1.
‫מדעי‬ ‫לתכנות‬ ‫מבוא‬
‫הרצאה‬10‫חלק‬6
‫רקורסיה‬
2017
Igor Kleiner ©

2.
‫מטרה‬
‫רקורסיה‬ ‫היא‬ ‫מה‬ ‫להבין‬
‫רקורסיביות‬ ‫בפונקציות‬ ‫בפייתון‬ ‫להשתמש‬ ‫איך‬ ‫ללמוד‬
‫ברקורסיה‬ ‫לשימוש‬ ‫שונות‬ ‫דוגמאות‬ ‫לראות‬

3.
‫רקורסיה‬
"‫רקורסיה‬ ‫להבין‬ ‫יש‬ ‫רקורסיה‬ ‫להבין‬ ‫כדי‬"

4.
‫רקורסיה‬
"‫רקורסיה‬ ‫להבין‬ ‫יש‬ ‫רקורסיה‬ ‫להבין‬ ‫כדי‬"
‫בעיות‬ ‫לפתרון‬ ‫דרך‬ ‫היא‬ ‫רקורסיה‬
‫כאשר‬‫פותרים‬‫בעיה‬‫ברקורסיה‬"‫שוברים‬"‫יותר‬ ‫קטנה‬ ‫לבעיה‬ ‫המקורית‬ ‫הבעיה‬ ‫את‬,‫וכך‬
‫לפתור‬ ‫יודעים‬ ‫שאותה‬ ‫טריוויאלית‬ ‫קטנה‬ ‫לבעיה‬ ‫שמגיעים‬ ‫עד‬ ‫ממשיכים‬

5.
‫הדגמה‬
‫לחשב‬ ‫צריכים‬ ‫שאנו‬ ‫נניח‬5!‫שאנו‬ ‫ונניח‬‫החישוב‬ ‫את‬ ‫לבצע‬ ‫איך‬ ‫יודיעם‬ ‫לא‬
‫ננסה‬‫חישוב‬ ‫הביעה‬ ‫את‬ ‫לשבור‬5!‫קטנה‬ ‫יותר‬ ‫לבעיה‬:‫של‬ ‫חישוב‬4!

6.
‫הדגמה‬
•‫לחשב‬ ‫צריכים‬ ‫שאנו‬ ‫נניח‬5!‫שאנו‬ ‫ונניח‬‫החישוב‬ ‫את‬ ‫לבצע‬ ‫איך‬ ‫יודיעם‬ ‫לא‬
•‫ננסה‬‫חישוב‬ ‫הביעה‬ ‫את‬ ‫לשבור‬!5‫של‬ ‫חישוב‬ ‫קטנה‬ ‫יותר‬ ‫לבעיה‬4!
•‫ו‬ ‫היות‬ ‫קשה‬ ‫לא‬ ‫זה‬-5!=5*4!‫לכן‬‫לחשב‬ ‫לנו‬ ‫מספיק‬4!
•‫ננסה‬‫לשבור‬‫את‬‫הביעה‬‫חישוב‬4!‫של‬ ‫חישוב‬ ‫קטנה‬ ‫יותר‬ ‫לבעיה‬3!
•4!=4*3!,‫לחשב‬ ‫כדי‬3!‫של‬ ‫בחישוב‬ ‫נעזר‬2!,3!=3*2!,‫ואז‬2!=2*1!=2*1

7.
‫הדגמה‬
‫בכתיב‬‫אחר‬:
Factorial(n)=n*factorial(n-1)
Factorial(1)=1
‫רקורסיה‬ ‫משוואת‬
‫עצירה‬ ‫תנאי‬

8.
‫הדגמה‬
‫בכתיב‬‫אחר‬:
Factorial(n)=n*factorial(n-1)
Factorial(1)=1
‫רקורסיה‬ ‫משוואת‬
‫עצירה‬ ‫תנאי‬

9.
‫הדגמה‬
‫בכתיב‬‫אחר‬:
Factorial(n)=n*factorial(n-1)
Factorial(1)=1
‫רקורסיה‬ ‫משוואת‬
‫עצירה‬ ‫תנאי‬

10.
3‫חוקים‬‫של‬‫רקורסיה‬
.1‫עצירה‬ ‫תנאי‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫תמיד‬ ‫לרקורסיה‬(base case)

11.
3‫חוקים‬‫של‬‫רקורסיה‬
.1‫עצירה‬ ‫תנאי‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫תמיד‬ ‫לרקורסיה‬(base case)
.2‫עצירה‬ ‫תנאי‬ ‫של‬ ‫לכיוון‬ ‫מתקרבים‬ ‫צעד‬ ‫כל‬ ‫אנו‬ ‫רקורסיבי‬ ‫בפתרון‬(‫יותר‬ ‫בעיה‬ ‫פותרים‬
‫פשוטה‬)

12.
3‫חוקים‬‫של‬‫רקורסיה‬
.1‫עצירה‬ ‫תנאי‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫תמיד‬ ‫לרקורסיה‬(base case)
.2‫עצירה‬ ‫תנאי‬ ‫של‬ ‫לכיוון‬ ‫מתקרבים‬ ‫צעד‬ ‫כל‬ ‫אנו‬ ‫רקורסיבי‬ ‫בפתרון‬(‫יותר‬ ‫בעיה‬ ‫פותרים‬
‫פשוטה‬)
.3‫לעצמה‬ ‫קוראת‬ ‫רקורסיבית‬ ‫פונקציה‬

13.
3‫חוקים‬‫של‬‫רקורסיה‬
.1‫עצירה‬ ‫תנאי‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫תמיד‬ ‫לרקורסיה‬(base case)
.2‫עצירה‬ ‫תנאי‬ ‫של‬ ‫לכיוון‬ ‫מתקרבים‬ ‫צעד‬ ‫כל‬ ‫אנו‬ ‫רקורסיבי‬ ‫בפתרון‬(‫יותר‬ ‫בעיה‬ ‫פותרים‬
‫פשוטה‬)
.3‫לעצמה‬ ‫קוראת‬ ‫רקורסיבית‬ ‫פונקציה‬

14.
‫הדגמה‬:‫עצרת‬ ‫חישוב‬

15.
‫הדגמה‬:‫עצרת‬ ‫חישוב‬

16.
‫דוגמא‬2:
‫חשב‬:S(n)=1+2+3+4+….+n‫בעזרת‬‫רקורסי‬‫ה‬

17.
‫דוגמא‬2:
‫חשב‬:S(n)=1+2+3+4+….+n‫בעזרת‬‫רקורסיה‬
‫תנאי‬‫עצירה‬:S(?)=?

18.
‫דוגמא‬2:
‫חשב‬:S(n)=1+2+3+4+….+n‫בעזרת‬‫רקורסיה‬
‫תנאי‬‫עצירה‬:S(0)=0

19.
‫דוגמא‬2:
‫חשב‬:S(n)=1+2+3+4+….+n‫בעזרת‬‫רקורסיה‬
‫תנאי‬‫עצירה‬:S(0)=0
‫משוואת‬‫רקורסיה‬:S(n)=S(?)??

20.
‫דוגמא‬2:
‫חשב‬:S(n)=1+2+3+4+….+n‫בעזרת‬‫רקורסיה‬
‫תנאי‬‫עצירה‬:S(0)=0
‫משוואת‬‫רקורסיה‬:S(n)=S(n-1)+?

21.
‫דוגמא‬2:
‫חשב‬:S(n)=1+2+3+4+….+n‫בעזרת‬‫רקורסיה‬
‫תנאי‬‫עצירה‬:S(0)=0
‫משוואת‬‫רקורסיה‬:S(n)=S(n-1)+n

22.
‫דוגמא‬2:
‫חשב‬:S(n)=1+2+3+4+….+n‫בעזרת‬‫רקורסיה‬
‫תנאי‬‫עצירה‬:S(0)=0
‫משוואת‬‫רקורסיה‬:S(n)=S(n-1)+n

23.
‫דוגמא‬2:
‫חשב‬:S(n)=1+2+3+4+….+n‫בעזרת‬‫רקורסיה‬
‫תנאי‬‫עצירה‬:S(0)=0
‫משוואת‬‫רקורסיה‬:S(n)=S(n-1)+n

24.
‫דוגמא‬2:
‫חשב‬:S(n)=1+2+3+4+….+n‫בעזרת‬‫רקורסיה‬
‫תנאי‬‫עצירה‬:S(0)=0
‫משוואת‬‫רקורסיה‬:S(n)=S(n-1)+n

25.
‫דוגמא‬2:
‫חשב‬:S(n)=1+2+3+4+….+n‫בעזרת‬‫רקורסיה‬
‫תנאי‬‫עצירה‬:S(0)=0
‫משוואת‬‫רקורסיה‬:S(n)=S(n-1)+n
‫פתרון‬‫ללא‬‫רקורסיה‬:

26.
‫דוגמא‬3:
‫האם‬‫מחרוזת‬S‫היא‬‫פולינדרום‬?

27.
‫דוגמא‬3:
‫האם‬‫מחרוזת‬S‫היא‬‫פולינדרום‬?BlaabllbaalB
‫מחרוזת‬‫באורך‬‫גדול‬‫מ‬-2,‫כ‬‫לומר‬aTb‫היא‬‫פולינדרום‬‫אם‬"‫מ‬:a=b‫ו‬-T‫פולינדרום‬ ‫גם‬

28.
‫דוגמא‬3:
‫האם‬‫מחרוזת‬S‫היא‬‫פולינדרום‬?BlaabllbaalB
‫מחרוזת‬‫באורך‬‫גדול‬‫מ‬-2,‫בלומר‬aTb‫היא‬‫פולינדרום‬‫אם‬"‫מ‬:a=b‫ו‬-T‫פולינדרום‬ ‫גם‬
‫תנאי‬‫עצירה‬:‫באורך‬ ‫מחרוזת‬ ‫כל‬1‫או‬0‫פולינדרום‬
‫צעד‬‫רקורסיה‬:‫מ‬ ‫גדול‬ ‫מחרוזת‬ ‫אורך‬ ‫אם‬-2‫אזי‬S=aTb‫היא‬‫פולינדרים‬‫אם‬"‫ם‬a=b‫ו‬-T‫גם‬
‫פולינדרום‬

29.
‫דוגמא‬3:
‫האם‬‫מחרוזת‬S‫היא‬‫פולינדרום‬?BlaabllbaalB
‫מחרוזת‬‫באורך‬‫גדול‬‫מ‬-2,‫בלומר‬aTb‫היא‬‫פולינדרום‬‫אם‬"‫מ‬:a=b‫ו‬-T‫פולינדרום‬ ‫גם‬
‫תנאי‬‫עצירה‬:‫באורך‬ ‫מחרוזת‬ ‫כל‬1‫או‬0‫פולינדרום‬
‫צעד‬‫רקורסיה‬:‫מ‬ ‫גדול‬ ‫מחרוזת‬ ‫אורך‬ ‫אם‬-2‫אזי‬S=aTb‫היא‬‫פולינדרים‬‫אם‬"‫ם‬a=b‫ו‬-T‫גם‬
‫פולינדרום‬

30.
‫דוגמא‬3:
‫האם‬‫מחרוזת‬S‫היא‬‫פולינדרום‬?BlaabllbaalB
‫מחרוזת‬‫באורך‬‫גדול‬‫מ‬-2,‫בלומר‬aTb‫היא‬‫פולינדרום‬‫אם‬"‫מ‬:a=b‫ו‬-T‫פולינדרום‬ ‫גם‬
‫תנאי‬‫עצירה‬:‫באורך‬ ‫מחרוזת‬ ‫כל‬1‫או‬0‫פולינדרום‬
‫צעד‬‫רקורסיה‬:‫מ‬ ‫גדול‬ ‫מחרוזת‬ ‫אורך‬ ‫אם‬-2‫אזי‬S=aTb‫היא‬‫פולינדרים‬‫אם‬"‫ם‬a=b‫ו‬-T‫גם‬
‫פולינדרום‬

31.
‫דוגמא‬3:
‫האם‬‫מחרוזת‬S‫היא‬‫פולינדרום‬?BlaabllbaalB
‫מחרוזת‬‫באורך‬‫גדול‬‫מ‬-2,‫בלומר‬aTb‫היא‬‫פולינדרום‬‫אם‬"‫מ‬:a=b‫ו‬-T‫פולינדרום‬ ‫גם‬
‫תנאי‬‫עצירה‬:‫באורך‬ ‫מחרוזת‬ ‫כל‬1‫או‬0‫פולינדרום‬
‫צעד‬‫רקורסיה‬:‫מ‬ ‫גדול‬ ‫מחרוזת‬ ‫אורך‬ ‫אם‬-2‫אזי‬S=aTb‫היא‬‫פולינדרים‬‫אם‬"‫ם‬a=b‫ו‬-T‫גם‬
‫פולינדרום‬

32.
‫דוגמא‬4:
‫סדרה‬‫פיבונצי‬:
‫תזכורת‬:
F(0)=1,F(1)=1, F(N)=F(N-1)+F(N-2)

33.
‫דוגמא‬4:
‫סדרה‬‫פיבונצי‬:
‫תזכורת‬:
F(0)=1,F(1)=1, F(N)=F(N-1)+F(N-2)
‫פתרון‬‫רקורסיבי‬:
‫תנאי‬‫עצירה‬:?

34.
‫דוגמא‬4:
‫סדרה‬‫פיבונצי‬:
‫תזכורת‬:
F(0)=1,F(1)=1, F(N)=F(N-1)+F(N-2)
‫פתרון‬‫רקורסיבי‬:
‫תנאי‬‫עצירה‬:F(0)=1,F(1)=1

35.
‫דוגמא‬4:
‫סדרה‬‫פיבונצי‬:
‫תזכורת‬:
F(0)=1,F(1)=1, F(N)=F(N-1)+F(N-2)
‫פתרון‬‫רקורסיבי‬:
‫תנאי‬‫עצירה‬:F(0)=1,F(1)=1
‫משוואת‬‫רקורסיה‬:?

36.
‫דוגמא‬4:
‫סדרה‬‫פיבונצי‬:
‫תזכורת‬:
F(0)=1,F(1)=1, F(N)=F(N-1)+F(N-2)
‫פתרון‬‫רקורסיבי‬:
‫תנאי‬‫עצירה‬:F(0)=1,F(1)=1
‫משוואת‬‫רקורסיה‬:F(N)=F(N-1)+F(N-2)

37.
‫דוגמא‬4:
‫פיבונאצ‬ ‫סדרה‬'‫י‬:
‫תזכורת‬:
F(0)=1,F(1)=1, F(N)=F(N-1)+F(N-2)
‫פתרון‬‫רקורסיבי‬:
‫תנאי‬‫עצירה‬:F(0)=1,F(1)=1
‫משוואת‬‫רקורסיה‬:F(N)=F(N-1)+F(N-2)

38.
‫דוגמא‬4:
‫סדרה‬‫פי‬‫ב‬‫ונצי‬:
F(0)=1,F(1)=1, F(N)=F(N-1)+F(N-2)
‫פתרון‬‫לא‬‫רקורסיב‬‫י‬
http://www.codeskulptor.org/#user42_t2xQVItJnu_1.py

39.
‫סיכום‬
‫לעצמה‬ ‫לקרוא‬ ‫יכולה‬ ‫פונקציה‬
‫רקורסיה‬ ‫דרך‬ ‫בעיה‬ ‫לפתור‬ ‫קל‬ ‫לפעמים‬
‫עצירה‬ ‫תנאי‬ ‫לציין‬ ‫חשוב‬ ‫רקורסיבי‬ ‫בפתרון‬
‫חשוב‬‫להגדיר‬‫משוואת‬‫רקורסיה‬‫נכון‬