Módulo de ejercicios básicos de Cálculo univariado.

1. M´odulo de Ejercicios
C´alculo Univariado
Jaime Florez
2016

2. II
M´odulo de Ejercicios
C´alculo Univariado
Ingenier´ıa Agroindustrial
Universidad Del Tolima
Vida=
muerte
nacimiento
felicidad
tiempo
d tiempo
Jaime A. Fl´orez S.
Primera Versi´on
Ibagu´e - 2016

3. Introducci´on
El presente m´odulo taller pretende ser una herramienta de apoyo en el
desarrollo del curso C´alculo Univariado del programa ingenier´ıa agroindus-
trial de la Universidad Del Tolima, por ende se encuentra organizado de
manera que el educando identifique el conjunto de ejercicios a realizar tras
finalizar cada una de las 12 clases que compone el total del curso.
La tem´atica del curso y los ejercicios seleccionados responden a lo que
en la experiencia de su servidor es m´as relevante para la formaci´on del in-
geniero agroindustrial en contraste con las limitaciones del medio y de la
intensidad horaria.
As´ı pues, esta primera versi´on de m´odulo de talleres se encuentra di-
vidido en tres Cap´ıtulos (uno por cada parcial) y cada uno en 4 secciones
(una por cada clase presencial).
Los ejercicios del primer cap´ıtulo tienen por objetivo principal que el
estudiante pueda identificar y redefinir (si es posible) las continuidades de
una funci´on con indeterminaci´on y/o a trozos, proceso mediante el cual el
futuro ingeniero deber´a afianzar las habilidades algebraicas y trigonom´etri-
cas que necesita.
III

4. IV
En el segundo cap´ıtulo los ejercicios planteados pretenden generar en el
educando las habilidades necesarias para determinar la derivada de cual-
quier funci´on continua, culminando con ejercicios sencillos de optimizaci´on.
Finalmente, el tercer cap´ıtulo pretende a generar las habilidades b´asicas
de integraci´on. En aras de conseguir este prop´osito, cada secci´on se enfoca
en una t´ecnica de integraci´on. Desgraciadamente, el tiempo no es suficiente
para estudiar las fracciones parciales, por lo que el cap´ıtulo culmina con
una secci´on de bonus dirigida a las mentes inquietas que se interesen por
esta t´ecnica.
Considero adem´as, que este material puede ser de utilidad para otros
actores, por lo que en mi calidad de acad´emico y como defensor del copy
left, autorizo su reproducci´on y divulgaci´on por medio digital y f´ısico. Si
es de su inter´es, puede solicitar una copia a la direcci´on electr´onica jaflo-
rezs@ut.edu.co
Fraternalmente,
Jaime A. Fl´orez S.

5. ´Indice general
V

7. Cap´ıtulo 1
L´ımites
1.1. Clase 1: Acuerdo pedag´ogico
1.1.1 Repasar los casos de factorizaci´on.
1.1.2 Repasar las identidades trigonom´etricas.
1.1.3 Repasar lo concerniente a la ecuaci´on de la recta.
1.2. Clase 2: Funciones a trozos y l´ımites laterales
1.2.1 Gr´afica las siguientes funciones y halla los valores solicitados. Jus-
tifica detalladamente tus respuestas.
a. f(1) y l´ım
x→1
f(x) para f(x) =



2 si x < 1
−1 si x = 1
−3 si 1 < x
1

8. 2 CAP´ITULO 1. L´IMITES
b. f(−4) y l´ım
t→−4
f(t) para f(t) =



t + 4 si t ≤ −4
4 − t si −4 < t
c. g(2) y l´ım
x→2
g(x) para g(x) =



x2 si x ≤ 2
8 − 2x si 2 < x
d. h(1) y l´ım
r→1
h(r) para h(r) =



2r + 3 si r < 1
2 si r = 1
7 − 2r si r > 1
e. f(−2) y l´ım
t→−2
f(t) para f(t) =



3 + t2 si t < −2
0 si t = −2
11 − t2 si −2 < t
f. g(0) y l´ım
x→0
g(x) para g(x) =



−2 si x < 0
2 si 0 ≤ x
1.2.2 Indica si la afirmaci´on es verdadera o falsa, justifica detallada-
mente tu respuesta.
a. Para la funci´on g(x) = x2−1
x−1 g(1) no existe pero l´ım
x→1
g(x) si.
b. Para la funci´on g(x) =
√
x+9−3
x g(0) no existe pero l´ım
x→0
g(x) si.
c. Para la funci´on g(x) = x2 − 1 g(1) no existe pero l´ım
x→1
g(x) si.
d. f(2) = l´ım
x→2
f(x) para la funci´on f(x) =



2x − 1 si x = 2
1 si x = 2

9. 1.3. CLASE 3: L´IMITES INDETERMINADOS 3
1.3. Clase 3: L´ımites indeterminados
1.3.1 Halla los siguientes l´ımites (si existen)
a. l´ım
x→7
x2−49
x−7 b. l´ım
t→5
t2−25
5−t c. l´ım
x→1/3
3x−1
9x2−1
d. l´ım
s→4
3s2−8s−16
2s2−9s+4
e. l´ım
y→−2
y3+8
y+2 f. l´ım
x→4
3x2−17x+20
4x2−25x+36
g. l´ım
x→−3
t3−27
t−3 h. l´ım
x→−3
x2−9
2x2+7x+3
i. l´ım
x→81
√
81−9
9−x
j. l´ım
x→−1
√
x+5−2
x+1 k. l´ım
x→1
3√
x−1
x−1 l. l´ım
h→0
√
h+2−
√
2
h
m. l´ım
x→64
3√
64−4
x−4 n. l´ım
x→−5
3√
−125+5
5+x o. l´ım
x→3
(x−1)5
x5−1
p. l´ım
x→0
1
x+5
−1
5
x q. l´ım
x→1
x2
x−1 − 1
x−1 r. l´ım
x→4
2−
√
x
3−
√
2x+1
1.3.2 Halla los siguientes l´ımites (si existen)
a. l´ım
θ→0
θ2
sin θ b. l´ım
θ→0
sin2 θ
θ2 c. l´ım
θ→0
1−cos θ
θ2 d. l´ım
θ→0
tan θ
θ
e. l´ım
x→0
2x
sin x−x f. l´ım
θ→0
sin(2θ2)
θ2 g. l´ım
x→0
sin(2x)
x cos(3x) h. l´ım
x→0
sin x√
x
i. l´ım
x→0
1−cos(2x)
x j. l´ım
x→0
1
x sin x
3 k. l´ım
x→0
(sin(3x))2
x2 cos(x)
l. l´ım
x→0
1−cos(x)
sin x
m. l´ım
x→0
tan(2x)
tan(3x) n. l´ım
x→0
x sec x csc x o. l´ım
x→0
1−cos(2x)
x sin(x) p. l´ım
x→0
x cot(3x)
q. l´ım
x→0
x−tan x
sin x r. l´ım
x→0
1
x2 sin2 x
2 s. l´ım
x→0
sec x−1
x sec x t. l´ım
x→0
x2 csc(2x) cot(2x)
1.4. Clase 4: Continuidad
1.4.1 En cada una de las figuras 1 a 7 se representa una funci´on a
trozos. Indica a partir de la gr´afica en que puntos es discontinua la funci´on
y si dicha discontinuidad es removible o escencial. Justifica detalladamente
tus procesos y respuestas.
1.4.2 Define las funciones f(x), g(x) y h(x) representadas en las figuras
1 a 3 como una funci´on a trozos

10. 4 CAP´ITULO 1. L´IMITES
Figura 1.1: f(x)
Figura 1.2: g(x)

11. 1.4. CLASE 4: CONTINUIDAD 5
Figura 1.3: h(x)
Figura 1.4: r(x)

12. 6 CAP´ITULO 1. L´IMITES
Figura 1.5: s(x)
Figura 1.6: u(x)

13. 1.4. CLASE 4: CONTINUIDAD 7
Figura 1.7: v(x)
1.4.3 Determina si la funci´on es continua o no. En caso de ser discon-
tinua, indica si la discontinuidad es escencial o removible, si es removible
redefine la funci´on de modo que sea continua. Justifica detalladamente tus
procesos y respuestas.
a. f(x) = x2+x−6
x+3 b. f(x) = x2−3x−4
x−4 c. g(t) = t3−27
t−3
c. h(x) = x2−49
x−7 d. f(t) = t2−25
5−t e. g(x) = 3x−1
9x2−1
f. f(t) = 3t2−8t−16
2t2−9t+4
g. h(y) = y3+8
y+2 h. f(x) = 3x2−17x+20
4x2−25x+36
i. f(x) = x−9√
x−3
j. f(x) = x−5√
x−1−2
k. g(x) =
3√
x−2
x−8
l. h(x) =
3√
x+1−1
x m.
3√
64−4
x−4 n.
3√
−125+5
5+x
1.4.4 Determina cualeas de las funciones del numeral ?? son continuas.
En el caso de las discontinua, indica si la discontinuidad es escencial o
removible, si es removible redefine la funci´on de modo que sea continua.
Justifica detalladamente tus procesos y respuestas.

15. Cap´ıtulo 2
Derivadas
2.1. Clase 1: Derivada por l´ımites y teoremas de
diferenciaci´on
2.1.1 Halla la derivada de cada funci´on con respecto a x, utilizando la
definici´on
a. f(x) = π + 3x − 7x2 b. g(x) = 1
x−4 c. h(x) =
√
x
d. g(x) = x8 e. h(x) = 3x2 − 2x6 f. f(x) =
√
5x − 2
g. g(x) = 3
√
x h. f(x) = 1
πx i. h(x) = 3
3√
x
j. y = 2x4 − 3x3 k. y =
3
5x −
√
2 l. f(x) = 1
x+2
2.1.2 Halla la derivada de las siguientes funciones algebraicas utilizando
las reglas de diferenciaci´on
9

16. 10 CAP´ITULO 2. DERIVADAS
a. y = 15x2 − 6x + 12 b. f(t) = (2t2 − 4t + 7)(5t − 4t5 + 1)
c. g(x) = 2t−π
t3−t2+t
d.h(x) = π
x5 + 1
x2 + 1
x
e. p(x) = 9
x5+x2+x
f. s(x) = x5+x2+x
9
g. f(t) = 4
3
√
t2 − 6
√
x6 h. m(x) = (x2−1)(
√
x3−1)
5
7√
x5
i. n(x) = 6 1+3x3
1−πx4 j. j(x) = (3x2 − 2x + 1)(2x − 1)(
√
x − 1)
k. f(x) = 1 + 1 +
√
1 + x l. y = 5 (3x2−1)(2x−1)2
(3x3+1)4
m. y = 3 16x4 + 5
x3 + 1√
x
n. y = 3 (3x−1)(2x−1)4x
(3x3+1)2
o. f(x) =
3
5t
−1
2
t2 +7
p. y =
3
√
(3x−1)(2x−1)4x
(3x3+1)2
2.2. Clase 2: Regla de la cadena y Derivada de las
funciones trigonom´etricas
2.2.1 Halla la derivada de las siguientes funciones trigonom´etricas uti-
lizando las reglas de diferenciaci´on
a. y = 4 sin θ − π
3 cos θ b.f(x) = 6
3x7 + 2 tan x
c. f(x) = 4 sec2(x) d.h(t) = sec(t)2
e. y = 5 csc3(πx4 − 2x5)2 f.y =
√
tan θ + tan
√
θ
g. g(x) = 6 cot(5x3+2)
3 tan(3x4−10
h.y = sin(cos(x2+4))
2
i. f(x) = cos3(x)
cot(x3)
j.y = 3
csc(sec3(t))
k. g(t) = sin3
(πt2 + 2t − 4) cos(
√
3t + 2) l.h(x) =
tan(6x3+2) sec2( 6
x
)
√
csc(2x)
2.3. Clase 3: Derivada impl´ıcita, exponencial y lo-
gar´ıtmica
2.3.1 Halla la derivada de las siguientes funciones impl´ıcitas

17. 2.4. CLASE 4: M ´AXIMOS Y M´INIMOS DE FUNCIONES UNIVARIADAS11
a. x2 + y2 = 4 b. (x − y2)(x + xy) = 4 c.
3
√
x2 − 3
y2 − 2y = 2
d. (x + y)3 = x3 + y3 e. x−y
x−2y = 5 f. cos(πy) − 3 sin(πx) = 1
g. sin(x) = x(1 + cot y) h. sin(x + y) = y2 cos x i. x
√
1 + y + y
√
1 + 2x = 2x
j. x
x−y = x2 + y k.
√
x + y +
√
xy = 8 l. xy = cot(xy)
2.3.2 Halla la derivada de las siguientes funciones logar´ıtmicas y expo-
nenciales
a. g(x) = log3 x2 b. y = (log5 x)4 c. y = ln(x +
√
x2 − 1)
d. f(x) = 23x e. y = 4
3√
x f. y = (e−t + et)3
g. y = log10
x
x2−1
h. h(t) = log4 tan t
t2 i. y = ln(ln x3)
j. f(x) = π
5
x2 k. y = ln(π+2x3
csc5(3+4x)2 l. g(t) = ecot2 x
m. f(x) = ln x2−1
2−5x n. y = ln cos 4+x2
x o. f(t) = ln(sin(πt − 1))
2.3.3 Halla la derivada de las siguientes funciones
a. y = arcsin 2x3 b. f(x) = arccot(2
x) c. g(t) = arc cos t−1
t+1
d. y = ln x(arcsec x3)4 e. h(x) =
√
arctan x
e−5x f. y = 2arcsin(πx2) − e3
g. f(x) = 52x3−3 arccsc(2 − x5) h. f(x) = 7arc cos
√
3−7x
log3 9x i. y =
√
1 − 5x arc cos(5x)
2.4. Clase 4: M´aximos y m´ınimos de funciones
univariadas
2.4.1 Traza la gr´afica de las siguiente funciones hallando puntos cr´ıticos,
m´aximos y m´ınimos, donde crece y/o decrece la funci´on, puntos de inflexi´on
y concavidad

18. 12 CAP´ITULO 2. DERIVADAS
a. y = x3 − 6x2 − 9x − 54 b. f(x) = x3 + x − 1
c. g(t) = t3 + 3t2 − 9 d. y = 2x3 − 6x + 4
e. h(x) = x2 − 4x − 1 f. f(x) = 2x3 − 2x2 − 16x − 1
g. y = 3x4 + 2x3 h. g(x) = x3 − 3x2 + 3
i. l(x) = x4 − 4x3 j. y = x3 + 3x2
k. s(t) = t3 − 6t2 + 9t − 3 l. y = x3 − 3x2 − 9x + 10
m. y = x3 − 2x2 + x − 1 n. r(t) = t3 − 3t + 2

19. Cap´ıtulo 3
Integrales
3.1. Clase 1: Integral como antiderivada y cambio
de variable
3.1.1 Halla la integral de cada funci´on, haciendo la sustituci´on adecua-
da. Verifica tu respuesta mediante diferenciaci´on.
a.
√
1 − 6ydy b. 5
√
3x − 4dx c. x 4
√
x2 − 5dx
d. x3(x4 − 1)dx e. t4
(1−2t5)6 dt f. cos(4θ)dθ
g. 1
2t sin(3t2)dt h. sec2(6x)dx i. x2 sec( 2x3)dx
j. sin x(5 + cos x)4dx k. cos3 x sin xdx l. t3et4
dt
3.2. Clase 2: Integraci´on por partes
3.2.1 Halla la integral de cada funci´on, aplicando la t´ecnica de integra-
ci´on por partes. Verifica tu respuesta mediante diferenciaci´on.
13

20. 14 CAP´ITULO 3. INTEGRALES
a. x cos xdx b. z sec2(3z)dz c. arc cos(2x)dx
d. x sec x tan xdx e. t2e−3tdt f. x3xdx
g. ln tdt h. x2 sec2(6x)dx i. ex cos(x)dx
j. x5exdx k. x3
√
1−x2
dx l. (ln t)2
t dt
3.3. Clase 3: integral de funciones trigonom´etri-
cas
3.3.1 Halla la integral de cada funci´on trigonom´etrica.
a. sin3
x cos xdx b. cos2(3z)dz c. sin3
(2x)dx
d. cos5 xdx e. sin2
t cos3 tdt f. ex tan2(ex)dx
g. cot3 tdt h. tan4 xdx i. csc3 xdx
j. sec4 xdx k. sec3 z
tan4 z
dz l. sin3
t cos3 tdt
3.4. Clase 4: Sustituci´on trigonom´etrica y teore-
ma fundamental del c´alculo
3.4.1 Halla la integral de cada funci´on, aplicando la t´ecnica de integra-
ci´on por sustituci´on trigonom´etrica. Verifica tu respuesta mediante diferen-
ciaci´on.
a. dx
x2
√
4−x2
b.
√
4−z2
z2 dz c. dx
x
√
4+x2
d. x2
√
6+x2
dx e. x
x
√
x2−16
dx f. dx
(3+x2)3/2 dx
g. dx
(5x2−9)3/2 dx h. x3
√
x2 − 9dx i. x3
√
x2+9
dx
j. x3
√
x2−9
dx k. z5
√
z2+2
dz l. dt
t2
√
16t2−9
3.4.2 Aplica el Teorema Fundamental del C´alculo para hallar el ´area
sombreada de las siguientes figuras

21. 3.5. BONUS: FRACCIONES PARCIALES 15
3.5. Bonus: Fracciones parciales
Halla la integral de cada funci´on, aplicando la t´ecnia de integraci´on por
fracciones parciales. Verifica tu respuesta mediante diferenciaci´on.
a. x
x−6dx b. z2
z+4dz c. t−9
t2+3t−10
dt
d. dx
x2+3x−4
dx e.
3
2
dx
x2−1
dx f.
1
0
x−1
x2+3x+2
dx
g. ax
x2−bx
dx h.
1
0
2x+3
x2+4x+4
dx i.
1
0
x3−4x−10
x2−6x−6
dx
j. x2+2x−1
x3−x
dx k. dz
z3+9z2+15z−25
dz l. t2
t3+3t2+3t+1
dt

22. 16 CAP´ITULO 3. INTEGRALES

23. Bibliograf´ıa
[1] Stewart J., Calculus
[2] Leithold L., El C´alculo.
[3] Swokowski E., C´alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica.
[4] Edwards y Penney, C´alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica.
17