「モナモナ言うモナド入門」の短縮版。

1. モナモナ言う
モナド入門.tar.gz
2012-11-18 hiratara

3. 100分で話して来た

4. 超短縮版

5. 話す内容
• 抽象化オタクの更なる高みを目指す
• 「モナドは自己関手の圏のモノイド」
という雑学

6. 大統一理論２

7. お題
Monoid則とMonad則は統一できるか？

9. そのとき
Philip Wadler
の脳裏に閃光が走った！
※この話はフィクションです

10. モノイダル圏
双関手□と自然同型α、λ、ρがある圏
A B A□B
f g f□g
A’ B’ A’□B’

11. (モノイダル圏の) モノイド
η□M M□η
I□M M□M M□I
μ
λ ρ
α M□μ M□M
(M□M)□M M□(M□M) M
μ□M
μ
M□M M

12. Monoid a(1)
prod (id, mappend’)
(a, a), a
((x, y), z) -> (x, (y, z))
a, (a, a) (a, a)
prod (mappend’, id) mappend’
mappend’
(a, a) prod (f, g) (x, y) = (f x, g y) a
mappend’ = uncurry mappend

13. Monoid a(1)
(x <> y) <> z = x <> (y <> z)
prod (id, mappend’)
(a, a), a
((x, y), z) -> (x, (y, z))
a, (a, a) (a, a)
prod (mappend’, id) mappend’
mappend’
(a, a) prod (f, g) (x, y) = (f x, g y) a
mappend’ = uncurry mappend

14. Monoid a(2)
prod (mempty’, id) prod (id, mempty’)
((), a) (a, a) (a, ())
mappend’
snd fst
a
mempty’ = const mempty

15. Monoid a(2)
mempty <> x = x
x <> mempty = x
prod (mempty’, id) prod (id, mempty’)
((), a) (a, a) (a, ())
mappend’
snd fst
a
mempty’ = const mempty

16. Monoid a(2)
mempty <> x = x
x <> mempty = x
prod (mempty’, id) prod (id, mempty’)
((), a) (a, a) (a, ())
mappend’
snd fst
a
”集合”
mempty’ = const mempty

17. Monoidは
集合圏のモノイド

18. モナド則
• 以下と同値
join . fmap join = join . join
join . fmap return = join . return = id
• 証明は http://ja.wikibooks.org/wiki/Haskell/
%E5%9C%8F%E8%AB%96 を参照

19. Monad m(1)
id fmap join
mmma mmma mma
join join
join
mma ma

20. Monad m(1)
join . fmap join = join . join
id fmap join
mmma mmma mma
join join
join
mma ma

21. Monad m(2)
return fmap return
ma mma ma
join
id id
ma

22. Monad m(2)
join . fmap return = id
join . return = id
return fmap return
ma mma ma
join
id id
ma

23. Monad m(2)
join . fmap return = id
join . return = id
return fmap return
ma mma ma
join
id id
ma
”自己関手”

24. Monadは
自己関手圏のモノイド

25. まとめ
• 同じ図で法則をまとめれるのはイイ
• 書きかけの検証用ソース
https://gist.github.com/4104020