TRIACCA Elisa, Bravi in matematica (Tesi di laurea)

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Università Cattolica del Sacro Cuore
Sede di Milano
Facoltà di Scienze della Formazione
Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria
BRAVI IN MATEMATICA?
PERCHE’ IL RENDIMENTO DEI BAMBINI IN MATEMATICA E
INFERIORE (IN ITALIA) RISPETTO ALLE ALTRE DISCIPLINE?
GOOD IN MATHS?
WHY IS THE CHILDREN’S PERFORMANCE IN MATHS WORSE (IN ITALY) THAN OTH-
ER SUBJECTS?
Anno accademico 2011/2012
Laureanda:
Elisa Triacca
Matr. N. 3706248
RELATORE: Chiar.mo Prof. Giovanni Lariccia
CORELATORE : Chiar.mo Prof. Alessandro Gamba

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A PAPA’…
amarti è stato facile,
dimenticarti impossibile

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SOMMARIO
0. INTRODUZIONE.................................................................................................................... 7
1. METACOGNIZIONE............................................................................................................. 11
1. 1. La meta cognizione: definizione del concetto.....................................................................................11
1.2. Approccio meta cognitivista.................................................................................................................12
1.3. Il modello di J.H Flavell.........................................................................................................................15
1.5. Il modello di H. M. Wellman.................................................................................................................19
1.6. Perché la scienza cognitiva ha a che fare con la matematica?.............................................................20
1.7. La conoscenza metacognitiva sulla matematica nel bambino.............................................................21
1.8. Le capacità cognitive necessarie in matematica ..................................................................................23
1.9. Consapevolezza meta cognitiva in matematica ...................................................................................24
1.10. Processi di controllo meta cognitivo in matematica ..........................................................................26
1.11. Bibliografia..........................................................................................................................................27
2. INTELLIGENZE MULTIPLE ................................................................................................... 30
2.1. Il questionario di rilevazione delle intelligenze multiple......................................................................34
2.2. Esistono altre intelligenze?...................................................................................................................42
2.3. La ruota degli ambiti delle intelligenze multiple ..................................................................................42
2.4. Bibliografia............................................................................................................................................44
2.5. Sitografia...............................................................................................................................................44
3. DA DOVE VIENE LA MATEMATICA?................................................................................... 46
3.1 Abilità numeriche innate e conoscenze apprese ..................................................................................46
3.2. Il talento matematico è un dono biologico? ........................................................................................49
3.3. L’aritmetica innata del cervello............................................................................................................53
3.4. Subitizzare ............................................................................................................................................58
3.5. La corteccia parietale inferiore.............................................................................................................60
3.6. Chi organizza i calcoli?..........................................................................................................................66
3.7. Alle origini della specializzazione cerebrale .........................................................................................71
3.8. È possibile localizzare il pensiero matematico? ...................................................................................73
3.9. I neuroni dell’aritmetica.......................................................................................................................79
3.10. I limiti dell’aritmetica infantile ...........................................................................................................82
3.11. Il numero innato e acquisito...............................................................................................................88
4. PROVE INVALSI DI MATEMATICA 2012 ............................................................................. 93
4.1. Rivelazione sugli apprendimenti ..........................................................................................................93
4.2. La popolazione di riferimento ..............................................................................................................96
4.3. Lo svolgimento delle prove Invalsi .......................................................................................................98
4.4. L’attendibilità dei dati.........................................................................................................................100
4.5 Il processo di costruzione delle prove : struttura dei quesiti..............................................................104
4.6. Fasi operative della costruzione delle prove: il pre - test ..................................................................107
I FASE 107

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II FASE108
III FASE ........................................................................................................................................................... 108
IV FASE........................................................................................................................................................... 109
4.7. Il campione del pre-test......................................................................................................................109
4.8. La somministrazione del pre-test.......................................................................................................111
4.9. Analisi del pre-test..............................................................................................................................111
4.10. La prova di Matematica....................................................................................................................112
4.11. Analisi domande aperte ...................................................................................................................112
4.12. Ambiti-Processi valutati nella prova di Matematica ........................................................................114
4.13. I risultati delle prove nei singoli livelli: II primaria...........................................................................116
4.14. I risultati generali..............................................................................................................................116
4.15. Le differenze di genere.....................................................................................................................119
4.15.1. Le differenze tra studenti di cittadinanza italiana e d’origine immigrata.......................................... 121
4.15.2. Le differenze di risultato all’interno delle prove ............................................................................... 126
4.15.3. I risultati delle prove nei singoli livelli: V primaria............................................................................. 128
4.15.4. Le differenze tra studenti di cittadinanza italiana e d’origine immigrata........................................ 130
4.15.5. Le differenze fra alunni regolari, in anticipo e in ritardo................................................................... 133
4.15.6. Le differenze di risultato all’interno delle prove ............................................................................... 134
4.16. L’evoluzione dei risultati nei diversi livelli scolastici.......................................................................138
4.16.1. Differenze nei livelli per aree geografiche......................................................................................... 138
4.16.2. Differenze nei livelli per genere......................................................................................................... 139
4.16.3. Differenza nei livelli per cittadinanza ................................................................................................ 140
4.16.4. Differenze nei livelli per regolarità nel percorso di studio ................................................................ 140
4.16.5 L’evoluzione dei risultati nell’ultimo triennio..................................................................................... 141
4.17. La variabilità dei risultati e le sue componenti.................................................................................142
4.17.1. Scomposizioni delle variabili tra le scuole, le classi all’interno di una scuola e all’interno di ciascuna
classe.................................................................................................................................................. 143
4.18. Bibliografia........................................................................................................................................146
4.19. Sitografia...........................................................................................................................................146
5. ITALIA ED EUROPA DI FRONTE ALLA MATEMATICA........................................................ 148
5.1. Il rendimento in matematica: risultati delle indagini internazionali..................................................149
5.2. Principali indagini sulla matematica: TIMSS e PISA............................................................................149
5.3. Il rendimento in matematica secondo i risultati PISA ........................................................................154
5.4. Il rendimento in matematica secondo i risultati TIMSS .....................................................................157
5.5. Principali fattori associati alle performance in matematica...............................................................160
5.5.1. Impatto dell’ambiente familiare e delle caratteristiche dei singoli studenti...................................... 160
5.5.2. Impatto delle scuole e dei sistemi educativi ....................................................................................... 161
5.5.3. Spiegare i cambiamenti nel rendimento in matematica in alcuni paesi............................................. 163
5.6. Il curricolo di matematica...................................................................................................................164
5.6.1. Sviluppo, approvazione, livelli decisionali e disseminazione dei documenti di indirizzo per la
matematica ........................................................................................................................................ 164
5.6.2. Revisione del curricolo di matematica e monitoraggio della sua efficacia.......................................... 166
5.6.3. Principali modifiche del curricolo nell’ultimo decennio ...................................................................... 167
5.6.4. Valutare l’efficacia dell’attuazione del curricolo ................................................................................. 169
5.6.5. Obiettivi di apprendimento, contenuto e competenze matematiche nel curricolo ........................... 170
5.7. Struttura e progressione negli obiettivi di apprendimento e contenuti della materia ..................171

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Abilità e competenze nel curricolo di matematica........................................................................................ 172
5.8. Contenuti della matematica come disciplina.....................................................................................172
5.9. Ore di insegnamento dedicate alla matematica ...............................................................................174
5.10 Effettiva distribuzione delle ore di insegnamento tra gli argomenti di matematica......................175
5.11. Libri di testo e materiali della didattici per la matematica.............................................................178
5.11.1 Grado di autonomia degli istituti nella scelta dei libri di testo di matematica................................... 178
5.11.2. Produzione/sviluppo dei libri di testo................................................................................................ 180
5.11.3.Monitorare e rivedere la coerenza tra il curricolo e i libri di testo..................................................... 181
5.12. Approcci didattici, metodi e organizzazione della classe.................................................................183
5.12.1. Varietà di metodi di insegnamento: linee guida e pratiche .............................................................. 184
5.13. Collegare la matematica alla vita quotidiana...................................................................................186
5.14. L’apprendimento basato sui problemi .............................................................................................187
5.14.1. Apprendimento attivo e pensiero critico .......................................................................................... 188
5.14.2. Memorizzazione ................................................................................................................................ 189
5.15. Organizzazione della classe: raggruppamento degli alunni .............................................................190
5.16. Utilizzo delle TIC e delle calcolatrici nella lezione di matematica ...................................................192
5.16.1. Utilizzo delle calcolatrici .................................................................................................................... 195
5.17. Assegnazione di compiti a casa ........................................................................................................196
5.18. La valutazione in matematica...........................................................................................................199
5.19. Il ruolo delle prove nazionali di valutazione.....................................................................................201
5.20. Utilizzo dei risultati della valutazione in matematica.......................................................................202
5.21. Sitografia...........................................................................................................................................203
6. SCARSI IN MATEMATICA.................................................................................................. 204
6.1. Difficoltà nell’insegnamento – apprendimento della matematica: ostacoli quando la si impara e
quando la si apprende...............................................................................................................................204
6.2. Ostacoli cognitivi. ...............................................................................................................................206
6.3. Ostacoli affettivi. ................................................................................................................................207
6.3.1. Anche l’insegnante incontra degli ostacoli......................................................................................... 208
6.3.2. La formazione. ..................................................................................................................................... 208
6.4. La paura della matematica. ................................................................................................................208
6.5. L’immagine della matematica che ha il docente................................................................................209
6.6. Le emozioni degli insegnanti ..............................................................................................................211
6.7. Politiche sullo scarso rendimento ......................................................................................................213
6.8. Risultati chiave delle ricerche sulle misure efficaci per combattere lo scarso rendimento..............215
6.9. Rispondere alle diverse necessità degli studenti ...............................................................................216
6.10. Evidenziare l’importanza della matematica.....................................................................................216
6.11. Interventi precoci al livello primario ................................................................................................216
6.12.Concentrarsi sui punti deboli dei singoli studenti.............................................................................217
6.13. Fattori motivazionali.........................................................................................................................217
6.14. Aumentare il coinvolgimento dei genitori........................................................................................218
6.15. Connessioni con i problemi di lettura e scrittura.............................................................................218
6.16. Politiche nazionali per migliorare il rendimento..............................................................................218
6.17. Obiettivi nazionali di rendimento in matematica.............................................................................219
6.18. Tipi di sostegno per gli studenti con scarso rendimento .................................................................220

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6.19. Adattamento del curricolo ...............................................................................................................222
6.20. Problemi comuni di attuazione ........................................................................................................223
6.21. Migliore la motivazione degli studenti.............................................................................................224
6.22. Motivazione e rendimento...............................................................................................................226
6.23. L’impatto degli atteggiamenti, delle convinzioni e della fiducia degli studenti in se stessi...........228
6.24. Metodi di insegnamento per aumentare la motivazione degli studenti........................................230
6.25. Differenze tra i generi nella motivazione e nel rendimento..........................................................231
6.26. Strategie nazionali per migliorare la motivazione degli studenti nell’apprendimento della
matematica................................................................................................................................................233
6.27. Attività sostenute a livello centrale per migliorare l’atteggiamento nei confronti
dell’apprendimento della matematica......................................................................................................235
6.28. Attività extracurricolari ....................................................................................................................235
6.29. Partnenariati.....................................................................................................................................236
6.30. Specifici metodi di insegnamento per migliorare il coinvolgimento................................................237
6.31.Coinvolgimento dei genitori..............................................................................................................237
6.31.1.Questioni politiche legate alla carenza di competenze e alla scelta della matematica nell’istruzione
superiore ............................................................................................................................................ 238
6.32. Numero dei laureati nelle MST.........................................................................................................238
6.33. Bibliografia........................................................................................................................................240
6.34. Sitografia...........................................................................................................................................241
7. CONCLUSIONI .................................................................................................................. 242
8. RINGRAZIAMENTI ............................................................................................................ 245

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0. INTRODUZIONE
Della mia carriera scolastica passata, ricordo che durante la scuola elementare la mate-
matica era la mia materia preferita, partecipavo attivamente alle lezioni e per me era
come un gioco, ma con il passare degli anni e l’innalzamento del livello scolastico questa
mi piaceva sempre meno, mi spaventava e mi preoccupava.
Infatti sia agli esami di terza che media, che alla maturità, la prova di matematica era
quella che più temevo e questa era un paura comune anche alla maggior parte dei miei
compagni.
Ricordo ancora che sia alle medie, che alle superiori, i corsi di recupero di matematica
erano quelli maggiormente frequentati da noi studenti e molti frequentavano anche
delle lezioni private.
Nonostante ciò, i voti di matematica nelle interrogazioni, nelle verifiche e nelle pagelle
erano sempre più bassi, rispetto a quelli delle altre discipline.
Probabilmente, il fatto di aver cambiato cinque docenti di matematica alle medie non
mi ha aiutata a capire e ad amare la matematica, ma alle superiori avevo una professo-
ressa davvero molto competente e di certo la colpa non era sua se noi studenti avevamo
delle difficoltà in matematica.
Così, purtroppo, la passione nei confronti di questa disciplina si è affievolita sempre di
più, fino a scomparire del tutto.
Anche quando alla fine delle quinta superiore scelsi di iscrivermi al corso di Scienze della
Formazione Primaria, presso l’Università Cattolica del Sacro Cuore, una cosa mi preoc-
cupò del mio piano di studi: i tre esami di matematica.
Così da questa mia esperienza personale mi sono chiesta come mai il rendimento degli
studenti in matematica è inferiore (in Italia) rispetto alle altre discipline.

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Partendo dalle indagini IEA, nel 2011 (anno dell’ultima rivelazione internazionale) emer-
ge il miglioramento degli studenti italiani in matematica rispetto al 2007, anche se da
un’attenta analisi dei dati emerge che sia al quarto anno, che all’ottavo anno i punteggi
di matematica dei nostri studenti sono inferiori rispetto a quelli di lettura e scienze. In-
fatti al quarto anno gli studenti italiani ottengono un punteggio di 541 in lettura, 524 in
scienze e di 508 in matematica, mentre all’ottavo anno i punteggi sono di 501 in scienze
e di 498 in matematica.
I risultati sono quindi più lusinghieri in quarta primaria che alla scuola secondaria di pri-
mo grado e in lettura e scienze rispetto a matematica.
Nelle materie scientifiche, però, l'Italia registra il balzo in avanti più importante di tutti i
Paesi, infatti il punteggio in terza media è passato da 480 nel 2007 a 498 nel 2011 e il
gap da 20 punti sotto la media internazionale, è stato colmato.
Questo è avvenuto anche per l’effetto delle prove di valutazione che sono state intro-
dotte e che hanno spinto a una maggior focalizzazione sulla matematica, per metterci
alla pari con gli altri Paesi.
Nonostante ciò, in Italia, i risultati di matematica rimangono più bassi rispetto alle altre
discipline e anche rispetto a differenti paesi dell’Europa e del resto del mondo.
I migliori risultati in tutto il mondo per la matematica sono quelli della Corea e Taipei, e
la Finlandia è l'unico paese europeo con livelli di rendimento analoghi agli asiatici.
In modo particolare in questa tesi, ho cercato di trovare delle spiegazioni allo scarso
rendimento degli studenti in matematica.
Nel primo capitolo ho definito il concetto di metacognizione, attraverso i modelli di J.H.
Flavell, A.l. Brown e H.M.Wellman. Inoltre ho analizzato qual è il rapporto che intercorre
tra matematica e metacognizione, quali sono le conoscenze metacognitive necessarie a

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questa disciplina, in che cosa consiste la consapevolezza metacognitiva e quali sono i
processi di controllo metacognitivi, sempre connessi alla matematica.
Nel secondo capitolo, attraverso l’analisi delle intelligenze multiple, proposte da Gard-
ner, ho sottoposto a bambini di cinque classi della scuola primaria di S.Ambrogio a Sere-
gno (MB) un questionario di rilevazione delle intelligenze multiple, dal quale è emerso
che mentre in I e II i punteggi relativa all’intelligenza logico – matematica erano tra i più
alti, in III questi iniziavano ad abbassarsi, fino ad arrivare in IV e V, dove questi sono tra i
più bassi in assoluto rispetto alle altre tipologie di intelligenza.
Nel terzo capitolo, ho cercato di risponde a domande, che tutt’oggi fanno ancora discu-
tere nel campo delle scienze, come ad esempio: da dove viene la matematica? È corret-
to parlare di abilità numeriche innate o bisogna parlare di conoscenze apprese? Il con-
cetto di numero è innato o acquisito? È possibile localizzare il pensiero matematico? Esi-
stono i neuroni della matematica? Quali sono i limiti dell’aritmetica infantile?
Nel quarto capitolo mi sono occupata delle prove Invalsi di matematica, focalizzandomi
su quelle effettuate in II e V primaria. In modo particolare ho trattato come avviene il lo-
ro svolgimento, come vengono costruite le prove, le tipologie di domande, gli ambiti -
processi valutati e l’attendibilità dei dati. Inoltre, sia per le prove di matematica effet-
tuate in II, che per quelle effettuate in V primaria, ho analizzato la differenza di genere
emersa nei risultati, quelle dovuta alle differenze tra studenti di cittadinanza italiana e
d’origine immigrata, tra studenti regolari, in anticipo e in ritardo e infine ho trattato le
differenze per aree geografiche, le variabili all’interno di scuole e classi e il ruolo del
background familiare.
Nel quinto capitolo ho invece confrontato l’insegnamento della matematica in Italia, con
gli altri paesi europei che hanno partecipato alle indagini internazionali di TIMSS E PISA.
Anzitutto, ho analizzato i risultati di matematica emersi sia dalle indagini PISA, che da
quelle TIMSS e successivamente mi sono occupata dei fattori associati alle performance
in matematica, come ad esempio le caratteristiche dell’ambente familiare e dei singoli

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studenti. Ho anche trattato lo sviluppo, l’approvazione, i livelli decisionali, le dissemina-
zione dei documenti di indirizzo per la matematica e come vengono modificati. Le ore di
insegnamento previste per la matematica, i libri di testo e i materiali didattici utilizzati
per l’insegnamento/apprendimento, come ad esempio l’utilizzo delle TIC e delle calcola-
trici nelle lezioni di matematica, le organizzazioni delle classi, gli approcci didattici, i me-
todi, come l’apprendimento basato sui problemi, il pensiero critico, l’importanza dei
compiti a casa e la valutazione.
Nel sesto e ultimo capito, ma non per questo di minor importanza, mi sono occupata di
come poter combattere lo scarso rendimento della matematica.
Partendo dalle difficoltà di insegnamento/apprendimento, di studenti e docenti, analiz-
zando i diversi ostacoli che si possono incontrare, ho posto l’attenzione sugli interventi
precoci a livello primario, come per esempio l’importanza di concentrarsi sui punti de-
boli de singoli studenti, i fattori motivazionali e il maggior coinvolgimento dei genitori.
Infine, mi sono soffermata sui tipi di sostegno a favore degli studenti con scarso rendi-
mento, tra i quali: l’adattamento del curricolo, migliorare la motivazione e il coinvolgi-
mento degli studenti, atteggiamenti, delle convinzioni e della fiducia degli studenti in se
stessi

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1. METACOGNIZIONE
1. 1. La meta cognizione: definizione del concetto
Si può definire la meta cognizione come una forma di conoscenza che ha per oggetto i
processi mentali e i loro risultati.
Secondo il modello cognitivista, ciascun soggetto umano dispone di una serie di rappre-
sentazioni di conoscenze.
Il funzionamento del sistema di rappresentazione consiste in diverse operazioni cogniti-
ve:
 trasformazione dello stimolo esterno in informazione;
 mantenimento della conoscenza nella memoria;
 richiamo e rievocazione dell’informazione;
 mantenimento di un’informazione “sotto attenzione”;
 confronto di una conoscenza con un’altra.
Il sistema cognitivo già intorno agli anni sessanta – settanta ha cominciato a sentire
l’esigenza di spiegare anche quei processi che oltre a riguardare il che cosa e il come ap-
prendere, riguardano il “chi” apprende. Ciò non soltanto in termini di stili cognitivi indi-
viduali, ma anche in termini di consapevolezza e controllo sul come apprendere qualco-
sa meglio, e sul come saperlo usare, rielaborare, riprodurre adeguatamente.
Si deve in particolare a Flavell l’intuizione ricavata dagli studi sull’intelligenza artificiale
di una specifica funzione di monitoraggio che, controllando i processi di pensiero nella
loro sequenza, ristruttura contemporaneamente l’informazione via via disponibile.
Attraverso le operazioni di controllo esecutivo il sistema diventa consapevole di quello
che sta facendo e di come intervenire per scegliere le procedure più adatte ai diversi

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compiti, per controllarne l’applicazione e per verificare se il compito svolto è soddisfa-
cente.
Dagli anni settanta a oggi la ricerca sulla meta cognizione è stata guidata dunque da
questa idea: un sistema cognitivo abile non soltanto apprende ma sa anche come farlo,
e come farlo meglio.
1.2. Approccio meta cognitivista
Soltanto quarant’anni fa, cominciò ad affermarsi un nuovo movimento scientifico che
noi oggi chiamiamo scienza cognitiva.
Essa cerca di integrare i contributi di varie discipline (fra cui la psicologia, la linguistica,
l’intelligenza artificiale e le neuroscienze) allo scopo di proporre una concezione miglio-
re e più completa della mente umana.
In campo scientifico, due furono i nemici1
della rivoluzione cognitiva, distinti ma un rela-
zione fra loro.
La prospettiva comportamentista, compendiata nel lavoro si Skinner, disdegnò la mente
e i suoi contenuti: l’unica cosa che contava, dal punto di vista comportamentista, era il
fatto che un organismo percepisce uno stimolo e reagisce; o che l’organismo agisce in
qualche modo e per questo viene rinforzato positivamente o negativamente.
Il secondo antagonista dal punto di vista del cognitivismo, fu una certa concezione della
mente, secondo la quale ciò che essa contiene – in maggiore o minore quantità – è
l’intelligenza.
L’intelligenza sarebbe un’entità fissa e inesplorata e le persone nascerebbero con una
certa quantità di intelligenza che, nel bene e nel male, resterebbe invariata.
1
H. Gardner, Educazione e sviluppo della mente, Erickson, Trento 2005.

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Pochi si sono chiesti che cosa sia in definitiva l’intelligenza e come possa essere miglio-
rata, incrementata o trasformata.
L’idea principale avanzata dai cognitivisti in risposta diretta a queste teorie consolidate
fu il concetto che nella mente ci sono delle entità importanti chiamate rappresentazioni
mentali.
Le persone quindi non si limitano a reagire o ad agire nel mondo, ma possiedono una
mente e queste menti contengono immagini, schemi, strutture, linguaggi, idee e simili.
Nasciamo con certe rappresentazioni mentali e alcune di queste si dimostrano piuttosto
persistenti, mentre altre si creano, si trasformano o si dissolvono con il tempo per effet-
to dell’esperienza e della riflessione sull’esperienza.
Infatti noi abbiamo molte rappresentazioni mentali nella nostra mente. Si parla quindi di
molteplici intelligenze che vanno da quella linguistica e logica (che sono quelle su cui di
solito lavora la scuola) alle intelligenze musicali, visive, naturalistiche, cinestetiche, esi-
stenziali, interpersonali e intrapersonali.
Queste intelligenze rappresentano il modo in cui ognuno di noi incamera le informazio-
ni, le ricorda, le elabora e dimostra a sé e agli altri di avere capito.
L’approccio cognitivista2
, affermandosi nell’ambito della psicologia sperimentale statu-
nitense e inglese, ha riscosso subito ampio consenso in varie aree della ricerca psicologi-
ca, compresa quella educativa, così da diventare rapidamente la prospettiva dominante
sulla cognizione, sullo sviluppo e sull’apprendimento, anche ai nostri giorni, sia pur con
revisioni e integrazioni che sono state via via apportate negli ultimi tre decenni.
2
L. Mason, Psicologia dell’apprendimento e dell’istruzione, Il Mulino, Bologna 2006.

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I cognitivisti ripresero a studiare la mente umana, ma non attraverso il metodo
dell’introspezione proposto da Wundt3
, bensì, come precisato da Neisser4
(1967), al
quale si deve l’opera Cognitive Psychology, considerata da molti come il punto di riferi-
mento per la nascita dell’approccio. Lo studioso sosteneva che il termine «cognitivismo»
doveva riferirsi a tutti i processi di manipolazione delle informazioni, ossia trasformazio-
ne, elaborazione, riduzione, immagazzinamento, recupero e combinazione degli imput
sensoriali. L’approccio cognitivista è infatti denominato Hip (dall’acronimo
dell’espressione Human Information Processing5). Neisser intravedeva una forte analo-
gia tra comprensione dei processi cognitivi dell’uomo da parte di uno psicologo e com-
prensione della programmazione fatta a un computer da parte di un tecnico informatico
che vuole scoprire procedure e routine mediante cui riuscire a far fare una determinata
cosa a quello strumento. Sia gli esseri umani che i computer manipolano informazioni,
ma i circuiti che compongono il computer sono completamente diversi dall’anatomia del
nostro cervello. Tale metafora del computer come macchina che elabora le informazioni
è stata introdotta dagli psicologi che si interrogavano sui processi e sulle strategie che
guidano le attività umane, sulle modalità di organizzazione delle nostre conoscenze nel-
la memoria permanente, nonché sulle caratteristiche dei sistemi di elaborazione delle
informazioni nell’uomo.
La nascente ricerca nel campo dell’intelligenza artificiale portava allo sviluppo di pro-
grammi per la simulazione di comportamenti cognitivi complessi nell’uomo, come la so-
luzione di problemi, trasformandosi nel tempo in cognitive science6
che andava privile-
3
Wundt, Wilhelm. Fisiologo, psicologo e filosofo (Neckarhau, Mannheim, 1832 – Lipsia, 1920). Essenziale il
suo contributo alla fondazione di una psicologia come scienza autonoma, sia dal punto di vista metodologico,
sia dal punto di vista teorico, sia, infine, da quello della ricerca empirica.
4
Neisser, Ulrich. Psicologo statunitense, nato in Germania, a Kiel nel 1928, nella sua opera più importante
“Cognitive psychology”, che segna l’inizio di un nuovo tipo di psicologia, il cognitivismo, confluiscono ricerche
sperimentali sulla percezione, sulla memoria e sul pensiero.
5
Elaborazione dell’informazione nell’ uomo.
6
Area interdisciplinare di ricerca in psicologia cognitiva, informatica, filosofia, linguistica e, più di recente,
neuroscienze.

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giando soprattutto l’analisi delle strutture sottostanti all’elaborazione dell’informazione,
in particolare del sistema di memoria attraverso cui passa il flusso di informazioni.
Possiamo così sintetizzare il cognitivismo in questi assunti di base:
 focalizza e specifica le attività mentali che intervengono tra la presentazione di sti-
moli e la produzione di risposte;
 i processi di cognizione implicano più attività separate che operano in concerto e si
possono distinguere, ma se prese isolatamente non rendono conto della dinamicità
della cognizione umana;
 molti aspetti della cognizione umana sono attivi e costruttivi;
 il computer come metafora della mente umana consente di generare ipotesi sulla
cognizione umana;
 le informazioni sono rappresentate interamente per poter essere elaborate;
 la rappresentazione varia in base alla natura e al livello di astrazione;
 l’elaborazione è attività mentale che genera, manipola, trasforma e conserva rap-
presentazioni, in sequenza o simultaneamente;
 solo un insieme limitato di conoscenze è attivato in un determinato momento (la
memoria di lavoro) in quanto le risorse che abbiamo a disposizione per prestare at-
tenzione consapevole sono limitate; fortunatamente molti processi avvengono au-
tomaticamente, ma molti altri però richiedono il controllo vigile dell’individuo.
1.3. Il modello di J.H Flavell
Flavell definisce la meta cognizione come “conoscenza dei fenomeni conoscitivi”.
Riprendendo in sintesi i suoi numerosi studi, si ritrova la conoscenza meta cognitiva e
l’esperienza meta cognitiva.
Per ciò che riguarda la conoscenza è contraddistinta da sensibilità meta cognitive e delle
variabili e conoscenze che la persona possiede relativamente a se stessa, al compito e
alle strategie da attivare.
La sensibilità meta cognitiva riguarda il livello di percezione che una persona possiede
circa la necessità di applicare un’adeguata procedura a una certa attività cognitiva (ad

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esempio accorgersi che un testo è difficile, permette di attivare procedure di compren-
sione più attente), mentre le conoscenze che un soggetto possiede, riguardano le varia-
bili di un compito, le strategie, se stesso e pur essendo distinte le une dalle altre, sono
difficilmente separabili, anzi, non possono che interagire tra di loro.
Inoltre, le conoscenze intorno a se stesso possono essere:
 individuali (ad es. ognuno sa di riuscire meglio nella scrittura che non nella
matematica);
 interindividuali (ad es. un soggetto sa di essere il migliore della classe in abili-
tà di soluzione dei problemi);
 universali (ad es. un soggetto sa che per studiare un brano non deve solo leg-
gerlo, ma sottolineare, prendere appunti, schematizzare).
Le conoscenze relative al compito sono invece quelle che un soggetto possiede per af-
frontare con successo il compito stesso (ad es. quale tipologia di lettura attivare di fron-
te a un elenco del telefono, o di fronte a una poesia).
Le variabili relative alle strategie riguardano l’utilità di certe procedure per facilitare o
giungere alla soluzione del compito stesso (ad esempio rileggere attentamente i dati di
un problema prima di passare alla soluzione).
Infine, per esperienza meta cognitive Flavell intende le conoscenze meta cognitive che
derivano dall’esperienza e dall’esercizio delle attività cognitive stesse che possono av-
venire prima, durante e dopo l’attività cognitiva (ad esempio qualcuno sta provando
un’esperienza meta cognitiva quando ha la sensazione che qualcosa è difficile da perce-
pire, da comprendere, da ricordare o da risolvere, oppure si accorge di essere lontano
dallo scopo cognitivo e si accorge che il materiale sta diventando più facile o più diffici-
le).

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Un’esperienza meta cognitiva può essere quindi ogni tipo di attività conscia, fattuale o
cognitiva pertinente a un’attività intellettiva.
Tra l’esperienza meta cognitiva e la conoscenza meta cognitiva c’è un continuo scambio
reciproco di informazioni, infatti le esperienze meta cognitive danno l’opportunità di ri-
strutturare le conoscenze meta cognitive che a propria volta influiscono sul soggetto,
sulle strategie e quindi sull’esecuzione del compito stesso.
1. 4. Il modello di A. L. Brown
Brown si inserisce nel dibattito della meta cognizione individuando quattro differenti
radici culturali di tale problematica:
una prima radice risalirebbe alla tematica sull’autoriflessione e sull’autocoscienza;
 una seconda radice risalirebbe alla ricerca di un sistema superordinato di controllo
esecutivo sul compito;
 una terza andrebbe riferita alla ricerca piagetiana sull’autoregolazione;
 una quarta si ritroverebbe infine nell’ipotesi vjgotskiana del trasferimento dei si-
stemi di regolazione esterni a quelli interni.
Dalla prima radice Brown ricava indicazioni sull’affidabilità d’indagini psicologiche fon-
date sull’autocoscienza o sull’autoriflessione, mentre dalle altre fonti ricava spunti di
approfondimento relativi al funzionamento cognitivo della mente.
Egli intende il concetto di meta cognizione come controllo esecutivo e dalle sue ricerche
emerge che i bambini più piccoli, con un sistema cognitivo meno strutturato, trovano
difficoltà a:
 accorgersi che nello svolgimento di un’attività cognitiva è sopraggiunta una difficol-
tà e che perciò si richiede una strategia cognitiva più adeguata;

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 produrre un processo interferenziale per verificare la probabilità che una certa ipo-
tesi sia vera;
 prevedere il risultato dei loro tentativi nell’uso di una strategia cognitiva;
 prevedere la difficoltà di un compito in varie situazioni cognitive;
 pianificare in anticipo in modo da distribuire strategicamente il tempo di studio;
 controllare il successo di un’attività di apprendimento cosicché tale attività termini e
non sia più lunga o più breve del necessario.
Tali osservazioni hanno così condotto Brown a definire un modello meta cognitivo cen-
trato su precisi processi superordinati all’esecuzione corretta del compito:
 la previsione del proprio livello di prestazione di un compito specifico che richiede
l’abilità di immaginare gli atti cognitivi per stimare il proprio livello di prestazione, le
difficoltà della prova e di prevedere il risultato dell’applicazione di una certa strate-
gia;
 la pianificazione, delle operazioni che conducono a un certo obiettivo, richiede la
capacità di organizzare le azioni in sequenza (temporale, casuale, gerarchica …);
 il monitoraggio che riguarda il controllo del soggetto su un’attività cognitiva già in-
trapresa, in particolare la soluzione di problemi;
 la valutazione che controlla infine, sia le strategie intraprese, sia la prestazione stes-
sa e mentre il monitoraggio è un controllo progressivo sulle singole fasi, la valuta-
zione riguarda la verifica di una strategia nella sua globalità.
Per Brown l’elemento caratteristico del sistema meta cognitivo è proprio il sistema ese-
cutivo, ovvero il sistema di controllo e di monitoraggio dell’attività cognitiva stessa. A
quest’ultimo possiamo attribuire sia le differenze individuali, sia la responsabilità del
processo di crescita del sistema cognitivo, che nel tempo e con l’esercizio, diventa sem-
pre più articolato e complesso.

Pagina 19 su 245
Se dunque dagli studi effettuati sull’intelligenza artificiale dalla Brown si ricava l’idea dei
processi superordinati di controllo esecutivo, dagli studi piagetiani sull’autoregolazione7
si ricava invece l’idea di una consapevolezza meta cognitiva generale.
L’autoregolazione, infatti, altro non è che quel processo di continuo aggiustamento, di
scoperta e correzione degli errori attraverso cui un individuo nel suo sviluppo diventa
capace di formulare un piano d’azione e di verifica prima attraverso una serie di tentati-
vi, poi soltanto attraverso un processo concettuale.
Anche la meta cognizione intesa come consapevolezza generale permette al soggetto di
ipotizzare, controllare, modificare, generalizzare e discutere di compiti cognitivi con gli
altri.
1.5. Il modello di H. M. Wellman
Anche Wellman riconosce che il concetto di meta cognizione è impreciso e difficile da
definire. Facendo un confronto con gli altri modelli, Wellman individua quattro tipologie
di conoscenze meta cognitive:
 le conoscenze circa gli atti dell’attività mentale;
 il controllo cognitivo della propria memoria;
 l’utilizzo intelligente delle capacità cognitive;
 le sensazioni cognitive, affettive e reazioni alle varie esperienze cognitive.
Ma più che a una definizione del concetto di meta cognizione, Wellman si è interessato
allo studio delle caratteristiche evolutive e cioè del quando cominci e come si sviluppi
questa autoconoscenza delle proprie capacità mentali.
7
È la capacità di riequilibrare e di organizzare la struttura cognitiva senza interventi esterni, ovvero i nuovi
stimoli non intaccano profondamente gli schemi comportamentali.

Pagina 20 su 245
Secondo Wellman, perché ci sia meta cognizione è necessario che il soggetto giunga alla
consapevolezza:
- dell’esistenza di stati mentali interni;
- della distinzione tra i vari processi mentali e dell’interazione di tali
processi che pur restando distinti, intervengono e interagiscono in-
sieme perché l’atto psichico si compia;
- delle variabili o condizioni che possono influenzare o modificare gli
atti cognitivi;
- del controllo cognitivo che è possibile porre in atto proprio per re-
golare lo svolgersi delle proprie attività mentali in condizioni diffe-
renti.
1.6. Perché la scienza cognitiva ha a che fare con la matema-
tica?
La matematica come noi la conosciamo è stata creata e usata dagli esseri umani: mate-
matici, fisici, informatici ed economisti, tutti membri della specie Homo Sapiens. Questo
può sembrare ovvio, ma ha una conseguenza importante: la matematica8
, coma la co-
nosciamo, è limitata e strutturata dal cervello umano e dalle capacità mentali umane.
L’unica matematica che conosciamo, o che possiamo conoscere, è una matematica co-
struita sul cervello e sulla mente.
Quando la scienza cognitiva e le neuroscienze hanno imparato di più sul cervello e sulla
mente umana, è diventato chiaro che il cervello non è uno strumento per finalità gene-
riche.
8
G. Lakoff, R. Nùnez, Da dove viene la matematica, Boringhieri, Torino 2005.

Pagina 21 su 245
Il cervello e il corpo sono evoluti insieme, cosicché il primo possa far funzionare il se-
condo nel modo migliore. Gran parte del cervello è infatti preposta alla visione, al moto,
alla comprensione spaziale, all’interazione interpersonale, alla coordinazione, alle emo-
zioni, al linguaggio e al ragionamento quotidiano. I concetti e il linguaggio umani non
sono casuali o arbitrari; essi sono profondamente strutturati e circoscritti, per via dei li-
miti e della struttura del cervello, del corpo e del mondo. Questa osservazione da im-
mediatamente origine a una domanda: Quali meccanismi del cervello e della mente
umana permettono agli esseri viventi di formulare idee matematiche e di ragionare ma-
tematicamente? Questa domanda ci chiede quindi da dove provengono le idee mate-
matiche e come debbano essere analizzate da un punto di vista cognitivo. Si tratta di
una questione scientifica, a cui si deve rispondere attraverso la scienza cognitiva, che è
la scienza interdisciplinare della mente. Come questione empirica sulla mente e sul cer-
vello umano, non può essere studiata puramente all’interno della matematica. È quindi
necessaria la comprensione dei processi cognitivi e del cervello umano.
La matematica è basata sulla mente, limitata e strutturata dai cervelli e dalle menti
umani. L’unica spiegazione scientifica della natura della matematica è perciò una descri-
zione, attraverso la scienza cognitiva, della matematica basata sulla mente umana. È
proprio l’analisi delle idee matematiche a fornire tale spiegazione.
1.7. La conoscenza metacognitiva sulla matematica nel bam-
bino
Carr e Jessup hanno analizzato le conoscenze meta cognitive in bambini di prima ele-
mentare intervistando9
individualmente alcuni alunni nei mesi di ottobre, gennaio e
9
B. Caponi, C. Cornoldi , G. Falco, R. Focchiatti, D. Lucangeli, M. Todeschini, Matematica
e meta cognizione. Atteggiamenti metacognitivi e processi di controllo, Erikson, Trento
1996.

Pagina 22 su 245
maggio. In ognuna di queste sessioni (che venivano filmate) i bambini rispondevano a 10
problemi di addizione e 10 problemi di sottrazione. Dopo aver svolto un problema, veni-
vano intervistati sul metodo che avevano seguito per risolverlo. La loro conoscenza delle
strategie veniva valutata chiedendo quali erano le ragioni per cui avevano usato diffe-
renti strategie. Per esempio, quando il bambino mostrava di aver usato una particolare
strategia (contare con le dita, ecc.), l’esaminatore diceva: «Ho notato che hai appena
usato il sistema xx (di contare con le dita o altro) per risolvere il problema. Perché hai
dato la risposta con questo metodo?». Si indaga quindi se il bambino aveva un’idea ge-
nerale del valore della strategia usata: «Quando pensi che sia giusto usare il sistema xx
(contare con le dita, ecc.) per risolvere problemi matematici?». Queste domande veni-
vano poste dopo ogni problema, nel momento cioè più appropriato per riuscire a ricava-
re qualche idea dal bambino. Alla fine della soluzione di tutti e 20 i problemi, venivano
proposte domande di questo tipo: «Quando tu cercavi di risolvere tutti quei problemi,
ho notato che non usavi il sistema xx. Perché no? Ci sono casi in cui useresti il sistema
xx?». Seguiva quindi una domanda volta a valutare la preferenza del bambino tra cerca-
re di recuperare dalla memoria nozioni già imparate, calcolo mentale o cercare un aiuto
da parte dell’insegnante. I tre tipi di strategie erano rappresentati con figure e venivano
proposte a coppie per le quali il bambino doveva compiere la sua scelta, che doveva es-
sere successivamente motivata. I bambini venivano poi sottoposti ad ulteriori esami sia
a livello individuale, sia a livello di attività all’interno della classe. L’uso di tutti e tre i tipi
di strategie era comunque significativamente correlato al punteggio che il bambino ave-
va ottenuto nell’intervista meta cognitiva.
Per la Carr, la meta cognizione guiderebbe l’adozione delle strategie e in particolare sti-
molerebbe il bambino all’uso di nuove strategie mentali o lo aiuterebbe a capire quando
è appropriato utilizzare una strategia basata sul recupero di informazioni già note.

Pagina 23 su 245
1.8. Le capacità cognitive necessarie in matematica
Noi siamo nati con una matematica innata minimale. Non è molto, ma veniamo alla luce
dotati di essa.
La matematica innata include almeno due capacità10
:
 una capacità di subitizzare (riconoscere istantaneamente piccoli numeri di oggetti);
 una capacità nelle forme più semplici di addizione e sottrazione di numeri piccoli.
Quando subitizziamo, ci siamo già limitati a un raggruppamento di oggetti nel nostro
campo visivo e stiamo distinguendo quanti oggetti ci sono in quel raggruppamento.
Abbiamo una capacità innata per la «numerosità», ossia l’abilità di fare stime approssi-
mative del numero di oggetti in un gruppo.
La matematica coinvolge più della capacità di subitizzare e di stimare, noi infatti, abbia-
mo delle capacità ulteriori.
Ecco le capacità cognitive necessarie per contare:
 la capacità di raggruppare: per distinguere ciò che stiamo contando, dobbiamo esse-
re capaci di raggruppare elementi discreti visivamente, mentalmente o per contatto;
 la capacità di ordinare: le dita seguono un ordine naturale nelle nostre mani però,
gli oggetti per essere contati, non seguono alcun ordine naturale nella realtà. Essi
devono essere ordinati, cioè posti in successione, come se corrispondessero alle no-
stre dita o come se fossero disseminati lungo un percorso;
10
B. Caponi, C. Cornoldi , G. Falco, R. Focchiatti, D. Lucangeli, M. Todeschini, Matematica
e meta cognizione. Atteggiamenti metacognitivi e processi di controllo, Erikson, Trento
1996.

Pagina 24 su 245
 la capacità di formare coppie: abbiamo bisogno di un meccanismo cognitivo spaziale
che ci renda capaci di accoppiare in modo sequenziale dita singole con oggetti singo-
li, seguendo in ordine la successione degli oggetti;
 la capacità di memoria: abbiamo bisogno di tenere a mente quali dita sono state
usate nel contare e quali oggetti sono stati contati;
 la capacità di rilevare l’esaustione: abbiamo cioè bisogno di saper dire quando
«non» sono «più» rimasti oggetti da contare;
 l’assegnazione di un numero cardinale: l’ultimo numero nella conta è un numero
ordinale, un numero in una successione, quindi dobbiamo essere in grado di asse-
gnare a quel numero ordinale la grandezza (il numero cardinale) del gruppo contato;
 la capacità di indipendenza dall’ordine: abbiamo bisogno di renderci conto che il
numero cardinale assegnato al gruppo contato è indipendente dall’ordine nel quale
gli elementi sono stati contati. Questa capacità ci permette di vedere che il risultato
è sempre lo stesso.
Per contare oltre il quattro, non abbiamo solo bisogno dei meccanismi cognitivi elencati
sopra, ma anche delle seguenti capacità:
 la capacità di raggruppamento combinatorio: è necessario un meccanismo cognitivo
che permetta di unire gruppi percepiti o immaginati per formare gruppi più grandi;
 la capacità di simbolizzare: è necessario saper associare simboli tangibili (o parole) a
numeri (che sono entità concettuali).
Tuttavia il subitizzare e il contare sono semplicemente l’inizio della matematica.
Per andare oltre ad essi, per caratterizzare le operazioni aritmetiche e le loro proprietà,
sono necessarie capacità cognitive molto più ricche:
 la capacità di metaforizzare: è necessario saper concettualizzare i numeri cardinali e
le operazioni aritmetiche in termini delle proprie esperienze di vario tipo (esperien-
ze con gruppi di oggetti, con le distanze, con il movimento e le posizioni, e così via);
 la capacità di fare miscele concettuali: è indispensabile saper formare corrisponden-
ze tra domini concettuali( ad esempio combinando il subitizzare con il contare) e uti-
lizzare insieme metafore concettuali diverse, per formare metafore complesse.
1.9. Consapevolezza meta cognitiva in matematica

Pagina 25 su 245
Un aspetto importante della competenza matematica è dato dalla competenza strategi-
ca11
.
Tra le varie possibili strategie euristiche di soluzione, che sono state studiate in ambito
psicologico, troviamo lo scomporre un problema in questioni più semplici, affrontare un
caso del problema per poi generalizzare la soluzione individuata e riformulare un pro-
blema.
La ricerca sulla conoscenza e sulla competenza metacognitiva in matematica riguarda
soprattutto il sapere quali strategie possono essere applicate in una data situazione per
raggiungere un determinato obiettivo. È infatti più probabile che usi con successo una
certa strategia chi ha consapevolezza di quando, come e perché vanno applicate le di-
verse procedure tramite cui affrontare un compito matematico.
Studi trasversali hanno indicato che conoscenza e consapevolezza meta cognitiva si svi-
luppano negli anni della scuola primaria, a tutto vantaggio del rendimento e sembra più
facile acquisire conoscenze strategiche che abilità di monitoraggio dell’applicazione di
strategie.
È stato sottolineato che fin dalla prima elementare i bambini in possesso di conoscenze
sulle strategie sono più capaci di usare le stesse in maniera efficace rispetto a chi non ce
le ha. Essere consapevoli delle caratteristiche delle strategie emergenti portava i bambi-
ni a farne un uso corretto, comprendendo quando era appropriato metterle in atto,
mentre la conoscenza metacognitiva risultava un fattore di minore rilevanza quando i
bambini avevano già esperienza di uso di strategie.
La conferma dell’influenza della conoscenza meta cognitiva proveniva anche da uno
studio con i ragazzi di terza media a diverso livello di rendimento in matematica, inclusi
quelli con disabilità in questo dominio, che evidenziava come alla bassa prestazione nel
11

Pagina 26 su 245
problem – solving 12
fosse meno legata a errori di calcolo e più a fattori di natura meta
cognitiva, quali la previsione e la selezione delle strategie appropriate alla soluzione dei
problemi.
La percezione di difficoltà varia in base alla convinzione degli studenti di potere control-
lare la situazione, influenzando indirettamente la loro prestazione nel problem solving.
1.10. Processi di controllo meta cognitivo in matematica
L’elaborazione attiva delle informazioni, l’adorazione di strategie appropriate, il control-
lo attento e la valutazione puntuale del proprio prodotto cognitivo sono condizioni cru-
ciali per un buon apprendimento. Questo vale anche nel campo della matematica: bam-
bini di scuola primaria che usano strategie cognitive appropriate (ad esempio la riformu-
lazione del problema, la rilettura attenta del testo, il collegamento tra le nuove informa-
zioni e quelle già possedute) raggiungono risultati migliori dei compagni che dichiarano
di non usare strategie cognitive.
La ricerca13
ha indicato che spesso gli studenti non mettono in atto processi di controllo
e di riflessione durante la soluzione dei compiti. Ad esempio, Lester e Garofalo hanno ri-
levato che alunni di terza e quinta primaria monitoravano e valutavano assai poco il
proprio lavoro, non ritenendo importante fare ciò.
Nel nostro paese hanno verificato il ruolo delle abilità meta cognitive di controllo nella
prestazione matematica Lucangeli14
e Cornoldi15
.
12
Soluzione dei problemi. Un problema è una situazione costituita da alcune premesse, da regole da seguire
e dall'indicazione di un obiettivo finale da raggiungere. La soluzione si ottiene giungendo dalle premesse
all'obiettivo finale seguendo le regole (che a volte sono implicite). Lo studio del problem solving è iniziato ver-
so la fine del sec. XVIII, in particolare con le ricerche di Thorndike sul problem solving negli animali.
13
14
D. Lucangeli svolge attività di ricerca presso la cattedra di Psicologia dell’apprendimento e della memoria
del Dipartimento di Psicologia generale dell’Università di Padova.
15
C. Cornoldi è professore ordianrio presso il corso di laurea in Psicologia dell’Università di Padova, dove diri-
ge il corso di perfezionamento in Psicologia dell’apprendimento.

Pagina 27 su 245
Il partire bene nella soluzione di un problema può dipendere dalla classificazione che ne
fa, basata sulla sua rappresentazione.
A bambini frequentanti la terza, quarta e quinta primaria, a diverse abilità nella soluzio-
ne di problemi, è stato chiesto di classificare una serie di problemi, ovviamente adatti al
loro grado scolare, dividendoli in base alle operazioni con cui sarebbero stati risolti.
È emerso che i bravi solutori producevano in media più classificazioni corrette dei cattivi
solutori e che l’abilità di classificazione era il miglior predittore dell’abilità di risolvere
problemi.
È stato documentato che le abilità meta cognitive di pianificazione, monitoraggio e con-
trollo sono legate allo stato emozionale di ansia da test: studenti di scuola secondaria di
I grado con livelli di ansia inferiori manifestavano migliore abilità cognitiva complessiva
rispetto ai coetanei particolarmente ansiosi.
1.11. Bibliografia
[ANGELONI MAIANGELA, PIETRO SACCHELLI, 2010]

Pagina 28 su 245
ANGELONI Mariangela, SACCHELLI Pietro
Una didattica metacognitiva e mentalista sta in Psicologia e Scuola, 2010;
[CAPONI BEATRICE, CARNOLDI CESARE, FALCO GRAZIA, FOCCHIATTI ROBERTA, LUCAN-
GELI DANIELA, TODESCHINI MARTA, 1995]
CAPONI Beatrice, CORNOLDI Cesare, FALCO Grazia, FOCCHIETTI Roberta, LUCANGELI
Daniela, TODESCHINI Marta
Matematica e meta cognizione. Atteggiamenti metacognitivi e processi di controllo,
Erikson, Trento 1995;
[LUCANGELI DANIELA, PASSOLUNGHI MARIA CHIARA, 1995]
LUCAN-
GELI Daniela, PASSOLUNGHI Maria Chiara
Psicologia dell’apprendimento matematico, UTET Libreria, Torino, 1995;
[MASON, LUCIA, 2011]
MASON, Lucia Psico-
logia dell’apprendimento e dell’istruzione, Il mulino, Bologna 2011;
1.12. Sitografia
[PROBLEM SOLVING]
http://www.sapere.it/enciclopedia/problem+solving.htm

Pagina 29 su 245
(consultato il 2 Ottobre 2012)

Pagina 30 su 245
2. INTELLIGENZE MULTIPLE
La teoria delle intelligenze multiple di Gardner16
(1983), rifiuta una concezione di intelli-
genza nei termini di un’unica abilità e si focalizza non tanto sui processi mentali, bensì
sugli ambiti in cui si può manifestare l’intelligenza, definita come abilità di risolvere pro-
blemi o creare prodotti ritenuti validi in uno o più contesti culturali.
Gardner ha individuato nove intelligenze17
o formae mentis:
 intelligenza linguistica: implica le abilità d comprensione e di produzione del lin-
guaggio, nelle sue componenti fonetiche, semantiche, sintattiche e pragmatiche. Es-
sa porta a essere in grado di servirsi del linguaggio per spiegare, ricordare informa-
zioni, consigliare, cogliere e chiarire significati. Tradizionalmente è una delle forme
di intelligenza a cui si è data più importanza nelle aule scolastiche ed è stata tenuta
in grande considerazione perché corrisponde ai metodi usati tradizionalmente in
passato durante le lezioni frontali e nelle recitazioni di brani imparati a memoria. In
questa intelligenza rientra la capacità di esprimersi oralmente e per iscritto, nonché
la capacità di padroneggiare le lingue straniere;
 intelligenza logico – matematica: implica le abilità di operare su relazioni in sistemi
simbolici astratti, di valutare logicamente idee e quantità e di risolvere problemi in
contesti puramente formali e anche questo tipo di intelligenza ha goduto di notevo-
le importanza nel sistema scolastico. Però, non si tratta semplicemente di intelligen-
za della matematica, bensì comprende il sistema della logica, del ragionamento. E ci
permette di risolvere i problemi. Richiede una struttura nell’ambiente di apprendi-
mento e trova il contesto ideale per svilupparsi nelle lezioni ordinate e sistematiche.
Nella classe tradizionale, agli alunni viene chiesto di conformarsi al metodo didattico
dell’insegnante e questa intelligenza permette loro di farlo;
 intelligenza spaziale: implica le abilità di percezione e trasformazione di relazioni vi-
suospaziali e, a differenza di quella logico-matematica, rimane legata al mondo con-
creto. Essa promuove il ragionamento spaziale mediante l’uso di diagrammi, grafici,
16
H. Gardner è nato negli Stati Uniti nel 1943 e attualmente è docente di Cognitivismo e Pedagogia alla Fa-
coltà di Scienze dell’Educazione dell’Università di Harvard.
17

Pagina 31 su 245
mappe, tabelle, illustrazioni, opere d’arte, puzzle, costumi e molti altri materiali. Ol-
tre all’interiorizzazione oculare degli stimoli, l’intelligenza visiva permette agli alunni
di raffigurarsi mentalmente i concetti e le soluzioni dei problemi prima di cercare di
verbalizzarli o di tradurli in pratica;
 intelligenza musicale: implica abilità uditivo-vocali e sensibilità nei confronti delle
varie proprietà musicali per apprezzare, produrre e combinare altezze, toni e volumi
dei suoni. Essa è l’intelligenza delle strutture presenti nelle canzoni, nella poesia,
negli strumenti musicali, nei suoni ambientali e nei ritmi, ma va osservato che non si
tratta solo di intelligenza uditiva ma può anche comprendere ogni tipo di struttura e
poiché la matematica viene definita come lo studio delle strutture, questo è in real-
tà il dominio dell’insegnamento matematico. L’intelligenza musicale trova spazio
nell’insegnamento non solo della musica ma anche della matematica. In considera-
zione di tutto quello che è emerso dalla ricerca sul cervello nel corso degli ultimi
vent’anni a proposito del rapporto fra esposizione alla musica e successo nella ma-
tematica, ciò ha molto senso. Entrambe le discipline hanno a che vedere con lo stu-
dio delle strutture;
 intelligenza corporea-cinestetica: implica abilità di gestione del proprio corpo nello
spazio, sapendone controllare il movimento a vari fini e di manipolazione di oggetti.
Questa tipologia di intelligenza viene stimolata mediante l’interazione fisica con il
proprio ambiente, come ad esempio nelle attività fine e grosso motorie, nei labora-
tori dove si svolgono attività di manipolazione, nei laboratori di scienze, nei giochi
attivi e nelle improvvisazioni drammatiche. Nelle classi tradizionali gli alunni dotati
di forte intelligenza cinestetica possono sembrare «iperattivi», ma là dove
l’apprendimento si basa sull’esperienza pratica sono molto bravi;
 intelligenza intrapersonale: implica abilità di comprensione della propria vita inte-
riore, quindi affetti, desideri, emozioni, sentimenti, valori, atteggiamenti, risorse e
debolezze. Questa intelligenza aiuta l’alunno a stabilire un rapporto affettivo con ciò
che studia a scuola. I bambini che chiedono «Perché devo imparare queste cose?»
stanno applicando la loro intelligenza interpersonale. È la parte di noi che si aspetta
che l’apprendimento sia significativo. Più ciò che studiamo ci sembra pertinente, più
tendiamo a diventare padroni del nostro apprendimento e meglio ricorderemo ciò
che abbiamo appreso;
 intelligenza interpersonale: implica abilità di comprensione e di sensibilità verso,
motivazioni, interazioni, desideri, emozioni, nonché comportamenti degli altri. È
l’intelligenza che viene stimolata dalle interazioni con gli altri. Gli alunni forti in que-
sto tipo di intelligenza spesso hanno bisogno di forme di collaborazione per dare un
senso all’apprendimento. Nelle classi tradizionali gli alunni con una forte propensio-

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ne interpersonale a volte vengono chiamati «chiacchieroni» o vengono giudicati
«troppo socievoli», ma se guidati nel modo giusto, possono trovarsi molto bene nei
gruppi cooperativi, affiancati ad altri alunni, o anche nei contesti di gruppo che coin-
volgono tutta la classe e in cui sono liberi di fare domande, di discutere e di capire;
 intelligenza naturalistica: implica abilità di riconoscimento e classificazione di nu-
merose specie di organismi, non solo visti a occhio nudo, ma anche sotto la lente di
ingrandimento. Questa tipologia di intelligenza comprende lo studio della botanica,
della zoologia e di altre scienze, promuovono e richiedono: la classificazione, la ca-
tegorizzazione e le strutture gerarchie. L’intelligenza naturalistica può essere stimo-
lata nella classe con attività come il raggruppamento di elementi che hanno un at-
tributo comune, la creazione di diagrammi e la costruzione di mappe concettuali;
 intelligenza esistenziale: è l’intelligenza in gioco nella comprensione dei processi
all’interno di un contesto più ampio, esistenziale. Può comprendere l’estetica, la fi-
losofia, la religione ed enfatizza i valori classici della bellezza, della verità e del bene.
Questa intelligenza permette agli alunni di capire qual è il loro posto nel contesto
più generale in cui si trovano, sia esso la classe, la comunità, il mondo o l’universo.
Gli alunni dotati di un’intelligenza esistenziale sviluppata hanno la capacità di sinte-
tizzare i concetti provenienti da molte discipline e fonti diverse.
Probabilmente il nostro modo tradizionale di considerare l’insegnamento – cioè organiz-
zato per ambiti disciplinari – ostacola la nostra capacità di considerare le intelligenze po-
listicamente lungo tutto il curricolo (figura 1)
Oggi è necessario applicare tutte le intelligenze nello svolgimento di tutto il programma.
Ad esempio gli alunni dovrebbero usare la loro intelligenza verbale nello studio della
matematica così come dovrebbero usare la loro intelligenza logica nell’apprendimento
dell’arte, l’intelligenza visiva deve essere stimolata negli studi di scienze proprio come
l’intelligenza visiva deve essere stimolata negli studi sociali e anche le intelligenze intra-
personale e interpersonale, devono trovare spazio in tutte le aree di insegnamento.
È essenziale capire che ognuno di noi possiede tutte queste intelligenze: esse agiscono
di concerto e non si escludono a vicenda. Quindi è sbagliato dire che un bambino è un
«alunno cinestetico» o «verbale».

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Fig. 1 - La classificazione tradizionale delle discipline e le intelligenze multiple
Il nostro scopo dovrebbe essere quello di fornire opportunità di apprendimento che
promuovano tutte e nove le intelligenze.
La teoria delle intelligenze multiple non è stata sviluppata per etichettare o escludere le
persone ma per aiutare tutti i discenti ad avere più successo consentendo a ognuno di
scegliere una via di apprendimento diversa. Quindi, mentre le intelligenze funzionano
come entità distinte, osserviamo anche una grossa sovrapposizione quando le vediamo
all’opera nella classe.
Per sostenere empiricamente l’esistenza delle nove intelligenze, Gardner non si è servi-
to di test, ma di diversi dati18
raccolti in contesti reali, quali:
 dati neuropsicologici che mostrano come certi danni celebrali avessero effetti nega-
tivi per alcune abilità, ma non per altre (ad esempio alcuni bambini autistici, bambi-
ni prodigio e individui con talenti particolari hanno eccellenti prestazioni in alcune
aree ma non in altre);
 l’alta competenza in un tipo di intelligenza non è risultata predire l’alta competenza
negli altri tipi. Infatti le linee di sviluppo delle intelligenze sembrano essere diverse:
18

Pagina 34 su 245
quella musicale, ad esempio, si sviluppa più o meno indipendentemente dagli altri
tipi di intelligenza e, diversamente da qualsiasi altra ed essa richiede l’abilità di di-
scriminare le altezze dei suoni;
 la storia di certe competenze che si manifestano in alcune culture, la quale sembra
legata a particolari forme primordiali di espressione di altre specie;
 la diversità dei sistemi simbolici, culturalmente determinati, attraverso cui si espri-
mono certe abilità (ad esempio l’intelligenza musicale si serve della propria notazio-
ne, l’intelligenza matematica ne usa una differente, così come quella linguistica di-
spone di propri simboli e regole). La teoria delle intelligenze multiple presuppone
che lo sviluppo di ognuna non possa prescindere dalle stimolazioni e dai “messaggi”
provenienti dai diversi ambienti, dal momento che i potenziali intellettivi si dispie-
gano nei differenti contesti sociali e culturali.
2.1. Il questionario di rilevazione delle intelligenze multiple
Per comprendere la distribuzione delle intelligenze nella classe, può essere utile sommi-
nistrare il Questionario19
di rilevazione delle intelligenze multiple agli alunni.
Non si tratta di un test ma di un inventario delle preferenze degli alunni. Non viene
quindi proposto come misurazione definitiva di un’intelligenza statistica ma come stru-
mento che permette di avere un’istantanea del modo in cui al momento gli alunni per-
cepiscono le loro risorse nelle nove intelligenze.
Esso non dove essere utilizzato per etichettare o classificare, ma è semplicemente
un’opportunità per rendersi conto della particolare distribuzione delle intelligenze in
ognuno degli alunni e all’interno della classe.
Per i bambini di I e II primaria, il Questionario di rilevazione delle intelligenze multiple
prevedeva una serie di 27 immagini e ognuno doveva cerchiare quelle che rappresenta-
vano le attività che gli piaceva svolgere e fare una X sulle immagini che rappresentavano
cose che a loro non piaceva fare.
19
W. McKenzie, Intelligenze multiple e tecnologie per la didattica, Erickson, Torino 2006.

Pagina 35 su 245
Questo perché altrimenti, alcuni bambini avrebbero teso a cerchiare tutte le immagini o
la maggior parte di esse.
In questi casi quindi, basta modificare la consegna e chiedere così di assumere un atteg-
giamento mentale più critico che da un’idea migliore delle loro reali preferenze.
Successivamente mi è stato possibile fare prima una rapida verifica delle intelligenze
preferite dagli alunni, utilizzando la versione del Questionario per l’insegnante e succes-
sivamente ho potuto individuare il profilo generale della classe.
Per gli alunni più grandi, di III, IV e IV primaria il Questionario di rilevazione delle intelli-
genze multiple, prevedeva di inserire i dati nel modulo scrivendo 1 se erano d’accordo
con l’affermazione o se gli piaceva, oppure 0 in caso contrario.
Completato il Questionari, ho utilizzato quello per gli insegnanti che mi ha permesso di
individuare il profilo di ogni alunno, per poi individuare quello generale della classe.
Per calcolare il punteggio medio di ogni tipo di intelligenza per classe ho prima di tutto
calcolato il punteggio dato dai bambini per ogni singolo tipo di intelligenza, infatti nella
versione per gli insegnanti a fianco di ogni risposta viene indicata il tipo di intelligenza a
cui essa corrisponde. Quindi è sufficiente sommare i punteggi ottenuti in ciascun gruppo
di risposte relative alle nove intelligenze e in seguito mi è stato possibile calcolare quale
ambito di intelligenza (analitico, interattivo, introspettivo) è risultato più forte con un
semplice calcolo di percentuale, tenendo conto che l’ambito analitico comprende le in-
telligenze Logica, Musicale e Naturalistica, quello interattivo le intelligenze Verbali, Ci-
nestetica e Interpersonale e quello introspettivo le intelligenze Intrapersonale, Visiva ed
Esistenzialista.
Ad esempio, per calcolare la percentuale di intelligenza in ambito analitico vanno som-
mati i risultati ottenuti per le intelligenze Logica, Musicale e Naturalistica (che apparten-
gono a tale ambito), il risultato va moltiplicato per 100 e poi diviso per il punteggio tota-
le ottenuto dal bambino.

Pagina 36 su 245
Ho somministrato il Questionario di rilevazione delle intelligenze multiple a 131 bambini
dai 5 anni ai 10 anni: 29 erano di I, 26 di II, 25 di III, 26 di IV e 25 di V, tutti frequentati la
scuola Primaria Parrocchiale Paritaria dell’Istituto Comprensivo di S.Ambrogio di Sere-
gno (MB).
Dai Questionari di rilevazione delle intelligenze multiple emerge anzitutto che durante i
primi due anni scolastici, il punteggio ottenuto nell’intelligenza matematica non è il più
basso in assoluto, infatti nella classe I l’intelligenza logico – matematica, tra le nove in-
telligenze, è la quinta con il punteggio più alto, con 2,3 su 3 e nella classe II, l’intelligenza
logico – matematica è la seconda con il punteggio più alto, con 2,42 su 3.
Invece, nelle classi di III, IV e V il punteggio ottenuto nell’intelligenza logico– matematica
risulta essere in assoluto quello più basso.
Nella classe III il punteggio ottenuto è di 7,08 su 10, in IV si abbassa a 5,11 su 10 e in V si
abbassa ulteriormente, arrivando a 4,16 su 10.
Quindi sembra che più i bambini crescono, più trovano difficoltà nell’approccio alla ma-
tematica perché i punteggi ottenuti nell’intelligenza logico – matematica sono sempre
più bassi
Ecco nel dettaglio i risultati emersi:

Pagina 37 su 245
Fig. 2 - Classe I
Le intelligenze con il punteggio più alto risultato essere quella Cinestetica con 2,51, quel-
la Esistenzialista con 2,41, quella Intrapersonale con 2,37 e quella Intrapersonale con
2,37 , seguite da quella Logica e Musicale con 2,3, quella Naturalistica con 2,2 e infine
quella Verbale con 1,93.

Pagina 38 su 245
Fig.
Fig. 3 - Classe II
Le intelligenze con il punteggio più alto risultano essere quella Musicale con 2,5, quella
Logica ed Esistenziale con 2,42, seguite da quella Visiva e Cinestetica con 2,34, dalla
Intrapersonale con 2, e infine da quella Verbale con 1,88 , quella Interpersonale con
1,84 e quella Naturalistica con 1,7, che hanno i risultati più bassi.

Pagina 39 su 245
Fig. 4 - Classe III
Le intelligenze con il punteggio più alto risultano essere quella Visiva con 8,4, quella
Esistenziale con 8,2, quella Naturalistica e Musicale con 8,16, seguite da quella
Intrapersonale con 7,88, quella Interpersonale con 7,6 e infine quella Cinestetica con
7,36, quella Logica con 7,08 e quella Verbale con 6,69, che sono quelle con i punteggi
più bassi.

Pagina 40 su 245
Fig. 5 - Classe IV
Le intelligenze con il punteggio più alto risultano essere quella Naturalistica con 8,53,
quella Intrapersonale con 8,26 e quella Interpersoanle con 7,92, seguite da quelle
Musicale con 7,34, quella Esistenziale e Visiva con 6,69 e infine troviamo quella Cinestica
con 6,92, quella Verbale con 6,88 e quella Logica con 5,11 che sono quelle con il
punteggio più basso.

Pagina 41 su 245
Fig. 6 Classe V
Le intelligenze con il punteggio più alto, risultano essere quella Intrapersonale con 8,04,
quella Interpersonale con 7, 08 e quella Musicale con 6,88 seguiate da quella
Naturalistica con 6,76, quella Visiva con 6,6, quella Cinestetica con 6,56 e infine
troviamo quella Esistenzialista con 6,16, quella Verbale con 5,44 e quella Logica con 4,16
che sono quelle con i punteggi più bassi.
È importante spiegare alla classe che questi risultati possono aiutare a rendersi conto
che è possibile apprendere in modi diversi.
Bisogna ricordare che:
 tutti possiedono tutte le intelligenze;
 è possibile rafforzare un’intelligenza;
 ciò che emerge da questi inventari è un’istantanea con valore temporale limitato,
perché le preferenze per i diversi tipi di intelligenza possono cambiare;

Pagina 42 su 245
 lo scopo della teoria delle intelligenze multiple è di potenziare le persone, non di
etichettarle.
2.2. Esistono altre intelligenze?
È senz’altro possibile, ad esempio c’è anche quella spirituale ma Gardner preferisce la-
vorare con un gruppo ridotto di categorie generali invece che decine e decine di intelli-
genze definite in modo molto specifico. Se gli insegnanti riusciranno a dimenticare la de-
finizione tradizionale dell’intelligenza e la tendenza ad attribuire a ogni intelligenza
un’area disciplinare a sé stante, nelle classi si apriranno delle nuove possibilità di ap-
prendimento molto importanti.
2.3. La ruota degli ambiti delle intelligenze multiple
La ruota20
degli ambiti delle intelligenze multiple ci permette di osservare quanto la re-
lazione esistente tra le diverse intelligenze sia fluida e come le diverse intelligenze inte-
ragiscano nella classe e inoltre ci mostra come le intelligenze non sono entità distinte e
separabili (figura 7).
Ad esempio:la soluzione di un problema di matematica, sia intelligenza logico – mate-
matica sia linguistica, mentre i musicisti esperti, oltre a quella musicale, hanno bisogno,
probabilmente di intelligenza corporeo – cinestetica, interpersonale e intrapersonale
per dare prestazioni di alto livello nel loro campo. Ognuno di noi possiede queste pre-
stazioni di alto livello nel proprio campo.
Ognuno di noi possiede queste varie intelligenze in combinazioni e gradi diversi, che de-
terminano i nostri profili: quando è presente una propensione particolarmente forte per
una forma mentis, allora i prodotti culturali nei quali si esprime sono contraddistinti da
eccezionalità e originalità.
20
W. McKenzie, Intelligenze multiple e tecnologie per la didattica, Erickson, Torino 2006

Pagina 43 su 245
Le intelligenze sono raggruppate in tre settori o ambiti: interattivo, analitico e introspet-
tivo:
 l’ambito interattivo è composto dall’ intelligenza verbale, interpersonale e cinesteti-
ca e sono essenzialmente dei processi sociali. Normalmente gli alunni usano queste
intelligenze per esprimersi e per esplorare il loro ambiente. Queste tre forme di in-
telligenza sono chiamate interattive perché, normalmente permettono di arrivare
alla comprensione sollecitando e incoraggiando l’interazione e anche se gli alunni
svolgono un compito individualmente, devono tenere conto degli altri;
 l’ambito analitico: comprende l’intelligenze musicale, logica e naturalistica e sono
essenzialmente dei processi euristici che promuovono nell’alunno la conoscenza,
l’analisi e l’inclusione dei dati all’interno di schemi esistenziali;
 l’ambito introspettivo è composto dalle intelligenze esistenziale, intrapersonale e vi-
siva e si tratta essenzialmente di processi affettivi.
Queste tre intelligenze sono chiamate introspettive perché richiedono all’alunno di
guardare dentro di sé e di partecipare affettivamente alla sua esperienza e alle sue con-
vinzioni per dare senso ai nuovi apprendimenti.

Pagina 44 su 245
Fig. 7 La ruota degli ambiti delle intelligenze multiple
2.4. Bibliografia
[D’AMELLO, LUCANGELI, MICHELETTO, PEDRON, RUSSO, 2011]
D’AMELLO Giada, LUCANGELI Daniela, MICHELETTO Lucia Pedron Martina, RUSSO Maria
Rosari Potenziare l’intelligenza
numerica: un percorso di ricerca - azione nella scuola sta in Psicoloagia e Scuola, 2011;
[GARDNER, 2005]
GARDNER, Haward
Educazione e sviluppo mentale. Intelligenze multiple e apprendimento, trad. Gabriele Lo
Iacono, Erikson, Trento, 2005;
[LUCANGELI DANIELA, MAMMARELLA IRENE, 20120]
LUCANGELI Daniela, MAMMARELLA Irene
Psicologia della cognizione numerica, Franco Angeli, Milano, 2010;
[MCKENZIE, WALTER, 2005]
MCKENZIE Walter Mul-
tiple Intelligences and Istructional Tecnology, trad. it Intelligenze multiple e tecnologie
per la didattica, Erickson, Torino 2006.
2.5. Sitografia

Pagina 45 su 245
[GARDNER, HAWARD]
 http://howardgardner.com/
(consultata il 18 ottobre 2012)

Pagina 46 su 245
3. DA DOVE VIENE LA MATEMATICA?
I bambini possiedono fin dalla nascita una qualche conoscenza astratta della matemati-
ca?
Il senso comune sembra suggerire che questa domanda sia assurda: i nostri piccoli ci
sembrano organismi privi di qualsiasi tipo di competenza all’infuori di quella ad appren-
dere. Eppure, il cervello umano possiede un meccanismo di comprensione delle quanti-
tà numeriche, ereditato dal mondo animale, che lo guida nell’apprendimento dei nume-
ri. Questo modulo protonumerico deve esistere già prima del periodo di crescita esube-
rante del linguaggio che gli psicologi definiscono di esplosione lessicale, e che si manife-
sta verso l’anno e mezzo d’età. Fin dal suo primo anno di vita, il bambino sarebbe dun-
que in grado di comprendere certe sfaccettature dell’aritmetica.
3.1 Abilità numeriche innate e conoscenze apprese
Brian Butterworth21
, uno dei sostenitori della tesi innatista del “cervello matematico” e
ritiene che nel nostro cervello esistano dei circuiti specializzati per categorizzare il mon-
do in termini di numerosità.
Egli paragona la percezione di numerosità alla percezione dei colori: “Entrambi i processi
sono automatici: non possiamo evitare di vedere che le mucche in un campo sono bian-
che e marroni, né possiamo evitare di vedere che ce ne sono tre […]. La mia tesi è che il
21
Brian Butterworth è professore di neuropsicologia cognitiva all’University College di Londra. Ha lavorato a
Cambridge, Melbourne, Padova, Trieste, al Massachusetts Institute of Technology e al Max-Planck-Institut di
Nijmegen. Ha fondato e dirige la rivista accademica “Mathemetical Cognition” ed è autore di numerosi saggi
scientifici.

Pagina 47 su 245
genoma umano contenga le istruzioni per costruire circuiti celebrali specializzati che
chiamerò “Modulo Numerico22
”.
La funzione del modulo numerico è quella di classificare il mondo in termini di quantità
numerica o numerosità, cioè del numero di oggetti di un insieme”.
In altre parole, secondo Butterworth, attraverso il Modulo Numerico gli individui posso-
no estrarre solo un tipo di informazione in modo rapido e automatico.
L’autore sostiene pertanto che le abilità matematiche di base siano geneticamente de-
terminate e presenti fin dalla nascita.
Ma, se è vero che il cervello possiede il Modulo Numerico, perché ci sono persone bra-
vissime con i numeri e altre che provano una vera avversione per la matematica? Ciò
che rende uniche le capacità numeriche umane è lo sviluppo e la trasmissione di stru-
menti culturali che ampliano le facoltà del Modulo Numerico. Dunque secondo Butter-
worth la natura fornisce un nucleo innato di capacità numeriche (Modulo Numerico) che
consente di classificare piccoli insiemi di oggetti (fino a 4 – 5 elementi), mentre le diffe-
renze individuali riguardano capacità più avanzate e sono riconducibili all’istruzione e
all’apprendimento, ossia agli strumenti concettuali forniti dalla cultura di appartenenza,
come i simboli numerici scritti (per esempio, 1, 2, 3) e i vocaboli usati per contare (per
esempio, uno, due, tre ecc).
Allo stesso modo, Butterworth ipotizza l’esistenza di individui che possono nascere privi
del Modulo Numerico, “ciechi alla numerosità” e impossibilitati a sviluppare buone ca-
pacità matematiche.
22
È il nucleo innato delle nostre capacità numeriche (una dotazione di partenza) che classifica il mondo in
termini di numerosità. Per spingerci oltre una numerosità di 5, dobbiamo costruire sulle basi rappresentate
dal Modulo Numerico, servendoci degli strumenti concettuali fornitici dalla nostra cultura. Gli strumenti rica-
dono in quattro categorie principali: rappresentazioni che fanno uso di parti del corpo (le dita delle mani, dei
piedi, eccetera); rappresentazioni linguistiche (i vocaboli usati per contare); i simboli numerici (i simboli scrit-
ti); e le rappresentazioni che fanno uso di aiuti esterni (calcolatrici).

Pagina 48 su 245
Possiamo definire il termine numerosità o dimensione numerica di un insieme come il
numero degli elementi che lo costituiscono, facendo quindi riferimento a quella che tra-
dizionalmente viene chiamata cardinalità (pensando a un insieme costituito da cinque
oggetti possiamo dire che è un insieme di numerosità cinque); si tratta dunque del nu-
mero che possiamo associare a ogni insieme finito di oggetti e che risponde alla doman-
da: “Quanti sono?”. Ma qual è, quindi, la differenza tra il concetto di quantità e quello di
numerosità? Il termine numerosità intende evidenziare il riferimento esatto al numero
degli oggetti dell’insieme, diverso dalla possibilità di stimare approssimativamente la
quantità. Quando, per esempio, confrontiamo i liquidi possiamo indicarne la quantità
relativa (più o meno) senza ricorrere in alcun modo all’uso del numero. È dunque possi-
bile sia un concetto di quantità senza ricorrere in alcun modo all’uso del numero, sia un
concetto di quantità senza riferimento alla numerosità, anche se quest’ultima consente
sempre di ottenere una rappresentazione della prima. La numerosità è dunque una pro-
prietà degli insiemi, che permette, non solo di discriminarli (A è diverso da B, poiché la
sua numerosità è diversa), ma di ordinali (A< B, poiché ha una numerosità minore di B).
Quando Butterworth afferma che fin dalla nascita il bambino è capace di discriminare
insiemi sulla base della numerosità intende dire che un neonato non sa certamente de-
terminare il numero di elementi di un insieme, ma percepisce come differenti insiemi
con numerosità distinte: dati due insiemi, per esempio rispettivamente di due e tre
elementi, è in grado di “notare la differenza.” Possiamo ipotizzare che il neonato non
impieghi un concetto di “numerosità assoluta”, ovvero non riconosca che “due” rappre-
senta sempre la stessa numerosità, ma faccia riferimento alla “numerosità relativa”, os-
sia al maggiore o minore numero di elementi.
Ma come può un neonato di pochi giorni di vita categorizzare il mondo che vede in ter-
mini di numerosità?
Si tratta di un processo specializzato di percezione visiva chiamato subitizing ( Atkinson,
Campbell e Fracis, 1976), che consente di determinare la numerosità di un insieme visi-

Pagina 49 su 245
vo di oggetti in modo immediato, senza contare; il numero massimo di oggetti percepi-
bili in questo modo sembra essere circa di quattro.
I bambini, non solo nascono con la capacità di riconoscere numerosità distinte fino a un
massimo di circa quattro, ma distinguono anche i cambiamenti di numerosità provocati
dall’aggiunta o dalla sottrazione di elementi: possiamo quindi ritenere che possiedano
“aspettative aritmetiche”.
3.2. Il talento matematico è un dono biologico?
Un argomento impiegato a sostegno della ricerca delle basi genetiche del talento ma-
tematico è l’osservazione di relazioni tra le capacità matematiche dei consanguinei e,
soprattutto, dei gemelli monozigoti.
Due gemelli monozigoti, che possiedono esattamente lo stesso patrimonio genetico, of-
frono spesso prestazioni simili in matematica.
Nei gemelli eterozigoti invece, i quali condividono soltanto la metà del loro patrimonio
genetico, può accadere che l’uno sia il primo della classe e che l’altro, invece, abbia di-
verse difficoltà.
Confrontando i comportamenti dei gemelli monozigoti ed eterozigoti è possibile calcola-
re una misura di ereditarietà. Secondo gli studi fatti da Steven Vandenberg durante gli
anni Sessanta del Novecento, per l’aritmetica l’ereditarietà salirebbe a circa il 50%, il che
significherebbe che la metà delle variazioni nelle prestazioni aritmetiche potrebbe spie-
garsi con le differenze genetiche tra individui.
Questa interpretazione, tuttavia, è ancora oggi controversa, poiché il metodo dei gemel-
li è soggetto a molteplici influenze. È stato, per esempio, dimostrato che i gemelli etero-
zigoti, più spesso di quelli monozigoti, ricevono un’identica educazione e frequentano la
stessa classe con il medesimo professore. Quindi se i loro talenti sono simili, questo po-
trebbe essere soltanto il risultato degli elementi comuni della loro educazione. Inoltre

Pagina 50 su 245
circa il 70 % dei gemelli monozigoti, durante la gravidanza usufruisce della stessa pla-
centa o delle stesse membrane, mentre questo non accade mai nel caso dei gemelli ete-
rozigoti.
Le differenze tra maschi e femmine forniscono un altro indice ambiguo delle basi biolo-
giche del talento matematico. I matematici di alto livello costituiscono un mondo quasi
esclusivamente maschile. Negli Stati Uniti, Camilla Benbow23 e colleghi hanno sottopo-
sto studenti di dodici anni a un test inizialmente destinato ad adolescenti tra i sedici e i
diciotto anni, il SAT-M (Scholastic Aptitude Test)24, la cui media si aggira normalmente
sui cinquecento punti. Per ogni ragazza che supera questo punteggio a dodici anni, ci
sono due maschi che fanno lo stesso. Questo rapporto si trasforma in quattro a uno
quando il traguardo diventa seicento punti e in tredici a uno oltre i settecento punti.
23
Psicologa americana, laurea con lode in Psicologia nel 1977 presso Johns Hopkins University, ha scritto nu-
merosi libri sulle differenze di genere delle capacità matematiche e ha ottenuto numerosi riconoscimenti per
gli studi effettuati come il premio alla carriera per al ricerca sull’intelligenza. Le sue ricerche hanno suggerito
che le differenze di genere nella capacità di ragionamento matematico possono avere un origine biologica, e
che la disparità intellettuale tra maschi e femmine in matematica è ulteriormente esacerbata dalle influenze
ambientali. I dati, ottenuti da quasi 10.000 studenti dotati delle scuole secondarie di I grado che hanno parte-
cipato allo studio longitudinale della Gioventù Matematicamente precoce (SMPY), hanno dimostrato che le
differenze di genere nelle capacità di ragionamento matematico sono ampie, stabili ed emergono primi anni
di vita. Negli anni successivi allo studio originale, i dati del SMPY hanno continuato a sostenere questa ipote-
si.
24
Il SAT, ovvero Scholastic Aptitude Test, valuta le conoscenze matematiche, l’abilità nella scrittura e nella
lettura così come la conoscenza di diverse aree tematiche nella parte riferita ai vari argomenti. Questo test
viene usato dalle università e dai college americani come strumento di valutazione del potenziale accademico
del candidato o di quei risultati accademici che ci si possono attendere da tale candidato. Il test viene richie-
sto a coloro che vogliono fare domanda di ammissione presso Istituzioni Universitarie in America e Canada
per ottenere una Laurea di primo livello. Due sono gli esami SAT: il primo ovvero quello di Logica (detto SAT1)
ed il SAT per materia (detto SAT2). Il primo test misura l’abilità di ragionamento verbale e matematico e non
richiede una conoscenza specifica. Invece il SAT per materia, di cui esistono 22 versioni, viene usato per valu-
tare la preparazione del candidato in aree specifiche, quali storia, letteratura, biologia, fisica e altre.

Pagina 51 su 245
Fig. 8 In un campione di ragazzini americani particolarmente bravi a scuola, un test matematico
standar, il SAT-M, indica un vantaggio dei maschi sulle femmine, che diventa particolarmente
sensibile nei punteggi più alti. In un test linguistico invece i punteggi dei maschi e delle femmine
si equivalgono.( Stanisslas Dehaene, Il pallino della matematica, 2010)
La proporzione dei maschi, dunque cresce man mano che si selezionano gli allievi più
dotati in matematica. La supremazia maschile in matematica è un fenomeno mondiale,
perché questo vantaggio a favore del genere maschile si osserva in tutti i paesi, dalla Ci-
na al Belgio, ma soltanto le elitè matematiche sono quasi del tutto composte da uomini;
mentre sulla totalità della popolazione la supremazia dei maschi è meno forte.
Il vantaggio dei maschi dipende anche dal contenuto delle prove. Ad esempio gli uomini
sono decisamente in testa nella risoluzione di problemi matematici; mentre le donne
sono in prima fila, anche se per un piccolo scarto, nel calcolo mentale. Se non si rileva
alcun vantaggio sistematico prima della scolarizzazione, dall’inizio della scuola primaria
emerge invece un distacco tra bambini e bambine. Bisogna però riconoscere che ci sono
diversi fattori di ordine psicologico e sociologico che sono nettamente a svantaggio per
le donne. Le inchieste mostrano che in media le donne sono più ansiose degli uomini nei
corsi di matematica e che hanno meno fiducia nelle loro capacità; la matematica sembra
loro una disciplina tipicamente maschile, di scarsa utilità per la loro futura carriera pro-

Pagina 52 su 245
fessionale e infine, i loro genitori, soprattutto i padri, condividono tale opinione. Questo
costituisce ciò che gli psicologi definiscono una profezia che sia auto avvera. Lo scarso
entusiasmo delle ragazze per la matematica e la convinzione che in questo campo non
potranno mai brillare contribuiscono a renderle meno interessante ai corsi e quindi me-
no competenti in materia.
Stanislas Dehaene25
sostiene che i pregiudizi tra le diverse classi sociali in matematica,
sono in gran parte responsabili della separazione delle prestazioni matematiche tra le
donne e quelle degli uomini, come quelle dei ricchi e dei poveri e che potrebbero essere
in parte ridotte modificando l’atteggiamento politico e sociale verso la matematica. È si-
gnificativo che in Cina, per esempio, le adolescenti più dotate ottengano risultati mate-
matici superiori non solo a quelli delle coetanee USA, ma anche degli adolescenti ameri-
cani più dotati, mostrano così che la differenza tra uomini e donne è debole di fronte
all’impatto delle strategie educative.
Ciò detto, le differenze biologiche di genere hanno una qualche influenza sullo scarto
restante? Benché oggi non sia possibile indicare materialmente il “bernoccolo della ma-
tematica” neurobiologico o genetico proprio dei maschi, un gruppo di indici convergenti
sottolinea il contributo di variabili biologiche a vantaggio dei maschi in matematica. In
una popolazione di bambini superdotati in matematica, troviamo tredici volte più ma-
schi che femmine, ma anche due volte più mancini che destrimani, quattro volte più
miopi e due volte più allergici che nella popolazione normale. Più del 50% dei matemati-
ci in erba è mancino, o ambidestro, oppure usa la destra anche se viene da una famiglia
che comprende dei mancini, infine il 60% è primogenito. Inoltre la maggior parte dei
calcolatori prodigio sono autistici e l’autismo è una malattia neurobiologica che colpisce
quattro volte più gli uomini delle donne. Purtroppo però non c’è ancora una spiegazione
del tutto convincente sui legami tra sesso, mancinismo, allergie, ordine di nascita e ma-
tematica.
25
Stanislas Dehaene, scienziato cognitivo che insegna Psicologia cognitiva sperimentale al Collège de France.

Pagina 53 su 245
Il neuropsicologo Norman Geschwind26
e i suoi colleghi hanno cercato di trovare un pos-
sibile nesso casuale. Secondo loro l’esposizione a un tasso elevato di testosterone du-
rante la gestazione avrebbe effetti tanto sul sistema immunitario quanto sulla diversifi-
cazione dei due emisferi celebrali. Il testosterone rallenterebbe lo sviluppo dell’emisfero
sinistro. Si può allora immaginare che aumentino le possibilità di diventare mancino e
che cresca ugualmente la capacità di rappresentazione dello spazio, una funzione meglio
governata dall’emisfero destro. Questo senso raffinato, dello spazio, infine, faciliterebbe
la manipolazione dei concetti matematici. Poiché il testosterone è un ormone maschile,
non è impensabile che questa ricaduta di effetti abbia maggiore impatto sugli uomini
che sulle donne. Quindi biologia e ambiente si incrociano e si annulla ogni speranza di
predire il talento mediante la biologia.
3.3. L’aritmetica innata del cervello
L’idea stessa che i bambini abbiamo capacità matematiche è sorprendente. Di solito si
pensa che la matematica sia qualcosa di intrinsecamente difficile, da insegnare con
esercizi e compiti a casa. Eppure noi veniamo alla luce preparati a operare in almeno
una qualche forma rudimentale dell’aritmetica.
26
Norman Geschwind (8 Gennaio, 1926 - 4 novembre 1984) è stato un neuropsicologo
americano statunitense e studioso di neuroanatomia funzionale al Boston Veterans Ad-
ministration Hospital. Per primo descrisse una forma clinica di crisi epilettiche originate
da alterazioni elettriche del lobo temporale, in cui i pazienti riferivano intense esperien-
ze spirituali. Geschwind ed altri, fra cui David Bear della Vanderbilt University, ipotizza-
rono che scariche elettriche sincrone di gruppi neuronici della corteccia temporale po-
tessero essere all’origine di pensieri ed ossessioni dai contenuti religiosi o attinenti a
questioni morali.

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