1. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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2.
3. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
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4. Área do retângulo
Quadrado de 1 unidade de área = 1m2
Quantas unidades de área cabe nesse retângulo?
8 unidades de área= 8 m2
Área do retângulo = base x altura
8. • FÓRMULA DE HERON- Área de região
triangular
Se um triângulo possui os lados medindo a, b e c
e o seu perímetro é indicado por 2p=a+b+c,
então a área da região triangular será dada
por
A = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]
onde R[x] é a notação para a raiz quadrada de
x>0.
12. Área do triangulo utilizando seno de um
dos seus ângulos
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13. Área do trapézio
h
b
b1 b2
(b1.h/2
I
II
+b.h/2
III
+b2.h/2)
Soma das áreas I, II e III
= h(b1+b2+b)/2
Base
maior
Base
menor
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Área do trapézio através de dois triângulos
b
B
(B.h/2 + b.h/2)= h(B + b) / 2
h
15. Área do paralelogramo
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h
b B
bB
h.(B+b)/22 = (B+b).h
18. Vamos ajudar a abelhinha pegar o
mel da florzinha, pelo menor
caminho?
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20. FÓRMULA DE PICK
Para polígonos cujos vértices são
pontos de uma malha quadriculada
A = B/2 + I - 1
B = quantidade de pontos situados
na fronteira
I = quantidade de pontos no interior
do polígono
23. Área da região circular
área graus
πr2 360°
região
verde θ
24. Área do segmento circular
Área do segmento circular =
Área do setor OPRQ – Área do triângulo OPQ
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26. Uma laranja de 12 gomos iguais
assemelha-se a uma esfera de
raio R. Qual a área da superfície
total de cada gomo?
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27. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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360° 4πr2
(:12)
Área externa do gomo = 4πr2 /12= πr2 /3
Área do gomo = πr2 + πr2 /3 = 4πr2 /3
28. • OFICINA DE GEOMETRIA.pptx
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30. • Planificação de um cubo em perspectiva
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31. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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32. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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33. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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34. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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35.
36. TRIÂNGULOS SEMELHANTES
O perfil do telhado de uma casa tem o formato de um
triângulo escaleno
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37. • Unindo o ponto mais alto do telhado (A) à base
(BC), será colocada uma viga de madeira (AD),
de modo que o ângulo ADB seja congruente ao
ângulo BAC (α). Qual é, em metros, a medida
dessa viga?
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38. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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41. • De acordo com as medidas indicadas na
figura, qual a medida de x?
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x
8
10
4
54. Poesia Matemática
Às folhas tantas do livro matemático
um Quociente apaixonou-se um dia
Doidamente por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a, do Ápice à Base, uma figura
ímpar:
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55. olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo octogonal, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela
até que se encontraram no infinito.
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56. “Quem és tu?”, indagou ele em ânsia
radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa.”
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57. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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Millôr Fernandes é um conhecido escritor
brasileiro e colunista da revista Veja.
Em 1949 escreveu “Poesia Matemática”,
uma obra-prima. Mas, num de seus versos
há um erro de definição o que,
evidentemente, não tira o brilho da sua
obra.
O texto citado é um fragmento da poesia
de Millôr, que pode ser lida, na íntegra, no
site do escritor: Millôr Online
58. Qual é esse erro de
definição?
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59. O triângulo retângulo ABC é reto
em C.
O segmento CD é a altura de ABC
relativa à hipotenusa AB, e o
ponto E é o ponto médio de AB.
Se AC = 6 cm e CB = 8 cm,
quanto mede DE?
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62. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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A
B
xA
yA
xB
yB
dAB
dAB = distância entre A e B
dAB
2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2
67. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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(0,yA)
β
(x,y)
(x,y) representa os infinitos pontos da reta
m=(y – yA) / (x- 0)
y = mx + yA
71. Calcular a distancia o ponto P (2;15) à reta
r: y=3x +1
d?
3.2 +1 = 77
1
3
Q M
B
APB MQB
AP/PB = QM/QB
d/8 = 1/
Logo d=
72. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA
y
x
P ax+by=c
ax + by=c’
d=?
M
N bx-ay=0
ax+by=c
bx-ay=0
(a)
(b)
acxba )( 22
02
2
abyxb
acabyxa
22
ba
ac
x
ax+by=c
bx-ay=0
(-b)
(a)
02
2
yaabx
cbybabx
cbyba )( 22
22
ba
cb
y
73. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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);( 2222
ba
cb
ba
ac
N
)
'
;
'
( 2222
ba
bc
ba
ac
M
74. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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2
2222
2
2222
2
)
'
)
'
(
ba
bc
ba
bc
ba
ac
ba
ac
dMN
2
222222
2
22
2
222222
2
22
)
'
(
)(
'
)(
2)(
)
'
(
)(
'
)(
2)(
ba
bc
ba
bc
ba
bc
ba
bc
ba
ac
ba
ac
ba
ac
ba
ac
22222222222
)/()''2''2( bacbbcbccbcaacacca
)('2)'()'( 22222222
baccccbcca
75. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês
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)'2)(())('( 222222
ccbabacc
2222222
)/()'2')(( baccccba
222222
)/()')(( baccba
22
'
ba
cc
dMN
76. • Se P=(x0,y0)
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ax0+by0=c’
22
00
ba
cbyax
77. Equação da reta em diferentes contextos
Um fazendeiro dispõe de 18 alqueires para
plantar milho e alfafa.Sabendo-se que o
fazendeiro pode optar por deixar uma parte
das terras sem plantar qualquer uma das
culturas e que devem ser plantados no
mínimo 5 alqueires de milho, qual a região do
plantio que corresponde aos pares (x,y) que
satisfazem as condições formuladas?
x - a área a ser plantada de milho e
y - a área a ser plantada de alfafa
78. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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y
x
18
185
x+y=18
x≥5
79. • E se tivesse que ser plantado no mínimo 5
alqueires de milho, e no mínimo 3 alqueires
de alfafa, qual a região no plano que
corresponde aos pares (x,y) que satisfazem as
condições formuladas?
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80. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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y
x
18
185
x+y=18
x≥5
3 y≥3
81. Uma fábrica utiliza dois tipos de máquinas, M1 e
M2, para produzir dois tipos de produtos, P1 e P2.
Cada unidade de P1 exige 2h de trabalho de M1 e
2h de M2; cada unidade de P2 exige 1 hora de
trabalho de M1 e 4h de M2. Sabendo que as
máquinas M1 e M2 podem trabalhar no máximo 10
h por dia e 16 h por dia, respectivamente,e que o
lucro unitário, na venda e P1, é igual a 40 reais,
enquanto na venda de P2, o lucro unitário é de 60
reais. Representando por x a quantidade diária a
ser produzida e P1 e por y a quantidade a ser
produzida de P2, responda:
82. Qual a relação entre x e y de modo que o
tempo de utilização da máquina M1 não
ultrapasse as horas diárias permitidas?
x
y
2x+1y≤1010
5
2x+1y≤10
83. Qual a relação entre x e y de modo que o
tempo de utilização da máquina M2 não
ultrapasse as horas diárias permitidas?
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2x+ 4y≤16
y
x
4
8
84. Represente a região do plano cartesiano que
corresponde aos pontos (x;y) que satisfazem
simultaneamente as duas restrições.
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10
5
4
8
2x+y≤10
2x+4y≤16
Quadrilátero de vértices
(0,0) ; (5.0) ; (0,4) e ?
1642
102
yx
yx(4,2)
85. Qual a expressão do lucro total L que resulta
da venda de todas as unidades produzidas de
P1 e P2?
P1- x - lucro 40
P2- y - lucro 60
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L=40x+60y
86. Represente os pontos do plano que
correspondem a um lucro total igual a 120
reais
L=40x+60y
120=40x+60y
y
x
2
3
87. Qual o ponto da região que satisfaz
simultaneamente as duas restrições e que
corresponde ao lucro máximo?
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2
3
120=40x+60y
4
L
L
L=40x+60y
L= 40.4+60.2=160+120
L= 280 reais
88. CORREÇÃO DE ALGUNS EXERCÍCIOS
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89. O lado do quadrado maior mede “a”.
Supondo que a seqüência d e quadrados
menores construídos em seu interior
continuem apresentando o mesmo
padrão de regularidade, indicado na
figura, conclui-se que a diagonal do
décimo quadrado, quando todos estão
ordenados em ordem decrescente de
perímetro, mede
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90. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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diagonalaad a
1222
1
2
1
2
1
222
2 )
2
()
2
()
2
()
2
(
aaaa
d
2
2
2
2
2
3 )
2
()
2
(
aa
d
2
9
2
9
2
10 )
2
()
2
(
aa
d
512
2a
91.
92. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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PRISMAS
Bases: são polígonos de mesma forma
Faces: laterais são paralelogramos
Nome: é dado pela forma de sua base
Aresta lateral :
perpendicular às bases – reto
caso contrário – oblíquo
http://www2.ucg.br/design/da2/solidosgeometricos.pdf
93. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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12cm
6cm
6cm
6cm
6cm
12cm
120°
Possuem a mesma área total?
Caixas de presente
94. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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120° 60°
H
6cm
sen60°= H/6
62
3 H
cmH 2,533
Área total= 350,4cm2
Área total prisma reto = 360cm2
95. • Qual o maior lápis que se pode guardar, nas
caixas abaixo, sem que a ponta fique de fora?
• Formato de paralelepípedo reto-retângulo
com 3cm de comprimento, 4cm de
profundidade e 12cm de altura.
• Formato de prisma regular triangular de
aresta da base 12cm e altura 16cm.
• Formato de prisma regular hexagonal , com
aresta de base 6cm e altura 8cm
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96. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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97. O Volume de um Prisma e o Princípio
de Cavalieri
Cartas
98. • Tomando dois sólidos com base de
mesma área e sobre um mesmo
plano, se todas as seções paralelas à
base dos dois sólidos tem a mesma
área, então os dois sólidos têm o
mesmo volume.
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99.
100. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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104. VOLUME INTERNO X QUANTIDADE DE
MATERIAL UTILIZADO
(DISTRIUIR 2 FOLHAS SULFITES)
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105. Construir alvéolos:
Com uma folha a parte lateral e com
a outra as bases
Prisma triangular regular
Prisma quadrangular regular
Prisma hexagonal regular
106. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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107. • Perímetro: lado maior da folha
• Perímetro do triangulo: 3x
• Perímetro do quadrado: 4y
• Perímetro do hexágono: 6z
• 3x=4y=6z y=3x/4 e z= x/2
• Os 3 prismas tem a mesma altura - lado
menor da folha
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108. • Volume do prisma: área da base x altura
Triangular regular :
Quadrangular regular:
Hexagonal regular:
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h
x
.
4
32
h
x
.
16
9 2
h
x
.
8
33 2
110. CILINDROS: (podemos imaginar)
Prisma regular cuja base teve o número
de lados sucessivamente aumentado,
aproximando-se de um círculo.
Sólido de Revolução
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111. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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112. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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113. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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114. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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115. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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116. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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Área do cilindro
117. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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Volume do Cilindro
118. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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Um tanque de álcool em formato de
um cilindro com 1m de raio de base e
4m de altura. Qual é o volume de
álcool consumido quando a régua
registra a marca de d= 30cm?
120. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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R=1R=1
d=0,3m
O
θ
Área do setor circular – Área do triângulo isósceles
0,7
R=1 1
7,0
2
cos
45
2
902
121. • Área do setor circular = 1/4 da área do círculo
= πr2/4 = π.12/4 = π/4
• Área do triângulo isósceles (retangulo)=
R.R/2 = 1.1/2= 1/2
• Área do segmento circular = π/4 – 1/2 =
0,785- 0,5= 0,285 m2
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122. • Volume = área da base x altura
• Volume = 0,285.4= 1140 litros
Foram consumidos 1140 litros de álcool
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Clementino
124. • Uma pirâmide é todo poliedro formado por
uma face inferior e um vértice que une todas
as faces laterais. As faces laterais de uma
pirâmide são regiões triangulares, e o vértice
que une todas as faces laterais é chamado de
vértice da pirâmide.
Apótema (ou o apotegma) de um polígono
regular é a designação dada ao segmento de
reta que partindo do centro geométrico da
figura é perpendicular a um dos seus lados.
125. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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126. A
C
B
Volume da Pirâmide =
hChBhA .
3
1
.
3
1
.
3
1
)(
3
1
CBAh
hAreadabasemideVolumePira .
3
1
h
128. Construção do Cone
Vamos construir setores circulares
de raio 10cm e com ângulos de :
60°, 120°, 90° e 270°.
Podemos unir os raios.
Cada figura corresponde a área
lateral de um cone
129. Um cone é um sólido geométrico formado por
todos os segmentos de reta que têm uma
extremidade em um ponto V (vértice) em comum
e a outra extremidade em um ponto qualquer de
uma mesma região plana R (delimitada por uma
curva suave, a base).
131. • Área do círculo (360°) =
• Área do setor (60°) =
• Comprimento do arco = comprimento da
base= comprimento do setor
• Comprimento do setor (60°) =
• 2πr = π r= cm
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22
100. cmR
2
3
50
6
100.
cm
3
10
36
2
RR
3
10
3
5
132. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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• Altura, raio da base e geratriz formam um
triangulo retângulo
g2= R2 + h2
102= (5/3)2 + h2
100 = (25/4) + h2
h2= 100 – 25/4
h2= 375/4
h = cm
2
155
4
375
133. Observando as figuras
Ângulo
Central α
Área do setor
Circular A
Raio da base
r
Altura do cone
h
60° 50π/3 5/3
90° 25π 5/2
120° 100π/3 10/3
270° 75π 15/2
3
355
2
155
3
220
2
75
134. • Segundo estudos da ABNT, o campo de
proteção oferecido por um para-raios é aquele
abrangido por um cone, tendo por vértice o
ponto mais alto da haste vertical, cuja geratriz
forma um ângulo de 60° com esta haste.
Geralmente a medida das hastes é de 1m.
Com base nessas informações, faça uma
representação e determine a área aproximada
da base do “campo de proteção” oferecido
por um para-raios disposto sobre uma antena
de 79m de altura.
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135. Base do campo de
proteção
1m
79m
60°
80
60
R
tg
mR 56,1383.80
87,19198.14,32
ReçãoAreadeprot
Área de aproximadamente 60 284,46 m2
136. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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R
R
h
Esfera raio R
Cilindro eqüilátero
Do cilindro, vamos subtrair dois cones iguais com base na base
do cilindro e vértices coincidentes com o centro do cilindro
Este sólido C (clépsidra) é tal que qualquer plano horizontal
distando h do seu centro (ou do centro da esfera que é o
mesmo), produz uma seção que é uma coroa circular de
raio externo é R e raio interno h.
Logo o volume da esfera é igual ao volume de C
137. O volume de C é o volume do cilindro de raio
R e altura 2R subtraído de dois cones de raio
R e altura R, que nos dá:
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322
3
4
3
1
.22 RRRRR
141. CIRCUNFERÊNCIA
Lugar geométrico dos pontos P(x;y) de um
plano que equidistam de um mesmo
ponto fixo
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142. 222
Ryx 2
: R
2
2
2
2
2
2
R
R
R
y
R
x
R
y
sen
R
x
,cos
2
2
2
2
2
2
,cos
R
y
sen
R
x
1cos22
sen
143. ELIPSE
Lugar geométrico dos pontos P(x;y) de um
plano onde a soma das distâncias a dois
pontos fixos F1 e F2 permanece
constante
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PF1 + PF2 = constante
144. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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Clementino
cc
aa
b
b
145. Se P estiver em V2
PF1 + PF2=cte= (a+c) + (a-c)= 2a
V3
V2
V1
V4
F1 F2
cc
2a
146. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
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Se P estiver em V3
V3F1+V3F2=2a
V3
V1
F1F2
V3F1=V3F2
2V3F1=2a
V3F1= a
a2 = b2 + c2
c2 = a2 – b2
148. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
222
444 ycxaaxc Elevando ao quadrado
224222222
xcaxayaca c2 = a2 - b2
22242222222
)()( xbaaxabaaya
222242222422
xbxaaxabaaya
222222
baxbya 12
2
2
2
b
y
a
x
149. HIPÉRBOLE
Lugar geométrico dos pontos P(x;y) de um
plano onde o módulo da diferença das
distâncias a dois pontos fixos F1 e F2,
permanece constante.
Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
150. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
OF1=OF2=c
|PF1 – PF2|= K = constante
151. Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino
c
b
c2=a2+ b2