FORMULARIO COMPLETO DE INTEGRALES.

1. Formulario de integrales
c 2001-2005 Salvador Blasco Llopis
Este formulario puede ser copiado y distribuido libremente bajo la licencia
Creative Commons Atribuci´n 2.1 Espa˜a.
o n
S´ptima revisi´n: Febrero
e o 2005
Sexta revisi´n: Julio
o 2003
Quinta revisi´n: Mayo
o 2002
Cuarta revisi´n: Mayo
o 2001
Tercera revisi´n: Marzo
o 2001
1. Integrales indefinidas
1.1. Funciones racionales e irracionales
1.1.1. Contienen ax + b
1
(ax + b)n dx = (ax + b)n+1 + C,
(1) n=1
a(n + 1)
dx 1
= ln |ax + b| + C
(2)
ax + b a
dx 1 x
(3) = ln +C
x(ax + b) a ax + b
dx 1 1
=− ·
(4) +C
2
(1 + x) 1+ x
xdx 1 2 1 1
=− · − ·
(5) +C
(1 + bx)3 2b (1 + bx)2 2b 1 + bx
√
1.1.2. Contienen ax + b
√ 2(3bx − 2a)(a + bx)3/2
(6) x a + bxdx = +C
15b2
√
2(bx − 2a) a + bx
x
√
(7) dx = +C
3b2
a + bx
1

2.  √ √
 √ ln √a+bx−√a + C,
1
a>0
dx a a+bx+ a
√
(8) =
 √2 arctan a+bx + C,
x a + bx a<0
−a
−a
√
√
a + bx dx
√
(9) dx = 2 a + bx + a +C
x x a + bx
Contienen x2 ± a2
1.1.3.
dx 1 x
(10) = arctan + C, a>0
a2 + x2 a a
xdx 1
=√
(11) +C
(x2 2 )3/2
±a 2 ± a2
x
Contienen a2 − x2 ,
1.1.4. x<a
a2
x x
(a2 − x2 )3/2 dx = a 2 − x2 +
(12) arc sen + C, a>0
2 2 a
dx 1 a+x 1 x
(13) = ln + C = arctanh
a2 − x2 a−x
2a a a
dx x
=√
(14) +C
(a2 2 )3/2
−x 2 a2 − x2
a
√
x2 ± a 2
1.1.5. Contienen
1
x a2 ± x2 + a2 ln x + a2 ± x2 + C =
x2 ± a2 dx
(15) =
2
√ a2
1 2 2
2 x√a + x + 2 arcsenhx + C (+)
= 2
1
x a2 − x2 + a arccoshx + C (−)
2 2
12
(x ± a2 )3/2 + C
x2 ± a2 dx =
(16) x
3
1 2
x3 x2 + a2 dx = ( x2 − a2 )(a2 + x2 )3/2 + C
(17)
5 5
√
x2 − a 2 a
x2 − a2 − a · arc cos
(18) dx = +C
|x|
x
dx x
√ = a · arcsenh + C
(19)
a
x2 + a 2
dx x
x2 − a2 + C = arccosh
√
(20) = ln x + + C, (a > 0)
a
x2 − a2
dx 1 a
√
(21) = arc cos + C, (a > 0)
|x|
a
2 − a2
xx
2

3. √
x2 ± a 2
dx
√
(22) = +C
a2 x
2 x2 ± a 2
x
xdx
= x2 ± a 2 + C
(23)
x2 ± a 2
√
(a2 + x2 )3/2
x2 ± a 2
(24) dx = +C
4 3a2 x3
x
x2 a2
x x
x2 − a 2 −
√
(25) dx = arccosh + C
2 2 a
2 − a2
x
√
a2 ± x2
1.1.6. Contienen
a2
1 x
a2 − x2 dx = a2 − x2 −
(26) x arc sen + C, (a > 0)
2 2 a
1
a2 ± x2 dx = ± (a2 ± x2 )3/2 + C
(27) x
3
a2
x x
x2 (2x2 − a2 ) a2 − x2 +
a2 − x2 dx =
(28) arc sen + C, a>0
8 8 a
√ √
a2 ± x2 a + a2 ± x2
dx = a2 ± x2 − a ln
(29) +C
x x
√
− a2 − x2
dx
√
(30) = +C
a2 x
x2 a 2 − x 2
dx x
√
(31) = arc sen + C, a > 0
a
a2 2
−x
√
a + a2 − x2
dx 1
√ = − ln
(32) +C
a x
x a2 − x2
x
a 2 ± x2 + C
√ dx = ±
(33)
a2 ± x2
x2 a2
x x
a 2 ± x2
√ dx = ±
(34) arc sen + C, a>0
2 2 a
a2 2
±x
dx x
a2 + x2 + C = arcsenh
√
(35) = ln x + + C, a>0
a
a2 + x2
Contienen ax2 + bx + c
1.1.7.
 √
2ax+b− b2 −4ac
 √ 21
 b −4ac ln 2ax+b+√b2 −4ac =


 √2
= b2 −4ac arctanh √2ax+b + C, b2 > 4ac
dx
(36) = b2 −4ac
ax2 + bx + c  √ 2
 4ac−b2 arctan √2ax+b 2 + C, b2 < 4ac

 4ac−b
 2
b2 = 4ac
− 2ax+b + C,
3

4. x 1 b dx
ln ax2 + bx + c −
(37) dx = +C
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
2a 2a
x · dx bx + 2c
(38) =2 +
(ax2 n (b − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
+ bx + c)
b(2n − 3) dx
b2 < 4ac
+2 , n = 0, 1,
2 + bx + c)n−1
(b − 4ac)(n − 1) (ax
dx 2ax + b
(39) = +
(ax2 + bx + c)n −(b2 − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
2a(2n − 3) dx
, n = 0, 1, b2 < 4ac
+
−(b2 − 4ac)(n − 1) (ax2 + bx + c)n−1
√
ax2 + bx + c
1.1.8. Contienen
(40)
4ac − b2
2ax + b dx
ax2 + bx + cdx = ax2 + bx + c + √
4a 8a ax2 + bx + c
a 0 + a 1 x + . . . + a n xn
√ Ver §3.5, p´g. 11: m´todo alem´n
(41) dx a e a
ax2 + bx + c
√
dx 1
= √ ln 2ax + b + a ax2 + bx + c + C =
√
(42)
a
ax2 + bx + c
1 2ax+b
 √a arcsenh √4ac−b2 + C, ∆ < 0, a > 0;

1
∆ = 0, a > 0; , ∆ = b2 − 4ac
√ ln |2ax + b| + C,
 a1
√
arc sen √2ax+b + C, ∆ > 0, a < 0;
− −a b2 −4ac
√
ax2 + bx + c
x b dx
√ √
−
(43) dx =
a 2a
2 + bx + c 2 + bx + c
ax ax
 √√ 2
 −1 ln 2 c ax +bx+c+bx+2c + C, c > 0
√
dx x
c
√
(44) =
 √1 arc sen √ 2bx+2c
2 + bx + c
x ax + C, c<0
−c |x| b −4ac
1.2. Funciones trigonom´tricas
e
1.2.1. Contienen sen ax
dx 1 ax
(45) = ln tan +C
sen ax a 2
1 ax − cos ax · sen ax x sen 2ax
sen2 axdx = · +C = −
(46) +C
2 a 2 4a
4

5. senn−1 ax · cos ax n − 1
senn axdx = − senn−2 axdx, n = 0, −1;
(47) +
a·n n
1 cos(a + b)x 1 cos(a − b)x
a 2 = b2
sen ax sen bxdx = − −
(48) + C,
a−b
2 a+b 2
1 n
xn sen axdx = − xn cos ax + xn−1 cos axdx
(49)
a a
∞
(ax)2ν−1
sen ax
(50) dx =
(2ν − 1) · (2ν − 1)!
x ν=0
dx 1 ax π
(51) = tan +C
1 ± sen ax a 2 4
1.2.2. Contienen cos ax
1 ax + cos ax · sen ax
cos2 axdx = ·
(52) +C
2 a
dx 1 ax π
−
(53) = ln tan +C
cos ax a 2 4
∞
(ax)2ν
cos ax
(−1)ν
dx = ln |ax| +
(54) +C
(2ν) · (2ν)!
x ν=1
cosn−1 ax · sen ax n − 1
cosn axdx = cosn−2 axdx+C, n = 0, −1;
(55) +
a·n n
1 sen(a − b)x 1 sen(a + b)x
a 2 = b2
cos ax cos bxdx = −
(56) + + C,
a−b
2 2 a+b
1n n
xn cos axdx = xn−1 sen axdx + C,
x sen ax − n = −1
(57)
a a
dx 1 ax
= ± tan
(58) +C
1 ± cos ax a 2
1.2.3. Contienen tan ax o cot ax
1
tan axdx = − ln cos ax + C
(59)
a
tan2 xdx = tan x − x + C
(60)
tann−1 ax
tann axdx = tann−2 axdx,
−
(61) n = 1, 0;
a(n − 1)
1
(62) cot axdx = ln sen ax + C
a
cotn−1 ax
cotn axdx = − cotn−2 axdx + C,
−
(63) n = 1, 0;
a(n − 1)
5

6. 1.2.4. Contienen sec ax o csc ax
1 ax ax ax ax
− ln cos − sen
(64) sec axdx = ln cos + sen +C
a 2 2 2 2
1
sec2 axdx =
(65) tan ax + C
a
1 tan ax · secn−2 ax 1 n − 2 1 n−2
secn xdx = ax · dx + C,
(66) + n = 1;
n−1 a n − 1 sec
a
1
csc2 axdx = − cot ax + C
(67)
a
1 cot ax · cscn−2 1 n − 2
cscn axdx = − cscn−2 ax·dx+C,
+·
(68) n = 1;
n−1 a n−1
a
1.2.5. Varias funciones
sec x · tan ax · dx = sec x + C
(69)
csc x · cot x · dx = − csc x + C
(70)
cosm−1 x·senn+1 x m−1
cosm−2 x · senn x · dx
+
cosm x · senn x · dx = m+n m+n
(71) cosm+1 x·senn−1 x n−1
cosm x · senn−2 x · dx
+
m+n m+n
1.2.6. funciones trigonom´tricas inversas
e
x x
a2 − x2 + C,
arc sen dx = x · arc sen +
(72) a > 0;
a a
x x
a2 − x2 + C,
arc cos dx = x · arc cos −
(73) a > 0;
a a
x2
x x1
arctan dx = x · arctan − a ln 1 + 2
(74) + C, a > 0;
a aa a
x 1 xa
arccot dx = x · arccot + ln(a2 + x2 ) + C
(75)
a a a2
x · arc cos xdx = x · arc cos x + arc sen x + C
(76)
6

7. 1.3. Funciones exponenciales y/o logar´
ıtmicas
xn eax n
xn eax dx = xn−1 eax dx
−
(77)
a a
eax (a sen bx − b cos bx)
eax sen bx · dx =
(78) +C
a2 + b 2
eax (b sen bx + a cos bx)
eax cos bx · dx =
(79) +C
a2 + b 2
x ln(a + benx )
dx
=−
(80) +C
a + benx a an
x
loga xdx = x loga x − ∀a > 0;
(81) + C,
ln a
2x2 ln x − x2
(82) x ln xdx = +C
4
ln ax 1
xn ln ax · dx = xn+1 −
(83) +C
n + 1 (n + 1)2
(84)
xn+1 m
xn (ln ax)m dx = (ln ax)m − xn (ln ax)m−1 dx, n, m = −1, x > 0;
n+1 n+1
ln axdx = x ln ax − x + C,
(85) x > 0;
∞
eax (ax)i
dx = ln |x| +
(86) +C
i · i!
x i=1
eax
1 ax 1
eax ln x · dx = e ln |x| −
(87) dx + C
a a x
∞
lni x
dx
= ln | ln x| +
(88) + C, x > 0;
i · i!
ln x i=1
dx
= ln | ln x| + C,
(89) x > 0;
x ln x
lnn x 1
lnn+1 x, n = −1, x > 0;
(90) dx =
x x+1
7

8. 1.4. Funciones hiperb´licas
o
1
(91) senh axdx = cosh ax + C
a
1 1
senh2 xdx = senh 2x − x + C
(92)
4 2
1
(93) cosh axdx = senh ax + C
a
1 1
cosh2 xdx =
(94) senh 2x + x + C
4 2
1
ln | cosh ax| + C
(95) tanh axdx =
a
1
ln | senh ax| + C
(96) coth axdx =
a
(97) sechxdx = arctan(senh x) + C
sech2 xdx = tanh x + C
(98)
x 1 cosh x + 1
= − ln
(99) cschxdx = ln tanh +C
2 cosh x − 1
2
senh x · tanh x · dx = −sechx + C
(100)
cschx · coth x · dx = −cschx + C
(101)
1.4.1. funciones hiperb´licas inversas
o
x x
a2 + x2 + C,
arcsenh dx = x arcsenh −
(102) a>0
a a
√
x arccosh x − x2 − a2 + C, arccosh x > 0, a > 0;
x a a
√
(103) arccosh dx =
x arccosh x + x2 − a2 + C, arccosh x < 0, a > 0;
a a a
x x1
arctanh dx = x arctanh + a ln(a2 − x2 ) + C
(104)
a a2
x x1
arccoth dx = x arccoth + a ln(x2 − a2 ) + C
(105)
a a2
x2
x x
arcsenh dx = x arcsech − a arc sen 1−
(106) +C
a2
a a
x2
x x
(107) arcsech dx = x arccsch + a arccosh 1 + 2 + C
a a a
8

9. 2. Integrales definidas
∞
n!
xn e−qx dx = n > −1, q > 0;
(108) ,
q n+1
0
∞
Γ[(m + 1)/2]
2
xm e−ax dx =
(109) , a>0
2a(m+1)/2
0
n!
= , Si m impar : m = 2n + 1
2an+1
1 · 3 · . . . · (2n − 1) π
= , Si m par : m = 2n
2n+1 a2n+1
√
1 π
2 2
x2 e−ax dx = − e−a +
(110) erf( a)
a3
2a 4
0
(111)
∞
n!e−at a 2 t2 a n tn
xn e−ax dx = 1 + at + +...+ , n = 0, 1, . . . , a > 0;
an+1 2! n!
t
∞ ∞
n−1
2 2
xn e−ax dx = xn−2 e−ax dx
(112)
2a
0 0
∞
1 π
2
e−ax dx =
(113)
2 a
0
∞
1
2
xe−ax dx =
(114)
2a
0
x
dx 1
(115) = ln
1−x 1−x
0
x
dx x
(116) =
(1 − x)2 1−x
0
x
dx 1
(117) = ln(1 + x)
1+ x
0
x
1+ x 1
−x
(118) dx = (1 + ) ln
1−x 1−x
0
x
(1 − )x
1+ x 1
− ln
(119) dx =
2
(1 − x) 1−x 1−x
0
x
(1 + x)2 (1 + )2 x
2
dx = 2 (1 + ) ln(1 − x) +
(120) x+
(1 − x)2 1−x
0
x
ΘB − x
dx 1
(121) = ln , ΘB = 1
(1 − x)(ΘB − x) ΘB − 1 ΘB (1 − x)
0
x
−2
dx 2
b2 = 4ac
(122) = +,
ax2 + bx + c 2ax + b b
0
(123)
9

10. x
q x−p
dx 1
b2 > 4ac; p, q son las ra´
·
= ln , ıces;
ax2 + bx + c a(p − q) p x−q
0
x
bx ag − bc
a + bx
(124) dx = + ln(c + gx)
g2
c + gx g
0
3. M´todos de integraci´n
e o
3.1. Integraci´n por partes:
o
u · dv = u · v − v · du
3.2. Integraci´n por sustituci´n:
o o
si x = g(t) es un funci´n que admite derivada cont´
o ınua no nula y funci´n
o
inversa t = h(x) y F (t) es una primitiva de f (g(t))g (t) se tiene que:
f (x)dx = F (h(x)) + C
3.3. Integraci´n de funciones racionales:
o
F (x)
Queremos hallar Q(x) dx siendo F (x) y Q(x) polinomios de coeficientes
reales. Si el grado de F es mayor que el de Q se hace la divisi´n para obtener
o
F (x) R(x)
dx = C(x)dx + Q(x) dx. La primera integral es inmediata. Para la
Q(x)
segunda se admite que Q(x) se puede descomponer de la siguiente manera:
Q(x) = a0 (x − a)p . . . (x − a)q [(x − c)2 + d2 ]r . . . [(x − e)2 + f 2 ]s y es unica. En
´
tal caso, el integrando del segundo t´rmino se puede descomponer como sigue:
e
Ap Bq
R(x) A1 A2 B1 B2
Q(x) = (x−a)p + (x−a)p−1 + . . . + x−a + . . . + (x−b)q + (x−b)q−1 + . . . + x−b +
M1 x+N1 Mr x+Nr H1 x+K Hs x+Ks
+ . . . + (x−c)2 +d2 + . . . + ((x−e)2 +f12 )s + . . . + (x−e)2 +f 2 . Todas
((x−c)2 +d2 )r−1
las constantes se obtienen identificando coeficientes. Al resolver los sumando se
obtienen integrales del siguiente tipo:
dx
= ln |x − a| + C
1. x−a
dx 1
2. = +C
(x−a)p (1−p)(x−a)p−1
M x+N M M c+N
arctan x−c + C
ln |(x − c)2 + d2 | +
3. (x−c)2 +d2 dx = 2 d d
M x+N M x+N dx
⇒ Llamemos Ir =
4. [(x−c)2 +d2 ]r dx [(x−c)2 +d2 ]r dx y Jr = [(x−c)2 +d2 ]r dx
operando se obtiene
M 1
· + (M c + N ) · Jr
Ir = ((x−c)2 +d2 )r−1
2(1−r)
1 x−c 1
− −1
Jr = d2 Jr−1 + d2 2(1−r) Jr
d2 2(1−r)((x−c)2 +d2 )r−1
10

11. 3.4. M´todo de Hermite
e
Si Q(x) = (x − a)m . . . (x − b)n · (x − c)2 + d2 . . . (x − e)2 + f 2 entonces
R(x) U (x)
dx = q−1 +
p−1
Q(x) (x − a)m−1 . . . (x − b)n−1 . . . [(x − c)2 + d2 ] . . . [(x − e)2 + f 2 ]
dx dx Cx + D Ex + F
K +... +L + dx + . . . + dx
(x − c)2 + d2 (x − e)2 + f 2
x−a x−b
donde U (x) es un polinomio de un grado menos que su denominador. Todas las
constantes se determinan derivando la expresi´n e identificando coeficientes.
o
3.5. Integraci´n de funciones irracionales algebraicas
o
Integrales del tipo
m1 ms
ax + b ax + b
n1 ns
dx | a, b, c, d ∈ R; ni , mi ∈ Z; ni = 0
R x, ,...,
cx + d cx + d
y c y d no se anulan simult´neamente. Se transforma en integral racional
a
mediante el cambio ax+b = tm siendo m el m´ ınimo com´n m´ltiplo de las
u u
cx+d
ni .
√
Integrales del tipo R x, ax2 + bx + c dx se consideran los siguientes
casos:
√ √
1. a > 0 → ax2 + bx + c = ± a · x + t
√ √
2. c < 0 → ax2 + bx + c = ± c + x · t
√
3. a, c < 0 → ax2 + bx + c = t · (x − α) siendo α una de las raices del
polinomio.
√
M´todo Alem´n: √ax2 (x) dx = Q(x) · ax2 + bx + c + K √ax2dx
P
e a +bx+c +bx+c
Donde gradQ(x) = grad(P (x)) − 1 y K es una constante. Los coeficientes
se obtienen derivando la expresi´n e identificando t´rminos.
o e
Series bin´micas: xm (a + bxn )p dx | a, b ∈ R; m, n, p ∈ Q. Estas inte-
o
grales se convierten en racionales en los siguientes casos con los cambios
indicados.
1. p ∈ Z → x = tq donde q es el m.c.m. de los denominadores n y m.
m+1
∈ Z → a + bxn = tq siendo q el denominador de p.
2. n
a+bxn
m+1
+p∈ Z→ = tq siendo q el denominador de p.
3. xn
n
En cualquier otro caso se puede expresar como funci´n elemental.
o
3.6. Integraci´n de funciones trascendentes
o
Si R(u) es una funci´n racional y u = f (x) es una funci´n que admite funci´n
o o o
inversa con derivada racional, entonces la integral de R(f (x)) se reduce a una
integral racional mediante el cambio f (x) = t .
11

12. 3.7. Integraci´n de funciones trigonom´tricas
o e
Integraci´n de R(sen x, cos x)dx: en general se hace el cambio tan x = t
o 2
2
con lo que sen x = 1+t2 , cos x = 1−t2 , dx = 1+t2 . En elgunos casos se
2dt 2t
1+t
pueden intentar otros cambios:
1. Si R(sen x, cos x) = −R(sen x, − cos x) se hace el cambio sen x = t
2. Si R(sen x, cos x) = −R(− sen x, cos x) se hace el cambio cos x = t
3. Si R(sen x, cos x) = R(− sen x, − cos x) se hace el cambio tan x = t
senm xn ·x·dx se puede reducir de las siguientes
Integrales del tipo Im,n =
formas:
senm+1 x·cosn−1 x n−1
m = −1
1. Im,n = + m+1 Im+2,n−2 ,
m+1
m+1 n−1
sen x·cos x n−1
2. Im,n = + m+n Im,n−2 , m+n=0
m+n
m−1
x·cosn+1 x
− sen m+1 m−1
m = −1
3. Im,n = + n+1 Im+2,n+2 ,
m−1
x·cosn+1 x
4. Im,n = − sen m−1
+ m+n Im−2,n , m+n=0
m+n
m+1 n+1
5. Im,n = − sen x·cos x m+n−2
n = −1
+ n+1 Im,n+2 ,
n+1
m+1 n+1
sen x·cos x m+n−2
m = −1
6. Im,n = + m+1 Im+2,n+2 ,
m+1
4. Ecuaciones diferenciales ordinarias
4.1. Ecuaciones diferenciales lineales
R R
y + p(x)y = q(x) =⇒ y = e− (x)dx p(x)dx
q(x)e +C
t
1
τ y + y = p(t) =⇒ y = e−t/τ p(t)et/τ dt + y0
τ 0
5. Soluci´n num´rica de ecuaciones diferenciales
o e
5.1. M´todo de Runge-Kutta de cuarto orden
e
1
y = f (x, y) → yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)h
6
k1 = f (xi , yi ) k2 = f (xi + h/2, yi + k1 h/2)
k3 = f (xi + h/2, yi + k2 h/2) k4 = f (xi + h, yi + k3 h)
12