Libro de Geometria

1. CAPÍTULO 2
LÍNEAS Y ÁNGULOS
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2. 2.1 LÍNEA RECTA. Es uno de los conceptos que no se puede definir mediante otros más
sencillos (concepto primitivo); En la vida real se puede comparar de manera aproximada con un hilo
bien tendido. También suele decirse que es una sucesión de puntos en una
misma dirección, o conjunto conexo de puntos. La recta AB se denota:
2.2 POSTULADOS DE LA LÍNEA RECTA.
1ª. Es el camino más corto entre dos puntos
2ª. Por dos puntos sólo puede pasar una recta y sólo una. Dos puntos determinan una recta
3ª. Por un punto pueden pasar infinitas rectas y en una recta hay infinitos puntos
4ª. Dos rectas que tienen dos puntos comunes coinciden en toda su extensión
5ª. Dos rectas distintas no pueden tener más de un punto común; también pueden no tener alguno
6ª. Toda recta puede prolongarse en ambos sentidos
7º. Una línea tiene una sola dimensión: la longitud
8º. “POSTULADO DE LA RECTA”. Podemos establecer una correspondencia entre los puntos de
una recta y los números reales, de manera que:
A cada punto de la recta corresponde exactamente un número real
A cada número real corresponde exactamente un punto de la recta
La distancia entre dos puntos cualesquiera es el valor absoluto de la diferencia de los números
correspondiente
Una correspondencia como la descrita en el postulado de la recta se llama un sistema de coordenadas.
El número correspondiente a un punto dado, se llama coordenada del punto. La coordenada de P es 1;
la de Q es -1; la distancia de P a Q es 2;
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3. Decir que un punto B está entre A y C, significa que los tres puntos están en una recta y que están de
alguna de estas dos forma: (Fig. 2.3). Es decir, B está entre A y C si: A, B y C son puntos distintos de
una misma recta y
2.3 SEMI-RECTA. Se considera como semi-recta a todos los puntos de una recta a partir de
un punto llamado origen. La figura 2.4, es una semi-recta y se denota como
.
2.4 SEGMENTO. Se llama segmento a la parte de una línea recta comprendida entre dos
puntos distintos, llamados extremos. La figura 2.5, es un segmento y se nota
como .
2.5 POSTULADO. La menor distancia entre dos puntos, es el segmento que los une.
Si dos segmentos tienen la misma medida, se cumplen las mismas propiedades que la igualdad de
números reales; es decir, se cumplen:
1º Propiedad idéntica: Todo segmento es igual a sí mismo:
2º Propiedad recíproca: Si entonces
3º Propiedad Transitiva: Dos segmentos iguales a un tercero, son iguales entre sí; es decir: Si
y entonces
2.6 OPERACIONES CON SEGMENTOS.
Dados dos segmentos es posible encontrar un tercero que sea la suma de los dos segmentos. La suma
de dos segmentos tiene las mismas propiedades de la suma de los números reales, a saber:
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4. 1º. Propiedad uniforme: La suma de segmentos iguales en una igualdad es otra igualdad
2º. Propiedad conmutativa o cambiativa: El orden de los sumando no altera la suma
3º. Propiedad asociativa: La suma no se altera al sustituir varios sumandos por la suma efectuada
4º. Propiedad monótona: Si en una suma de segmentos se sustituye uno de ellos por otro mayor, la
suma obtenida es mayor
La diferencia de segmentos está definida para dos segmentos y , tal que , llamados
minuendo y sustraendo respectivamente; el segmento llamado diferencia, es el segmento que sumado al
sustraendo es igual al minuendo.
Todo segmento se puede multiplicar por un número n natural, y el resultado que es otro segmento
, se obtiene sumando n veces el segmento , es decir:
2.7 ALGUNOS AXIOMAS.
Si a cantidades iguales se agregan o se quitan cantidades iguales, los resultados son iguales
Si cantidades iguales se multiplican o dividen por cantidades iguales, los resultados son iguales
Si cantidades iguales se elevan a una misma potencia o si a ambas se les extrae una misma raíz,
los resultados son iguales
Si en los miembros de una desigualdad se realiza la misma operación con números positivos, el
sentido de la igualdad no cambia
Si dos desigualdades del mismo sentido se suman miembro a miembro, la desigualdad
resultante es del mismo sentido
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5. Si los dos miembros de una desigualdad se restan de los de una igualdad, los resultados son
desiguales en sentido opuesto al de la desigualdad dada.
Dos cantidades iguales a una tercera lo son entre sí
Toda cantidad puede reemplazarse por su igual
Si una cantidad es mayor que otra y esta es mayor que una tercera, la primera es mayor que la
tercera.
El todo es mayor que cualquiera de sus partes, e igual a la suma de sus partes.
Dados dos segmentos, debe verificarse una y sólo una de las tres condiciones: el primero es
mayor, igual o menor que el segundo y los otros segmentos iguales a ellos están entre sí en la misma
relación.
2.8 POSTULADO DE ARQUÍMEDES. Dados dos segmentos, existe siempre un múltiplo
de uno de ellos que es mayor que el otro.
2.9 POSTULADO. Dado un segmento , existe otro segmento que multiplicado por n
es la n-ésima parte de .
2.10 POSTULADO DE LA DISTANCIA. A cada par de puntos diferentes corresponde un
número positivo único.
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6. CLASES DE LÍNEAS
2.11 LÍNEA CURVA. La línea curva es la que no es recta en ninguna de sus
partes, por ejemplo: un hilo no tendido (Fig. 2.6)
Existen otras clases de líneas como son: la angulosa, la poligonal y la mixta; todas ellas pueden ser
rectas o curvas.
2.12 LÍNEA ANGULOSA. La línea angulosa o quebrada es aquella que se compone
de varios segmentos de rectas contiguos uno al otro y encontrándose en un mismo plano
puede ser cortada en más de dos puntos por otra (Fig. 2.7)
2.13 LÍNEA POLIGONAL. Es una línea quebrada no cortada. Las líneas poligonales pueden ser
convexas y cóncavas.
2.14 LÍNEA POLIGONALES CÓNCAVAS Y CONVEXAS. La poligonal cóncava es aquella
línea quebrada que al prolongar en los dos sentidos alguno de sus lados, parte de la línea queda en un
semi-plano y parte en el otro (Fig. 2.8a). La poligonal convexa es
aquella que encontrándose en un mismo plano y al prolongarse uno de
sus lados, toda la poligonal se encuentra en un mismo plano. (Fig. 2.8b)
2.15 LÍNEA ENVUELTA Y ENVOLVENTE. Dos poligonales convexas
de extremos comunes, se llaman envuelta y envolvente. La envolvente es la que
rodea, se puede decir que es aquella que al unir sus vértices contiene a la otra,
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7. denominada envuelta. También suele decirse que la envolvente es aquella poligonal que al prolongar
uno de sus lados no corta a la otra poligonal, es decir, es tangente; en la envuelta, al prolongar uno de
sus lados corta a la otra, es decir, es secante. La poligonal AFED es la envolvente y ABCD es la
envuelta.
2.16 LÍNEA MIXTA. Es la unión de líneas rectas y curvas. (Fig. 2.10)
Las líneas con respecto a su posición pueden ser: perpendiculares, oblicuas o transversales,
horizontales y verticales.
2.17 LÍNEA PERPENDICULAR. El ejemplo más común perpendicularidad es el que se observa
en las edificaciones, donde el constructor usa una plomada (cuerda con un objeto en
forma de trompo que cuelga de un extremo) para construir una pared perpendicular
con respecto al piso, es decir, sin inclinarse más una parte que la otra. Fig. 2.11,
muestra dos rectas perpendiculares.
2.18 AXIOMAS DE LAS PERPENDICULARES.
1º. Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.
2º. Por un punto exterior a una recta en un plano, pasa una perpendicular a dicha recta y solo una.
A
2.19 LÍNEA OBLICUA. Es la que llega sobre otra línea inclinándose más a
una parte que la otra (Fig. 2.12)
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8. 2.20 LÍNEA HORIZONTAL. El caso más común se presenta en las edificaciones, cuando el
constructor desea elaborar un piso horizontal; para ello utiliza una manguera llena de agua, los
extremos del líquido marca la horizontalidad. Otro ejemplo, lo brindan las
aguas en reposo. La Fig. 2.13 nos muestra una recta horizontal.
2.21 LINEA VERTICAL. Es aquella que es perpendicular a la horizontal. (Fig. 2.14).
2.22 LÍNEAS PARALELAS. Son aquellas líneas rectas o curvas que están en
un mismo plano, y que, aunque se prolonguen indefinidamente, nunca pueden
tocarse. Las rectas y las curvas AB, CD y EF (Fig. 2.15)
2.23 “POSTULADO DE LAS PARALELAS”. Por un punto exterior a una recta dada, pasa una
sola recta paralela a dicha recta dada “principio de la geometría de Euclides”.
2.24 POSTULADO. Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí.
2.25 TEOREMA. En dos poligonales convexas, de extremos
comunes, la envolvente es mayor que la envuelta (Fig. 2.16)
HIPÓTESIS: AFED poligonal envolvente; ABCD poligonal
envuelta; A y D extremos comunes.
TESIS:
Construcción Auxiliar: prolónguese y , hasta conseguir los puntos M y N.
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9. DEMOSTRACIÓN
En ABMF
1. La menor distancia entre dos puntos es el segmento
que los une
En BCNEM:
2. La menor distancia entre dos puntos es e l
segmento que los une
En CND:
3. La menor distancia entre dos puntos es el segmento
que los une
4.
Suma de las desigualdades 1), 2) y 3)
5. , Simplificando
6. Suma de segmentos
7. El todo igual a las partes
8. Sustitución de 6) y 7) en 5)
2.26 TEOREMA. Si desde un punto exterior a una recta se trazan a ésta una
perpendicular y varias oblicuas:
1º. La perpendicular es menor que cualquiera oblicua
2º. Las oblicuas cuyos pies equidistan del pie de la perpendicular son iguales
3º. De dos oblicuas, es mayor la que se aparta más del pie de la
perpendicular
HIPÓTESIS: oblicuas;
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10. TESIS:
1º.
2º.
3º.
Construcción Auxiliar: Prolónguese la perpendicular AB hasta que , únase A’ con
D y con E ; ,
DEMOSTRACIONES
1°
1. segmento de recta
2.
3.
4. Simplificando
2°
1.
2. Hipótesis
3. Toda cantidad puede reemplazarse por su igual
4. Si rotamos hacia la izquierda como eje de simetría ,C
coincidirá con D, y A con A.
3°
1. La poligonal envolvente es mayor que la envuelta
2. y
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11. 3. Simplificación de 2)
2.27 RECÍPROCO. Si desde un punto exterior a una recta se trazan a ésta una perpendicular y
varias oblicuas:
1º. Dos oblicuas iguales, tienen sus pies equidistantes del pie de la perpendicular
2º. Si dos oblicuas son desiguales, el pie de la mayor dista más del pie de la perpendicular.
2.28 COROLARIOS.
1º. Desde un punto exterior a una recta sólo se pueden trazar dos oblicuas iguales
2º. Las oblicuas iguales forman ángulos iguales con la perpendicular
2.29 MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO. Es la perpendicular trazada a este segmento en su punto
medio, también es llamada perpendicular bisectriz.
2.30 TEOREMA. Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de
los extremos de éste segmento.
HIPÓTESIS: C punto de la mediatriz OT
TESIS:
DEMOSTRACIÓN
1. Definición de mediatriz
2.
3. y oblicuas iguales
4. Oblicuas iguales
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12. 2.31 RECÍPROCO. Todo punto equidistante de los extremos de un segmento es el punto de la
mediatriz de éste segmento
2.32 TEOREMA. Todo punto exterior a la mediatriz de un segmento no
equidista de los extremos de este segmento. P no equidista de A y B, por ser un
punto exterior a la mediatriz.
APLICACIONES: CONSTRUCCIONES DE PERPENDICULARES Y PARALELAS
Las construcciones geométricas son representaciones en papel, en donde sólo están permitido el uso de
regla no graduada y compás.
2.33 CONSTRUCCIÓN 1. COPIAR UN SEGMENTO
Sea AB el segmento que se desea copiar
PASO 1. Construya una recta y sitúe sobre ella un punto A, extremo
del segmento.
PASO 2. Coloque la punta del compás en uno de los extremos del segmento y ábralo hasta
encontrar el otro extremo.
PASO 3. Con la abertura anterior, coloque la punta del compás sobre el punto construido en la recta y
trace un arco que corte a la recta. El punto B, donde el arco corta a la recta es el otro extremo del
segmento construido sobre la recta, y tiene la misma medida del segmento dado; es decir, se ha copiado
un segmento.
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13. 2.33 CONSTRUCCIÓN 2. POR UN PUNTO P EXTERIOR A UNA RECTA L DADA,
CONSTRUIR UNA RECTA R QUE PASE POR P Y QUE SEA PARALELA A L.
Paso 1. Sitúe un punto cualquiera O en el interior de la recta L. Con centro en O, y radio OP,
trace una semicircunferencia que corte a L en los puntos A y B
Paso 2. Con centro en A trace un arco que corte a la
semicircunferencia en P, con la misma abertura y centro en B trace un arco
que corte a la semicircunferencia en Q.
Paso 3. Con la regla traza la recta R que pasa por los puntos P y Q. La recta R es paralela a la
recta dada.
2.34 CONSTRUCCIÓN 3. CONSTRUIR UNA PERPENDICULAR T, A LA RECTA S
QUE PASE POR UN PUNTO INTERIOR P.
Paso 1. Con centro el un punto cualquiera P, trace una
semicircunferencia que corte la recta S en los puntos M y N
Paso 2. Con una abertura mayor que el segmento , y haciendo
centro en M se traza un arco por encima o por debajo de P.
Paso 3. Con la misma abertura y centro en N trace otro arco que corte al primero en el punto Q
Paso 4. Trace la recta T que pasa por los puntos P y Q.
La recta T es perpendicular a S.
2.35 CONSTRUCCIÓN 4. DESDE UN PUNTO P SITUADO FUERA DE UNA RECTA R
DADA, CONSTRUIR UNA PERPENDICULAR A DICHA RECTA.
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14. Paso 1. Con centro en P se traza un arco que corte a R en los puntos A y B.
Paso 2. Con centro en A y B, y con la abertura se trazan dos arcos que
se corten en Q.
Paso 3. Se traza la recta que pase por los puntos P y Q. La recta trazada
es la perpendicular.
2.36 CONSTRUCCIÓN 5. DADO UN SEGMENTO CONSTRUIR UNA RECTA
MEDIATRIZ A DICHO SEGMENTO
Paso 1. Con radio mayor que la mitad de y centro en el extremo A se traza un arco.
Paso 2. Haciendo centro en B y con abertura igual a la anterior, se traza un
arco que corta al anterior, determinando los puntos P y Q.
Paso 3. Con la regla se traza la recta que pasa por los puntos P y Q.
La recta trazada es la perpendicular mediatriz al segmento dado
2.37 CONSTRUCCIÓN 6. TRAZAR UNA RECTA PERPENDICULAR AL SEGMENTO
QUE PASE POR UNO DE LOS EXTREMOS.
Paso 1. En el extremo A se traza la prolongación del segmento
Paso 2. Se traza una circunferencia con centro en A y radio cualquiera,
que corta al en N y M.
Paso 3. Con centro en M y N y radio mayor que se trazan dos arcos que se cortan en P
Paso 4. Se traza la recta que pasa por P y A, que es perpendicular a en A
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15. OTRO MÉTODO
Paso 1. Con un radio cualquiera y haciendo centro en el extremo A, se traza una circunferencia
de radio AN
Paso 2. Con centro en N y radio AN se traza un arco que corte la circunferencia en M
Paso 3. Con el mismo radio se encuentra el punto P
Paso 4. Con centro en P y M y el mismo radio se consigue Q
Paso 5. Se traza la recta que pase por los puntos A y Q.
La recta trazada es la perpendicular construida.
2.38 ANGULO. Llámese ángulo a la abertura comprendida entre dos semi-rectas que concurren en
el origen. Las semi- rectas se llaman lados y el origen se llama vértice. Generalmente un ángulo se
designa con tres letras mayúsculas, escribiendo la del vértice en el medio; en caso de no existir
ambigüedad, se nombra sólo la letra del vértice. Con frecuencia, para abreviar, se sustituye la palabra
ángulo por alguno de los símbolos: La magnitud o medida de un ángulo
depende únicamente de la abertura comprendida entre los lados y no de la
longitud de éstos. En la figura 2.27, es el ángulo O, ó el ángulo AOB, ó el ángulo
BOA y se denota: .
2.39 MEDIDA DE LOS ÁNGULOS. Para medir los ángulos se utiliza el sistema sexagesimal que
tiene como unidad patrón el grado, el cuál es igual a las trescientas sesentava parte del ángulo de una
vuelta. El grado se divide en 60 minutos y el minuto en 60 segundos. Los grados sexagesimales se
indican con un pequeño cero en la parte superior, los minutos con un pequeño acento, y los segundos,
con dos. Ejemplo: el ángulo de 52 grados 37 minutos 56 segundos se escribe .
37

16. Existen otros sistemas de medidas de ángulos como: el sistema centesimal (divide al ángulo de una
vuelta en 400 partes iguales, cada una de esas partes se llama grado centesimal); y el sistema cíclico,
cuya unidad es el radian (divide al ángulo de una vuelta en ).
Para medir un ángulo se utiliza generalmente el transportador o graduador. Para ello, se coloca el
transportador en el vértice del ángulo, de manera que su diámetro coincida con uno de los dos lados. El
número de grados señalado por el otro lado indica la medida del ángulo.
2.40 RADIAN. Es la abertura formada por dos radios de la circunferencia cuando la longitud del
arco subtendido es igual a la medida del radio.
2.41 IGUALDAD DE ÁNGULOS. Dos ángulos son iguales cuando tienen la misma medida; es
decir, cuando al colocar uno sobre otro de tal manera que sus vértices coincidan, sus lados quedan uno
sobre el otro.
2.42 ALGUNOS AXIOMAS Y POSTULADOS DE LOS ÁNGULOS
1ª. Los ángulos que tienen el mismo complemento son iguales, porque les falta el mismo ángulo
para valer un recto.
2ª. Los ángulos que tienen el mismo suplemento son iguales, porque les falta el mismo ángulo para
valer dos ángulos rectos.
3ª. Todos los ángulos rectos son iguales.
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17. CLASES DE ANGULOS
Los ángulos con respecto a su magnitud ó valor se clasifican en: rectos, obtusos, agudos, llanos y nulos.
2.43 ÁNGULO NULO. Es aquel que mide cero grados.
2.44 ÁNGULO RECTO. Es aquel cuyos lados son perpendiculares entre sí. Mide
90°. El ángulo AOB (Fig. 2.28).
2.45 ANGULO LLANO. Es aquel que mide 180° (Fig. 2.29).
2.46 ÁNGULO OBTUSO. Es aquel que mide más que un recto y
menos que un llano. El ángulo AOB (Fig. 2.30).
2.47 ÁNGULO AGUDO. Es aquel que es mayor que cero y menor que un recto. El
ángulo AOB (Fig. 2.31).
Los ángulos que están relacionados entre sí, se clasifican en complementarios por defecto y por exceso,
suplementarios por defecto y por exceso, y explementarios por defecto y por exceso.
AA
2.48 ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS. Dos ángulos son complementarios por defecto
cuando su suma es igual a un recto, ejemplo: los ángulos AOC y
COB (Fig. 2.32); y son complementarios por exceso cuando su
diferencia es igual a un ángulo recto, ejemplo: los ángulos AOB
y AOC (Fig. 2.33)
39

18. 2.49 ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS. Dos ángulos son suplementarios por defecto cuando su
suma es igual a dos rectos ( y , fig. 2.34); y son
suplementarios por exceso cuando su diferencia es 180° ( y
, fig. 2.35).
2.50 ANGULOS EXPLEMENTARIOS. Dos ángulos son explementarios por defecto cuando su
suma es 360° y explementarios por exceso cuando su diferencia es
2.51 ANGULOS ADYACENTES. Si dos ángulos tienen el mismo vértice y un lado común y los
otros dos son la prolongación el uno del otro, se dice que los ángulos son adyacentes.
Los ángulos AOC y BOC de la figura 2.36, son adyacentes.
2.52 TEOREMA. Dos ángulos adyacentes suman 180º.
HIPÓTESIS: adyacentes
TESIS:
DEMOSTRACIÓN
1. Ángulo llano
2. Suma de partes igual al todo
3. Sustitución de 1) en 2)
40

19. 2.53 ÁNGULOS CONSECUTIVOS. Son aquellos que tienen el vértice y un
lado común, los ángulos AOB y BOC son consecutivos (Fig. 2.37)
2.54 ÁNGULO DE UNA VUELTA. Es aquel que se forma cuando se da un giro completo y sus
lados son iguales.
2.55. ÁNGULO DE MEDIA VUELTA. Es aquel que se forma cuando se da medio giro y sus lados
son prolongación uno del otro.
2.56 ANGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE. Son aquellos que tienen el
vértice común y los lados del uno son la prolongación de los lados del otro; en la
figura 2.38, los ángulos AOB y COD son opuestos por el vértice.
2.57 TEOREMA. Dos ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.
HIPÓTESIS: y opuestos por el vértice
TESIS:
DEMOSTRACIÓN
1. Ángulos adyacentes
2. Cambio de sujeto
3. Ángulos adyacentes
4. Cambio de sujeto.
5. Transitividad de 2) y 4)
41

20. 2.58 BISECTRIZ. La bisectriz de un ángulo es la semi- recta que lo divide en dos
ángulos iguales o congruentes. La bisectriz .
2.59 TEOREMA. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares
HIPÓTESIS: , y son las
bisectrices
TESIS:
DEMOSTRACIÓN
1. Es bisectriz
2. Es bisectriz
3. Hipótesis
3. Sustitución de 1) y 2) en 3)
4. Simplificando en 3)
5. Suma de partes igual todo
6. es recto
2.60 TEOREMA. Las bisectrices de los cuatro ángulos opuestos por el vértice, formados por dos
rectas, están en línea recta dos a dos y son perpendiculares entre sí.
2.61 TRISECCION DEL ANGULO. Las trisectrices de un ángulo son las
semi-rectas que lo dividen en tres ángulos iguales. Las trisectrices OC y OD del
ángulo AOB de la figura 2.41.
42

21. 2.62 TEOREMA. La suma de los ángulos consecutivos trazados a un
mismo lado de la recta es igual a dos ángulos rectos.
HIPÓTESIS: Los ángulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos a un
mismo lado de la recta AE
TESIS:
DEMOSTRACIÓN
1. Adyacentes
2. Suma de partes igual al todo
3. Suma de partes igual al todo
4. Sustitución de 2) y 3) en 1)
2.63 TEOREMA. La suma de los ángulos consecutivos trazados alrededor de un punto es igual a
cuatro ángulos rectos, porque juntos forman un ángulo de una vuelta.
ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS Y UNA SECANTE
2.64 LINEA SECANTE. Se llama secante o transversal a la recta que corta
cualquier línea o figura, EF es secante. Dos rectas cortadas por una secante
forman ocho ángulos que, tomados de dos en dos, reciben diferentes
denominaciones, según su posiciones relativas.
2.65 ANGULOS INTERNOS. Los ángulos internos o interiores son los que se encuentran entre las
dos rectas (Los ángulos 1, 2, 3 y 4. Fig. 2.43).
43

22. 2.66 ANGULOS EXTERNOS. Los ángulos externos o exteriores son los que se encuentran por
encima y por debajo de las rectas. (Los ángulos 5, 6, 7 y 8. Fig. 2.43).
2.67 ANGULOS ALTERNOS INTERNOS. Son los ángulos internos que se encuentran a distinto
lado de la secante (Los ángulos 2 y 3, 1 y 4. Fig. 2.43)
2.68 ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS. Son los ángulos exteriores que se encuentran a
distinto lado de la secante, pero que no son adyacentes (Los ángulos 6 y 5 ó 7 y 8. Fig. 2.43).
2.69 ANGULOS CORRESPONDIENTES. Son los que se encuentran a un mismo lado de la
secante, el uno interior y el otro exterior; pero no son adyacentes (Los ángulos 1 y 7; 3 y 5; 4 y 8; 2 y 6.
Fig. 2.43).
2.70 ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS. Son los ángulos situados a un mismo lado de la
secante, y dentro de las rectas (Los ángulos 1y 3; 2 y 4. Fig. 2.43).
2.71 ÁNGULOS CONJUGADOS EXTERNOS. Son los ángulos situados a un mismo lado de la
secante, pero exteriores a las rectas (Los ángulos 5 y 7; 6 y 8. Fig. 2.43).
2.72 POSTULADO. Toda secante o transversal forma con dos paralelas ángulos
correspondientes de la misma medida. Los ángulos 1 y 3, 7 y 6, 2 y 4, 8 y 5 son correspondientes de
igual medida. (Figura 2.44)
2.73 TEOREMA. Toda secante forma con dos paralelas:
i) Ángulos alternos de la misma medida
44

23. ii) Ángulos alternos externos de la misma medida
iii) Ángulos conjugados internos suplementarios por defecto
iv) Ángulos conjugados externos suplementarios por defecto
HIPÓTESIS: y T transversal
Alternos internos
Alternos externos
Conjugados internos
Conjugados externos
TESIS:
i)
ii)
iii)
i v)
DEMOSTRACIONES
TESIS i)
1. Correspondientes entre paralelas
2. Opuestos por el vértice
3. Transitividad
La Demostración de la otra parte de la tesis i) se deja al lector.
TESIS ii)
1. Correspondiente entre paralelas
2. Opuestos por el vértice
3. Sustitución de 1) en 2)
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24. La demostración de la otra parte de la tesis ii) se deja al lector
TESIS iii)
1. Ángulos adyacentes
2. Correspondientes entre paralelas
3. Sustitución de 2) en 1)
La demostración de la otra parte de la tesis iii) y la tesis iv) se dejan al lector.
2.74 TEOREMA RECÍPROCO. Si una transversal forma con dos rectas de un plano:
i) Ángulos alternos internos de la misma medida, ó,
ii) Ángulos alternos externos de igual medida, ó,
iii) Ángulos conjugados internos suplementarios por defecto, ó,
iv) Ángulos conjugados externos suplementarios por defecto,
Dichas rectas son paralelas
2.75 TEOREMA. Dos ángulos que tienen los lados respectivamente paralelos,
tienen igual medida.
CASO I: Cuando los lados están dirigidos en el mismo sentido.
HIPÓTESIS: y de igual sentido
y de igual sentido
TESIS:
Construcción Auxiliar: Prolónguese el lado hasta conseguir el punto k, formándose el ángulo
EMA
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25. DEMOSTRACIÓN
1. Correspondientes entre paralelas
2. Correspondientes entre paralelas
3. Ley transitiva
CASO II: Cuando los lados están dirigidos en sentido contrario
HIPÓTESIS: y de sentido contrario
y de sentido contrario
TESIS:
Construcción Auxiliar: Prolónguese los lados y , y se consigue el
DEMOSTRACIÓN
1. Lados paralelos y de igual sentido
2. Opuestos por el vértice
3. Transitividad
2.76 TEOREMA. Dos ángulos cuyos lados sean respectivamente paralelos, dos de ellos dirigidos
en el mismo sentido y los otros dos en sentido contrario, son suplementarios por defecto.
HIPÓTESIS: y de sentido contrario
y de igual sentido
TESIS:
Construcción Auxiliar: Prolónguese el lado y se consigue el ángulo POM
47

26. DEMOSTRACIÓN
1. Lados paralelos y del mismo sentido
2. Ángulos adyacentes
3. Sustituyendo 1) en 2)
2.77 TEOREMA. Dos ángulos cuyos lados sean respectivamente perpendiculares miden lo mismo.
CASO I: Cuando los ángulos son agudos
HIPÓTESIS:
TESIS:
Construcción Auxiliar: Por el vértice B trácese y
DEMOSTRACIÓN
1. Tienen sus lados paralelos y en el mismo sentido
2. Una recta perpendicular a otra, también lo es a su
3. Una recta perpendicular a otra, también lo es a su
4. y la suma de partes igual al todo
5. Cambio de sujeto en 4)
6.
7. Cambio de sujeto en 6)
8. Transitividad entre 5) y 7)
9. Sustitución de 1) en 8)
48

27. CASO II: Cuando los ángulos son obtusos
HIPÓTESIS: y
y son obtusos
TESIS:
Construcción Auxiliar: Prolónguese los lados y y se forman los
DEMOSTRACIÓN
1. Ángulos agudos con lados perpendiculares
2. Ángulos adyacentes
3. Cambio de sujeto en 2)
4. Ángulos adyacentes
5. Cambio de sujeto en 4)
6. Sustitución de 1) en 5)
7. Transitividad entre 3) y 6)
2.78 TEOREMA. Dos ángulos: uno agudo y otro obtuso, que tengan sus lados
respectivamente perpendiculares, son suplementarios por defecto.
HIPÓTESIS: y
agudo, y obtuso
TESIS:
Construcción Auxiliar: Prolónguese el lado y se forma que es agudo
49

28. DEMOSTRACIÓN
1. Lados respectivamente perpendiculares
2. Ángulos adyacentes
3. Sustitución de 1) en 2
APLICACIONES: CONSTRUCCIONES DE TRISECCIÓN DE ÁNGULOS
2.79 TRISECCIÓN DEL ÁNGULO DE 90°.
Paso 1. Construya un ángulo recto AOB
Paso 2. Trace un cuarto de circunferencia cualquiera con centro en
O que intersecará a los lados del ángulo AOB en los puntos C y D
Paso 3. Con radio y centro en C corte el cuarto de
circunferencia en E
Paso 4. Construya equilátero, luego: y
Paso 5. Trace la bisectriz del ángulo COE. Los ángulo EOF y FOC son congruentes, luego
miden 30° cada uno. Entonces, el ángulo AOB se ha trisecado; es decir, se ha dividido en tres ángulos
iguales de 30° cada uno. (Fig. 2.51).
2.80 TRISECCIÓN DEL ÁNGULO DE 45°.
Paso 1. Construya un ángulo recto AOB.
Paso 2. Trace la bisectriz ,
Paso 3. Con centro en O y radio , trace un cuarto de circunferencia
Paso 4. Con centro en F y radio , corte el cuarto de circunferencia en G
Paso 5. Construya , equilátero; sus ángulos internos miden 60°
50

29. Paso 6.
Paso 7. Copie tres veces el ángulo GOJ sobre el ángulo AOB.
Con esto, queda determinada la construcción de la trisección para el ángulo de 45°.
2.81 TRISECCIÓN DEL ÁNGULO DE 180°.
Paso 1. Dibuje un ángulo AOB de 180°
Paso 2. Trace una semicircunferencia con centro en O y radio r
que interseque a los lados del ángulo AOB en los puntos C y D
Paso 3. Con centro en C y radio corte a la semicircunferencia en E
Paso 4. Con centro en E y radio corte a la semicircunferencia en F
Paso 5. Trace: y ; y . Los son equiláteros, por lo tanto
sus ángulos son iguales a 60°. De esta forma, se triseca el ángulo AOB en ángulos de 60° cada uno.
2.82 TRISECCIÓN DEL ÁNGULO DE 135°.
Paso 1. Construye un ángulo AOB de 135°
Paso 2. Trace en O, el es recto
Paso 3. Trace la bisectriz del ángulo AOE.
De esta forma, el ángulo AOB queda dividido en tres ángulos de 45°. Se ha trisecado.
2.83 TRISECCIÓN DEL ÁNGULO DE 225°.
Paso 1. Construya un ángulo AOB de 225°
Paso 2. Trace en O
Paso 3. Trace una circunferencia con radio
Paso 4. Con radio r y centro en D corte la circunferencia en M
51

30. Paso 5. Forme el equilátero; entonces: y
Paso 6. Trace la bisectriz del ; luego
Paso 7. Copie el tres veces en el . Luego se ha trisecado
2.84 TRISECCIÓN PARA CUALQUIER ÁNGULO AGUDO CON UNA REGLA, DOS
MARCAS Y EL COMPÁS.
Paso 1. Construya el , agudo
Paso 2. En una regla marca dos puntos E y F a una distancia
cualquiera. Sea r dicha distancia,
Paso 3. Con centro en O traza una semicircunferencia de radio r, que corte al lado en D
Paso 4. Con la regla, haga que F sea un punto de la prolongación de AO; además, sea E un punto
de la semicircunferencia y estos dos puntos estén alineados con D
Paso 5. El es isósceles y .
Paso 6. El es isósceles y
Paso 7. En el ángulo es exterior. En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la
suma de los dos ángulos no adyacentes interiores, entonces: Por lo tanto
Paso 8. En , el es exterior, luego:
así: por ser . Entonces ,
lo que significa que
Paso 9. Copiamos el , tres veces en el y así se triseca el ángulo.
52

31. 2.85 TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO AGUDO CON LA ESCUADRA DEL
CARPINTERO 1.
La escuadra del carpintero es un instrumento construido por los griegos en el
siglo III d. C., su forma es como se indica en la figura, en ella todos los
ángulos son rectos.
Para trisecar un ángulo con la ayuda de la escuadra del carpintero1, se procede de la siguiente manera:
Paso 1. Trace a una distancia PM de ésta
Paso 2. Coloque la escuadra de tal manera que el vértice O sea
colineal con PQ; el vértice N, con ; y el vértice S, con
Paso 3. Los ángulos SOQ, QON y NOA tienen la misma medida.
HIPOTESIS:
TESIS:
DEMOSTRACIÓN
1. El cuadrilátero OFNG es un paralelogramo; por tener lados paralelos dos a dos.
2. ON es la diagonal del paralelogramo OFNG.
3. , la diagonal divide al ángulo en dos ángulos iguales.
4. Hipótesis; Hipótesis.
Por lo tanto,
5. Homólogos en triángulos congruentes.
6. De (3) y (5) se tiene que los ángulos SOT, NOT y NOA son iguales.
Luego se ha trisecado al ángulo AOB.
A
53

32. 2.86 TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO AGUDO CON LA ESCUADRA DEL CARPINTERO 2.
Esta escuadra es parecida a la anterior, con una modificación: el lado
correspondiente al lado más corto posee en su extremo un cuarto de círculo de
radio igual al ancho de la regla.
Para trisecar un ángulo agudo con esta escuadra, se procede de la siguiente manera:
Paso 1. Haga que el vértice N coincida con la semirrecta
Paso 2. El vértice O coincida con el lado PQ y el arco del cuarto de
círculo sea tangente al lado OB
Paso 3. Los ángulos BOS, SOU y UOA tienen la misma medida, luego
se ha trisecado el ángulo AOB.
JUSTIFICACIÓN
De acuerdo a la figura, se puede decir que:
1. , por ser rectángulos y tener los dos catetos de igual medida
2. , ángulos homólogos en triángulos congruentes
3. , por construcción de la escuadra
4. El lado , la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en dicho punto
5. El triángulo OTS es rectángulo por tener un ángulo recto en T.
6. El triángulo OUS es rectángulo por tener un ángulo recto en U.
7. , rectángulos e hipotenusa común
8. Los ángulos π y β tienen la misma medida
9. Los ángulos α, β y π tienen la misma medida
Entonces hemos dividido al ángulo AOB en tres ángulos iguales.
54

33. 2.88 TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO AGUDO CON LA CONCOIDE DE NICOMEDES.
La concoide debe su nombre al geómetra griego Nicomedes (siglo II a.C.), quien la creo para darle
solución a la trisección del ángulo. La concoide es una curva que está definida como el lugar
geométrico de los puntos M para los cuales se cumple que ó – .
(Fig. 2.60)
La ecuación en forma cartesiana es:
donde a y l son
constantes. Se pueden presentar tres casos de
concoides: que
Para trisecar un ángulo con la concoide, se
procede de la siguiente manera:
Paso 1. Se construye un ángulo agudo AOB.
Paso 2. Construye una concoide con centro en O, y directriz m, de
constante 2, tal que: y C un punto de su intersección.
Paso 3. Trace , que corta a y la directriz en D.
Paso 4. corta a la concoide en E, punto que queda en el plano
delimitado por el ángulo AOB, de esta manera el es la tercera
parte del
Así se ha trisecado el ángulo
JUSTIFICACIÓN
De acuerdo a la figura:
1. , por ser alternos internos entre paralelas.
2. Sea F la intersección de y ; y G el punto medio de
55

34. 3. , por ser E un punto de la concoide de constante 2.
Además, el es rectángulo en F, entonces se cumple que .
4. Como , entonces: es isósceles; luego
. Además, como , entonces el es isósceles por lo que
los .
5. , en todo triángulo el ángulo exterior es igual a la suma
de los ángulos interiores no adyacentes y como entonces:
6. Como se cumple que:
Se copia el , tres veces sobre el , así se ha trisecado el ángulo.
2.89 TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO AGUDO CON LA TRISECTRIZ DE HIPIAS DE ELIS.
Hipia de Elis, perteneciente a la escuela sofista, intentó trisecar el ángulo con
el uso de la regla y el compás, y descubrió una nueva curva que,
desafortunadamente no se puede construir con el uso de la regla y compás. A
dicha curva se le denomina trisectriz ó cuadratriz.
Supóngase que el segmento ON gira en sentido de las manecillas del
reloj con movimiento circular uniforme hasta ocupar la posición OM;
a la vez, el segmento NB se desplaza hacia abajo, también con
movimiento rectilíneo uniforme y ocupa en el mismo instante la
posición OM. Un punto de la trisectriz viene dado por la intersección
en cada instante de dichos segmentos. T es un punto de la trisectriz (Figura 2.63).
56

35. Para trisecar un ángulo agudo se procede de la siguiente manera:
Paso 1. Se construye una cuadratriz sobre el ángulo (Figura 2.64)
Paso 2. Se divide en tres partes iguales
Paso 3. Se trazan paralelas a que cortan a la trisectriz en los puntos I y H
Paso 4. Se trazan y . De esta manera el ángulo AOB, está dividido en tres ángulos iguales.
JUSTITIFACIÓN
De acuerdo a la construcción:
1. Proporcionalidad
2. Trisección de un segmento
3. Proporcionalidad
4. Proporcionalidad
5. de 3) y 4)
Se realiza el mismo procedimiento para el ángulo HOI y IOC, y se llega a que tienen la misma medida
y son exactamente la tercera parte del ángulo AOB. De esta forma se ha trisecado el ángulo AOB.
2.90 TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO AGUDO CON LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES.
Arquímedes realizo un estudio profundo de las propiedades de las espirales,
especialmente de la más simple, llamada espiral uniforme o de
Arquímedes, la cual se caracteriza por tener la misma anchura entre sus
espirales. Matemáticamente se define como el lugar geométrico de un
punto del plano que partiendo del extremo de una semirrecta se mueve
57

36. uniformemente sobre ella, mientras que la semirrecta gira también uniformemente sobre un extremo.
Este estudio es importante, por cuanto esta curva implica movimiento, con lo cual los griegos no
estaban muy relacionados; por consiguiente, se considera que ésta es la primera curva mecánica que se
conoció. Arquímedes en la búsqueda general de dar soluciones a los tres problemas clásicos de la
geometría propone soluciones a dos de ellos, claro está, no sólo con regla y compás; sino con el uso de
otros elementos, tal es el caso de la trisección con el uso de la espiral.
Para su construcción realiza lo siguiente:
Paso 1. Sitúa el ángulo de tal forma que el vértice y el lado inicial
coincidan con el origen O de la espiral y la posición inicial OA de la
semirrecta que gira.
Paso 2. Sea E el punto de intersección del segundo lado del ángulo
con la espiral.
Paso 3. Divida en tres partes iguales por medio de los puntos G y F.
Paso 4. Trace las circunferencias de centros en O y radio OG y OF.
Paso 5. Estas circunferencias cortan a la espiral en los puntos C y D, entonces las semirrectas
OC y OD trisecan el ángulo AOB (figura 2.66).
58

37. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Construye una paralela a otra recta utilizando otro método distinto al realizado en la
construcción 1.
2. Hallar dos ángulos complementarios por defecto y por exceso, tales que el doble del menor es
seis grados menor que el mayor.
3. Hallar el valor del ángulo x, si:
4. Hallar el valor del ángulo x, si:
5. Hallar dos ángulos suplementarios por defecto y por exceso, tales que el menor mide 20 grados
menos que el mayor.
6. Hallar la medida de un ángulo que coincide con su complementario.
7. Hallar dos ángulos suplementarios por defecto y por exceso, tales que el triple del menor sea 20
grados mayor que el mayor.
8. Hallar dos ángulos suplementarios por defecto y por exceso, tales que el doble del menor es 15
grados mayor que el mayor.
9. Hallar dos ángulos suplementarios por defecto y por exceso, tales que el menor es la octava
parte del mayor.
10. Hallar dos ángulos suplementarios por defecto y por exceso, tales que el mayor sea el doble del
menor.
11. Hallar dos ángulos complementarios por defecto, tal que el mayor es cuatro veces el menor.
12. Hallar dos ángulos suplementarios por defecto y por exceso, tales que el doble del menor es 15
grados menor que el mayor.
13. Hallar dos ángulos suplementarios por defecto y por exceso, tales que el triple del menor es 20
grados menor que el mayor.
59

38. 14. Hallar dos ángulos suplementarios por defecto y por exceso, tales que el mayor es el triple del
menor.
15. Hallar dos ángulos suplementarios por defecto y por exceso, tales que su diferencia sea 40
grados.
16. Hallar dos ángulos tales cuya suma sea 60 grados, y el mayor es el doble del menor.
17. Hallar dos ángulos tales que su suma sea 80 grados, y el menor es la tercera parte del mayor.
18. Hallar dos ángulos cuya suma es 40 grados, y el mayor es el triple del menor.
19. Tres ángulos consecutivos están al lado de una recta si el ángulo mayor mide el doble del
menor, y el mediano es mayor ocho grados que el menor. Hallar la medida de los tres ángulos.
20. Hallar la medida de cuatro ángulos, cuya suma sea igual a la de dos ángulos suplementarios por
defecto, si el primero es cuatro veces el cuarto, el segundo dos veces el primero, y el tercero 18 grados
menos que el segundo.
21. Hallar el complemento por defecto y por exceso de un ángulo de radianes.
22. Hallar el complemento por defecto de
23. Encuentre el ángulo que es igual a la mitad de su complemento por defecto.
24. Quique marca tres puntos colineales A, B y C, quedando B entre A y C. si n representa un
número entero tal que la distancia entre A y B es 2n + 2 y la distancia entre A y C es 6n + 8. Hallar la
distancia entre B y C.
25. La suma de cinco ángulos consecutivos excede en 70 grados a la suma de dos ángulos
suplementarios, si el segundo es el doble del primero, el tercero es el triple del segundo, el cuarto
excede la segundo en 60 grados, y el quinto es igual al tercero menos el segundo. Hallar la medida de
estos cinco ángulos.
26. El exceso de un ángulo sobre otro es 45 grados y los ángulos son explementarios por exceso.
Hallar los ángulos.
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39. 27. Los puntos A, B, C, D, E y F son colineales y se encuentran en el mismo orden alfabético. Si n
representa un número entero y las distancias: ; ; ;
– y . Hallar las distancias: AB, BC, CD, DE y EF.
28. Tres ángulos suman 280 grados. El complemento por exceso del menor exceden 20 al del medio
y el mayor es 50 grados mayor que el mediano. Hallar la medida de los ángulos.
29. Dos ángulos son suplementarios por exceso y el mayor es el triple del menor menos 30 grados.
Determinar los ángulos.
30. Demostrar los teoremas: 2.25; 2.29; 2.30; 2.37.
31. En la figura 2.67, y . Hallar el valor de los demás ángulos si
y una transversal
32. En la figura 2.68, demostrar que
33. En la figura 2.69, . Hallar:
34. En la figura 2.70, Hallar:
35. En la figura 2.71, Hallar:
36. En la figura 2.72, Hallar X y Y
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