Ejercicio 172.1 (Compartir objetos heterogneos) Un grupo de n personas tiene que compartir k objetos que valoren de forma diferente. Cada persona asigna valores a los objetos; nadie asigna el mismo valor a dos objetos diferentes. Cada persona evala un conjunto de objetos segn la suma de los valores que asigna a los objetos del conjunto. El siguiente procedimiento se utiliza para compartir los objetos. Los jugadores estn ordenados del 1 al n. La persona 1 elige un objeto, luego la persona 2 lo hace y as sucesivamente; si k > n, luego de que la persona n elige un objeto, la persona 1 elige un segundo objeto, luego la persona 2 elige un segundo objeto, y as sucesivamente. Los objetos se eligen hasta que no queda ninguno. (En Canad y EE. UU., los equipos deportivos profesionales utilizan un procedimiento similar para elegir nuevos jugadores). Denote con G(n, k) el juego extenso que modela este procedimiento. Si k n entonces obviamente G(n, k) tiene un equilibrio perfecto en subjuegos en el que la estrategia de cada jugador es elegir su objeto favorito entre los que quedan cuando llega su turno. Muestre que si k > n entonces G(n, k) puede no tener un equilibrio perfecto en subjuegos en el que la persona 1 elija su objeto favorito en la primera ronda. (Puede dar un ejemplo en el que n = 2 y k = 3). Ahora fije n = 2. Defina xk como el objeto menos preferido por la persona que no elige en la etapa k (es decir, que no elige el ltimo objeto ); defina xk1 como el objeto, entre todos excepto xk, menos preferido por la persona que no elige en la etapa k 1. De manera similar, para cualquier j con 2 j k, dado xj,..., xk , defina xj1 como el objeto, entre todos los que excluyen {xj,..., xk}, menos preferido por la persona que no elige en la etapa j1. Demuestre que el juego G(2, 3) tiene un equilibrio perfecto en subjuegos en el que para cada j = 1, . . . , k el objeto xj se elige en la etapa j. (Este resultado es cierto para G(2, k) para todos los valores de k.) Si n 3 entonces, curiosamente, una persona puede estar mejor en todos los equilibrios perfectos en subjuegos de G(n, k) cuando llega ms tarde en el ordenamiento. de jugadores (Un ejemplo, sin embargo, es difcil de construir; se da uno en Brams y Straffin (1979).).

1. Ejercicio 172.1 (Compartir objetos heterogneos) Un grupo de n personas tiene que compartir k
objetos que valoren de forma diferente. Cada persona asigna valores a los objetos; nadie asigna
el mismo valor a dos objetos diferentes. Cada persona evala un conjunto de objetos segn la suma
de los valores que asigna a los objetos del conjunto. El siguiente procedimiento se utiliza para
compartir los objetos. Los jugadores estn ordenados del 1 al n. La persona 1 elige un objeto,
luego la persona 2 lo hace y as sucesivamente; si k > n, luego de que la persona n elige un
objeto, la persona 1 elige un segundo objeto, luego la persona 2 elige un segundo objeto, y as
sucesivamente. Los objetos se eligen hasta que no queda ninguno. (En Canad y EE. UU., los
equipos deportivos profesionales utilizan un procedimiento similar para elegir nuevos jugadores).
Denote con G(n, k) el juego extenso que modela este procedimiento. Si k n entonces obviamente
G(n, k) tiene un equilibrio perfecto en subjuegos en el que la estrategia de cada jugador es elegir
su objeto favorito entre los que quedan cuando llega su turno. Muestre que si k > n entonces G(n,
k) puede no tener un equilibrio perfecto en subjuegos en el que la persona 1 elija su objeto
favorito en la primera ronda. (Puede dar un ejemplo en el que n = 2 y k = 3). Ahora fije n = 2.
Defina xk como el objeto menos preferido por la persona que no elige en la etapa k (es decir, que
no elige el ltimo objeto ); defina xk1 como el objeto, entre todos excepto xk, menos preferido por
la persona que no elige en la etapa k 1. De manera similar, para cualquier j con 2 j k, dado xj,...,
xk , defina xj1 como el objeto, entre todos los que excluyen {xj,..., xk}, menos preferido por la
persona que no elige en la etapa j1. Demuestre que el juego G(2, 3) tiene un equilibrio perfecto en
subjuegos en el que para cada j = 1, . . . , k el objeto xj se elige en la etapa j. (Este resultado es
cierto para G(2, k) para todos los valores de k.) Si n 3 entonces, curiosamente, una persona
puede estar mejor en todos los equilibrios perfectos en subjuegos de G(n, k) cuando llega ms
tarde en el ordenamiento. de jugadores (Un ejemplo, sin embargo, es difcil de construir; se da uno
en Brams y Straffin (1979).)