1. Matrices Simétricas y Anti simétrica.-
Se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada que tiene iguales los términos que guardan una
posición simétrica respecto de la diagonal principal. Lógicamente los elementos de dicha diagonal
pueden ser cualesquiera.
Se llama matriz anti simétrica a toda matriz cuadrada que tiene iguales y de distinto signo, los
términos que guardan una posición simétrica respecto de la diagonal principal.
Los elementos de dicha matriz son simétricos.-

2. Propiedades.-
Uno de los teoremas básicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de
dimensión finita, que dice que toda matriz simétrica cuyos elementos sean reales es
diagonalizable. En particular, es semejante a una matriz ortogonal.
A es también la matriz traspuesta de si misma: . Esta última igualdad es una definición
alternativa de matriz simétrica. Las matrices simétricas son un caso particular de las matrices
hermiticas.
Descomposición de una matriz en suma de una matriz simétrica mas una anti simétrica.
Toda matriz cuadrada A puede ser descompuesta en suma de una matriz simétrica A sim y una
anti simétrica A antisim. Esta descomposición es única.
Donde:
Ejemplo. Descomponer la siguiente matriz A
En suma de una matriz simétrica y una anti simétrica. Según las formulas anteriores, se podrá
escribir:

3. Matriz hermitiana.-
Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la
característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila
y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para
todos los índices i y j:
o, escrita con la traspuesta conjugada A*:

4. Por ejemplo,
es una matriz hermítica.
Propiedades.-
1. Sea , donde es hermitiana y y reales, entonces es simétrica
( )y antisimétrica ( ).
2. La inversa de una matriz hermitiana es también hermitiana.
3. En relación con la propiedad 3, los autovalores de estas matrices son reales.
4. En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.
5. La determinante de una matriz hermitiana es un número real.