1. DETERMINANTES Definição : Determinante é um número associado a uma matriz quadrada de ordem n x n. Matriz quadrada de ordem 1 Se A é uma matriz quadrada de ordem 1, isto é A = ( a 11 ), o seu determinante será o próprio elemento a 11 . det A = a 11 = a 11 Exemplo.: A = ( 120 ) det A = 120 B = (– 29 ) det A = – 29
2. Matriz quadrada de ordem 2 det A = = a 11 a 22 – a 12 a 21 Produto dos elementos da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. det A = = (–3) (–5) – (2) (1) det A = 15 – 2 = 13 det A = 13 A = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 A = – 3 2 1 –5 – 3 2 1 –5
3. Matriz quadrada de ordem 3 Regra de Sarrus : Repete-se as duas primeiras linhas abaixo da terceira linha ou repete-se as duas primeiras colunas após a terceira coluna. Em seguida, calcula-se a soma do produto da diagonal principal com o produto das diagonais paralelas a ela (SDP). Faz-se o mesmo com a diagonal secundária e suas paralelas (SDS). Em seguida, faz-se a diferença desses valores obtidos com as diagonais. (det A = SDP – SDS)
4. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 det A = SDP – SDI a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 ou SDP = ( a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 ) SDS = ( a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 33 a 12 a 21 )
5. Propriedades dos determinantes 1. Um determinante será nulo quando possuir uma fila formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou proporcionais det A = = (0) (5) – (0) (3) 0 – 0 = = 0 det A = – det A = 0 0 0 3 5 1 3 5 3 0 –5 1 3 5 det A = ( 0 + 45 – 15 ) ( 0 + 45 – 15 )
6. 2. Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas, o determinante mudará o sinal. det A = – det A = –28 det A = – = – det A = 28 – 1 3 5 3 0 –5 2 1 2 det A = ( 0 + 15 – 30 ) ( 0 – 5 + 18 ) (– 15 ) ( 13 ) 2 1 2 3 0 –5 1 3 5 det A = ( 0 + 18 – 5 ) ( 0 – 30 + 15 ) ( 13 ) ( –15 )
7. 3. Se multiplicarmos umas das filas de uma matriz quadrada por um número k , o seu determinante ficará multiplicado por k . det A = = (10) – (12) = –2 det B = = (30) – (36) = –6 k = 3 det B = k det A det B = 3 (–2) = –6 2 4 3 5 6 12 3 5
8. 4. Da propriedade 3, decorre que: det ( k A n ) = k n det A n . 3 A 2 = det ( 3 A 2 ) = = (90) – (108) = –18 det ( 3 A 2 ) = 3 2 det A 2 = 9 (–2) = –18 k = 3 A 2 = 2 4 3 5 6 12 9 15 6 12 9 15
9. 5. det A = det A T . det A = – det A = –28 det A = – det A T = – det A T = –28 det A T = – 1 3 5 3 0 –5 2 1 2 det A = ( 0 + 15 – 30 ) ( 0 – 5 + 18 ) (– 15 ) ( 13 ) 1 3 2 3 0 1 5 –5 2 det A T = ( 0 – 30 + 15 ) ( 0 – 5 + 18 ) (– 15 ) ( 13 )
10. 6. det ( A n B n ) = det A det B B 2 = ; = det ( A n B n ) = 400 – 392 = 8 det A det B = (–2) (–4) = 8 A 2 = 2 4 3 5 3 10 1 2 A 2 B 2 = 2 4 3 5 3 10 1 2 10 28 14 40
11. 7. det I n = 1 det I 3 = 1 8. O determinante de matrizes triangulares e de matrizes diagonais se resume ao produto dos elementos da diagonal principal. det A = 5 (–2) 3 = –30 1 0 0 0 1 0 0 0 1 det I 3 = 5 3 2 0 –2 1 0 0 3 det A =
12. Matriz inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Essa matriz possuirá inversa (A –1 ) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. A –1 A = A A –1 = I det A 0. 3. Se A possuir inversa, essa será única. 1. Se A 2x2 = a b c d , então : A –1 = d –b – c a det A det A det A det A 2. det A –1 = 1 det A , det A 0
13.
14.
15. 03. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s) . (01) Se K = (k ij ) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada por k ij = 2 2i + j para i < j e k ij = i 2 + 1 para i > j, então k é uma matriz inversível. k 11 = 1 2 + 1 = 2 k 12 = 2 2(1) + 2 = 2 4 = 16 k 21 = 2 2 + 1 = 5 k 22 = 2 2 + 1 = 5 Det K = 10 – 80 = –70 0 é inversível (01) - correta K = k 11 k 12 k 21 k 22 K = 2 16 5 5
16. (02) Se A e B são matrizes tais que A B é uma matriz nula, então A é uma matriz nula ou B é uma matriz nula. A B = 0 não implica em A = 0 ou B = 0. (02) - incorreta (04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente de tipos 5x7 e 7x5. Se R = MP, então a matriz R 2 tem 625 elementos. M 5x7 P 7x5 = R 5x5 (A matriz R possui 25 elementos) Logo, a matriz R 2 tem 25 elementos. c.e.p Ordem n (04) - incorreta
17. (08) Chamamos de “traço de L” e anotamos Tr(L) a soma do elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então Tr(L) = Tr(L T ). A transposta de uma matriz não altera sua diagonal principal. (08) - correta GABARITO QUESTÃO 03 : 01 + 08 = 09
18. SISTEMAS LINEARES Equação Linear é uma equação de forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ... + a n x n = b Portanto, um sistema será linear quando for composto de equações lineares. linear não-linear 2x + 3y = 5 x – y = 2 2x 2 + 3y = 5 x – y = 2 2x + 3y – z = 5 x – y + z = 2 – 5x – 3y + 4z = 10 2xy + 3y = 5 x – y = 2
19. Observações: 1. Forma matricial Forma matricial completa 2. A matriz constituída apenas pelos coeficientes é denominanda matriz principal . 3x + 2y + z = 1 x – y + 3z = 2 5x + 2y + z = 7 3 2 1 1 –1 3 5 2 1 x y z 1 2 7 = . 3 2 1 1 1 –1 3 2 5 2 1 7
20. 3. Se o número de equações é igual ao número de variáveis e o determinante da matriz principal ( ) for diferente de zero,o sistema recebe o nome de normal . 4. Se todos os termos independentes são nulos (0), o sistem é chamado de homogêneo . 2x + 3y = 0 x – y = 0
21. Método de Cramer a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + ... + a nn x n = b n . . . a 11 a 12 a 13 ... a 1n a 21 a 22 a 23 ... a 2n . . . . . . a n1 a n2 a n3 ... a nn =
22. b 1 a 12 a 13 ... a 1n b 2 a 22 a 23 ... a 2n . . . . . . b n a n2 a n3 ... a nn x 1 = a 11 b 1 a 13 ... a 1n a 21 b 2 a 23 ... a 2n . . . . . . a n1 b n a n3 ... a nn x 2 = a 11 a 12 b 1 ... a 1n a 21 a 22 b 2 ... a 2n . . . . . . a n1 a n2 b n ... a nn x 3 = . . .
23. Se 0 temos: a 11 a 12 a 13 ... b 1 a 21 a 22 a 23 ... b 2 . . . . . . a n1 a n2 a n3 ... b n x n = . . . x 1 x 1 = x 2 x 2 = x 3 x 3 = x n x n = , , , ... ,
24. S = {(x, y)} S = {(2, 1)} Exemplo: = 3 2 1 -1 = – 3 – 2 = – 5 x = 8 2 1 -1 = – 8 – 2 = – 10 y = 3 8 1 1 = 3 – 8 = – 5 3x + 2y = 8 x – y = 1 x = x = – 10 – 5 = 2 y = y = – 5 – 5 = 1
25. DISCUSSÃO DE SISTEMAS Solução única 0 Infinitas soluções = x = y = z = 0 Infinitas soluções = 0 e x 0 ou y 0 ou z 0. Sistema linear Possível Impossível (sem solução) determinado indeterminado
26. Se o sistema linear for homogêneo: Possível e determinado ( 0 , S = {(0, 0, 0, ..., 0)} ) Solução trivial Possível e indeterminado ( = 0 ) (Além da trivial, admitirá soluções próprias)
27. 04. Três amigos sobem em uma balança de dois em dois. Antônio e Beatriz somam 30 kg e Beatriz e Caio, 28 kg. Sabe-se que Antônio e Caio pesam juntos 34 kg. Quanto pesa Beatriz? (–) 2B = 24 B = 12 Beatriz tem 12 kg. A + B = 30 B + C = 28 A + C = 34 A + B = 30 -A + B = –6 +
28.
29. (2) (3) Impossível para qualquer valor de m. x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = m 3x + 3y + 3z = 4 x + y + z = 1 x + y + z = 4 3 x + y + z = m 2 x + y + z = 1 x + y + z = 4 3 B
30. Acesse as nossas páginas e confira uma infinidade de simulados de Matemática e de outras matérias! www.vestibular1.com.br Vestibular1 – O Número 1 em vestibulares! A melhor ajuda ao vestibulando na Internet e em todo o Brasil. O Portal que mais aprova! Confira! Apoio total aos vestibulandos! Autor desta Aula: ANALBERTO SCHOT - professor BELL. Criciúma - SC
