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機械学習のための数学のおさらい
- 2. 数学ユーザーになろう！ ■ 機械学習エンジニアにとって必要な数学力は、 まずは、”ツールとして”数学を使う能力です。 ➢ 学校のテストのようなトリビアルな数学問題を解くことが 目的ではありません。 ➢ 数式の読み方と、その意味・イメージを理解できればOK。 ■ 学校の数学が苦手だった人でも大丈夫です。 ■ 言語やライブラリが進化しているので、 面倒な計算はコンピュータに任せればOK。 2
- 3. 今日の目標 ■ 微分法とはどういうことか、だいたい分かる ■ 機械学習に微分法が必要であることが分かる ■ ディープラーニング（NN）の学習と微分の関わりが ざっくり分かる ■ 微分関連の数学記号に慣れる 3 注：この資料では、説明をシンプルにするため、 数学的な厳密性は省略しています
- 4. 目次 1. なぜ機械学習には微分法が必要なのか？ 2. 微分法のおさらい 3. 微分法による機械学習の実例 4. 数値微分 5. Deep Learning と微分法 6. まとめ 4
- 6. 関数(函数/function)のおさらい ■ 数学的な関数のざっくり定義 ➢ ある数 x を入れたら、別の数 y が（ある規則に従って）出てくる箱 • 入力変数ｘ、出力変数 y 6 こう書きます 記号は任意です
- 7. x, y に使える色々な『数』の種類がある ● 数の種類：数学での呼び方と、プログラムでの呼び方（例） 7 数学 プログラム 例(Python/numpy) スカラー(scalar) 数値定数、数値変数 0 ; 500 ; x ; y ベクトル(vector) １次元配列 v = np.array([1, 4, 5]) 行列(matrix) ２次元配列 m = np.array([[3, 7, 11], [1, 8, 2]]) テンソル(tensor) ３次元（以上の）配列 m = np.array([ [[1,2], [3,4]], [[5,6], [7,8]], [[9,10], [11, 12]], ]) 備考： *テンソルは、他の数のクラス（スカラ・ベクトル・行列）をまとめて表せる概念です。 テンソル観点で、その数クラスを表すときの配列の次元数のことを『階数』といいます。 スカラー＝階数０のテンソル；ベクトル＝階数１のテンソル；行列＝階数２のテンソル 関数の入力・出力は、上記のどんな組み合わせを用いても良い
- 8. 関数は便利な考え方 入力から出力を得るもの：なんでも関数とみなせる ■ RDBデータベースは関数 ➢ 入力：SQL／出力：クエリ結果データ ■ コンパイラは関数 ➢ 入力：ソースコード／出力：実行バイナリ ■ 顔認識は関数 ➢ 入力：画像／出力：顔の位置・大きさ ■ 天気予報は関数 ➢ 入力：現在までの気象データ／出力：明日の天候、気温、降水確率 8
- 10. 機械学習利用時の具体的ステップ 1. 問題の性質＝作りたい関数の性質を考えて 2. （関数を作らせるための）どのMLアルゴリズムを使うか決める 3. データをMLアルゴリズムに与えて、関数を作らせる 4. できあがった関数を使う 10 どうやって、関数を作っているの？
- 12. パラメータの例 ■ 直線：１次関数 ■ グラフ：直線 ■ パラメータ： θ=(a, b) a:傾き, b:切片 12
- 15. パラメータの例 ■ 放物線：２次関数 ■ グラフ：放物線 ■ パラメータ：θ=(a, b, c) 15
- 17. パラメータの模式図 17
- 18. 機械学習：関数の作られかた 1. 関数には、調整用のパラメータ変数がある（ものが多い） 2. 各アルゴリズムは、あなたのデータに合わせて 『最も良い』パラメータ（＝関数の形）を自動決定している 3. 最も良いパラメータを選ぶ方法： パラメータに対する評価（良し悪し）を数値化して判断する →パラメータをいろいろ変化させてみて、評価値の変化をみる →評価値 E はパラメータθを入力とする関数（と考えることができる） a. Eが利得値(gain)ならば、最大のものを選ぶ OR b. Eが損失値(loss)ならば、最小のものを選ぶ 18 関数の最大・最小を求めたい → 微分法が便利
- 19. ここまでのまとめ なぜ機械学習に微分法が必要なのか？ ■ 機械学習とはデータから関数 y=f(x,θ) を作る仕事 ■ 目的のデータに『良く合う（適合する）』関数を作りたい ➢ 関数の形はパラメータθで決まる ➢ θによる関数 f の適合度関数 E=h(θ) とする ➢ 関数 h の最大（極大）値・最小（極小）値を求めるのに、 微分法が使える（数学的な原理） 19
- 21. 微分法の主な使い道 ■ （１）関数の最大（極大）値・最小（極小）値問題を解く ■ （２）微分方程式を解く ※今回の範囲外 ➢ 自然現象は、微分方程式の形で表現できるものが多い （例：物体の運動、惑星の運行、水や空気の流れ、電気回路・・・） ➢ 微分方程式を解くと： • 惑星や宇宙船の軌道を予測・制御できる • 電気回路の動作を予測・制御できる • 天気シミュレーション：大気の流れや気温の変化の予測ができる • etc... 21
- 22. 微分法による関数の極大・極小値の求め方概略 ■ ある関数* f について、『微分』という操作を加えると、 『導関数**』と呼ばれる別の関数を作ることができる。 ■ 元の関数 f が極値（極大値or極小値）となる位置では、 導関数の値はゼロとなる。 ➢ つまり：導関数の値がゼロになる位置を見つければ、 そこは f の最大（極大）値か最小（極小）値となっている 22 なぜそうなる？ *微分可能な関数 **導関数の別名：微分係数、微分
- 23. 導関数は、f(x)の各位置における接線の傾きになる ■ 接線って？（接線の定義） ➢ 曲線に”接しているだけ”の線 ➢ 曲線上のある一点だけを通り、他の（付近の）点は通らない直線 23 放物線 y = x^2 x=1を通る接線 傾き a=２ ３次関数 x=-1 を通る接線 傾き a=-2
- 25. 極値の例（３次関数） 25
- 26. 接線を数学的にきちんと定める：極限(1) ■ 曲線y=f(x)上のある点Pと、少し離れた別の点Qを考えます。 ■ この２点を通る直線Lを考えます。 ■ QをどんどんPに近づけていくと、L（の傾き）は、 どんどん接線Tに近くなります。 26 y=f(x) T L P Q x y
- 27. 接線を数学的にきちんと定める：極限(2) ■ Qを限りなくPに近づけていったとき、Lが限りなく近づいていく先を求めることを、『点Pに おけるLの極限を求める』といいます。 ➢ この場合のLの極限は点Pの接線Tになります ■ 数式では以下のように書きます（上記の日本語を数式に翻訳） 27 ←『直線Lは、P, Qに応じて 決まる』という意味を表現していま す。
- 30. 初歩的な微分の例 例： を で微分する。 30 ｘ y a a+h f(a+h) f(a) ←この計算は、どんな a についても成り立つの で、a を変数 x と読み直し、関数と考えることが できる。これを導関数という。 ⊿ y ⊿ x
- 33. 一番シンプルな機械学習:最小二乗法 ■ 目的 ➢ ２つのデータ変数 X, Y があり、X と Y が比例関係にあると想定 されるとき、この X, Y の比例関係に最も近い直線を求めること。 ➢ 例： • X：身長, Y：体重 ➢ 応用：身長から体重を予測する。 33 y:体重 x:身長 ?
- 34. 一番シンプルな機械学習:最小二乗法 ■ 概略手順 ➢ データに対する直線 f の『近さ』を示す関数 g を作る。 ➢ 評価関数 g を微分して、極値（最小値）を求める。 ■ ｇの作り方：データとｆの当てはめ誤差の二乗 34 y:体重 x:身長
- 36. 一番シンプルな機械学習:最小二乗法 ■ gの最小値の求め方 ■ g を a, bについて微分（偏微分）して、最小値を求める 36 ←gは、変数a, b の関数（２変数関数）と見立てる この連立方程式をとけば良い #Pythonでは scikitの LinearRegressionクラスで 最小二乗法による関数当てはめができます。
- 37. 偏微分(partial differenciation)とは？ ■ 多変数関数について、どれか一つの変数に着目して微分するこ と。その際、他の変数は定数と考える。 ■ 例： 37 を、yについて偏微分する xについて偏微分する (デーエフデーエックスと読みます） (デーエフデーワイと読みます） 偏微分記号：ギリシャ文字の D 『デー』 『パーシャルディ−』 『パーシャル』 『ラウンドディー』 『ラウンド』
- 40. 解析的な微分と、数値微分 ■ 解析的な微分 ➢ 数学の世界：数式で関数を書けるもの。 ➢ 手計算できる。 ➢ 極大・極小がイッパツで見つかる。（微分＝０を解くだけ） ■ 数値微分 ➢ 微分を差分に置き換えて数値計算し、微分を『近似』したもの。 • コンピュータでは、極限（無限小）を直接扱えない。 • MLなど現実的な問題では、関数の形は非常に複雑になり、 解析的な数式では表現できない。 ➢ 注意点 • 極大・極小は、探索処理で見つける必要がある。 • 厳密に見ると誤差がある。 ✓ 実用的に十分な誤差範囲を設定し、そこで計算を打ち切る。 40
- 41. 数値微分の実装 ■ df/dx を ⊿f/⊿x で近似する ■ 十分に小さい ⊿x を決める ➢ 例えば、ディープラーニングでは、1/10000 = 0.0001が使われる ■ 以下を計算する 41 x=a f(a) f(a+⊿x ) x=a+⊿x
- 43. 43 5. Deep Learning と微分法
- 44. ディープラーニングはややこしい関数の生成器 ■ 多層ニューラルネットワークは、複雑で高次元な関数を表現する 仕組み。 ➢ 複雑ではあるけれども、関数であることに変わりはない ■ 解析的な微分はできない。 44
- 45. ディープラーニングの学習＝損失関数の最小化 ■ 教師あり学習（分類） ➢ 入力データ： ➢ ラベル（教師）： ➢ DLの出力： ➢ 損失関数： ➢ NNの重みパラメータ： 45 Neural Network ←ネットワークの結合状態を調整 文字の正解ラ ベル 例：手書き文字画像
- 47. 勾配法（勾配降下法） ■ 仮に ｗを２次元とすると、L はｗ上に表現された地形図のようなも のになる。 47 注：実際の学習では、このような『全体像』は見えていません
- 50. 勾配法のイメージ ■ あなたは突然山に放置されました。濃霧で足元しか見えません。 地図・GPSやコンパス等はありません。 ■ あなたは不死身のロボットですが、歩行しかできません。 ■ もっとも早く山を降りる方法は？ 50
- 51. 誤差逆伝播法 ■ 勾配法の問題 ➢ 計算に時間がかかる ■ 誤差逆伝播法（Backpropagation) ➢ 効率のよいｗの更新ができる ➢ 詳しくは専門書にて・・・ 51
- 52. まとめ ■ 機械学習とは？ ➢ （複雑な）関数をコンピュータに作らせること ■ 関数を作る方法 ➢ パラメータ最適化 ■ パラメータ最適化の方法は？ ➢ 微分法が使われる ■ 微分とは ➢ 曲線の接線の傾き＝導関数を求める ■ 解析的微分と数値微分 ■ 偏微分、勾配法とNNの学習 52