REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA SOBRE LOS NÚMEROS REALES Y PLANOS NUMÉRICOS

1. R E V I S I Ó N
B I B L I O G R Á F I C A
S O B R E L O S
N Ú M E R O S
R E A L E S Y P L A N O
N U M É R I C O
C P M AT 0 6 0 0 0 2 - G R U P O B
INFANTE
ISABELLA
SECCION
0401

2. Introducción
Lo que se va a plantear a continuación
son los números reales y planos
numéricos, siendo estas operaciones
usadas en nuestras vidas diarias como
tambien representan las herramientas
basicas para las matemáticas .
Constantemente utilizamos
inconscientemente estas operaciones a
diario para realizar cualquier calculo u
operación.
Siendo un tema de interés para nosotros
como estudiantes puesto que será una de
las herramientas importantes en este
proceso de conocimiento . Es por ello
que con ayuda de esta presentacion
tenemos como objetivo aprender la
estructura de estos números tan
importantes, su formación y su utilidad
actual. Veremos que su importancia va
más allá de el simple hecho de realizar
operaciones matemáticas.

3. Objetivos
• El principal objetivo de esta
presentación es conocer los
diferentes métodos de realizar
las operaciones matemáticas con
respecto a este tema como lo son
los conjuntos numéricos ,
desigualdades , números reales ,
plano numéricos y
representaciones gráficas.

4. Contextualización
• CONJUNTOS : Los conjuntos numéricos permiten representar diversas situaciones del entorno, tales como: la
cantidad de elementos que tiene un conjunto (los naturales), las partes de una unidad (los racionales), la medida
de la diagonal de un cuadrado de lado 1 (los irracionales) o diversas cantidades.
• OPERACIONES CON CONJUNTOS :
Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:
 Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B.
 Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos
comunes de A y B.
 Diferencia: La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos
de A que no pertenecen a B.
 Diferencia simétrica: La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene los
elementos de A y B que no son comunes.
• Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no
pertenecen a A .

5.  Producto cartesiano : El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos
los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.
• NÚMEROS REALES : Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión
decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica. Por ejemplo:
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2 es un número real ya que 2 = 1,4142135623730950488016887242097….
e) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
f) 1,01001000100001000001000000100000001….
g) π también es real.
Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y otros tienen expansión decimal no
periódica d, e, f y g. Los números que tienen expansión decimal periódica se llaman números Racionales
(denotados por Q) y los números que tienen expansión decimal no periódica se llaman Irracionales (denotados por
I). En consecuencia a, b y c son números racionales y d, e, f y g son números irracionales. Claramente, la
propiedad de tener expansión decimal periódica para los racionales y la propiedad de tener expansión decimal no
periódica para los irracionales define dos tipo de números muy distintos. Lo que significa que un número real es
racional o irracionales , nunca ambos.

6.  CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES : De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el conjunto de los
números reales se define como la unión de dos tipos de números, a saber; los números racionales, los números
irracionales. A su vez, los números racionales se clasifican en:
a) Números Naturales (N) , los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, 11, …
b) Números Enteros (Z) , son los números naturales, sus negativos y el cero. Por ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
c) Números Fraccionarios , son aquellos números que se pueden expresar como cociente de dos números enteros,
es decir, son números de la forma a/b con a , b enteros y b ≠ 0.
• PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES :
 PROPIEDAD CONMUTATIVA : Se basa en sumar y restar , se define como a + b = b + a , el orden de sumar o
multiplicar reales no afecta el resultado.
 PROPIEDAD ASOCIATIVA : Se basa en sumar y multiplicar , se define como a+(b+c)=(a+b)+c-----
a(bc) = (ab)c. Puedes hacer diferentes asociasiones al multiplicar reales y no se afecta el resultado.
 PROPIEDAD IDENTIDAD : Se basa en sumar y multiplicar , se define como a + 0 = a------ a x 1= a . Todo
real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo realmultiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la
identidad multiplicativa.
 PROPIEDAD INVERSOS : Al igual que la anteir se bas en sumar y multiplicar, se define a + (-a) = 0------
(a)1/a=1 . La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.


7.  PROPIEDAD DISTRIBUTIVA : Suma respecto a Multiplicación , a (b + c) = ab + a c . El factor se
distribuye a cada sumando.
• PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES :
 PROPIEDAD REFLEXIVA: Establece que toda cantidad o expresión es igual a sí misma. Por ejemplo : 2a =
2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x
 PROPIEDAD SIMÉTRICA: Consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se
altere.Por ejemplo : Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11Si a - b = c, entonces c = a - bSi x = y, entonces y
= x.
 PROPIEDAD TRANSITIVA : Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos
miembrostambién son iguales. Por ejemplo : Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5Si x + y = z y
a + b = z, entonces x + y = a + bSi m = n y n = p, entonces m = p.
 PROPIEDAD UNIFORME : Establece que si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos
miembros, laigualdad se conserva. Por ejemplo : Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3) = (7) (3)Si a = b, entonces
a + x = b + x
 PROPIEDAD CANCELATIVA : Dice que en una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales
en ambosmiembros y la igualdad no se altera. Por ejemplo : Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12Si a + b
= c + b, entonces a = c.

8. • DESIGUALDADES : Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad.
Los signos de desigualdad son: - no es igual< - menor que> - mayor que - menor o igual que - mayor
o igual que una desigualdad que tiene variable se llama inecuación.
La soluciones de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica. La solución de
la inecuación se expresa mediante : Una representación gráfica y un intervalo.
Existen diferentes tipos de inecuaciones, entre ellas tenemos :
 INECUACIONES EQUIVALENTES : Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta
un mismo número , la inecuación resultante es equivalente a la dada.
+ 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1

9. Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la
inecuación resultante es equivalente a la dada.
2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación
resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
- x < 5 ( - x) · ( - 1) > 5 · (- 1 ) x > - 5
 INECUACIONES DE PRIMER GRADO :
• Inecuaciones de primer grado con una incógnita
• 1º Quitar corchetes y paréntesis.
• 2º Quitar denominadores.
• 3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
• 4º Efectuar las operaciones
• 5º Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la
desigualdad.6º Despejamos la incógnita.7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.

10.  INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO : Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde
encontramos números, una variable (que llamaremos ) que esta vez la podemos encontrar multiplicándose a ella
misma, y un símbolo de desigualdad.
 INECUACIONES RACIONABLES : Se resuelven de modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener en
cuenta que el denominador no puede ser cero.
1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador
2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador,
independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo .
4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción
polinómica.
Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
• VALOR ABSOLUTO : La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar
al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce
como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.
• DESIGUALDADES CON ALOR ABSOLUTO : Desigualdades con un solo valor absoluto y la variable sólo en el
argumento del valor absoluto.

11. Estas desigualdades o inecuaciones son resueltas de manera muy sencilla al aplicar las propiedades del valor
absoluto.
Se tiene una proposición similar para desigualdades con valor absoluto no estrictas, ≤ y ≥ .
Así que para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado izquierdo y una constante positiva en el otro
miembro, solo hay que identificar con alguna de las dos formas, aplicar la equivalencia, resolver las
desigualdades de la equivalencia para pasar a determinar el conjunto solución de la desigualdad en base a la
condición de la equivalencia.
• PLANO NUMÉRICO : Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a
dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen
o punto cero.. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las
ordenadas o de las yes, (y).
E EL plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus
coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis y uno de las yes,
respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual
se representa como:
P (x, y)

12.  DISTANCIA EN EL PLANO : la distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que
los une, expresado numéricamente. Distancia entre dos puntos. Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1),
B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa.
 PUNTO MEDIO: Es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. Describe
una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
• REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA CONICAS : Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a
todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa
por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Entre ellas tenemos :
 CIRCUNFERENCIA : Conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y
coplanario llamado centro. A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El
segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre
dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio.
La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los
puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo
cuya superficie contiene. Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos
semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie
cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o
circunferencia geométrica.

13. REPRESENTACIÓN
GRÁFICA :

14. REPRESENTACIÓN
GRÁFICA :
 PARÁBOLA : En matemáticas, una parábola es el lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco) y de una recta fija (denominada
directriz).

15.  ELIPSE : línea curva y cerrada , es el
lugar geométrico de todos los puntos de un
plano, tales que la suma de las distancias a
otros dos puntos fijos llamados focos es
constante. Los focos de la elipse son dos
puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el
eje mayor.
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA :

16.  HIPÉRBOLAS : Una hipérbola es el
lugar geométrico de los puntos de un
plano, tales que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos, llamados focos , es igual a
la distancia entre los vértices, la cual es
una constante positiva.
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA :

17. FUENTES
DE INFORMACIÓN
Y METODOLOGÍA DE
BÚSQUEDA
Se llevo a cabo una revisión bibliográfica
para la realización de esta presentación ,
como herramienta para el desarrollo de
este tema y los términos relacionados con
el mismo . Además , se utilizó como
recurso de información el material
suministrado por el docente , así como
también los ejercicios que nos facilitó ,
gracias a esto se pudo realizar dicha
actividad .

18. EJERCICIOS RESUELTOS
PROPIEDAD ASOCIATIVA
 Ejercicio 1 :
( 15 +22 ) + 11+16 = 15 +22 + ( 11+16 )
37 + 11+16 = 15 + 22 + 27
37 + 27 = 64
64
 Ejercicio 2 :
( 18+3 ) + 17=18 + ( 3+17 )
21 + 17=18 + 20
38 = 38
( OBSERVACIÓN : Permite que los factores se aprupen de distintas formas y el resultado no cambiara. )