1) Las variables de estado representan el estado dinámico completo de un sistema en cualquier momento y deben ser independientes entre sí. 2) Se pueden definir ecuaciones de estado para sistemas lineales y no lineales, discretos o continuos. 3) Existen métodos para resolver ecuaciones de estado lineales como la matriz de transición de estado.

1. VARIABLES DE
ESTADO
Por: Isrrael Daboin –
25.189.870

2. VARIABLES DE ESTADO
Las variables de estado son el subconjunto más pequeño de variables
del sistema y pueden representar el estado dinámico completo en
cualquier momento. Las variables de estado deben ser
independientes entre sí.
Ogata Katsuhiko (1996) define: “El estado de un sistema dinámico es
el conjunto más pequeño de variables (llamadas variables de estado)
tales que el conocimiento de dichas variables en 𝑡 = 𝑡0 , junto con el
conocimiento de la entrada para 𝑡 ≥ 𝑡0 El concepto de estado de
ninguna manera esta limitado a sistemas físicos; también se aplica en
sistemas biológicos, sistemas económicos, sistemas sociales y otros”

3. CARACTERÍSTICAS DE LAS
VARIABLES DE ESTADO
Como lo menciona Ogata Katsuhiko “observe que las variables de
estado no necesitan ser cantidades físicamente medibles u
observables. Aquellas variables que no representan cantidades físicas
y aquellas que no se pueden medir ni observar, se pueden seleccionar
como variables de estado.
1. Las variables de estado pueden tener o no sentido físico.
2. Las variables de estado pueden ser o no medibles.
3. Para un mismo sistema dinámico las variables de estado no son
únicas; de hecho, se pueden definir infinitos conjuntos de variables
que sirvan como variables de estado.

4. TRANSFORMAR ECUACIONES
DIFERENCIALES EN ECUACIONES
DE ESTADO
Para convertir una función de transferencia en ecuaciones de estado,
primero convertimos la función de transferencia a una ecuación
diferencial por multiplicación cruzada y aplicación de la transformada
inversa de Laplace, suponiendo condiciones iniciales iguales a cero.
Una vez con la ecuación diferencial del sistema, procedemos a
diseñar la matriz en espacio de estados del sistema. Un ejemplo
ilustra este proceso.

5. Encuentre la representación del sistema en espacio- estado para el
sistema cuya función de transferencia que se muestra en la Figura (1):

6. Paso 1. Encuentra la ecuación diferencial asociada a la función de
transferencia:
La multiplicación cruzada genera lo siguiente:
La ecuación diferencial correspondiente se encuentra tomando la
transformada inversa de Laplace, suponiendo condiciones iniciales
cero:
Paso 2. Seleccionar las variables de estado. Al elegir las variables de
estado como derivadas sucesivas, obtenemos:

7. Utilizando esta notación, podemos reescribir la ecuación (1) como:
Paso 3. Diferenciando ambos lados de estas últimas ecuaciones,
debemos encontrar _x1 y _x2. Luego usamos la ecuación (2) para
encontrar x3. Procediendo de esta manera obtenemos las ecuaciones
de estado. Como la salida es c = x1, las ecuaciones de estado y la
ecuación de salida son:
Paso 4. Al expresar estas últimas ecuaciones en forma de matriz de
vectores, obtenemos la representación del sistema en espacio de
estados:

8. CONSTRUIR ECUACIONES DE
ESTADO CON MODELOS
MATEMÁTICOS
Como lo establece Ogata, Katsuhiko, En el análisis en el espacio de estado se
tratará con tres tipos de variables que están involucradas en el modelado de
sistemas dinámicos: las variables de entrada, las de salida y las de estado. La
representación en el espacio de estado para un sistema dado no es única,
con la excepción de que el número de variables de estado es el mismo para
cualquiera de las distintas representaciones en el espacio de estado del
mismo sistema. Variables de Estado las distintas representaciones en el
espacio de estado del mismo sistema.
Para sistemas (lineales o no lineales) de tiempo discreto variantes en el
tiempo, la ecuación de estado se puede escribir como:
𝑥 𝑘 + 1 = 𝑓[𝑥 𝑘 , 𝑢 𝑘 , 𝑘]
y la ecuación de salida como:
𝑦 𝑘 = 𝑔[𝑥 𝑘 , 𝑢 𝑘 , 𝑘]

9. Para los sistemas lineales de tiempo discreto variantes en el tiempo, la ecuación
de estado y la ecuación de salida se pueden simplificar a:
𝑥 𝑘 + 1 = 𝐺 𝑥 𝑥 𝑘 + 𝐻(𝑘)𝑢 𝑘
𝑦 𝑘 = 𝐶 𝑘 𝑥 𝑘 + 𝐷 𝑘 𝑢 𝑘
Donde:
𝑥 𝑘 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜
𝑦 𝑘 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑚 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝑢 𝑘 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑟 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝐺 𝑘 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛 𝑥 𝑛 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜
𝐻 𝑘 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛 𝑥 𝑟 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝐶 𝑘 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑚 𝑥 𝑛 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
𝐷 𝑘 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑚 𝑥 𝑟 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
La presencia de la variable k en los argumentos de las matrices G(k), H(k), C(k) y
D(k) implica que estas matrices varían con el tiempo. Si la variable k no aparece
en forma explícita en estas matrices, se supone que son invariables en el tiempo,
es decir, constantes. Esto es, si el sistema es invariante en el tiempo, entonces
las dos últimas ecuaciones se pueden simplificar a:
𝑥 𝑘 + 1 = 𝐺𝑥 𝑘 + 𝐻𝑢 𝑘
𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢(𝑘)

10. REPRESENTACIÓN DE LOS
SISTEMAS EN ECUACIONES DE
ESTADO
Según lo define Ogata, Katsuhiko (1996), para representar sistemas de
ecuaciones de estado, existen las: Formas canónicas para ecuaciones en el
espacio de estado en tiempo discreto.
Existen muchas técnicas para obtener representaciones en el espacio de
estado correspondientes a sistemas en tiempo discreto. Considere el sistema
en tiempo Variables de Estado correspondientes a sistemas en tiempo
discreto. Considere el sistema en tiempo discreto descrito por:
𝑦 𝑘 + 𝑎1 𝑦 𝑘 − 1 + 𝑎2 𝑦 𝑘 − 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑦 𝑘 − 𝑛 = 𝑏0 𝑢 𝑘 + 𝑏1 𝑢 𝑘 − 1 +
⋯ 𝑏 𝑛 𝑢 𝑘 − 𝑛
donde u(k) es la entrada e y(k) es la salida del sistema en el instante de
muestreo k. Observe que algunos de los coeficientes (i = 1 ,2 ,..., n) y ( j =
0, 1 ,2 ,..., n) pueden ser cero. La ecuación (5-5) se puede escribir en la
forma de la función de transferencia pulso como
𝑌 𝑧
𝑈 𝑧
=
𝑏0+𝑏1 𝑧−1+⋯+𝑏 𝑛 𝑧−𝑛
1+𝑎1 𝑧−1+ ⋯+𝑎 𝑛 𝑧−𝑛

11. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE ESTADO
Como lo indica Ogata, Katsuhiko (1996), entre los métodos para resolver los
sistemas de ecuaciones de estado, se pueden definir los siguientes:
Método de solución de ecuaciones de estado lineal en tiempo discreto e
invariante en el tiempo:
En general, las ecuaciones de tiempo discreto son más fáciles de resolver
que las ecuaciones diferenciales, porque las primeras pueden resolverse
simplemente mediante un procedimiento de recursividad. Éste es bastante
sencillo y conveniente para cálculos digitales.
Matriz de transición de estado.
Desde el punto de vista del modelo de estado, una vez que se ha obtenido
éste interesa conocer la información que proporciona, esto es, la posibilidad
de analizar el comportamiento dinámico del sistema a lo largo del tiempo.
Para ello se debe tener una expresión explícita de la solución o trayectoria
del sistema en su espacio de estado, esto es, del vector de estado. Esta
solución exige el cálculo de la ecuación de estado.