente.
Vida Media de una sustancia radioactiva .Se define como el tiempo que trasncurre
para que desaparezca el 50 por ciento de la sustancia.
45. Una cierta sustancia radioactiva tiene una media de 38 horas.Encontrar que tanto
tiempo toma el 80 por ciento de la radioactividad para disiparse.
46. En una poblaci´on bacteriana B se sabe que tiene un taza de crecimiento pro-
porcional a B misma , si entre medio d´ıa y las 2 p.m.la poblaci´on se triplica.A
qu´e tiempo,sino se efect´ua ning´un control ,B ser´a 100 veces mayor que el medio
dia.
47. Vida Media Un cierto material radiactivo tiene una vida media de dos ho-
ras.Encuentre el intervalo de tiempo requerido para que una cantidad dada de
este material decaiga hasta un d´ecimo de su masa original.
48. Vida Media Si el 45 por ciento de una sustancia radiactiva se desintegra en 200
a˜nos.¿Cu´al es su vida media?.¿En cu´anto tiempo se desintegrar´a 60 por ciento
de la cantidad original?
49. Bacterias en un cierto cultivo incrementan a una tasa proporcional al n´umero pre-
sente.Si el n´umero original se incrementa en 50 porciento en 2 horas.¿En cu´anto
tiempo se espera tener dos veces el n´umero original?
50. Encuentre la vida media de una sustancia radioactiva si el 20 % de ´esta desaparece
en 5 a˜nos.
51. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si
inicialmente hay 10 gramos y despu´es de dos horas se ha perdido el 5 % de su
masa original, hallar la cantidad restante de uranio como funci´on del tiempo y
La cantidad de uranio despu´es de 5 horas.
52. Crecimiento de un ´arbol:
Un vivero suele vender los ´arboles tras 6 a˜nos de crecimiento.EL ritmo de crec-
imiento en esos 6 a˜nos viene dado por:
dh
dt
= 1, 5t + 5

80
donde t es el tiempo en a˜nos y h la altura en cm.En el momento de plantarlos
,miden 12 cm(en t = 0)
a) Calcular su altura tras t a˜nos
b) ¿Qu´e altura tienen en el momento de ser vendidos?
53. Crecimiento de un ´arbol: Un ecologista encuentra que cierto ´arbol crece de
tal forma que su altura h(t)despu´es de t a˜nos cambia a una raz´on de
dh
dt
= 0,2t
2
3 +
√
t
pies por a˜no.Si cuando se plant´o el ´arbol ´este ten´ıa una altura de 2 pies.¿Cu´al
ser´a su altura dentro de 27 a˜nos?
54. Crecimiento de una poblaci´on:
El ritmo de crecimiento dP
dt
de una poblaci´on de bacterias es proporcional a la
ra´ız cuadrada de t ,donde P es el tama˜no de la poblaci´on y t el tiempo en d´ıas
(0 ≤ t ≤ 10).El tama˜no inicial es 500.Tras un d´ıa ,ha crecido hasta 600.Estimar
la poblaci´on a los 7 d´ıas.
55. Crecimiento de una poblaci´on: Se ha estimado que dentro de t meses la
poblaci´on de una cierta ciudad cambiar´a a raz´on de 4 + 5t
2
3 personas por mes.Si
la poblaci´on actual es de 10 000.¿Cu´al ser´a la poblaci´on dentro de 8 meses ?
56. Crecimiento Logistico En la ley de crecimiento Log´ıstico se supone que al
tiempo t la tasa de crecimiento
f (t) = Af(t)(B − f(t))
donde A y B son constantes .Si f(0) = C calcular f(t).
57. La poblaci´on de Cali era de 200 mil habitantes en 1,950 (t = 0) y de 1 mill´on en
1,985 (t = 35). Si en cada instante crece con rapidez proporcional a la poblaci´on
existente en ese instante, ¿en qu´e a˜no la poblaci´on de Cali exceder´a los 5 millones
de habitantes?
58. Los experimentos muestran que el radio se desintegra a una rapidez proporcional
a la cantidad de radio instant´aneamente presente. Su vida media, es de 1590 a˜nos.
¿Qu´e porcentaje desaparecer´a en 1 a˜no?
59. Sup´ongase que en un cultivo de levadura, en cada instante la rapidez de cambio
respecto al tiempo del fen´omeno activo y(t) es proporcional a la cantidad exis-
tente. Si y(t) se duplica en dos horas, ¿cu´anto puede esperarse al final de 8 horas,
a la misma rapidez de crecimiento?