Definicja portfela inwestycyjnego oraz pomiar jego dochodu i ryzyka, dywersyfikacja, a także współczynnik korelacji i kowariancja stóp zwrotu.

1. Zarządzanie portfelem inwestycji
Część 3. – podstawy teorii
portfelowej
Zespół projektu „Portfel SII”

2. Wybór aktywów
• W poprzednich częściach dodatków edukacyjnych omówione zostały
dwa podstawowe elementy charakteryzujące każdą inwestycję –
dochód (stopa zwrotu) oraz ryzyko – które łącznie powinny decydować
o ocenie jej atrakcyjności.
• W praktyce decyzje inwestycyjne nie ograniczają się jednak jedynie do
selekcji najatrakcyjniejszego spośród wszystkich dostępnych walorów.
Inwestor musi brać także pod uwagę atrakcyjność różnych ich
kombinacji. Przykładowo: mając do wyboru akcje trzech spółek (A, B,
C) inwestor może wybrać tylko jedną z nich, ale równie dobrze może
kupić równocześnie dwie z nich (AB, AC, BC) lub wszystkie trzy naraz
(ABC). Co więcej, udziały poszczególnych walorów w portfelu mogą być
różne.
2

3. Portfel inwestycyjny
• Inwestor mógłby całość swoich środków przeznaczyć na zakup tylko
jednego wybranego instrumentu finansowego. Takie postępowanie
niesie za sobą jednak duże ryzyko – wszystko „postawione zostanie na
jedną kartę”, a wynik inwestycyjny w praktyce zależny będzie niemal
wyłącznie od sytuacji jednego podmiotu. Przykładowo: ewentualne
bankructwo emitenta instrumentu finansowego pozbawić nas może
wszystkich oszczędności, nawet gdy na rynku panować będzie hossa.
• Takim przypadkom można jednak w dużym stopniu zapobiegać, a
poziom ryzyka inwestycyjnego i oczekiwanej stopy zwrotu można
dopasowywać odpowiednio do naszych preferencji i potrzeb. W tym
celu tworzy się portfele inwestycyjne, które stanowią zbiór wielu
różnych aktywów inwestora (np. akcji, obligacji, gotówki i lokat
bankowych, nieruchomości, surowców).
3

4. Dywersyfikacja
• Liczba aktywów w portfelu i ich rodzaj wpływa na poziom
ryzyka tego portfela. Dzielenie posiadanych środków na
różne rodzaje inwestycji nazywane jest dywersyfikacją
portfela.
• Dzięki dywersyfikacji portfela można zmniejszać ryzyko
specyficzne. Ryzyko rynkowe jest jednak
niedywersyfikowalne (!)
4

5. Liczba papierów wartościowych
a ryzyko portfela
• Im większa liczba papierów wartościowych znajdować się będzie
w portfelu, tym niższy będzie jego poziom ryzyka.
• Zwiększanie ilości aktywów w portfelu jest opłacalne jednak
jedynie do pewnego momentu – granica to często 20-30 walorów.
Wraz ze zwiększaniem ilości instrumentów w portfelu
inwestycyjnym obniża się bowiem tempo spadku poziomu ryzyka.
• Gdy w portfelu mamy zbyt wiele spółek, mówimy wówczas o jego
przedywersyfikowaniu – korzyści z dodania do portfela kolejnego
waloru (obniżenie ryzyka) są mniejsze niż koszty jego dodania (np.
prowizje od transakcji, dodatkowy czas potrzebny na analizę
spółek).
5

6. Liczba papierów wartościowych
a ryzyko portfela
6

7. Dochód i ryzyko portfela
inwestycyjnego
• Podobnie jak w przypadku pojedynczej inwestycji, metodą
pomiaru dochodu całego portfela inwestycyjnego jest jego
stopa zwrotu, a ryzyko portfela inwestycyjnego mierzy się za
pomocą wariancji portfela lub odchylenia standardowego
portfela inwestycji.
• Kalkulacja stopy zwrotu portfela inwestycji i jego wariancji
lub odchylenia standardowego jest jednak nieco bardziej
skomplikowana niż w przypadku pojedynczej inwestycji.
7

8. Stopa zwrotu portfela aktywów
• Stopa zwrotu portfela to ważona średnia stóp zwrotu
poszczególnych aktywów wchodzących w jego skład, gdzie
wagami są udziały procentowe tych aktywów w całkowitej
wartości portfela.
8
gdzie:
Rp – stopa zwrotu portfela aktywów,
xi – waga i-tego aktywa w całkowitej wartości portfela,
Ri – stopa zwrotu i-tego aktywa,
n – liczba aktywów w portfelu.
gdzie:
E(Rp) – oczekiwana stopa zwrotu portfela aktywów,
xi – waga i-tego aktywa w całkowitej wartości portfela,
Ri – oczekiwana stopa zwrotu i-tego aktywa,
n – liczba aktywów w portfelu.

9. Stopa zwrotu portfela aktywów
- przykład
Akcje Alior Banku, które stanowią w portfelu inwestora 30 proc.
udział, wykazały się w minionym okresie dodatnią stopą zwrotu
rzędu 15 proc., a akcje Bogdanki, stanowiące 20 proc. wartości
portfela, przyniosły stratę na poziomie 10 proc. Pozostałe środki
inwestor ulokował na lokacie bankowej o oprocentowaniu
równym 5 proc. Jaka była stopa zwrotu całego portfela aktywów
inwestora?
Rp= 0,3*0,15 + 0,2*(-0,1) + 0,5*0,05
Rp= 0,045 - 0,02 + 0,025
Rp= 0,05 = 5%
9

10. Kowariancja i korelacja
• Do zrozumienia formuły obliczania wariancji i odchylenia
standardowego portfela, a także sposobu konstruowania
portfeli efektywnych niezbędne jest poznanie istoty
kowariancji oraz korelacji.
• Zarówno kowariancja, jak i korelacja ukazują zależność
pomiędzy zmiennymi. W naszych rozważaniach tymi
zmiennymi będą stopy zwrotu dwóch różnych
instrumentów finansowych.
10

11. Kowariancja stóp zwrotu
• Kowariancja ukazuje, czy wahania stóp zwrotu z danych aktywów
poruszają się w tym samym kierunku. Gdy kierunki odchyleń dla
walorów pokrywają (nie pokrywają) się ze sobą, kowariancja przyjmuje
wartość dodatnią (ujemną). Jeśli natomiast odchylenia nie są ze sobą w
ogóle powiązane, kowariancja dąży do zera.
gdzie:
cov1,2 – kowariancja stóp zwrotu instrumentów finansowych 1 i 2,
pi – prawdopodobieństwo osiągnięcia i-tych możliwych stóp zwrotu,
R1i , R2i – i-te stopy zwrotu instrumentu 1 i 2,
E(R1) , E(R2) – oczekiwana stopa zwrotu instrumentu 1 i 2.
gdzie:
cov1,2 – kowariancja stóp zwrotu instrumentów finansowych 1 i 2,
R1 , R2 – średnie historyczne stopy zwrotu instrumentów 1 i 2,
R1i , R2i – i-te stopy zwrotu instrumentów 1 i 2,
n – liczba okresów.
11

12. Współczynnik korelacji stóp
zwrotu
• Kowariancja często jest standaryzowana poprzez jej podzielenie przez iloczyn
odchyleń standardowych stóp zwrotu danych instrumentów finansowych, a w
ten sposób otrzymywany jest współczynnik korelacji stóp zwrotu.
• Wartości współczynnika korelacji zawierają się w przedziale od -1 do 1. Gdy
współczynnik korelacji przyjmuje wartość bliską:
 0 – pomiędzy zmiennymi brak jest liniowej zależności,
 +1 – pomiędzy zmiennymi występuje silna dodatnia zależność liniowa (gdy stopa zwrotu
instrumentu 1 rośnie, to rośnie również stopa zwrotu instrumentu 2),
 -1 – pomiędzy zmiennymi występuje silna ujemna zależność liniowa (gdy stopa zwrotu
instrumentu 1 rośnie, to spada wówczas stopa zwrotu instrumentu 2).
12
gdzie:
r1,2 – współczynnik korelacji stóp zwrotu instrumentów finansowych 1 i 2,
cov1,2 – kowariancja stóp zwrotu instrumentów finansowych 1 i 2,
σ1 – odchylenie standardowe stopy zwrotu instrumentu finansowego 1,
σ2 – odchylenie standardowe stopy zwrotu instrumentu finansowego 2.

13. Wariancja portfela inwestycyjnego
• Gdy wiemy już, czym jest kowariancja i korelacja stóp zwrotu,
możemy przejść do sposobu obliczania wariancji portfela
inwestycyjnego:
• Natomiast odchylenie standardowe portfela inwestycyjnego to
po prostu pierwiastek wariancji portfela:
13
gdzie:
σp
2 – wariancja portfela inwestycyjnego,
σp
2 – wariancja stopy zwrotu i-tego aktywa,
xi – udział i-tego aktywa w portfelu inwestycyjnym,
xj – udział j-tego aktywa w portfelu inwestycyjnym,
covi,j – kowariancja stóp zwrotu i-tego i j-tego aktywa.

14. Wykorzystanie arkusza
kalkulacyjnego do obliczeń
• Wariancję i odchylenie standardowe stopy zwrotu danego
instrumentu finansowego, a także współczynnik korelacji i
kowariancję stóp zwrotu dwóch walorów łatwo i szybko policzyć
można w arkuszu kalkulacyjnym przy użyciu odpowiednio
formuł:
– „Wariancja” (lub „Wariancja.popul” dla całej populacji),
– „Odch.standardowe” (lub „Odch.standardowe.popul” dla
całej populacji),
– „Pearson”,
– „Kowariancja”.
14

15. Wariancja portfela aktywów
- przykład
Załóżmy, że inwestor posiada w swoim portfelu akcje spółki A, które mają
w nim 60 proc. udział oraz akcje spółki B, których udział wynosi 40 proc.
W arkuszu kalkulacyjnym inwestor policzył, że wariancja akcji A to 0,04,
akcji B to 0,16, natomiast kowariancja stóp zwrotu tych aktywów to 0,056.
Jaka jest wariancja i odchylenie standardowe całego portfela?
2 = 0,62 * 0,04 + 0,42 * 0,16 + 2 * 0,6 *0,4 * 0,056
σp
Powyższy wynik oznacza, iż przeciętne odchylenie stóp zwrotu od wartości
średniej wynosi 25,86 proc.
15
xA=0,6
xB=0,4
σA
2 = 0,04
σB
2 = 0,16
covA,B = 0,056
σp
2 = 0,36 * 0,04 + 0,16 * 0,16 + 2 * 0,6 * 0,4 * 0,056
σp
2 = 0,06688
σp = 0,06688^(1/2) = 0,258612 = 25,86%

16. DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ!