Este documento apresenta duas metodologias para calcular o volume da pirâmide: (1) relacionando-o ao volume do prisma de mesma base e altura e calculando o volume do prisma por integração dupla; (2) calculando diretamente o volume da pirâmide por integração dupla. A prática pedagógica proposta usa experimentos com bolinhas de sagu para que alunos do ensino básico concluam intuitivamente a fórmula do volume da pirâmide.

1. PRÁTICA PEDAGÓGICA:
VOLUME DA PIRÂMIDE
Bruna Moresco
Jaciel Medeiros
Maísa Palaoro de Campos
Rafaela Carraro
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
semestre 08-2

2. OBJETIVOS
Propor uma metodologia para o estudo do volume da
pirâmide em classes da Educação Básica;
Desenvolver um método para calcular o volume da
pirâmide utilizando conceitos estudados no Cálculo
Diferencial e Integral.

3. VOLUME DA PIRÂMIDE
- EDUCAÇÃO BÁSICA -
De forma intuitiva, relacionar o volume da pirâmide com
o volume do prisma (cuja base e altura são as mesmas
que as da pirâmide).
Construir sólidos a serem utilizados: prisma de base
triangular e 3 pirâmides.
Condição: as 3 pirâmides encaixadas preenchem o
prisma e duas delas têm a mesma base e a mesma
altura que o prisma.

9. Encher uma das pirâmides com bolinhas de sagu
(aquela que tem a mesma base e a mesma altura
que o prisma)
Passar a quantidade de bolinhas de uma pirâmide
para outra, mostrando que as três pirâmides
construídas têm o mesmo volume

11. Conclusão: o volume da pirâmide é do
volume do prisma de mesma base e mesma
altura que ela.
Utilizando o fato do volume do prisma ser
calculado pelo produto entre a área da base e a
altura, concluir que o VOLUME DA PIRÂMIDE É
DO PRODUTO DA ÁREA DA BASE PELA
ALTURA.

12. VOLUME DA PIRÂMIDE
- CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL -
Calcular, por integração dupla, o volume da pirâmide.
Vamos fazer isso de duas maneiras:
• Utilizando o fato do volume da pirâmide ser do
volume do prisma de mesma base e altura que ela
e calculando, por integração dupla, o volume do
prisma; e
• Calculando, por integração dupla, o volume da
pirâmide.
– Material auxiliar para visualização: primeiro octante do
espaço tridimensional, contendo a pirâmide.

13. Primeira forma: utilizando o fato do volume da
pirâmide ser do volume do prisma de mesma base
e altura que ela e calculando, por integração dupla, o
volume do prisma:
• considerar um prisma reto de base triangular
• vértices da base: (0,0), (a,0) e (0,b)
• altura do prisma: h

15. • Base do prisma: triângulo representado no plano xy
• Equação da reta que passa pelos pontos (a,0) e (0,b)

16. • A integral que define o volume do prisma é
• Calculando esta integral obtemos que o volume do
prisma é , ou seja, área da base x altura
• Utilizando o fato do volume da pirâmide ser do
volume do prisma, concluímos que o VOLUME DA
PIRÂMIDE É DO PRODUTO DA ÁREA DA
BASE PELA ALTURA.

17. Segunda forma: calculando, por integração dupla, o
volume da pirâmide
• Considerar uma pirâmide de base triangular
• Vértices da base no plano xy: (0,0), (a,0) e (0,b)
• Altura da pirâmide: h
O volume da pirâmide pode ser determinado pela
integral dupla da função que define o plano sobre a
base triangular da pirâmide representada na figura a
seguir.

19. • Determinando a equação desse plano que passa pelos
pontos A(a,0,0), B(0,b,0) e H(0,0,h), obtemos
• A integral dupla que define o volume da pirâmide é

20. • Calculando essa integral, obtemos para volume da
pirâmide
• Do fato da área do triângulo da base da pirâmide ser
, podemos concluir que o VOLUME DA PIRÂ -
MIDE É DO PRODUTO DA ÁREA DA BASE PE -
LA ALTURA.

21. CONCLUSÕES
Com a metodologia proposta para o Ensino Básico
pode-se oportunizar ao aluno, de forma intuitiva,
concluir, com base nos resultados do experimento, a
fórmula que permite calcular o volume da pirâmide
em lugar de, simplesmente, aceitá-la ou decorá-la e,
dessa forma, despertar maior interesse por parte do
aluno em aprender/estudar matemática;
Para nós, alunos de um curso de licenciatura e
futuros professores de matemática, foi importante a
realização da prática pedagógica porque ela nos
oportunizou uma reflexão acerca da “melhor forma de
ensinar o assunto”;

22. Também foi importante a oportunidade de relacionar
conteúdos que são estudados no curso superior e
conteúdos que serão ensinados no Ensino Básico;
Como futuros professores, podemos destacar a
importância da experiência de estar em frente a uma
turma;
Destacamos também a pesquisa e o planejamento da
apresentação, o que proporciona uma maior prática
da atividade docente.