Concepto, notación, métodos y problemas

1. 2. DETERMINANTES
2.1 DEFINICION DE DETERMINANTE
𝐃𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢ó𝐧{
𝐟: 𝐌 𝐧 → ℝ
𝐀 → (𝐚𝐢𝐣) = 𝐝𝐞𝐭(𝐀) = | 𝐀|
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número
real llamado eldeterminante de lamatriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante
de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por ¨ |A| (las barras no significan
valor absoluto).
Determinante de orden uno
|𝒂 𝟏𝟏 | = 𝒂 𝟏𝟏
Determinante de orden dos
Dada 𝑨 = (
𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐
𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟐𝟐
), se define como el determinante de A como:
𝐝𝐞𝐭( 𝑨) = |
𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐
𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟐𝟐
| = 𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟐𝟐 − 𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟏𝟐
Determinante de orden tres
Dada 𝑨 = (
𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐 𝒂 𝟏𝟑
𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟐𝟐 𝒂 𝟐𝟑
𝒂 𝟑𝟏 𝒂 𝟑𝟐 𝒂 𝟑𝟑
)
2.2.MÉTODOS DE CÁLCULO DE DETERMINANTES
 REGLA DE SARRUS
Este método solo se utiliza para calculas determinantes de orden 3x3, donde lo
que se realiza es aumentar filas hacia abajo o columnas a la derecha de la
respectiva matriz inicial.
𝒅𝒆𝒕( 𝑨) = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
|
= 𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟐𝟐 𝒂 𝟑𝟑 + 𝒂 𝟏𝟐 𝒂 𝟐𝟑 𝒂 𝟑𝟏 + 𝒂 𝟏𝟑 𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟑𝟐 − 𝒂 𝟏𝟑 𝒂 𝟐𝟐 𝒂 𝟑𝟏 − 𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟐𝟑 𝒂 𝟑𝟐 − 𝒂 𝟏𝟐 𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟑𝟑

2.  MÉTODO POR DEFINICIÓN
Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal
principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice
opuesto.
Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal
secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice
opuesto.
 MENORES Y COFACTORES
Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento aij, que se indica con Mij
se define como el determinante de la submatriz que queda después de quitar la i-
ésimo fila y la j-ésima columna de A.
Veamos un ejemplo para poder entenderlo mejor. Sea A la matriz:
𝐴 = (
3 1 −4
2 5 6
1 4 8
)
Para hallar el menor del elemento a11 debemos quitar la fila 1 y la columna 1, entonces
tenemos un el determinante de orden 2x2 que multiplicara al elemento a11 y asi
realizamos este mismo proceso con toda la fila o columna que tenga los menores
términos o tenga ceros en su mejor caso.
Debemos tener en cuenta los signos para cada menor que escogemos así si sumamos
i+j y obtenemos un numero par es positivo e impar lo contrario.
Del ejemplo anterior vamos a reducir la columna 1 ya que tiene los menores términos
y llegaremos a obtener la siguiente expresión:
det( 𝐴) = |
3 1 −4
2 5 6
1 4 8
| = 3 |
5 6
4 8
| − 2|
1 −4
4 8
| + |
1 −4
5 6
| = 3(16) − 2(24) + (26)
= 282

3.  CHIO
Consiste enfijarenunafilao unacolumnaun elementollamadopivote (porcomodidadsuele
serun elemento que vale 1) yhacer0, utilizandolaspropiedades,todosloselementosde
dichafilao columna.Posteriormentese desarrolladichodeterminante porloselementosde
esafilao columna.
El determinantede ordennse reduce a calcularun determinantede ordenn-1.
2.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. |At|= |A|
2. |A|=0 Si:
 Posee dos líneas iguales
 Todos los elementos de una línea son nulos.
 Los elementos de una línea son combinación lineal de
las otras.
3. Un determinante triangular es igual al producto de los
elementos de la diagonal principal.
det( 𝐴) = 𝑎11, 𝑎22 , …… . 𝑎 𝑛𝑛
4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas
paralelas su determinante cambia de signo.
5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos
de otra paralela multiplicados previamente por un nº real
el valor del determinante no varía.

4. 6. Si se multiplica un determinante por un número real,
queda multiplicado por dicho número cualquier línea,
pero sólo una.
7. Si todos los elementos de una fila o columna están
formados por dos sumandos, dicho determinante se
descompone en la suma de dos determinantes.
8. |A·B| =|A|·|B|
2.4 OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA O
COLUMNA EN UN DETERMINANTE
1.Multiplicar una fila o una columna por un escalar no nulo el determinante
queda multiplicado por dicho escalar.
Notación: 𝑺𝒊 𝑭𝒊 ← 𝜶𝑭𝒊, 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝛂 ∈ ℝ − { 𝟎}
𝑺𝒊 𝑪𝒊 ← 𝜶𝑪𝒊, 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝛂 ∈ ℝ − { 𝟎}
∴ det( 𝐴) = 𝛼 ∗ det(𝐴)
2.Intercambiar de posición dos filas o columnas el determinante queda
multiplicado por -1.
Notación: 𝑭𝒊 ↔ 𝑭𝒋, 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐢. 𝐣 ∈ ℕ /𝐢 ≠ 𝐣
𝑪𝒊 ↔ 𝑪𝒋, 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐢. 𝐣 ∈ ℕ /𝐢 ≠ 𝐣
∴ det( 𝐴) = −1 ∗ det(𝐴)
3.Sumar a una fila o columna y un múltiplo de otra el valor del determinante
no cambia.
Notación: 𝐹𝑖 ← 𝐹𝑖 − 𝛼𝐹𝑗,donde α ∈ ℝ − {0} y donde i. j ∈ ℕ /i ≠ j
𝐶𝑖 ← 𝐶𝑖 − 𝛼𝐶𝑗,donde α ∈ ℝ − {0} y donde i.j ∈ ℕ /i ≠ j
∴ 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑚𝑖𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑠𝑢 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟, 𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟
𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙.
Ejercicio:

5. Para que valores de λ el determinante es diferente de cero.
1.Usando el método de Sarrus
𝑨 = |
𝝀 𝟏 𝟏
𝟏 𝝀 𝟏
𝟏 𝟏 𝝀
| = ( 𝝀 𝟑
− 𝟑𝝀 + 𝟐) = ( 𝝀 − 𝟏) 𝟐( 𝝀 + 𝟐)
∴ 𝝀 ∈ ℝ − {−𝟐, 𝟏}
2.Usando la propiedad tres de los determinantes
Ejemplo 1:
|
𝟏 𝟏 𝟏
𝒙 𝒚 𝒛
𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒛 𝟐
|
=
𝐜 𝟐 ← 𝐜 𝟐 − 𝐜 𝟏
𝐜 𝟑 ← 𝐜 𝟑 − 𝐜 𝟏
|
𝟏 𝟎 𝟎
𝒙 𝒚 − 𝒙 𝒛 − 𝒙
𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 − 𝒙 𝟐 𝒛 𝟐 − 𝒙 𝟐
| =
= ( 𝒛 − 𝒙)( 𝒚− 𝒙)|
𝟏 𝟎 𝟎
𝒙 𝟏 𝟏
𝒙 𝟐 𝒚 + 𝒙 𝒛 + 𝒙
|
=
𝐜 𝟑 ← 𝐜 𝟑 − 𝐜 𝟐
= ( 𝒛 − 𝒙)( 𝒚 − 𝒙 )|
𝟏 𝟎 𝟎
𝒙 𝟏 𝟎
𝒙 𝟐 𝒚 + 𝒙 𝒛 + 𝒙 − 𝒙 − 𝒚
| = ( 𝒛 − 𝒙)( 𝒚 − 𝒙 )( 𝒛 − 𝒚)
Ejemplo2:
|
𝝀 𝟏 𝟏
𝟏 𝝀 𝟏
𝟏 𝟏 𝝀
|
=
𝐜 𝟏 ← 𝐜 𝟏 − 𝐜 𝟑
|
𝝀 − 𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 𝝀 𝟏
𝟏 − 𝝀 𝟏 𝝀
|
=
𝐟𝟑 ← 𝐟𝟑 + 𝐟𝟏
= |
𝝀 − 𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 𝝀 𝟏
𝟎 𝟐 𝝀 + 𝟏
|
=
𝐜 𝟐 ← 𝐜 𝟐 − 𝐜 𝟑
|
𝝀 − 𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 𝝀 − 𝟏 𝟏
𝟎 𝟏 − 𝝀 𝝀 + 𝟏
|
=
𝐟𝟑 ← 𝐟𝟑 + 𝐟𝟐
|
𝝀 − 𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 𝝀 − 𝟏 𝟏
𝟎 𝟎 𝝀 + 𝟐
| = ( 𝝀 − 𝟏)( 𝝀 − 𝟏)( 𝝀 + 𝟐)
2.5 DETERMINANTE DE VANDERMONDE
Un determinante de Vandermonde es un determinante que
presenta una progresión geométrica en cada fila o en cada
columna, siendo el primer elemento 1.

6. Ejemplo 1:
= |
𝟏
𝒂
𝒂 𝟐
𝒂 𝟑
𝟏
𝒃
𝒃 𝟐
𝒃 𝟑
𝟏
𝒄
𝒄 𝟐
𝒄 𝟑
𝟏
𝒅
𝒅 𝟐
𝒅 𝟑
|
=
𝐟𝟐 ← 𝐟𝟐 − 𝐚 ∗ 𝐟𝟏
𝐟𝟑 ← 𝐟𝟑 − 𝐚 ∗ 𝐟𝟐
𝐟𝟒 ← 𝐟𝟒 − 𝐚 ∗ 𝐟𝟑
|
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
𝟏
𝒃 − 𝒂
𝒃 𝟐 − 𝒂𝒃
𝒃 𝟑 − 𝒂𝒃 𝟐
𝟏
𝒄 − 𝒂
𝒄 𝟐 − 𝒂𝒄
𝒄 𝟑 − 𝒂𝒄 𝟐
𝟏
𝒅 − 𝒂
𝒅 𝟐 − 𝒂𝒅
𝒅 𝟑 − 𝒂𝒅 𝟐
|
= |
𝒃 − 𝒂 𝒄 − 𝒂 𝒅 − 𝒂
𝒃(𝒃 − 𝒂) 𝒄(𝒄 − 𝒂) 𝒅(𝒅 − 𝒂)
𝒃 𝟐(𝒃− 𝒂) 𝒄 𝟐(𝒄 − 𝒂) 𝒅 𝟐(𝒅 − 𝒂)
|
= ( 𝒃 − 𝒂)( 𝒄 − 𝒂)( 𝒅 − 𝒂)|
𝟏 𝟏 𝟏
𝒃 𝒅 𝒅
𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝒅 𝟐
|
=
𝐟𝟐 ← 𝐟𝟐 − 𝐛 ∗ 𝐟𝟏
𝐟𝟑 ← 𝐟𝟑 − 𝐛 ∗ 𝐟𝟐
= ( 𝒃 − 𝒂)( 𝒄 − 𝒂)( 𝒅 − 𝒂) |
𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 𝐜 − 𝐛 𝐝 − 𝐛
𝟎 𝐜( 𝐜 − 𝐛) 𝐝( 𝐝 − 𝐛)
|
= ( 𝒃 − 𝒂)( 𝒄 − 𝒂)( 𝒅 − 𝒂)( 𝒄 − 𝒃)(𝒅 − 𝒃(𝒅 − 𝒄)
Ejemplo 2:






cb
11
))((
)()(
c-b0
-c-b0
111
cb
cb
111
22222
acab
accabb
acab
acab
aa
a
a
))()(( bcacab 
2.6 CALCULO DE LA INVERSA POR
DETERMINANTES
𝒔𝒆𝒂: 𝑨−𝟏
=
𝟏
| 𝑨|
( 𝑨∗) 𝒕
, | 𝑨| ≠ 𝟎

7. 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝑨−𝟏
: 𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂
| 𝑨|: 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑨
𝑨∗
: 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒂𝒅𝒋𝒖𝒏𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝑨
( 𝑨∗) 𝒕
: 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒅𝒋𝒖𝒏𝒕𝒂
Ejemplo:
Sea:
𝑨 = (
𝟐 𝟎 𝟏
𝟑 𝟎 𝟎
𝟓 𝟏 𝟏
)
1 Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el
determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.
𝑨 = |
𝟐 𝟎 𝟏
𝟑 𝟎 𝟎
𝟓 𝟏 𝟏
| = 𝟑
2 Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se
sustituye por su adjunto.
𝑨∗
=
(
|
𝟎 𝟎
𝟏 𝟏
| − |
𝟑 𝟎
𝟓 𝟏
| |
𝟑 𝟎
𝟓 𝟏
|
− | 𝟎 𝟏
𝟏 𝟏
| | 𝟐 𝟏
𝟓 𝟏
| − | 𝟐 𝟎
𝟓 𝟏
|
| 𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
| − | 𝟐 𝟏
𝟑 𝟎
| | 𝟐 𝟎
𝟑 𝟎
| )
= (
𝟎 −𝟑 𝟑
𝟏 −𝟑 −𝟐
𝟎 𝟑 𝟎
)
3.Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.
( 𝑨∗) 𝒕
= (
𝟎 𝟏 𝟎
−𝟑 −𝟑 𝟑
𝟑 −𝟐 𝟎
)

8. 4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la
matriz traspuesta de la adjunta.
𝑨−𝟏
=
𝟏
𝟑
(
𝟎 𝟏 𝟎
−𝟑 −𝟑 𝟑
𝟑 −𝟐 𝟎
)
Ejemplo:
Calcular la inversa de A
𝑺𝒆𝒂 𝑨 = (
𝝀 𝟏 𝟏
𝟏 𝝀 𝟏
𝟏 𝟏 𝝀
)
Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante
sea nulo la matriz no tendrá inversa.
𝒅𝒆𝒕( 𝑨) = ( 𝝀 + 𝟐)( 𝝀 − 𝟏)( 𝝀 − 𝟏)
∴ ∃ 𝒅𝒆𝒕( 𝑨),∀𝝀 ∈ ℝ − {−𝟐, 𝟏}
Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se
sustituye por su adjunto
𝑨∗
=
(
|
𝝀 𝟏
𝟏 𝝀
| −|
𝟏 𝟏
𝟏 𝝀
| |
𝟏 𝝀
𝟏 𝟏
|
−|
𝟏 𝟏
𝟏 𝝀
| |
𝝀 𝟏
𝟏 𝝀
| −|
𝝀 𝟏
𝟏 𝟏
|
|
𝟏 𝟏
𝝀 𝟏
| −|
𝝀 𝟏
𝟏 𝟏
| |
𝝀 𝟏
𝟏 𝟏
| )
= (
𝝀 𝟐
− 𝟏 𝟏 − 𝝀 𝟏 − 𝝀
𝟏 − 𝝀 𝝀 𝟐
− 𝟏 𝟏 − 𝝀
𝟏 − 𝝀 𝟏 − 𝝀 𝝀 𝟐
− 𝟏
)
Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta

9. ( 𝑨∗) 𝒕
= (
𝝀 𝟐
− 𝟏 𝟏 − 𝝀 𝟏 − 𝝀
𝟏 − 𝝀 𝝀 𝟐
− 𝟏 𝟏 − 𝝀
𝟏 − 𝝀 𝟏 − 𝝀 𝝀 𝟐
− 𝟏
)
La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la
matriz traspuesta de la adjunta.
𝑨−𝟏
=
𝟏
( 𝝀 + 𝟐)( 𝝀 − 𝟏)( 𝝀 − 𝟏)
(
𝝀 𝟐
− 𝟏 𝟏 − 𝝀 𝟏 − 𝝀
𝟏 − 𝝀 𝝀 𝟐
− 𝟏 𝟏 − 𝝀
𝟏 − 𝝀 𝟏 − 𝝀 𝝀 𝟐
− 𝟏
)