Revision Algebra A class 2018

[1]
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1. Συμπληρώστε τον πίνακα .
ΠΡΟΤΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ - ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ
το διπλάσιο ενός αριθμού
3x + 2
το γινόμενο δυο αριθμών είναι ίσο με 2
x + 1
Συμβολίστε δύο αριθμούς που έχουν
άθροισμα 10 με τη χρήση μιας μεταβλητής.
Συμβολίστε δύο διαδοχικούς φυσικούς
αριθμούς με τη χρήση μιας μεταβλητής.
2. Συμπληρώστε σωστά τις παρακάτω προτάσεις :
α ) δυο γωνίες εφεξής με άθροισμα 900 , λέγονται……………………………… .
β ) δυο γωνίες εφεξής με άθροισμα ……………..λέγονται παραπληρωματικές.
γ ) Οι ……………………..γωνίες είναι ίσες .
δ ) Η παραπληρωματική μιας γωνίας 600 είναι ίση με …………..
3. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.
1 ) Η εξίσωση : 0x = -5 ,είναι αόριστη. Σ Λ
2 ) Η εξίσωση : 0x = 0 ,είναι αδύνατη. Σ Λ
3 ) Η ανίσωση : 0x > 3 έχει άπειρες λύσεις. Σ Λ
4 ) Η εξίσωση : 5x = 35 , έχει μια μόνο λύση. Σ Λ
4. Λύστε αναλυτικά την εξίσωση :
4·(2x + 1) – 6·(x - 1) = 3·(x + 2)

[2]
5. Το τετράγωνο ενός θετικού αριθμού x, αυξημένο κατά 8 είναι ίσο με το
τριπλάσιο του τετραγώνου του αριθμού x. Αφού δημιουργήσετε την
εξίσωση βρείτε τον ζητούμενο αριθμό.
6. Συμπληρώστε σωστά τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις :
α ) x∙x = β ) x+x= γ ) x2∙x = δ ) 5∙(x+1)=
ε ) x∙(x-3)= στ ) (x-2)∙(x+1)=
7. Τοποθετήστε τους πραγματικούς αριθμούς : 3,14 –2
1
2
- 0,62 √2
στον παρακάτω άξονα.

[3]
Γε. Λ Εξαπλατάνου
ΕΡΓΑΣΙΑ 1η Ταυτότητες – Μέθοδοι Απόδειξης
A΄ ΟΜΑΔΑ
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
Όνομα μαθητή / μαθήτριας : ……………………………………
1. Αφού διαβαστούν οι ταυτότητες , να συμπληρώσετε σωστά τα παρακάτω.
ι ) (χ-2)2 = …………………………………… ιι ) (χ-2)3=…………………………………
ιιι) χ3 – 8 = …………………………………… ιν) χ2 – 16 = ………………………………
ν ) χ3 + 27= …………………………………. νι ) (2χ-1)2 = …………………………….
2. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες :
ι ) (α+β)2 – 4αβ = (α-β)2 ιι ) (α-1)2-2(α-1)(α+1) + (α+1)2 =4
3. Να αποδειχθούν οι παρακάτω προτάσεις :
ι ) Αν ο α είναι ρητός και ο β είναι άρρητος , τότε ο α-β είναι άρρητος.
ιι ) Αν
2
111

a
, τότε να δείξετε ότι β≠2

[4]
Β΄ ΟΜΑΔΑ
ι ) (χ-3)3 = …………………………………… ιι ) (χ-4)2=…………………………………
ιιι) χ3 + 8 = …………………………………… ιν) χ2 – 9 = ………………………………
ν ) χ3 - 27= …………………………………. νι ) (3χ+1)2 = …………………………….
ι ) (α+β)2 – (α-β)2 = 4αβ ιι ) (2χ-1)2-3χ(χ-1) +3χ = (χ+1)2
ιι ) Αν ο α είναι ρητός με α≠0 και β άρρητος , τότε α⋅β είναι άρρητος.

[5]
Γ΄ ΟΜΑΔΑ
ι ) (χ+3)3 = …………………………………… ιι ) (χ-5)2=…………………………………
ιιι) χ3 + 27 = …………………………………… ιν) χ2 – 25 = ………………………………
ν ) χ3 - 64= …………………………………. νι ) (3χ-1)2 = …………………………….
ι ) α(α-2)-(α-1)2 = -1 ιι ) (2χ-1)2-3χ(χ-1) +3χ = (χ+1)2
ιι ) Αν ο α είναι άρρητος με α≠0 και β ρητός , τότε α⋅β είναι άρρητος.

[6]
Γε. Λ Εξαπλατάνου «Μεν. Λουντέμης»
Εργασία 2η A΄ ΟΜΑΔΑ - ΔΙΑΤΑΞΗ Ι
1. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανθασμένες (Σ-Λ)
ι ) Αν χ > 3 , τότε χ + 5 > 8 ιι ) Αν χ > 2 , τότε 3·χ < 6
ιιι ) Αν χ > 2 , τότε χ2 > 4 ιν ) Αν χ > 4 και y > 3 , τότε χ-y < 1
ν ) Αν χ > 4 και y > 3 , τότε χ·y >12
2. Αν 1 < χ < 2 και 2 < y < 3 , να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών είναι οι
παραστάσεις :
ι) χ + y ιι ) χ·y ιιι ) χ2 + y2 ιν ) χ – y
3. Έστω ότι έχουμε ένα ορθογώνιο χωράφι. Για το μήκος του ισχύει
100μ < χ<102μ και για το πλάτος του 50μ < y < 52μ.
Μεταξύ ποιών τιμών είναι η περίμετρος και το εμβαδόν του ;

[7]
Γε.Λ Εξαπλατάνου «Μεν. Λουντέμης»
Εργασία 2η Β΄ ΟΜΑΔΑ – ΔΙΑΤΑΞΗ Ι
ι ) Αν χ > 3 , τότε χ - 5 > 2 ιι ) Αν χ > 2 , τότε -3·χ < - 6
ιιι ) Αν χ > 3 , τότε χ2 > 9 ιν ) Αν χ > 4 και y > 3 , τότε
y

>
3
4
ν ) Αν χ > 4 και y > - 3 , τότε χ·y > - 12
2. Αν 1 < χ < 2 και 0 < y < 1 , να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών είναι οι
ι) χ + 2y ιι ) χ·y ιιι ) y2 ιν )
x
1
Μεταξύ ποιών τιμών είναι η περίμετρος και το εμβαδόν του ;

[8]
Εργασία 2η Γ΄ ΟΜΑΔΑ – ΔΙΑΤΑΞΗ Ι
ι ) Αν χ > 1 , τότε χ - 2 > -1 ιι ) Αν y > 2 , τότε 4·y < 8
ιιι ) Αν y > 4 , τότε y2 > 8 ιν ) Αν χ > 6 και y > 2 , τότε χ+y >8
ν ) Αν το y > 2 , τότε το y > 1 νι ) Αν χ > y και y > 1 , τότε χ > 1
2. Αν 1 < χ < 2 και -2 < y < -3 , να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών είναι οι
ι) 2χ + 3y ιι )
y
1
ιιι ) χ2 + y2
α ) Μεταξύ ποιών τιμών είναι η περίμετρος του ;
β ) Αν το μήκος αυξηθεί κατά 1 μέτρο και το πλάτος μειωθεί κατά 2 μέτρα,
μεταξύ ποιών τιμών είναι το εμβαδόν του νέου ορθογωνίου ;

[9]
Εργασία 3η A΄ ΟΜΑΔΑ – ΔΙΑΤΑΞΗ ΙΙ
1. Να γραφούν στη μορφή διαστήματος οι παρακάτω ανισώσεις :
i ) 2 ≤ x ≤ 4 iv ) x ≤ 2
ii ) x > 2 v ) 1 ≥ x ≥ -1
iii ) 2 < x ≤ 5 vi ) -2 ≤ x < 10
2. Aν - 1 < x < -
2
1
και 2 < y < 4 , να βρεθούν μεταξύ ποιων τιμών είναι οι
παρακάτω παραστάσεις :
i ) -x
ii ) 2y
iii ) 2y – x
iv ) x + y

[10]
Εργασία 3η Β΄ ΟΜΑΔΑ - ΔΙΑΤΑΞΗ ΙΙ
1. Να γραφούν στη μορφή διαστήματος οι παρακάτω ανισώσεις :
i ) 1 < x ≤ 2 iv ) x > - 2
ii ) x < 2 v ) -1 ≥ x ≥ -3
iii ) 2 ≤ x < 6 vi ) -2 ≤ x
2. Aν 1 < x < 2 και -
2
1
< y < 0 , να βρεθούν μεταξύ ποιων τιμών είναι οι
παρακάτω παραστάσεις :
i ) - y
ii ) 2x
iii ) 2x – y
iv )
y
1

[11]
Εργασία 4η Α΄ ΟΜΑΔΑ - ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ
1. Αν x > 3 ΚΑΙ y < 4 , να γραφούν χωρίς απόλυτες τιμές οι παραστάσεις :
α ) 3x β ) 2x γ ) 4y
2. Να λυθούν οι εξισώσεις :
α ) 2x β ) 3x = 2
γ ) 642 x
3. Να χαρακτηριστούν ως Σωστές ή Λάθος , οι παραστάσεις :
α )  
β )  
γ )
22
 
δ )  

[12]
Εργασία 4η B΄ ΟΜΑΔΑ - ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ
1. Αν x > 2 ΚΑΙ y < 2 , να γραφούν χωρίς απόλυτες τιμές οι παραστάσεις :
α ) 1x β ) 2x γ ) 2y
2. Να λυθούν οι εξισώσεις :
α ) 10x β ) 1x = 2
γ ) 342 x
3. Να χαρακτηριστούν ως Σωστές ή Λάθος , οι παραστάσεις :
α )  
β )  
γ )
22
 
δ )  

[13]
Εργασία 5η A΄ ΟΜΑΔΑ (για ΜΕΤΑ τις γιορτές)
1. Να συμπληρωθούν σωστά τα παρακάτω :
ι ) (  )2 = ………….. ιι )
2
 =……….. ιιι )  ·  =..
ιν)


=………..
2. Να γραφούν οι παρακάτω τετραγωνικές ρίζες με μικρότερη υπόριζη
ποσότητα.
ι ) 75 = …………………………………….. ιι ) 18 =……………………………….
ιιι ) 12 =……………………………………. ιν) 28 …………………………….
ν )
75
1225
=………………………………..
3. Να γραφούν χωρίς ριζικό οι παρακάτω παραστάσεις :
ι )
2
22 )(  = …………………….. ιι )
2
2)(  = …………………..
ιιι )  2
5)(  ……………………… ιν )
2
75 )(  =………………
4. Να αποδειχθεί ότι :
( )()( 22   )∙( )()( 22   ) = - 4
5. Άσκηση 10 σελίδα 75 Α΄ Ομάδας – Σχολικό βιβλίο.
6. Να κάνετε επανάληψη τις προηγούμενες εργασίες - Καλές Γιορτές.

[14]
Εργασία 5η Β΄ ΟΜΑΔΑ (για ΜΕΤΑ τις γιορτές)
1. Να συμπληρωθούν σωστά τα παρακάτω :
ι ) (  )2 = ………….. ιι )
2
 =……….. ιιι )  ·  =..
ιν)


=………..
2. Να γραφούν οι παρακάτω τετραγωνικές ρίζες με μικρότερη υπόριζη
ποσότητα.
ι ) 75 = …………………………………….. ιι ) 50 =………………………………
ιιι ) 12 =……………………………………. ιν)  .....36216 ………
ν )
50
75216 
=………………………………..
3. Να γραφούν χωρίς ριζικό οι παρακάτω παραστάσεις :
ι )
2
22 )(  = …………………….. ιι )
2
2 )(  = …………………..
ιιι )  2
4)(  ……………………… ιν )
2
23 )(  =………………
4. Να αποδειχθεί ότι :
( )()( 33   )∙( )()( 33   ) = - 6
5. Άσκηση 10 σελίδα 75 Α΄ Ομάδας – Σχολικό βιβλίο.
6. Να κάνετε επανάληψη τις προηγούμενες εργασίες - Καλές Γιορτές.

[15]
Εργασία 6η A΄ ΟΜΑΔΑ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ
1. Δίνεται η παραμετρική εξίσωση : (λ-1)∙x = λ (1)
α ) Αν λ = 2 , ποια εξίσωση προκύπτει απ την (1) ; Να λυθεί .
β ) Αν λ = 0 , ποια εξίσωση προκύπτει απ την (1) ; Να λυθεί .
γ ) Να λυθεί η (1) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ.
2. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις.
α ) x∙(x-3)2 = x2-6x+9 β ) 932 x
γ )
3
2
5
4
3
4



 xx

[16]
Εργασία 6η B΄ ΟΜΑΔΑ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ
1. Δίνεται η παραμετρική εξίσωση : λ∙x = λ-2 (1)
α ) x∙(x-1)2 = x2-2x+1 β ) 842 x
γ )
2
1
2
1
3
12



 xx

[17]
Εργασία 6η Γ΄ ΟΜΑΔΑ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ
1. Δίνεται η παραμετρική εξίσωση : (λ-1)∙x = λ (1)
δ ) Αν η (1) έχει λύση τον αριθμό 5 , να βρεθεί ο πραγματικός λ.
α ) x∙(x-3)2 = x2-6x+9 β ) 932 x
γ )
3
2
5
4
3
4



 xx

[18]
Εργασία 7η A΄ ΟΜΑΔΑ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β΄ ΒΑΘΜΟΥ
1. Να βρεθεί η εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς :
ι ) 2 και
3
1
ιι ) 3 - 2 2 , 3 +2 2
2. Να βρείτε δυο αριθμούς που έχουν άθροισμα 2 και γινόμενο -15.
3. Δίνεται η εξίσωση : x2 – (3 + 2 )x + 2 - 2 = 0
i ) Να βρεθεί η Δ.
ii ) Πόσες ρίζες έχει η εξίσωση ; Αιτιολογήστε.
4. Δίνεται η εξίσωση : x2 – λ x – (λ2+5) = 0 , με λ R .
α. Να δειχθεί ότι για κάθε τιμή του πραγματικού λ, η παραπάνω εξίσωση
έχει δυο πραγματικές και άνισες ρίζες.
β. Να υπολογιστεί το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της παραπάνω
εξίσωσης , συναρτήσει του λ.

[19]
Εργασία 7η Β΄ ΟΜΑΔΑ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β΄ ΒΑΘΜΟΥ
1. Να βρεθεί η εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς :
ι ) -1 και
3
1
ιι ) 2 - 3 , 2 + 3
2. Να βρείτε δυο αριθμούς που έχουν άθροισμα 2 και γινόμενο -24.
3. Δίνεται η εξίσωση : x2 – (1 + 2 )x + 2 + 2 = 0
i ) Να βρεθεί η Δ.
ii ) Πόσες ρίζες έχει η εξίσωση ; Αιτιολογήστε.
4. Δίνεται η εξίσωση : x2 + λ x – (λ2+4) = 0 , με λ R .
εξίσωσης , συναρτήσει του λ.

[20]
Εργασία 8η A΄ ΟΜΑΔΑ -ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β΄ ΒΑΘΜΟΥ
1. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις :
α ) –2x2+3x – 1 β ) 2x2 – 12x+ 18 γ ) x2+x+1
2. Να υπολογιστεί το πρόσημο των παραστάσεων για κάθε τιμή του
πραγματικού x.
α) 5x2 -6 x + 1 β ) 4 – x2 γ ) x2 + 2x + 1 δ ) – x2 - 1
3. Δίνεται η εξίσωση , x2 + λx + λ = 0 (1)
α ) Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει μια διπλή λύση ;
β ) Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει δυο άνισες λύσεις ;
γ ) Αν η (1) έχει δυο άνισες λύσεις να υπολογιστούν :
ι ) Το S , δηλαδή το άθροισμα των λύσεων,
ιι ) Το Ρ , δηλαδή το γινόμενο των λύσεων.

[21]
ΕΝΟΤΗΤΑ : 15 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Έστω Ω = {1,2,3,…….,10} ένα βασικό σύνολο και τρία υποσύνολα αυτού
Α = {1,2,4,7,8} , Β = {3,4,8,10} και Γ = {2,4,5,10}.
Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους καθώς και με Venn τα
σύνολα : ι ) Α  Β ιι) Β  Γ ιιι) Α  (Β Γ) ιν) Α Β Γ
2. Συμπληρώστε τις ταυτότητες
(α + β )2 = …………………………… ( α – β )2 = …………………………..
(α + β)3 = ……………………………. ( α – β )3 = …………………………..
α2 – β2 = …………………………….. α3 – β3 = …………………………….
3. Παραγοντοποιήστε τις παραστάσεις :
x2 – 1 = ……………………………… x2 + 2x = ……………………………
x2 – 4 = ……………………………… x2 - x = ……………………………….
x3 + 2x2 + x = …………………………………………………………………………..
x2 – 6x + 9 = ………………………. x2 – 2x + 1 = ……………………….
x3 – 1 = ……………………………….. x3 – 8 = ……………………………….
4. Βρείτε τους πραγματικούς x για τους οποίους ισχύει :
(2x-6)·(3x+12) = 0
5. Βρείτε τους πραγματικούς y για τους οποίους ισχύει :
(y+3)·(18-3y) ≠ 0
6. Να αποδείξετε ότι : (αβ-1)2 + (α-β)2 = (α-1)(β-1)(α+1)(β+1) για κάθε α, β
7. Έστω α Z . Αν ο (α+3)2 είναι άρτιος , να δείξετε ότι ο α είναι περιττός.
8. Λύστε τις εξισώσεις στο σύνολο των πραγματικών : 31x2  και
11x2 

[22]
9. Δίνεται η παράσταση
2
12
, να γραφεί σε ισοδύναμη χωρίς ριζικό στον
παρανομαστή.
10.Δίνεται η εξίσωση : (λ2 – 9)x = λ2 – 3λ , λ πραγματικός.
α ) Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ , ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει μία
και μοναδική λύση.
β ) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση το 4 , προσδιορίστε τον
πραγματικό λ.
11.Δίνεται η εξίσωση : x2 – 2λx + 4(λ-1) = 0 (1)
α ) Να βρεθεί η διακρίνουσα της (1).
β ) Να αποδείξετε ότι η (1) , για κάθε λ , έχει ρίζες πραγματικές.
γ ) Αν x1 , x2 οι ρίζες της (1) , για ποια τιμή του λ ισχύει :
x1 + x2 = x1x2
12.Δίνονται οι ανισώσεις : -x2 + 5x – 6 < 0 (1) , x2 – 16 ≤ 0 (2).
α ) Να λυθούν ξεχωριστά οι ανισώσεις (1) και (2).
β ) Να βρεθούν , αν υπάρχουν, οι κοινές λύσεις των (1) και (2).
13.Μια μικρή μεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος.
Το ύψος y (σε μέτρα) στο οποίο θα βρεθεί τη χρονική στιγμή t (sec) , δίνεται
από τη σχέση : y = 60t – 5t2
α ) Μετά από πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος ;
β ) Ποιες χρονικές στιγμές η σφαίρα θα βρεθεί σε ύψος 175 μέτρων ;
γ ) Να βρεθεί το χρονικό διάστημα, στη διάρκεια του οποίου, η σφαίρα
βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο των 100 μέτρων.
14. Βρείτε τα σημεία τομής της : f(x) = x2-5x+6 με τους άξονες.
15.Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων.
f (x) = 62 x g (x) =
65
1
2
 xx
h (x) =
1
1
2
2


x
x

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΗ :16-17,17-18
Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη Msc, μαθηματικού – http://blogs.sch.gr/iordaniskos
23
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ – ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ 1Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος)
1 ) Να αποδείξετε ότι :   , για κάθε α , β R . ( § 2.3 )
2 ) Δίνεται η δευτεροβάθμια εξίσωση : αx2 + βx + γ = 0 όπου α ≠ 0.
Να αποδειχθεί ότι : S = x1+x2 =


, P = x1·x2 = γ/α ( § 3.3 )
ΘΕΜΑ 1Ο - Β ( ερωτήσεις κλειστού τύπου Σ-Λ )
Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ (σωστές) ή Λ (λάθος).
1.
Η συνάρτηση f(x) = αx+β , με α, β R έχει γραφική παράσταση
μια ευθεία που τέμνει τον yy΄ στο σημείο (0,β).
Σ Λ
2. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει : 0 aa Σ Λ
3.  0, x χ > ρ ή χ < - ρ Σ Λ
4. Ισχύει :   a για κάθε πραγματικό αριθμό α, β. Σ Λ
5. Αν α2 > β2 , τότε α > β. Σ Λ
6. Αν θ > 0 , ισχύει η ισοδυναμία :   xx Σ Λ
7. Το συμμετρικό του Α(α,β) ως προς τον άξονα χχ΄ είναι Α΄(α,-β). Σ Λ
8.
Αν χ1, χ2 είναι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης : αχ2+βχ+γ=0
με α≠0 , τότε ισχύει : χ1 + χ2 =
a

.
Σ Λ
9. Αν α = 0 και β = 0 , τότε η εξίσωση α·χ+β = 0 , είναι αδύνατη. Σ Λ
10. Αν για τους α,β R ισχύει α·β > 0 , τότε ισχύει α > 0 και β >0. Σ Λ
11.
Για κάθε α , β R και ν φυσικό μη μηδενικό ισχύει : α > β 
αν > βν.
Σ Λ
ΘΕΜΑ 2o – 3o – 4o
1. Γ1. Να λυθούν οι εξισώσεις :
ι ) λ2 - λ- 6 = 0 .
ιι ) 012 
( μονάδες 10 )
Γ2. Για ποιες τιμές του λ R , η εξίσωση : )12(  ·x = λ2 - λ- 6 είναι
ι ) αόριστη ιι ) αδύνατη. ( μονάδες 15 )
2. Δίνεται η εξίσωση : x2 – λx – (λ2+5) = 0 , με λ R .
1. Να δειχθεί ότι για κάθε τιμή του πραγματικού λ, η παραπάνω εξίσωση
2. Να υπολογιστεί το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της παραπάνω
εξίσωσης , συναρτήσει του λ
3. Αν χ1 , χ2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης , να βρεθούν οι τιμές του
πραγματικού αριθμού λ ώστε να ισχύει : (x1 – 1)·(x2-1) = - 4.
( μονάδες 8+7+10 )

24
3. Δίνονται οι συναρτήσεις :
f(x) = 4962
 xx και g(x) =
2
42


x
x
1. Να υπολογιστούν τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x).
2. Να αποδειχθεί ότι : f(x) = 43 x και g(x) = 2x
3. Να λυθεί η εξίσωση : f(x) = g(x) – 6. ( μονάδες 12+6+7 )
4. Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = 25102
 xx
1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x).
2. Να λυθεί η εξίσωση : f(x) = 2
( μονάδες 9+7 )
5. Δίνεται η εξίσωση : x2-λx+λ2-3 = 0 , λ R
1. Να βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες η εξίσωση έχει 2 άνισες
πραγματικές ρίζες .
2. Για λ =1 ,
α ) να βρείτε τις χ1 , χ2 της εξίσωσης.
β ) να βρείτε την εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς 2x1
και 2x2 , όπου x1 , x2 οι ρίζες του ερωτήματος (2α).
( μονάδες 8+8+9 )
6. Δίνεται η εξίσωση : -x2+(2λ-1)x+λ2+λ+1 = 0 , λ R .
1. Να δειχθεί ότι για κάθε λ R η παραπάνω εξίσωση έχει πραγματικές
και άνισες ρίζες.
2. Αν χ1,χ2 οι ρίζες της εξίσωσης , να βρεθεί ο λ ώστε :
x12+x22+3x1x2 ≥ 0 ( μονάδες 12+13 )
7. Δίνεται η συνάρτηση : f(x) =
41
25 2


x
x
.
1. Να αποδειχθεί ότι : f(3) = -2
2. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x).
3. Να λυθεί η εξίσωση : x4 + x2 + f(3) = 0. ( μονάδες 7+10+8 )
8. Δίνεται η εξίσωση : x2 + λx – (λ2+4) = 0 , με λ R .
εξίσωσης , συναρτήσει του λ
γ. Αν x1 , x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης , να βρεθούν οι τιμές του
πραγματικού αριθμού λ ώστε να ισχύει : (x1 + 3)·(x2 + 3) = 5.
( μονάδες 8+7+10 )
ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 2015

25
9. Δίνεται η ευθεία : (ε) με εξίσωση : y = αx+3 , η οποία σχηματίζει με τον χχ΄
αμβλεία γωνία. Να βρεθούν :
1. τα σημεία τομής της (ε) με τους άξονες xx΄ , yy΄ συναρτήσει του α.
2. το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η (ε) με τους άξονες
συναρτήσει του α..
3. η τιμή του α , ώστε το παραπάνω εμβαδόν να είναι ίσο με 3τ.μ.
( μονάδες 9+9+7 )
9 ) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 + 2x – 15 , x R
α ) Να υπολογιστεί το άθροισμα : f(-1) + f(0) + f(1)
β ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με
τους άξονες. μονάδες 10 + 15
10 ) Δίνεται η εξίσωση (x-2)2 = λ∙(4x-3) με παράμετρο λ R .
α ) Να γραφεί η παραπάνω εξίσωση στη μορφή αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0.
μονάδες 5
β ) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού λ η εξίσωση έχει ρίζες
πραγματικές και άνισες. μονάδες 10
γ ) Αν x1 , x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης , στην περίπτωση που έχει ρίζες
πραγματικές και άνισες,
i ) να υπολογιστούν τα S = x1 + x2 και P = x1∙x2 συναρτήσει του
πραγματικού λ. μονάδες 4
ii ) να αποδειχθεί ότι η παράσταση Α = (4x1 – 3)∙(4x2 – 3) είναι
ανεξάρτητη του λ, δηλαδή είναι σταθερή.
μονάδες 6
11 ) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x∙
2
4 x
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
β ) Να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της
f(x) με τον xx΄.
γ ) Να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της
f(x) με τον yy΄. μονάδες 10 + 9 + 6
12 ) Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος x εκατοστά και πλάτος y
εκατοστά, αντίστοιχα. Αν για τα μήκη x και y ισχύει : 4 ≤ x ≤ 7 και
2≤ y ≤ 3 , τότε :
α ) Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της Περιμέτρου
του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.
μονάδες 10

26
β ) Αν το x μειωθεί κατά 1 και το y τριπλασιαστεί , να βρείτε τα όρια μεταξύ των
οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του ΝΕΟΥ ορθογωνίου
παραλληλογράμμου.
μονάδες 15
13 ) Δίνεται η εξίσωση : α∙x2 – (α2-1)∙x – α = 0 με παράμετρο α R και
α ≠ 0.
α ) Να αποδειχθεί ότι η διακρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης είναι :
Δ = (α2 +1)2 μονάδες 7
β ) Να αποδειχθεί ότι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης είναι οι
x1 = α και x2 = -

1
. μονάδες 9
γ ) Να βρεθούν οι τιμές του α , ώστε να ισχύει : 221
xx
μονάδες 9
14 )
15 )
16 )

27
17 ) Δίνεται η παράσταση, Α =
xx
)xx)(xx(
3
8196
2
32


.
α ) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α ;
β ) Να απλοποιηθεί η Α.
γ ) Να λυθεί η εξίσωση : Α = 0
δ ) Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης Α, αν το x = (-1)2017 – (-1)2016
18 ) Δίνεται η συνάρτηση , f(x) =
6
5
2


xx
x
.
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
β ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της με τους άξονες.
γ ) Αν x1 = f(1) και x2 = f(4) , να βρεθεί η εξίσωση 2ου βαθμού που έχει
ως ρίζες τους αριθμούς x1 , x2.
δ ) Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης :
Α =
)(f
)(f
)(f
)(f
21
2
21
2




Revision Algebra A class 2018

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Revision Algebra A class 2018

Similaire à Revision Algebra A class 2018 (20)

Plus de General Lyceum "Menelaos Lountemis"

Plus de General Lyceum "Menelaos Lountemis" (20)

Dernier

Dernier (20)

Revision Algebra A class 2018