Transporte en coordenadas esféricas

1. FENÓMENOS DE
TRANSPORTE
Análisis de la caída de agua en
una fuente esférica
Cabello Lara Víctor Daniel
Figueroa Salamanca María Carolina
Flores Guadarrama Israel
Serrano Villanueva Ivonne

2. Problema
Determinar las ecuaciones que
describen la caída de un fluido
(agua) sobre la superficie esférica
de una fuente ornamental.
Análisis
• Fluido newtoniano
• Estado estacionario
• Sin desplazamiento en r
• Sin desplazamiento en Ɵ

3. Ecuación de movimiento en coordenadas
esféricas
En función de los gradientes de velocidad para un fluido
newtoniano de  y  constantes:
Componente r
Componente 
rrr
rrr
r
r g
v
senr
v
r
v
r
v
r
v
r
p
r
vvv
rsen
vv
r
v
r
v
v
t
v









 





















 












2222
2
22
1
cot
222



 






 g
v
senrsenr
vv
r
v
r
p
rr
v
r
vvv
rsen
vv
r
v
r
v
v
t
v rr
r 


































22222
2
2
cos221cot

4. Donde nabla es




























 2
2
222
2
2
2 111


 senr
sen
senrr
r
rr
Componente 𝜙
Ecuación de movimiento en coordenadas
esféricas






















 
cot
r
vv
r
vvv
rsen
vv
r
v
r
v
v
t
v r
r


 





g
v
senr
v
senrsenr
v
v
p
rsen
r














 22222
2 cos221

5. Análisis de componente r
rrr
rrr
r
r g
v
senr
v
r
v
r
v
r
v
r
p
r
vvv
rsen
vv
r
v
r
v
v
t
v









 





















 












2222
2
22
1
cot
222
Debido a que no existe
movimiento del fluido en la
componente “r”, podemos
eliminar la misma así como
la velocidad en “r” y las
diferenciales de velocidad
en “r” para el resto de las
componentes.
z
y

6. Análisis de componente Ɵ



 






 g
v
senrsenr
vv
r
v
r
p
rr
v
r
vvv
rsen
vv
r
v
r
v
v
t
v rr
r 


































22222
2
2
cos221cot
Debido a que no existe
movimiento del fluido en la
componente “Ɵ”, podemos
eliminar la misma así como
la velocidad en “Ɵ” y las
diferenciales de velocidad
en “Ɵ” para el resto de las
componentes.
z
y

7. Análisis de componente 𝜙












 g
v
senr
v
senrsenr
v
v
p
rsenr
vv
r
vvv
rsen
vv
r
v
r
v
v
t
v rr
r 






































22222
2 cos221
cot
• No existe diferencia de
movimiento en 𝜙 con
respecto a Ɵ ni con
respecto a sí misma.
• No existe una diferencia
de presión con respecto
a 𝜙.
z
y

8. Condiciones Límite
• Debido a la fricción, en r=k la velocidad en ᶲ es igual a
cero.
• Por lo tanto, el punto con menor fricción es cuando r=R y
por ello se tiene la velocidad máxima en ᶲ en ese punto.
C.L.:
1.- 𝑉𝜙 𝑅 = 𝑉𝑚𝑎𝑥
2.-𝑉𝜙 𝐾 = 0

9. Componente 𝜙




























 2
2
222
2
2
2 111


 senr
sen
senrr
r
rr
0 = 𝜇 𝛻2
𝑣 𝜙 −
𝑣 𝜙
𝑟2 𝑆𝑒𝑛2 𝜃
+ ρ𝑔 𝜙
Desarrollo de nabla
Dado que nabla es la suma de derivadas parciales de velocidad en 𝜙 respecto
a las diferentes componentes, se obtiene:
0 = 𝜇
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝑟2 𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟
−
𝑣 𝜙
𝑟2 𝑆𝑒𝑛2 𝜃
+ ρ𝑔 𝜙

10. Resolviendo la ecuación
𝜕
𝜕𝑟
𝑟2
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟
=
𝑣 𝜙
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
−
𝜌𝑔 𝜙 𝑟2
𝜇
Integrando
𝑟2
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟
=
𝑣 𝜙 𝑟
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
−
𝑟3
𝜌𝑔 𝜙
3𝜇
+ 𝑐1
𝐶. 𝐿. 1 : 𝑅 𝑣 𝜙 = 𝑣 𝑀á𝑥 ⟹
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟
= 0
Reacomodando la ecuación anterior:
Resolviendo C1
∴ 𝑐1 =
𝑅3
𝜌𝑔 𝜙
3𝜇
−
𝑣 𝑀á𝑥 𝑅
𝑠𝑒𝑛2 𝜃

11. 𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟
=
𝜌𝑔 𝜙
3𝜇
𝑅3
𝑟2
− 𝑟 +
1
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑣 𝜙
𝑟
−
𝑣 𝑀á𝑥 𝑅
𝑟2
Integrando:
𝑣 𝜙 =
𝜌𝑔 𝜙
3𝜇
−
𝑅3
𝑟
−
𝑟2
2
+
1
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑣 𝑀á𝑥 𝑅
𝑟
+ 𝑣 𝜙 𝐿𝑛|𝑟| + 𝑐2
Sustituyendo C1 en la ecuación original y reacomodando:
𝐶. 𝐿. 2 : → 𝑣 𝜙 𝑘 = 0
Resolviendo la ecuación
Resolviendo C2 :
∴ 𝐶2 =
𝜌𝑔 𝜙
3𝜇
𝑅3
𝑘
+
𝑘2
2
−
𝑣 𝑀á𝑥 𝑅
𝑘𝑠𝑒𝑛2 𝜃

12. 𝑣 𝜙 =
1
𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 𝑙𝑛|𝑟|
𝑣 𝑀á𝑥 𝑅
1
𝑟
−
1
𝑘
+
𝜌𝑔 𝜙 𝑠𝑒𝑛2
𝜃
3𝜇
𝑅3
1
𝑘
−
1
𝑟
+
1
2
𝑘2
− 𝑟2
Sustituyendo C2 en la ecuación original y reacomodando:
Resolviendo la ecuación

13. Resumen de Ecuaciones
𝑣 𝜙 =
1
𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 𝑙𝑛|𝑟|
𝑣 𝑀á𝑥 𝑅
1
𝑟
−
1
𝑘
+
𝜌𝑔 𝜙 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
3𝜇
𝑅3
1
𝑘
−
1
𝑟
+
1
2
𝑘2
− 𝑟2
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟
=
𝜌𝑔 𝜙
3𝜇
𝑅3
𝑟2
− 𝑟 +
1
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑣 𝜙
𝑟
−
𝑣 𝑀á𝑥 𝑅
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
𝑟2
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟
=
𝑣 𝜙
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
−
𝜌𝑔 𝜙 𝑟2
𝜇

14. Gráfica
• Asignando valores arbitrarios a R, k y Ɵ y sustituyendo
los valores constantes, obtenemos la 𝑣 𝑀á𝑥:
• Especificaciones de la fuente
• 𝑅 = 0.31 𝑚
• 𝑘 = 0.3 𝑚
• Ɵ = 45°
• Especificaciones del fluido
• 𝜌 = 1000
𝑘𝑔
𝑚3
• 𝜇 = 8.91𝑥10−4 𝑘𝑔
𝑚𝑠
a 25°C
• Otras constantes
• 𝑔 = 9.81
𝑚
𝑠
𝑣 𝑀á𝑥 = 165.0728
𝑚
𝑠

15. Gráfica
• Para generar la gráfica se introdujo el siguiente código en
Matlab con los datos especificados:
clear all
close all
clc
d=1000; %densidad (kg/m3)
visc= 8.91E-4; %viscosidad (kg/ms)
g=9.81; %gravedad (m/s2)
R=0.31; %radio mayor (m)
k=0.3; %radio menor (m)
a=0.5; %sen2(teta(rad))
cte=d*g*a/(3*visc);
max=((cte)*((R^3)*((1/k)-(1/R))+(1/2)*((k^2)-(R^2))))/((a-log(R))-((1/R)-(1/k))*(R));
b=(max)*(R);
figure(01)
x=(0.3:0.001:0.31)';
for n=1:length(x)
I=x(n);
y=(1/(a-log(I)))*(b*((1/I)-(1/k))+(cte)*((R^3)*((1/k)-(1/I))+(1/2)*((k^2)-(I^2))));
V(n,1)=y;
end
plot(x,V);
xlabel('Valor de r');
ylabel('Velocidad en phi');

16. Gráfica