Nella matematica moderna il concetto di limite nasce dalla duplice esigenza di precisare la natura dell’insieme dei numeri reali e di eliminare le molte critiche alla definizione newtoniana della derivata. Nella definizione di Cauchy il limite è associato alla descrizione dell'andamento di una funzione quando il suo argomento si avvicina a un dato valore, oppure al crescere illimitato di tale argomento. Una completa sistemazione della definizione di limite e dei metodi di calcolo si ha solo verso la fine del secolo XIX. Se ne discute alla Festa dell'Inquietudine 2010

1. festa
dellÊinquietudine
III edizione
14 – 15 –16 maggio 2010
Finale Ligure SV, Riviera delle Palme
Il Limite in Matematica
Manfredo Montagnana

2. Executive Summary
La Festa dell'Inquietudine è un evento performativo di Cultura
& Intrattenimento dedicato alla “Inquietudine”.
La Festa è strutturata su 5 gruppi di eventi:
Dibattiti & Incontri Mostre & Spettacoli Inquieto
InquietaMente Inquietus Celebration dell’Anno
Agli eventi partecipano personalità di primo piano del mondo
Culturale, Scientifico e dello Spettacolo italiano e mondiale.
Filo conduttore del 2010: “Inquietudine & Limite” in
Filosofia Matematica Scienza & Specie Sport
Economia Tecnologia & Organizzazioni & Vita, Aldilà,
& Risorse Ingegneria Leadership Altri Mondi
Sede: Complesso Monumentale di Santa Caterina a Finalborgo e
Fortezza di Castelfranco a Finalmarina
Periodo: 14 - 15 -16 Maggio 2010. 2

3. Contenuti
Festa dell’Inquietudine
• Festa dell’Inquietudine 2010
• Inquietudine & Limite in …
• Andare oltre …
Limite in Matematica
Mancanza di confini per la mente umana
Limite nella Matematica
Natura astratta del concetto di Limite
Luoghi della Festa dell’Inquietudine 2010
Organizzazione della Festa dell’Inquietudine 2010
• Eventi
• Inquieto dell’anno
Citazioni & Links
Inquieti Channels
3

4. Evento performativo di Cultura e
Intrattenimento dedicato alla “Inquietudine”
4

5. inquietudine è conoscenza e crescita
culturale e sentimentale
inquietudine non caratterizza solo chi vive stati
d’angoscia o d’ansia
inquietudine avvolge e pervade chi ama,
chi è tormentato dalla creatività artistica,
chi ha desiderio di conoscenza,
chi è pervaso dal dubbio,
chi è affascinato dal mistero,
chi è sedotto dalla vita,
chi partecipa ai drammi dell’umanità contemporanea e,
ancor più, chi ne è afflitto direttamente.
5

6. Festa dell’Inquietudine 2010
Limite
1. Linea che divide
2. Punto estremo a cui può arrivare qualcosa
3. Termine che non si può o non si deve superare
[anche in senso figurato] *
Nella III edizione della Festa dell’Inquietudine
si lavora sulla relazione:
«inquietudine e limite»
* fonte: www.dizionario-italiano.it 6

7. Inquietudine & Limite in …
Filosofia Sport
Matematica Tecnologia &
Ingegneria
Economia, Risorse, Organizzazioni &
Ambiente, Situazioni Leadership
Vita, Altri Mondi,
Scienza & Specie
Aldilà
7

8. “PLVS VLTRA”, andare oltre …
«Viviamo in un’epoca in cui tutto sembra
“superabile”: dalle prestazioni sportive alle
acquisizioni scientifiche, fino alla stessa “specie
umana” ».
«Per noi, del Circolo degli Inquieti, è ovvio pensare
che sia l’inquietudine a spingere l’uomo al limite e,
magari, oltre ».
“PLVS VLTRA” (Plus Ultra) in latino significa
“andare oltre”, superare i propri limiti, in
contrapposizione all'altro motto latino “NEC PLVS
VLTRA” (Nec Plus Ultra), "non più avanti“, che
indica il limite estremo.
8

9. Sono andati oltre …
Della mitologia di Eracle-Ercole ci piace quel
sentenzioso “Nec plus ultra” scolpito sulle
Colonne omonime.
Veniva dopo imprese
straordinarie in cui l’Eroe aveva
sfidato e vinto divinità e mostri;
e indicava un limite.
Ma ancor più ci affascinano
coloro che quelle Colonne
hanno superato! Ulisse,
Cristoforo Colombo ma anche
Platone che “oltre” vi colloca la
perduta Atlantide.
9

10. Plus Ultra
Ci piace, persino, Carlo V del Sacro Romano
Impero (Carlos I de España ) che trasforma il
divieto in incoraggiamento ad andare oltre; e
“Plus ultra” diventa il suo motto».
Fonte: wikipedia 10

11. Matematica
Mancanza di confini per la mente umana
Limite nella Matematica
Natura astratta del concetto di Limite
Manfredo Montagnana
11

12. Manfredo Montagnana
Presidente da oltre dieci anni dell'Unione Culturale
Franco Antonicelli di Torino.
Ha fatto parte del Consiglio Comunale di Torino dal
2001 al 2006 partecipando ai lavori delle Commissioni
Cultura e Urbanistica.
Ha ricoperto importanti incarichi nei Sindacati della Scuola,
dell'Università e della Ricerca della CGIL.
Dal 1961 al 1971 ha insegnato matematica nelle Università di
Torino e di Genova. Dal 1971 al 1998 ha svolto corsi di Analisi
Matematica, Geometria, Applicazioni della Matematica
all'Economia, Al Politecnico di Torino In questo ateneo è stato
membro del Consiglio di Amministrazione ed ha diretto il Centro
dei Servizi Didattici di Architettura.
Nell'anno accademico 1969-70 ha svolto ricerca presso il
Mathematical and Statistical Department dell'University della
California in Berkeley.
Dal 1940 al 1948 è vissuto in Australia dove ha acquisito
l'inglese come propria lingua madre.
12

13. Mancanza di confini per
la mente umana
Esiste una contraddizione profonda tra la percezione dello
spazio reale e del tempo come entità limitate ed il rifiuto
della nostra ragione all’idea che oltre ogni frontiera spazio/
temporale non ci possa essere"qualche altra cosa" (c'era
un "prima” del big bang? che c'è oltre l'universo più o
meno conosciuto?).
Il passaggio da un numero “limitato” di oggetti al concetto
di infiniti numeri (Bolzano, Weierstrass), che è stato lungo
e faticoso, deve il suo avvio a questo tentativo di chiarire
che cosa si debba intendere per “infinito”.
Ancora più difficile è stato comprendere l'esistenza di
diversi infiniti numerici (numerabile, continuo) e cosa li
distingue uno dall'altro; tanto che resta incomprensibile ai
più come i numeri razionali (le frazioni) possano essere
“tanti quanti” i numeri interi positivi.
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14. Limite nella Matematica
Concetto di limite
I Matematici del Limite
Esempio geometrico di Limite
Limite di n-gon
Metodo di esaustione
Archimede e il metodo di esaustione
14

15. Concetto di Limite
Nella matematica moderna il concetto di limite nasce
dalla duplice esigenza di precisare la natura dell’insieme
dei numeri reali e di eliminare le molte critiche alla
definizione newtoniana della derivata.
Nella definizione di Cauchy il limite è associato alla
descrizione dell'andamento di una funzione quando il suo
argomento si avvicina a un dato valore, oppure al crescere
illimitato di tale argomento.
Una completa sistemazione della definizione di limite e
dei metodi di calcolo si ha solo verso la fine del secolo XIX.
In seguito, questo concetto fondamentale fu introdotto in
tutti i settori della matematica, non solo nello studio delle
funzioni di più variabili ma anche nello studio di spazi assai
generali come quelli metrici e quelli topologici.
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16. I Matematici del Limite
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716),
filosofo, matematico, scienziato tedesco.
Sir Isaac Newton (1643 – 1727), matematico, fisico
inglese, “una delle più grandi menti di tutti i tempi”.
Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781
– 1848) matematico, filosofo, logico boemo.
Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857), matematico e
ingegnere francese.
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897),
matematico tedesco, "padre dell'analisi moderna".
Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951), filosofo e logico
austriaco.
Fonte: Wikipedia
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17. Esempio geometrico di Limite
Consideriamo un poligono iscritto in un cerchio …
Aumentando il numero di lati, il poligono si avvicina
sempre più a un cerchio.
Se ci riferiamo al poligono come n-gon, dove n è il
numero di lati, possiamo fare alcune considerazioni
matematiche …
17

18. Limite di n-gon
All’aumentare di n, n-gon approssima un cerchio.
Per n tendente a infinito, n-gon si avvicina al
cerchio.
Il limite di n-gon, per n che tende all'infinito, è il
cerchio!
“n-gon non diventa mai veramente un cerchio, ma si
avvicina talmente che, ai fini pratici, può essere
condiderato un cerchio”.
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19. Metodo di esaustione
Metodo di esaustione
Consideriamo un cerchio ed i poligoni inscritti che
chiameremo n-gon. Aumentando il numero dei lati, i
successivi n-gon esauriscono via via la regione piana
occupata dal cerchio.
L’area An di ogni n-gon si calcola facilmente come
somma delle aree dei triangoli che lo compongono.
Quando n cresce indefinitamente le aree An
approssimano sempre meglio l’area del cerchio.
I matematici dicono che, quando tende all’infinito, le
aree An tendono all’area A del cerchio e scrivono
lim An = A .
n→ ∞
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20. Archimede e il metodo di esaustione
Archimede e il metodo di esaustione
Archimede (287-212 a.C.)
utilizzò questa idea oltre 2.200
anni addietro: calcolando le
aree dei primi n-gon ottenne
una buona approssimazione
dell’area del cerchio.
In questo modo determinò le prime
due cifre del numero Pi Greco.
= 3,14159265358979 . . .
Il metodo di esaustione, descritto da
Archimede ne Il Metodo, è alla base
del concetto di integrale di una funzione
sviluppato nel Seicento da Newton e
Leibniz.
20

21. La natura astratta del
concetto di limite
Spazi astratti
Dipingendo la derivata
Infinitesimo & Infinito
Fonte: Calculus has practical
applications, such as
understanding the true meaning of
the infinitesimals. (Image concept
by Dr. Lachowska, MIT)
21

22. Spazi astratti
La natura astratta della definizione di limite data da
Cauchy assume nuovo valore solo quando viene
estesa agli spazi astratti e non sembra risolvere i
dubbi sulla definizione di derivata.
Infatti l’impostazione del calcolo differenziale data
da Newton e Leibniz venne contestata da altri
studiosi e, tra questi Karl Marx.
22

23. Definizione di derivata
In effetti tale definizione di derivata presenta una
evidente incoerenza. Se consideriamo il rapporto
(velocità media) tra l’incremento ∆s di una grandezza
s (strada percorsa) ed il corrispondente incremento ∆t
della variabile t (tempo impiegato), esso ha senso
solo finchè il denominatore ∆t è diverso da zero.
D’altra parte, a seguito di semplici operazioni
algebriche, il rapporto viene sempre semplificato in
modo che si possa porre ∆t = 0, ottenendo così la
“derivata” (velocità istantanea) della variabile s.
Insomma, si accetta a posteriori un passaggio che a
priori era dichiarato impossibile.
23

24. Dipingendo la Derivata …
Dipingendo la Derivata …
Nel primo grafico, la derivata
viene individuata punto per
Grafico di
punto: è la inclinazione della
retta tangente al grafico, dove
f(x)=1/x
la retta tangente in un punto è
definita come "posizione
limite" delle rette secanti
passanti per quel punto.
Si tratta della derivata nel
senso di Newton, reso
rigoroso da Cauchy, che si Grafico di
ottiene come "passaggio al
f’(x)=-1/x2
limite" del rapporto ∆s/∆t.
Nel secondo grafico (ragionando alla maniera di Marx) la derivata è un
"operatore", cioè uno strumento matematico che ad ogni funzione ne
associa un'altra secondo determinate regole.
In questo caso, alla funzione 1/x si associa la sua "funzione derivata" -
1/x²
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25. Infinitesimo & Infinito
Le idee di
“infinitesimo = punto” e di
“infinito = oltre ogni limite”
suggeriscono un parallelismo
con la coincidenza tra il
punto e l'infinito nella mistica
ebraica.
Questo riferimento spinge a
costruire un ponte tra
matematica, logica e filosofia
(peraltro esistente da molto
tempo, vedi Wittgenstein).
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26. Luoghi della Festa
Finale Ligure, “locus finalis”
Finalborgo
Finalmarina
Ci piace pensare
che, per tre
giorni, le Colonne
della Conoscenza
segneranno lì il
luogo di confine.
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27. Complesso monumentale di
Santa Caterina a Finalborgo
Chiuso tra mura medievali ancora ben conservate, intervallate da torri semi-
circolari e interrotte solo in corrispondenza delle porte, il Borgo di Finale
(Finalborgo da Burgum Finarii, terra di confine (ad fines) ai tempi dei
Romani) offre al visitatore una sensazione di protezione e raccoglimento.
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28. Fortezza di Castelfranco
a Finalmarina
www.scalo.org/images/finaliu.jpg
Il complesso fortilizio, che risale alla seconda metà del XIV secolo, si
articola in una pianta a forma stellata, a stretto contatto con l'abitato del
centro di Finale. Castelfranco fu attivo come fortezza ancora nel 1745,
quando respinse l'attacco di quattordici navi inglesi. Dal 1938 è di
proprietà del Comune di Finale Ligure.
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29. Organizzazione della Festa
Comitato promotore:
Città di Finale Ligure
Fondazione A. De Mari - Cassa di
Risparmio di Savona
Provincia di Savona
Turismo in Liguria
Ideazione e organizzazione:
Circolo degli Inquieti di Savona
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30. Eventi
Dibattiti e Incontri: promozione dell’Inquietudine come
condizione dell'essere umano e sinonimo di conoscenza e
crescita culturale.
Mostre & Spettacoli: proposizione di aspetti difformi di creatività
artistica.
InquietaMente: progetti innovativi e inquieti dedicati ai giovani e
alle imprese.
Inquietus Celebration (IV edizione): “celebrazione” di
personalità inquiete che si sono distinte per l'elevata vivacità
intellettuale e sentimentale in ambiti specifici dell'attività umana.
Inquieto dell'Anno (XIII edizione): “celebrazione” della
personalità che si è contraddistinta per il suo essere inquieto.
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31. Inquieto dell’Anno
“Anno” Edizione Celebrazione Inquieto dell’Anno
2009 XIII 2010 ?
2008 XII 2009 Don Luigi Ciotti
2007 XI 2008 Milly & Massimo Moratti
2006 X 2007 Raffaella Carrà
2005 IX 2006 Règis Debray
2004 VIII 2005 Costa Gavras
2003 VII 2004 Oliviero Toscani
2002 VI 2003 Barbara Spinelli
2001 V 2002 Antonio Ricci
2000 IV 2001 Gino Paoli
1998 III 1999 Francesco Biamonti
1997 II 1998 Gad Lerner
1996 I 1997 Carmen Llera Moravia 31

32. Inquieto dell'Anno 2008
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33. 33

34. Citazioni & Link
Il logo del Circolo è di Ugo Nespolo
www.nespolo.com
Il logo della Festa è di Oliviero Toscani - La
Sterpaia www.lasterpaia.it
Le foto della Festa sono di Emilio Rescigno
www.emiliorescigno.it
Mozart Symphony 40 by Columbia University
Orchestra
www.archive.org/details/Mozart_Symphony_40
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35. Arrivederci alla Festa …
L’atmosfera unica di Finale Ligure, del
suo storico Borgo e di Varigotti nonché
della Riviera di Ponente, la curiosità
degli eventi proposti durante la festa e
i sapori della cucina e del buon vino
ligure renderanno i tre giorni della
festa davvero indimenticabili.
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