Temas prelimianres a Series de Fourier

1. Ecuaciones Diferenciales Parciales
Temas preliminares a
Series de Fourier

2. 5. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)
• 5.1 Funciones ortogonales
• 5.2 Series de Fourier. Series de senos y
cosenos.
• 5.3 Solución de ecuaciones diferenciales
parciales por series de Fourier.
• 5.4 La ecuación de onda.
• 5.5 La ecuación de flujo de calor.
• 5.6 La ecuación de Laplace.

3. Introducción
• Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) surgen
en relación con varios problemas físicos y
geométricos.
• Las funciones que intervienen dependen de dos o más
variables.
• Sus aplicaciones comprenden el modelado de
sistemas complejos encontrados en mecánica de
fluidos, mecánica de sólidos, transferencia de calor,
mecánica cuántica, por mencionar algunos.

4. Funciones periódicas
Se dice que una función f(x) es periódica si
está definida para toda x real y si existe algún
número positivo P tal que:
f(x+P) = f(x)
A este número P se le llama período de f(x).

5. La funciones sin(x), sin(2x), sin(3x),
son funciones periódicas con período P = 2π

6. La función sin(x/2) es una función periódica con
período P = 4π

7. Las funciones cos(πx) y cos(2πx) son
periódicas con período fundamental
P = 2 y P = 1, respectivamente

8. Período fundamental de
una función periódica
Una función periódica puede tener más de un
período. Sin embargo, es posible determinar su
período primitivo o fundamental, p, mediante:
p = p. natural/coef. de x
La función tan(3x) tiene el período
fundamental de:
p = π/3
La función csc(x/2) tiene p = 4π.

9. Período fundamental de
una función periódica
La combinación lineal de dos funciones g(t) y
h(t) con período P y con argumentos
múltiplos enteros de P, tienen período P.
Por ejemplo, la función:
f(t) = 3 + cos(t) – sin(t) + 5 cos(2t) + 17 sin(3t)
tiene período P = 2π dado que las funciones
sin(x) y cos(x) tienen período P = 2π.

10. Funciones pares
Una función g(x) es par si para toda x
g(-x) = g(x)
Una función par es simétrica respecto al eje Y.

11. Ejemplo de funciones par:

12. La función f(x) = cos(x) es una función par:
cos(-x)= cos(x)
L L
∫ cos( x) dx = 2∫ cos( x) dx
−L 0

13. Funciones impares
Una función h(x) es impar si
h(-x) = - h(x)
Una función impar es simétrica respecto al
origen del sistema coordenado.

14. Ejemplo de funciones impar:

15. La función f(x) = sin(x) es una función impar:
sin(-x) = - sin(x)
L
∫ sin( x) dx = 0
−L

16. Propiedades de las funciones
pares e impares
La suma de funciones pares, es una función par:
f(x) = g1(x) + g2(x)
f(-x) = g1(-x) + g2(-x)
f(-x) = g1(x) + g2(x)
f(-x) = f(x)

17. Propiedades de las funciones
pares e impares
Sumar funciones impares da una función impar:
f(x) = g1(x) + g2(x)
f(-x) = g1(-x) + g2(-x)
f(-x) = -g1(x) - g2(x)
f(-x) = -[g1(x) + g2(x)]
f(-x) = -f(x)

18. Propiedades de las funciones
pares e impares
El producto de dos funciones, ambas par o
ambas impar, es una función par:
q(x) = g(x)*h(x)
q(-x) = g(-x)*h(-x)
q(-x) = g(x)*h(x)
q(-x) = q(x)

19. Propiedades de las funciones
pares e impares
El producto de una función par y una función
impar, da por resultado una función impar:
q(x) = g(x)*h(x)
q(-x) = g(-x)*h(-x)
q(-x) = g(x)*[-h(x)]
q(-x) = -[g(x)*h(x)]
q(-x) = - q(x)

20. Propiedades de las funciones
pares e impares
Si g(x) es una función par, entonces, por la simetría
con el eje Y:
L 0 L L
∫ g ( x) dx = ∫ g ( x) dx + ∫ g ( x) dx = 2∫ g ( x) dx
−L −L 0 0

21. Propiedades de las funciones
pares e impares
Si h(x) es una función impar, entonces, por la
simetría con el origen:
L L
∫ h(− x) dx = − ∫ h( x) dx
−L −L
0 L

= −  ∫ h( x) dx + ∫ h( x) dx 
− L 0 
 −L L

= − − ∫ h( x) dx + ∫ h( x) dx  = 0
 0 0 

22. 5.1. Funciones ortogonales
Dos funciones f1 y f2 se dicen ortogonales en un
intervalo a < x < b, si:
b
∫ f ( x) f ( x) dx = 0
a
1 2
Un conjunto de funciones de valores reales
φ0(x), φ1(x), φ2(x), ...,
se dice ortogonal en un intervalo a ≤ x ≤ b si:
b
∫ϕ
a
m ( x) ϕn ( x) dx = 0 , m ≠ n

23. 5.2 Series de Fourier
La función f(x) con período p = 2π:
f ( x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2 x + 
∞
f ( x ) = a0 + ∑(a
n =1
n cos nx + bn sin nx )
se llama serie de Fourier y los coeficientes
obtenidos a partir de a0, an y bn se llaman
coeficientes de Fourier de f(x).

24. Coeficientes de Fourier
Los coeficientes de Fourier para una función
f(x) de período p = 2π, están dados por:
π
1
a0 = ∫
2π − π
f ( x) dx
π
1
an = ∫
π −π
f ( x) cos(n x) dx
π
1
bn = ∫
π −π
f ( x) sin( n x) dx

25. Serie de Fourier de una función de onda cuadrada
− 3 si − π < x < 0
f ( x) = 
 3 si 0 < x < π

26. Serie de Fourier de una función de onda
diente de sierra
f ( x) = x + π , − π < x < π

27. Función de onda diente de sierra f ( x) = x + π , − π < x < π
Serie de Fourier
2 1 2
f ( x) = π + 2 sin( x) − sin(2 x) + sin(3x) − sin( 4 x) + sin(5 x)
3 2 5

28. Funciones de cualquier período
p = 2L
Una función f(x) de período p = 2L tiene una
serie de Fourier de la forma:
∞
  nπ   n π 
f ( x ) = a0 + ∑ 
n =1 
an cos  x  + bn sin 
 L 
x 
 L 
con los coeficientes de Fourier siguientes:
L
1
a0 = ∫
2L −L
f ( x) dx
L
1 nπ
an = ∫
L −L
f ( x) cos(
L
x) dx
L
1 nπ
bn =
L −L ∫
f ( x) sin(
L
x) dx