Definición de Conjuntos. Operaciones con conjuntos. Números Reales Desigualdades. Definición de Valor Absoluto Desigualdades con Valor Absoluto

1. Conjuntos
Un conjunto es una colección de elementos.
Normalmente están caracterizados por compartir alguna propiedad.
Para que un conjunto esté bien definido debe ser posible
discernir si un elemento arbitrario está o no en él.
Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando
todos los elementos de los que consta entre llaves,
A = { 1,2,3,4,5 }
o implícita, dando una o varias características que determinen
si un elemento dado está o no en el conjunto,
A={números naturales del 1 al 5}.

2. Números Naturales.
Los números naturales son aquellos que
toman intervalos
discretos de una unidad, y empiezan con
el número 1,
extendiéndose hasta el infinito. Una forma
de distinguir
estos números es como aquellos que
sirven para contar.
N = [1,2,3,4,5,6,n...]
Números Enteros.
Los números enteros incluyen los
números naturales,
más aquellos que también toman
intervalos discretos,
pero que tienen un signo negativo por
delante,
y se incluye el cero.
Z = [...-n,-3,-2,-1,0,1,2,3,n...]
Números Racionales.
Los números racionales incluyen no solo aquellos enteros,
sino también los que pueden expresarse como el cociente de
dos números enteros, de manera que pueden tener una parte decimal.
Q = [ Z / Z ]
Conviene señalar que la parte decimal de un número racional
puede repetirse indefinidamente, caso en el cual se le denomina periódico.
Así pues, puede tratarse de un periódico puro,
cuando la parte decimal contiene uno o más números que se
repiten al infinito, o un periódico mixto,
cuando después de la coma decimal hay algún número,
o algunos números, que no se repiten, mientras que el
resto sí se prolonga al infinito.

3. Números Irracionales.
son números reales que no somos capaces de expresarlos en
forma de fracción porque desconocemos tanto el numerador
como el denominador.
I = [π , e , √123]
Los números reales.
Existe un conjunto más amplio que incluye a los números racionales e irracionales.
Este es el de los números decimales, que se pueden clasificar en decimales
periódicos y decimales no periódicos.
Ejemplos de número decimales periódicos son 4.3333..., 4.252525....,
2.34525252... Se puede demostrar que el conjunto de los número racionales
coincide con el conjunto de decimales periódicos. Existen números decimales no
periódicos, llamados números irracionales, denotado por Q∗ , por ejemplo √ 2, π. El
conjunto de los número reales está conformado por todos los número decimales, se
denota por R y por lo por tanto
R = Q∪Q

4. Números Complejos
Se entiende por números complejos a la combinación de números reales e
imaginarios. La parte real puede ser expresada por un número entero o sus
decimales, mientras que la parte imaginaria es aquella cuyo cuadrado es negativo.
Los números complejos surgen ante la necesidad de abarcar las raíces de los
números negativos, cosa que los reales no pueden hacer. Por esta razón, reflejan
todas las raíces de los polinomios.
C = [ 1 + i , 39 + 3i , 0.8 − 2.2i , −2 + πi , √2 + i/2 ]

5. Operaciones de Conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las
operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y complemento.
Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más
conjuntos para formar otro conjunto que contendrá
a todos los elementos que queremos unir pero sin
que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un
conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro
conjunto formado por todos los elementos de A, con
todos los elementos de B sin repetir ningún
elemento. El símbolo que se usa para indicar la
operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando
usamos diagramas de Venn, para representar la
unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que
se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe
por fuera la operación de unión.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9}
la unión de estos conjuntos
será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Usando diagramas de Ven se
tendría lo siguiente:

6. Intersección de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto,
sólo con los elementos comunes involucrados en la
operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de
intersección de los conjuntos A y B, estará formado
por los elementos de A y los elementos de B que
sean comunes, los elementos no comunes A y B,
será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la
operación de intersección es el siguiente: ∩.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9}
la intersección de estos
conjuntos será A∩B={4,5}.
Usando diagramas de Ven se
tendría lo siguiente:
Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un
conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los
elementos que pertenecen al primero pero no al
segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la
diferencia de los conjuntos entra A y B, estará
formado por todos los elementos de A que no
pertenezcan a B. El símbolo que se usa para
esta operación es el mismo que se usa para la
resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
diferencia de estos conjuntos
será A-B={1,2,3}. Usando
diagramas de Ven se tendría lo
siguiente:

7. Diferencia de simétrica de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto,
en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el
que tendrá todos los elementos que no sean comunes
a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y
B, la diferencia simétrica estará formado por todos los
elementos no comunes a los conjuntos A y B. El
símbolo que se usa para indicar la operación de
diferencia simétrica es el siguiente: △.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
diferencia simétrica de estos
conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando
diagramas de Ven se tendría lo
siguiente:
Complemento de un conjunto.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con
todos los elementos del conjunto de referencia o universal,
que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A
que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el
conjunto complemento de A es el conjunto formado por
todos los elementos del conjunto universal pero sin
considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A.
En esta operación el complemento de un conjunto se
denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera,
algo como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto
del cual se hace la operación de complemento.
Dado el conjunto Universal
U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el
conjunto A={1,2,9}, el conjunto
A' estará formado por los
siguientes elementos
A'={3,4,5,6,7,8}. Usando
diagramas de Ven se tendría lo
siguiente:

8. Desigualdades
Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) y a ³ b
(a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman
desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.
En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de
comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades
se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el
caso de la división y la multiplicación.
Ejemplos.
· Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.
· Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1
· Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30
· Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30
En los diferentes ejemplos se observa que:
· al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido
de la misma se mantiene
· al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido
de la misma se mantiene
· la multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la
desigualdad,
· la multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.

9. Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades.
Sean a, b y c números reales cualesquiera:
· Si a < b entonces a + c < b + c
· Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c
· Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c
Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido
entre a y c. En símbolos a < b < c.
Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las
desigualdades >, ≥ y ≤ .

10. Valor Absoluto
El valor absoluto de un numero real es la magnitud de este,
independientemente del signo que le preceda.
en otras palabras, es el valor que resulta de eliminar el signo
correspondiente a este.
Propiedades del valor absoluto
-Entre las propiedades del valor absoluto destacan las siguientes:
El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir, el valor de -
19 y 19 es el mismo: 19.
-El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria de los
valores absolutos de los sumandos. Es decir, se cumple que:
|x+y|≤|x|+|y|
-Otra propiedad es aquella a la que denominamos propiedad multiplicativa. Esta
nos indica que el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores
absolutos de los factores. Es decir, se cumple lo siguiente:
|xy|=|x|.|y|
-Como contraparte de la propiedad multiplicativa, tenemos aquella de preservación
de la división, la cual nos indica que el valor absoluto de una división es igual al
cociente de los valores absolutos de los mismos elementos de dicha operación.
Esto, siempre que el divisor no sea cero. Es decir, se cumple que:
|x/y|=|x|/|y|

11. Desigualdad de Valor Absoluto
el valor absoluto de un número es la distancia de un valor desde el origen sin
importar la dirección. El valor absoluto está denotado por dos líneas verticales
que encierran al número o expresión.
Por ejemplo, el valor absoluto de x x es expresado como | x |=a∣x∣=a, lo cual
significa que x=+ax=+a y x=-ax=−a. Ahora veamos lo que significan las
desigualdades con valor absoluto.
Una desigualdad con valor absoluto es una expresión con la función valor
absoluto, así como también con los signos de valor absoluto. Por ejemplo, la
expresión | x +5 |>2∣x+5∣>2 es una desigualdad con valor absoluto que contiene
un signo “mayor que”.
Tenemos cuatro símbolos de desigualdades diferentes: mayor que (>), menor
que(<), mayor o igual que (≥) y menor o igual que (≤).

12. Resolución de las desigualdades
Paso 1: Despejar completamente la expresión con el valor absoluto.
Paso 2: Resolver las versiones positivas y negativas de las desigualdades con
valor absoluto.
Cuando el número en el otro lado del signo de desigualdad es negativo,
concluimos que, o bien todos los números reales son soluciones o que la
desigualdad no tiene solución.
Cuando el número en el otro lado es positivo, procedemos a formar una
desigualdad compuesta al remover las barras del valor absoluto.
Paso 3: El tipo de signo de desigualdad determina el formato de la desigualdad
compuesta a ser formada.
Si es que un problema contiene signos mayor que o mayor/igual que, forma una
desigualdad compuesta de la siguiente manera:
(valores dentro del signo de valor absoluto)< -(el número en el otro lado)
o
(valores dentro del signo de valor absoluto)> (el número en el otro lado)
De igual forma, si es que un problema contiene signos menor que o menor/igual
que, forma una desigualdad compuesta de tres partes de la siguiente manera:
-(el número en el otro lado del signo)<(valores dentro del signo de valor
absoluto)< (el número en el otro lado del signo)
Paso 4: Resuelve las desigualdades.