1. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 06. Hình học giải tích không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Bài 1. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho
1 2
(1,4,2), ( 1,2,4), :
1 1 2
x y z
A B
 
   

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác AOB và ( )AOB
b) Tìm M  sao cho 2 2
MA MB nhỏ nhất.
Giải
a) G(0, 2, 2)
- Đường thẳng d cần tìm đi qua G và có VTCP
, (12, 6,6)u OA OB    
  
nên có phương trình:
0 2 2
12 6 6
2 2
2 1 1
x y z
x y z
  
 

 
  

b)  có phương trình tham số:
1
2
2
x t
y t
z t
 

  
 
- M  => M(1 – t, - 2 + t, 2t)
Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2
( 6) (2 2) (2 ) ( 4) (2 4)MA MB t t t t t t           
2
2
12 48 76
12( 2) 28 28
t t
t
  
   
 2 2
MA MB nhỏ nhất bằng 28  t=2 => M(- 1, 0, 4)
Bài 2. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho 1 2
1
1 2
: , : 1 , (0,1,1)
8 1 1
x
x y z
d d y t M
z t
 
  
    
 
Viết phương trình đường thẳng  qua M và  với cả hai đường thẳng 1d , 2d .
Giải
- 1d , 2d có VTCP lần lượt là: 1 2(8,1,1), (0,1,1)u u
 
-   với cả 1d , 2d nên  có VTCP:
 1 2, (8,1,1),(0,1,1)
1 1 1 8 8 1
( , , ) (0, 8,8)
1 1 1 0 0 1
u u u   
  
  
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 2. Phương trình đường thẳng thuộc khóa học
LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến
thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 2. Phương trình đường thẳng. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học
trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

2. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 06. Hình học giải tích không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
-
(0,1,1)
:
(0, 8,8)
qua M
VTCPu

 

 =>  có phương trình tham số:
0
1 8
2 8
x
y s
z s


 
  
Bài 3. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho
3 2
( 4, 2,4), : 1
1 4
x t
A d y t
z t
  

   
   
Viết phương trình đường thẳng  qua A và cắt  với d.
Giải
- Lấy B d => B(-3+2t, 1 – t, - 1 +4t)
- d có VTCP (2, 1,4)dU 

- . 0d dAB d AB U ABU    
   
(1 2 ,3 , 5 4 ).(2, 1,4) 0
(1 2 ).2 (3 )( 1) (4 5).4 0
1 ( 1,0,3)
t t t
t t t
t B
      
       
   
( 4, 2,4)
:
(3;2; 1)
qua A
VT AB
 
 

 =>  có phương trình:
4 2 4
3 2 1
x y z  
 

Bài 4. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho 1 2
2 2
2 1
: , : 3
1 1 2
x t
x y z
d d y
z t
 
  
  
  
Viết phương trình đường  chung của 1 2,d d .
Giải
- 1d có phương trình tham số:
2
1
2
x s
y s
z s
 

 
 
- Lấy 1 2,M d N d  => M(2 + s, 1 – s, 2s), N(2 – 2t, 3, t)
1 2,d d có VTCP lần lượt là: 1 2(1, 1,2), ( 2,0,1)u u 
 
MN là đường  chung của 1 2,d d
1 1
2 2
. 0
. 0
MN u MN u
MN u MN u
   
  
   
   
   
1
( 2 ,2 , 2 ).(1, 1,2) 0 6 2 0
3
( 2 ,2 , 2 ).( 2,0,1) 0 5 0
0
t s s t s s s
t s s t s t
t

           
    
         
5 4 2
( , , ), (2,3,0)
3 3 3
M N


- đường  chung củad đi qua N(2, 3, 0) và có VTCP
1 5 2
( , , )
3 3 3
u MN 
 
nên có phương trình:
2 3 2 3
1 5 2 1 5 2
3 3 3
x y z x y z   
    

3. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 06. Hình học giải tích không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
Bài 5. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho (P): x – 2y + 2z – 5= 0, A( - 3, 0, 1), B(1, - 1, 3). Trong
các đường thẳng đi qua A và //(P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường
thẳng đó là nhỏ nhất.
Giải
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa tất cả những đường thẳng đi qua A và //(P).
Khi đó (Q) có phương trình: 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) =0
 x – 2y + 2z +1 = 0
Đường thẳng  đi qua B và ( )Q có phương trình:
1
1 2
3 2
x t
y t
z t
 

  
  
Gọi I là hình chiếu  của B trên (Q).
 Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:
1 , 1 2 , 3 2 10
2 2 1 0 9
1 11 7
( , , )
9 9 9
x t y t z t
t
x y z
I
       
 
   


- Gọi BH là khoảng cách từ B tới một đường thẳng bất kì trong số các đường thẳng đi qua A
và //(P). Khi đó ta có: BH BI => BH nhỏ nhất H I 
 Đường thẳng cần tìm chính là đường đi qua 2 điểm A, I. Do đó phương trình đường thẳng cần tìm
là:
3 1 26 11 2
( ( , , ))
26 11 2 9 9 9
x y z
AH
  
  


Bài 6. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho : 1 ,( ) : 2 3 5 0
1
x t
d y t P x y z
z


     
  
Viết phương trình hình chiếu  của d lên (P).
Giải
Cách 1:
- Viết phương trình (Q) chứa d và  (P)
- Hình chiếu  của d lên (P) là giao tuyến của (P) và (Q)
Cách 2:
- Tìm A d (P)
- Lấy Bd, và  qua B và  mp(P)
- Tìm I= mp(P)
Hình chiếu cần tìm là đường AI
- d qua M(0, 1, - 1), VTCP (1,1,0)du

- (P) có VTPT (2, 3,1)pn 

- (Q) chứa d và ( )P sẽ qua M(0, 1, - 1) có VTPT :
 , (1,1,0),(2, 3,1) (1, 1, 5)Q d Pn u n       
  
Nên (Q) có phương trình:
1(x – 0) – 1(y – 1) – 5(z + 1) = 0
 x – y – 5z – 4 = 0

4. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 06. Hình học giải tích không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -
- Gọi  là hình chiếu của d lên (P) khi đó  chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)
(1,2, 1)
:
, (16,11,1)P Q
qua I
VTCP u n n

      
   =>  có phương trình:
1 2 1
16 11 1
x y z  
 
Hoặc  có phương trình:
2 3 5 0
5 4 0
x y z
x y z
   

   
=> phương trình tham số:
1 16
2 11
1
x t
y t
z t
 

 
   
Bài 7. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho
7
2 ,( ): 2 2 2 0
3 2 2
x
y z
P x y z

     
 
. Viết phương
trình hình chiếu  của d lên (P).
Giải
- d có phương trình tham số:
7
3
2
2
2
x t
y t
z t

 

 
  


Gọi ( )A d P  => tọa độ A là nghiệm của hệ:
7
3
2
12 (2,1,1)
2
2
2 2 2 0
x t
y t t A
z t
x y z

 
      
  

   
Lấy
7
( ,0,0)
2
B d . Phương trình đường thẳng  qua B và  (P) là:
7
2
2
2
x u
y u
z u

 


  


( nhận VTPT là (1,2, 2)n  

làm VTCP)
Gọi ( )I P  => Tọa độ I là nghiệm của hệ:
7
, 2 , 2
2
2 2 2 0
x u y u z u
x y z

    

    

1 10 1 1
( , , )
6 3 3 3
u I
 
 
Hình chiếu  của d lên (P) đi qua A(2, 1, 1) có VTCP:
4 4 2
( , , )
3 3 3
AI
 
nên có phương trình:
2 1 1
4 4 2
x y z  
 
 
Bài 8. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho Tứ diện ABCD, A(1, 0, 2), B(1, 1, 0), C(0, 0, 1), D(1,
1, 1). M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD. Tìm Q AD để hai đường thẳng MP và NQ cắt
nhau.
Giải

5. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 06. Hình học giải tích không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 -
1 1 1 1 1 1
(1, ,1), ( , , ), ( , ,1)
2 2 2 2 2 2
M N P
Gọi R là mặt phẳng chứa 2 đường cắt nhau MP và NQ. Khi đó
(R):
1
(1, ,1)
2
1
, (0, ,0)
4
qua M
VTPT n MN MP



    
  
=> (R) có phương trình:
1 1
0( 1) ( ) 0( 1) 0 2 1 0
4 2
x y z y        
(1,0,2)
:
(0,1, 1)
qua A
AD
VTPT AD


 
 => AD có phương trình:
1
2
x
y t
z t



  
( )Q AD R  => tọa độ Q là nghiệm của hệ:
1, , 2 1 3
(1, , )
2 1 0 2 2
x y t z t
Q
y
   

 
Bài 9. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho A(2, -1,3), (P): x – 2y + z – 1 =0.
Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua (P).
Giải
(P) có VTPT: (1, 2,1)n 

Đường thẳng d qua A và  (P) có phương trình:
2
1 2
3
x t
y t
z t
 

  
  
Gọi ( )I d P  => tọa độ I là nghiệm của hệ:
2 , 1 2 , 3
1 (1,1,2)
2 1 0
x t y t z t
t I
x y z
      
  
   
(lưu ý: I gọi là hình chiếu  của A trên (P))
- A’ đối xứng với A qua (P) thì I phải là trung điểm của AA’
Vậy A’(0, 3, 1)
Bài 10. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho
2 2 3
(1,2,3), :
2 1 1
x y z
A d
  
 

. Tìm A’ đối xứng
với A qua d.
Giải
Cách 1:
- d có VTCP (2, 1,1)u 

- d có phương trình tham số:
2 2
2 2
3
x t
y t
z t
 

  
  
(P) qua A và  d có phương trình:
2(x – 1) – 1(y – 2) + 1(z – 3) = 0
 2x – y + z – 3 = 0 ((P) nhận u

làm VTPT)
Gọi ( )I d P  => tọa độ I là nghiệm của hệ:
2 2 , 2 2 , 3
2 3 0
x t y t z t
x y z
      

   

6. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 06. Hình học giải tích không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 -
 t = - 1 => I(0, -1, 2) (I là hình chiếu  của A trên d)
- A’ đối xứng với A qua d thì I phải là trung điểm của AA’ '( 1, 4,1)A  
Cách 2:
- d có VTPT (2, 1,1)u 

- d có phương trình tham số: 2 2 , 2 2 , 3x t y t z t      
Lấy I d => I(2 + 2t, - 2 – 2t, 3 + t)
. 0AI d AI u AI u    
   
(1 2 , 4 , ).(2, 1,1) 0
6 6 0
1 (0, 1,2)
u u u
u
u I
     
  
    
A’ đối xứng với A qua d thì I phải là trung điểm của AA’ => A’(-1,-4,1)
Bài 11. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho A(3, 3, 1), B(0, 2, 1), (P): x + y + z – 7 = 0.
Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho mọi điểm trên d luôn cách đều A, B.
Giải
Gọi I là trung điểm của AB =>
3 5
( , ,1)
2 2
I
Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của AB khi đó:
3 5
( , ,1)
( ): 2 2
(3,1,0)
qua I
Q
VTPT BA






 (Q) có phương trình:

3 5
3( ) 1( ) 0( 1) 0
2 2
3 7 0
x y z
x y
     
   
Để mọi điểm trên d luôn cách đều 2 điểm A, B thì d phải nằm trong (Q). Mặt khác d nằm trong (P) nên d
chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q):
 
(0,7,0)
:
, (3,1,0),(1,1,1) ( 1,3, 2)P
qua M
d
VTPT u BA n

        
  
d có phương trình:
7
1 3 2
x y z
 
 
(***): M là trung điểm của hai mặt phẳng (P) và (Q) => tọa độ M là nghiệm của hệ:
3 7 0 (1)
7 0 (2)
x y
x y z
  

   
. Từ (1) cho x = 0 => y = 7 thế vào (2) => z = 0. Ta được điểm M(0, 7, 0).
Giáo viên: Lê Anh Tuấn
Nguồn : Hocmai.vn