Clasificaciones, modalidades y tendencias de investigación educativa.
uibague
1. betsitazhs
Taller elc Cálculo r
Myriam Ceciiia Guerrero Pava
Nvckviret Flórcz Balreto
Maxinriliarto Maclr,¿clo Fligrter:a
Mario Roa F{urtado
Carlos Alfolrso lt{ontealeEirt: ( Irr ¡-i-i
Serie Cisnci¿s ¡!;rturale$ y Íviaternática; C7 - 161) . jc'r '
Fei¡i'ero de 2010
2. IJniversidad de Ibagué
Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas
Área de Matemáticas
Talleres de CáIculo r
Myriam Cecilia Guerrero Pava
Nyckyiret Flórez Barreto
Maximiliano Machado Higuera
Mario Roa Hurtado
Carlos Alfonso Montealegre García
Febrero 2o1o
Ibagué, Colombia
3. Contenido
?:=:=c:cn .'......'.6
Tdlcr r: Línites y conünuidad de funciones polinómicas y racionales
Ob'ietir-o
Conceptos básicos ...........:........ ...,.........'..7
F.iercicios propuestos. ..........7
Cibergrafia. ..........................11
Taller e: Derivada de funciones algebraicas
Objetivo ..........12
Conceptos básicos ..............12
Ejercicio resuelto (Cálculo de la derivada: concepto del límite).. .................... 12
Reglas de derivación................. .............13
Ejercicio resuelto (aplicación de reglas de derivación)................ ....................14
Ejercicios propuestos. ........14
Cibergrafia. ........,................ 16
Taller 3: Derivada de funciones compuestas
Objetivo .........77
Conceptos básicos .............. L7
Ejercicios resueltos ............17
Ejercicio propuestos .......... 18
Cibergrafia. ........................2o
Taller 4: Derivadas de orden superiory derivación implícita
Objetivos ........21
Conceptos básicos
Ejercicios resueltos "..'.......22
Ejercicios propuestos. ........23
.........................25
4. laller 5: l)envadas de funcrones trascendentes
Objetivos.... ....'...'.'...."........26
Conceptos básicos ..............26
F.i ercicios nronr r estos.
a;h-.-.^fí. aaLrul¡arqrra. ......"'.......'......'.JJ
5. Taller 6: Aplicaciones de la derivada teorema de Rolle y del valor medio. AnáIisis
de curvas
Objetivos '....."34
Conceptos básicps(Teorema de Rolle y Teorema del valor medio) ...'....""""'34
Ejercicios resuelto (Teorema de Rolle).... .'.......'.'.'...35
Ejercicio resuelto (Teorema del valor medio) ......'...36
Análisis de curvas ..'....."""36
' Criterio de la primera derivada..
Criterio de concavidad............... ......'..."37
Criterio de la segunda derivada... ..'.'.""37
Ejercicio resuelto "....""""'37
Concaüdad """"""""""""'4o
Ejercicio resuelto ....'.."""" 41
Ejercicios propuestos. .-.""'42
Cibergrafía. ...........'.""""""44
Taller 7: Aplicaciones de la derivada (opümización)
Objetivo """""45
Conceptos básicos..,.... """'45
Ejercicio resuelto '.'....."""'45
Ejercicios propuestos. """"46
Cibergrafia ""'.'.""""""""'52
Bibliografía básica......... :...........'.....'. ..."""'53
6. I¡.riarn Cecilia Guerrero Pava. Matemática de la IJniversidad Nacional de Colombia.
I:;.:-is:a en latemáticas Avanzadas de la Universidad Nacional. Docente de medio tiempo
=:- =- ":=¿ de ]Iatemáticas de la Facultad de Ciencias Naturales I' Matemáticas. Investigadora
.:. :- ;;¡':':PEC-EX'
1-clqiret Flórez Barreto. Licenciada en Matemáticas y Física de la Universidad del
T:,-:na. Especialista en Docencia Universitaria de la Universidad Central de la Habana-
Corporación Universitaria de Ibagué Coruniversitaria. Especialista en Matemáticas Avanzadas
de la Universidad Central de las Villas-Corporación Universitaria de Ibagué Coruniversitaria.
Candidata al título de Magister en Educación-línea didáctica de la Matemática, en la
Lniversidad del Tolima. Docente de tiempo completo en el área de Matemáticas.
Coordinadora del área de Matemáticas y del grupo de investigación pecxnx.
Maximiliano Machado Higuera. Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad
del Tolima. Especialista en Estadística de la Universidad del Tolima. Candidato al título de
Magister en Ingeniería de Control Industrial en la Universidad de lbagué. Actualmente, es
docente de tiempo completo en el área de Matemáticas en la Facultad de Ciencias Naturales y
Matemáticas de la Universidad de Ibagué e investigador del grupo PRoros.
Mario Roa Hurtado. Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad Pedagógica v
Tecnológica de Colombia. Especialista en Computación para la Docencia de la Universidad
Antonio Nariño. Catedrático en el área de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Naturales y
Matemáticas.
Carlos Alfonso Montealegre García. Licenciado en Matemáticas y Física. Administrador
Financiero. Especialista en Automatización Industrial de la Udiversidad de Ibagué. Decano de
la Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas.
7. Taller r: Límites v continuidad de funciones
polinómidas y racionales
Objeür'o
.-':-':r:: conocimientos y habiiidades para oalcular límites de funciones polinómicas
. :¿¡:,:nales lo mismo que para aplicar las propiedades de los límites en el cálculo.
Conceptos básicos
E- l:nite de una función /(x), cuando x se aproxima (o tiende) a un valor a, si
eriste. es un número real I. Se denota
!¿f
(x) = r
iCómo calcular límites?
a. Construyendo una tabla de vaiores.
b. Por sustitución directa.
c. Mediante factorización.
d. Mediante racionalización (usando productos notabies).
Función /(x) es continua en un punto a , si cumple las condiciones siguientes:
a. f (x) está definida para x = a, esto es /(a) exista. En otras palabras que x =
pertenezca al dominio de la función.
b. lim"-o /(x) Exista.
c. lim,-o f Q): f (a)
Nota: Cuando falla al menos una de las condiciones antes mencionadas,
función no es continua en ese punto; por tanto, se dice que es discontinua en x =a.
Ejercicios propuestos
Límit es de funciones p olinó¡nicas g raciono,les.
r. Determine el límite (si existe) elaborando una tabla de valores para f (x). (Tabla t)
la
8. Tabia r. Tabla de valores para /(x)'
z. Determine el límite (si existe) por sustitución directa.
Tabla z. Límite por sustitución directa
3. Determine el límite (si existe) por factorización:
i.rlimr-23 xz r.z limr-g(2x - 3) L.S limx-2+
-4 -t
u2 +L
1.{ lllTl"+1-;t_;
1.5
!8xz -33x+14
-- z--;7;;1;Iim
1A !.
-.
-
1.O llm 8 --:--
x¿l 3x-__,
40x¿ +73x+30
4.7 trmr_ 2-ffi^8
^2
1.8 lim,-r---x'-x-
r.9 lim,-3ff
2.L
l,ry¡{z*'-4x+I)
/2.2
lir4(2x + 5)
x-5
2.3
. x--
Iim----.--+-2 Y -l
'i.6 ')^¿+x' - ó:
lim;--; ^-. -L L¿X' - -:
"-7
2.9 2
lim
v+2 l
E,+
xa -sxz +4
lim----;----r-0 X'-I
/z.s
3x f'4lim
-
i'!ázxz - z
2.7
73x * 30
ttttt=--;--------
x-08X'-JX-J
2.8
5X'-X
lim --;---a-x-I X'-4
Tabla 3. Límite Por factorización
3.1
Iim
x+-Z
2x3-x2-7x+6
+B
E'2
' 3x3 -7xz -1Bx-Blim-x+4 76-xz
3.3
6x3 - r9x2 +'^
lim -----------=-- .
xu-Z X'- I
3.4
x+-sx'+4
lim-------;- .va-l
I-L A L
3.5
rxz -33x*14
3x2 +x-2'3
'3.6
24x2 - 53x
-=-----;-
3X'- ¿X -
lirrlo
J
3.7
,. 40x2+73x+30
25 llmr,_:Tt:¡;=^8
'3.8
3x2-x-2
ttttt ---T-----ii-
v+1 yL
- X '
lim-;-x+3 9-I-
3.9
9. .1()
lim
x)-1
3.11 3.12
x*3- x*7
1
' x----,
lim ------,9--;
x-¡0 L
v+ | --
1
y--
^a !L
lim ^
- .1 /
x+ L--
1F
x"-5x+o
--¡-4
4. Determine el límite (si existe):
Tabla ¿. Determinación de la existencia o no de límite.
Conünuidad. puntuo/ g en
ro.cionales.
5. Deterr,rine si la función f (x) :
un inter-ualo de funciones polinórnicas g
6. Dete.rmine si la función f (x) =
T. Determine si la función f (x I =
5 x2 + B es continua Para x = 1.
5x3 -5x * lescontinuaparax:2.
r=----------:-=;--=
J U - f)z + 5 es continua par& X =1.
3 l3xz -9x-6
z[.1 lrmr-1 /- x+1
4.zlimr-effi ,. Í+I
4.3ffm'--1.;+1
.177d-'t
4.4 lim,--nf.., JVTT-,tTx
t4.S trmx-r--ff /4'.,6limr--^#
vL1
:4.7 lrmr-{ffi -E=;_-t;
4.8- lim,-t ffi 4.s tim.4ffi
qvJ-?Y+8
4.1o lirn,.- -"^ :-^r'
- r-3x"
.. 6x2-JTx+T+e
4.11 llmr-a --í;lr,
i-
,. nxt+7-3x'
4.L2 trmx+@-;l:;
4.13 lim,r* *(x-2 4v-41-t
4.14limx-*ffi 4.L5
^')
lllrla-o l.C,r+1/
<-¿.4JR
4.16lrm, --;;i;
,F:l-,
.'t to lim l-- tv ¡ -r
4.r8lim"- -ffi
^ 4,-
4.19 lll111 -.a. :t--;;--
" rt'^-5
', ,lll_x-xa
4.2o ltmx-*;l+yx-r,
. ??x2 -26x3
4.2$ lirn,-*ffi
aX t a-X
A ,A ltrl].
-F ¡v ¡-v
L^-¿ -
10. 8. En los siguientes ejercicios, determine si la función es continua en el p
indicado. Si no lo es, identifique el tipo de discontinuidad y de ser posible, redefi
función:
q
, 8.t f (x) = *es continua Para x : 7.
;.
,'8.2 f (x) = #. es conünua Para I - - 1.
t
S.S /(x) = -*-fs continua P&ra x = 0.
S.+ f (x) =ft"rcontinua Parax - - 1.
1t
8.S /(x) =;,#s continua Para r = 1'
5.6 f (x) =7 es continua Pára x = 1'
. g.. Determine si la función f(x) es continua y esboce su gráfica:
(x*2, six(3
flx)=l*r-4, six>3
(io),Determine si la función f(x) es continua y esboce su gráfica:
e+7, six14
f(x)=1,6, síx=4
t3x-6, síx)4
rr. Determine si la función f(x) e1 continua y esboce su gráfica:
(!-x, six(1'I
f(x)=17, sÍx:1
x2-1, sí,x>L
rz. Determine si la función f(x) es continua y esboce su gráfica:
¡-7, sixl-I
fQ)=lx3 si-1<x<7
t 1. sÍx)1
13. Determine si la función f(x) es continua y esboce su gráfica:
¡1, six < -2
lr
f(x)={;x,sÍ-2<x14lL
lt, síx>-4
r¡
11. 14. Caleule, si existen, las asíntotas de las siguientes funciones:
t+.t f(x)=fu "I':t"'''''.1 _arz *__ n
, xz-2x+4.
14.2 Ix):T 11 .¡¡t tt.-/
t4.S f @)=g ,.i,,ri I ', i)
1x
r4.4 Ix) =r-r_s+ fr
Cibergrafia
http : / /docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas en movimiento Aimitpslim def.html
http:/ /www.fisicanet.com.ar/matematica/mq limites.ohp
http: //es.wikipedia.org/wiki /Conünuidad lmatpm%Cq%Artica)
http: //thales:cica.es/rd/Recursos/rdoZ/UnidadesDidacticas/qg-r-u-continuidad.html
http://www.dspartamento.us.es/dmateuita/Docer-rcia/TMRP/Qontinuidad.htm
httlr://descartes.cnice.mec.es/materiales didacticos/Limites de funciones/intuitivo.htm
-
G >(t'1 X< 2-
{ I
Sqllo ó h^/€{o'
/¿z
f > z
X'' b /
,r,/
olo
12. Taller e: Derivada de funciones algebraicas
Objetivo
Utilizar las reglas de derivación para encontrar ia derivada de funciones algebraicas
Aplicar las propiedades de ia derivada a problemas geométricos.
Conceptos básicos
Si y - f(r) definida en
define:
un intervalo l entonces su derivada, denotada por,f'(x), s
?., . f(*+Ax)-f(r)
I rx) = ofgl AX
siempre que el límite exista en interior de.I.
Laderivada de/ : también se simboiizapor: y' = # = t = d*y
Geométricamente, la derivada se interpreta como la pendiente de la rect
tangente a la gráfica de la función en el punto (x, f (x))
Ejercicio resuelto (CáIculo dela deriuo,do: concepto d.elbnite)
. f , rt
sea/(.rJ = ;tnauar:
r. l,a derivada de f para todo x > 0
z. La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (4,
|)
3. Graficar la función.
Desarrollo:
t. f'(x) = Iim4"-s'ETTr '/t
Lx
.lv-.1ryL A+
li-.¡¡r¡¡^y+tl
/x.",tx+ Ax
x-(x+ Ax)
G-ltrTA¡
- tih - rvx+Ar
-r
rr¡rrAy4ll
LX
.. -M
" 4*VxVx*Ax (Vr+Vn+Ax)
&-u
^x
",tT,,qln (..8+ .G+ ax;
-1 -1
Xl¿tX)
-1
=-T
¿x¿
ytr G r'E+ Jx I
13. Portanto f'(x) =;i n"""Ado¡ > 0
e. Como f'(x)=¡¡ (penüente de la recta tangente) -+ m= - f entonces le
ecuación de la recta tangente es:
y - := -* @-D -+ 16(y- :) = -x14 -+ x*t6v=72
3.
't.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
o.4
y=1/raiz(x)
i
I
I
0123456
X o.2 o.5 1 4 6 9
Y 2.2 L.4 2 o.5 o.4 o.3
14. . Kegla de la runclon roenuca: st / (fJ = f emonces I txJ = 1
o Regla de las potencias: si f(x) : xft,n e Q entonces f ' (x) = nxT-L
. Regladelasuma:sif(x) = u* udondeu: u(x)yv:u(x) entonces
' f'(x) = 1t'* v'
. Regla delproducto: si/(x) : Lr.1)entonces f'(x) = uu' + uu'
. Regla del cociente: si lentonces u'v-uv'
15. /-- ---
Ejercicio resuelto (apticoción de reglas cte deriuación)
r. En el siguiente ejemplo, se trata de recoger en una sola función el uso de las r
enunciadas
Sea /(x) : 4H.L, haitar/'(x)
Desarrollo
Como./ es una
cuando se deba
función racional, se aplica la regla para derivar un cociel
derivar el numerador, este se deriva como un producto.
Í("-2 jr + r).(¡a + B)l'(9x2 - 2) - (3x2 - 5¡ * r)(xa + B).(sxz * 2)'
(9x2 - 2)z
f'(r) =
[(3x2 - 5r + r).(x4 +B)'+ (3¡2 -5x + t)'(x4 +e)] (9x2 -2) - (:x2 - Sx+ t)(¡1 +g¡1
(9x2 - 2)2
[(3¡2 -5x+ 1).(¡4 +s)'(:x2 -5x+ t)'(x4 +g)] (gxz - z) - (¡xz - 5x+ 1)(xa +8)(18xl
(9x2 - 2)2
LGx2 - 5x + 1). (4x3) + (6x -S)-(xa ¡ B)l (exz - 2) - (3*2 -5x + 1)(xa + 8)(1Bx)
Realizando las operaciones y simplificando se obtiene:
f'(x =
f'(x):
L0Bx7 - 1.35x6 -18xs *50xa -Bx3 -360x2 -240x*80
Ejercicios propuestos
t. Encuentre la derivada de cada función, utilizando ia definición.
Tabla 5. Derivada de cada función, utilizando la definición.
r.2t(x) =
r. g?) = xz +
,!
r.r F(x) :2*Bx-5x
/-lh(x): f7i4
r.5 s(x) : "/x r.6r(x) :
16. z. Derive cada función, uülizando las reglas de derivación.
Tabla 6. Derivada de cada función, utilizando las reglas de derivación.
2.L f(x)= L1xz+9x-4 z.z g(x) = (?x' - 3x + 5)(ra - Zx * 9)
2.s h(t)=
'ffi
2.4 m(z)= |zs- zz37(722 + z-B)
2.5 n(x) = ;;fu 2.6 P(x)= t + 4 + 4
2.7 l(w) = Gw¿1w+8)
te' /(r) =
EJ;
- xr-1
2.1O glx) = ñi
3. Demuestre que la funci(n no es derivabl e en x = lz
17. -4- -
Qx b 'iF
3.1 Íx):E+;G- A
3.2 g(x):W-z^lF
(i+r)3
3.3 nlx): _T
.xZ
s.4 l(x)=#
tffi
3.5'y:.J]-x3
3.6 !=x2'e-x
3.7 L-^
8.8 g(r) : (5r - a)
3.9 !=x4+3x2+6 3.1() yx j:
a+b a-b
g.11 y=lT+ll+Lx
B.r2 y=(1+4x3)(7+x')
3.13 !=x(Zx -1)(3x+2) B.r4 y:(2x - 1-)(x' - 6x * 3)
3.15 ,1*¡ : ffi 3.16 Y(x) =
3.r7 yG) : #
/c.l-4lz
3.r& /(s) = É
s.rg Y(x) = {7 + 7
4. Demuestre que la función h(x) = l2x - 1l
Sugerencía: Halie h'() cuando Ax tiende a cero por la derecha y cuando tit
cero por la izquierda.
S, En cada una de las funciones siguientes encuentre:
a. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto dado.
b. Los puntos sobre la gráfica en las que la iecta tangente es horizontal, es
m:. 0
5.1 Y = ;A, P?2'1)
'l I
19. Taller 3: Derivada de firnciones compuestas
Objetivo
Aplicar la regia de la cadena al cálculo de la derivada de funciones algebraicas'
Conceptos básicos 1 . - ^--r-^^-:,,-+^ ,:ro.r rlnw
. '
Si,fygsondosfuncionesrea}estalesqueeliangode/essubconjuntodeldominio
g, entonces la función compuesta (f o g)se define por: (/ o g) (x) : f (g(x))
* o y g(x) =x-zhallargof ' f og' 9o9
s(f(x)= g(h=*-2
f (x-Z) = t,-y
q(g(x) = g(x-Z)= (x-2)-2 = x-4
Ejemplo: Si /(x) = i,'
Desarrollo: (g o f) (x) =
(f o g) (x):
(gos)(x):
Regla d'e cadenrr
Si y - (f o il@) entonces v' : f '(g(x)'S'@)' También
siguiente forma: si u = g(x) entonces y = f (")"y g'(x) =
Ala expresi6n fr se le liama la derivada interna'
se puede exPresar d
{,entonc"t*=Xdx'axl
Ejercicios resueltos
;.";;;it"t la función Y = (x3 * 5x - 2)B
Solución: Haciendo 'ú = x3 * 5x - 2 se tiene y =
Luego,la derivada *= Bu'(E" * 5); entonces' y'
n clu ¡-.2 ¡ É 4=8u" Y l= 3x- -r 3,-du
= B(x3 * 5x - Z)7 . (3x2
Algunosreglas
;:lit = Vix)1" derivan'ilo !'= n[f(t)]"-t f'(x)'
La derivada también se puede expresar por:
. Si u: f(x)setiene y--unyu'= /'(x)entoncesy':nLrtn-rr1
z. Hallar la derivada de la función t(x) = lJV + 2)3
I
':1:
20. Desarrollo: ü(x) = (ri + Z)3
Derivando t'(x)= 3(xi ¡ 2)'.(:t-f nntonces, ü'(r) = W
Ejercicios propuestos
r. Derive cada una de las funciones siguientes:
Tabla 7. Funciones ejercicio No r
1.1 f(x) = (Br - 7;-' }-A s(x) = (6x-7)3.(Bxz +9)2
l.s sQ) = (r' - ;)"
r.4 r(z) : [(22 + t)to -.'u 11to
nÁ m(t) = [(t
* i)-' * ,] '
r.8 í(Y) = 3Y2'J@
(1 *
-2)é
a,ó lfr) =-r' / t/4x_9
1.1o k(x) = +lx+ =,lx
1.11 f (u) -- (u-t - 2u-2)-3
"1..13 h(t¡ = ^f;T+r
t
L+4
(t2 +l3
i(t)= ffi
l--'
1.1S t(w) = Jw3 (9w + I)s
+e x(w) - 3w-S)'(7w+3)
(w+2)3 (w-1)s
#Z s(x) =
l-
x*.'Jx*.lx
,r.r8
i(x) =
r=
r¡J x
1.19 n(si1= +
A 'JYL+ZY-7
1.2o n(y) = (y2 - g)
JÑ.
a.2r Y(x) =n
^li+t
a r;1.22 y(wl =
r ' 1w+1
t.zg y(u) = ",ll-1+lu+1,
1
r.24 y(t)
t
-5
=-/r +2 3
21. /- --F
*qr ro-) = (#)' t.z6 ,=(4x3*6x-2)l
r.27 y=FVR r.z8
1
1/=-
1r'-5
I
r.29 y = dñ 1.3o y = Yss-h
1.31 y -
aa2 y=In(x+lÑ)
bA y =;lÑ-Zln(x+
12-4
l€4 y = (senx- cosx)
,T71tq
Q{'r=V(1 +x')" 1.96 y:l(2x+1.)2+x
r.g7 ,=(2x+1)s(3x+1)7 1.38 y =ffi
1.89 y=l(x|+3x)a+xl-i sffi1.4o y = 4F+r
z. En los siguientes ejercicios:
a. Halle una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función da<
punto indicado.
b. Determine los puntos sobre la gráfica en los cuales la recta tang
horizontal:
2.L
tt
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
v-
v-
v-
y=
v-
v.:
v-
v-
v-
(4x2-Bx*3)a , p(2,8r)
(2x-I)10 , p(I,7)
. 1.c,
(X+?)' , p(7,32)
62-D7 , p(O,-r)
x'17+S , p(2,6)
x3 , P(1,1)
2¿
, Pl-I,-I)
2x2+x, p(1,3)
)¡x" , plx,x¿)
22. 2.1O Y = 2'
r+1
2.Lr Y = fr.
2.L2 Y: 7¿3
2.13 Y = 2'
, p(1,1)
, p(2,2)
- x , p(2,2)
, p(-2,3)
23. a*ar
Taller 4: Derivadas de orden superior
! . . , . l2 .
y derivación implicita
Objetivos
¡ Definir las derivadas sucesivas de una función (derivadas de orden superior'r
. Adquirir habilidades para calcular derivadas de orden superior.
o Distinguir entre forma explícita e implícita de una función.
. Aplicar las reglas del cálculo de la derivada a funciones expresadas en fon
implícita.
. Adquirir habilidades para calcular derivadas de funciones expresadas
forma implícita.
Conceptos básicos
Deriuods d"e ord.en superior
Al derivar una función /, se obtiene otra función /'; si esta, a su vez, se deriva
obtiene ia segunda derivada de f (f") y así, sucesivamente. Por lo tanto, si 1'
/(x) entonces:
dy
# = f '(*) es la primera derivada de /.
,)
#
: f"(x) es ia segunda derivada de /.
¿3
^,
ff=¡rzt (x) es la tercera derivada de /.
Y así, sucesivamente. La n-ésima derivada de / se simboliza por,
ffi =¡@) 6
Ejemplo:Si /(x) : 4 x+ 0. Hallar ¡{t)7x7y calcular f@{-;)
Solución:
6 18
f'(r)=-i entonces f"(x) :i entonces
t3 2.2
------ :2304
Deriuaciónirnplícita
Las expresiones y : 4x3 - 5x * 3. ó y = "{7t - z son ecuaciones que definen
forma explícitaunafunción: y - f(x), o y : h(t) respectivamente.
Por su parte, las ecuaciones 4x3-Sx-y - -3 ó y'-7t+3 = [
determinan en forma implícita las mismas funciones.
¡{z)(D=-ft y f@?;)
24. L-na función / está definida implícitamente si, al sustituir / en lugar de y, se
obtiene una identidad.
Ejercicios resueltos
r. I{uestre que la función g(s) = * esta definida implícitamente por la ecuación
),s2-3y*1= o.
Solución: Se sustituye ), por g(s) =+ (-Lr_rJr, - St
,_LJ * 1 = 0 =+ s2 - 3 +
3-s2 = 0 + 0 = 0paras +...?os+-r,6
No siempre es fácil hallar una función a partir de una ecuación, pero se puede
encontrar su derivada sin conocer la función. Para ello, se procede a derivar cada
miembro de la ecuación, teniendo en cuenta que, al derivar la potencia y", se debe
utilizar la regla de la caden u asit
ftln - ,nn-r ff v aplicar las reglas de deriración
estudiadas anteriormente.
z. Dada la ecuación x2 - 2xy I y, : ,
a. Determine al menos una función implícita / deterrninada por la ecuación dada.
b. Derive implícilamente Ia ecuación para hallar f
c. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el punto
(t,z).
Solución:
a. Para hallal /, se despeja y en función
miembro izquierdo se obtiene: (* - y)z = x
+ f(x) : x * tli o f(x) : x - tli
x; entonces, factorizando el
x:!:TJi + y=x+li
de
25. b.
d (xz -2xy +y2 =x1
2x*2Y
dy 1-Zx+2Y
' d"x 2v -2x
c. Como la pendiente de la recta tangente a la curva es ?.?r : $ calculada en
punto (1, 2)
7-2(1)+2(2) 3
-m=ffi1m=j,entonceslaecuacióndeiare.ctatangenteeS:
y-2=i("-t) + 2(y-Z)=3(x-I) = 2y-4=3x-3 =+ -3x
2Y:1-
Ejercicios propuestos
t. Para cada una de las siguientes funciones, calcule la segunda derivada
a. f (x) =ll{5o
1
?-
nrxl :;tÁ.
e.m(x): (3x * 4)a
, g. y(x) : (x - 2)a
. x2,
^-!
k.r(x) :,{Ñ
m.p(n) : xrlV4'
a. f(x) = x6 - 2x4 + 3x3
e.h(x) = !6x+ -Bt
a. f(x): x6 - 2x4 + 3xs
c. h(x) = 7'6x4 - BI
n. q(x) : 72
z. Sea f(x): i encuentre una fórmula para
1 t ^f-.^'carcule .r.", (1.)
3. Encuentre todas ias derivadas diferentes de cero
b. g(x) = x-2 * x-I
d. t(x) =
3"lT
- gx
' a--?
,f. k(r) ='#
'h. y(x) : 4x3 - x2 + x
1
'j.y=(3x2++12
l.s(x) = *lnx
+ 2x-2(.t*t)+2t,fr:t =á frfzt-2x):1
+:x
la n -esima derivada de f
4. Encuentre todas las derivadas diferentes de cero
b. g(r) : 7xz - 1)3
d. .t(x) = Bx2 - 5x - 9
b. g(x) : 7xz - 1)3
d.s(x):Bx2-5x-9
26. e.p(x). = 3x4 - Zxs - Sxz + Íx2 +rz
5. Para cada una de las siguientes ecuaciones:
a. Calcule, de ser posible, una función implícita determinada por la ecuación.
b. Determine la derivada de la función obtenida en el inciso "o"'
c. Halle'la derivada implícita de la ecuación inicial.
d. Compare el resultado del inciso "c" con el resultado dél inciso "b". Concluya'
/gr*,
= -4 (7x + s)2
5.r xYz = ll
6 ,A
*'-Y2 = 3
u.? ++v2 =2
é.+ zy'*4xYlx2=7
(1.9 ,'+y3x+yxz *ys - 4
¡{6 xzy * xyz = 2
5.7 xy3 + (x2 + Yz) = L
s.8 (xy)3 + xz +y2= t ----¡ v€ti{rcat resTrull '-of o
,'@ -7xz + 48xy* 7yl' = 25
r' -"t:*-
toc¡rÑüo
f / s.to hxy * y2 = 2ry3-* prerfnb¡'
5' ertQ
b<"
j
, S.tt xs + xy * ys = 35 -* vor'f cor el ver',,llado
6-r4 x3+xzy*xy3=19 I
/ítt x3 + xyz + r3ys :3 --/
'6.:14,>x2y*xYz
=x*!
'| ?
+j
4*t
,l '
/1rt-
+)
.f'
28. F 6.9, xi*y7- 9; (16,15)
6.6 (x -yz)Q'* xY) = 4' (2,1)
6.2 x2+xy*y''=7t(7,2)
6.8 2=# ; (3,1)
6.g xz + yz = 25; (2,3)
6.to x2 'Yz = 9; (-1,9)
6,.11 x3 + xyz I x3ys = g' (1,1)
6.tz xzY + xYz = 72; (3,1)
6.tg x3 y+xy3 -30; (1,3)
6.rc ",lT+ xyz -5 ; (4,1)
Q-tS
"l7 - W - 2Y = 2; (r,-r)
6.t7 xz * 2x2y*3xy- -1, (-r,3)
6.t8 yz x + xzy - -2; (2,-1)
Q19 x3 - Zxz Y + 3Y,Y2: 38 , (zB)
http : / /es,wikipedia.o rg /wiki/ Funci% Cq % B q n impl% C g %AD cita
http :/ /www.sectormatematica.cl /seccion/derivacion'htm
Cibergrafia
I
nftp: //www.uauLOr.
icita/implicita.html
.t¡l{$--*--
29. Taller b: Derivadas de funciones trascendentes
Objetivos
Aprender a desarrollar límites de ias funciones trigonométricas, en especia
seno y coseno.
o Determinar si una función dada es continua, clasificarla y, de ser posiblr
redefinirla.
o Conocer, identificar y aplicar las derivadas específicas de las funcione
trigonornétricas, l1s logarítmicas y las exponenciales.
Conceptos básicos
Recuerde los conceptos sobre límites y continuidad estudiados en el Taller r.
Antes de iniciar la solución de este taller haga un repaso de los conceptos de la
funciones trigonométricas. Estos los puede encontrar en los enlaces ¿ueb citados ¿
final del taller.
Para resolver estos ejercicios:
a. Reemplace r por a, donde a es el acercamiento de x hacia el valor a.
b. Si obtiene como respuesta una forma indeterminada, tenga en cuenta lo
siguientes límites:
sen? cos?-L 7-cos0 tan?
lim...-= L lim.:=1 lim-.-=0 lim...-=10+0 A 0-0 H 0-0 A 0-0 U
El ángulo 0 se expre5a en radianes.
Ejercicios propuestos
Lftnites y eonür.rtliidad de funeiones tríg ono¡nétricas
1. Encuentre el límite de cada una de las funciones dadas, en los ejercicio
propuestos en la tabia 8.
Tabla 8. Límite de cada una de las funciones
I r.L lim¡-o
# Sen=
L.2 lim.-nl' -.x
nt.g limr-0ffi
o
t.4 lim¡-o ry
1l5x
sen'l':l
1.5 lim,-e--'Í 'i'.,6 lim,,-6 (Y)
30. .. I-COS ¿X'
l.q ilm--n --;-x.1.8 limx-o
sen4xtans2x
z. compruebe que ias funeiones seno y coseno son continuas en 0.
D erius.das de tas funciones trig onornétricas
B. En los ejerciciorL la tabla 9 calcule la derivada de la función.
Tabla 9. Derivada de la función
AL
3.2 !:x'-icosx;
1
7 s€flX
¿
3.4 g(t) - ltcost
3.6 y= fi + Zcosx
f (t)
3.1o s(t)
R/2x +
(tsent +cost
t2
Bsect;
Bsect tant
=lt +
1
Rl- +
4t4
3.42Y = -cscx- senxi
R/ cosx cotz x
v =2xsenx+xzcosk;
R/ 4xcosx + (2 - xzlsenx
4. En los ejercicios de la tabla rO, encontrar la segunda derivada
Tabia ro. Segunda derivada
S. En los ejercicios de la Tabla u, encontrar la derivada de la función
l
ffi;t""e - coso; R/|cose * seno
,:)3sen ; R{-i-3cosx
3.5 Y=5*senx
g.7 f (t) = t2 sent;
R/ t(tcost * Zsent)
g f (x) = :, + tdnxi Rf tanz x
y =W; R /|secx(tanx 1 secx)
3.r3 /(¡) : x¿ tanx i
R/ x(xseczx * tanx)
+.t f (x) : 3senx; R/ -3senx
I
.-....:
31. Tabla rr. Derivad.a de la función
r' -É
61' y = cos(3x);
R/ -3sen(3x)
5.2 g(x) :3 tan(4x)
R/-t2secz(4x)
6-g y = sen(n x)z ;
R/ 2n2 xcos(n x)z
,54 h(x) = sen(2x)cos(2x);
R / Zcos(4x)
f (x)
cotX
=-¡ ,, 'SETLA
R/
(1. + coszX)
sen3x
v -4fy3;
R/
SsenX
__
cos3 X
1,
5.7 fG)=7senz(Zt);
1
I
R/ ;sen(4t)
/L
f (t) = 3sec?(nt - 7);
6nsen(nt - 1
Dt-
"t cos3(zrt _ 1)
5.9f y=^lT+lsen(zx)z;
1
*/
,A * Zxcos(ZX)z
10 y = senx
6.i} h@) = secxz
lz
.12 y =
,cos(I-
2x)2
7s.tg s@) = secl)eyanQe¡ L4 glD)=-rá
5.15 gG) = Scos2r t 5.16 h(t) : Zcotz (n t + Z)
'5.17 !=3x-Scos(rcx)z S.r8 y=sen'rli+lsenx
6. En los ejercicios de la tabla 12, encontrar la ecuación de la recta tangente a li
gráfica de/en el punto q-ue se indica.
32. Tabla rz. Ecuación de la recta tangente a la gráfica d'e/en el punto que se inüca
- :É: G:; ;":;ñ;-c:
7. En cada uno de los ejercicios de:1,?"" r3 derivar:
a. Con respecto
" 'i'
es una función d'e x)
b. con respecto
"u;
óy y son funciones de t)
fabla 13. Derivación con respecto
^:
U,es una función de x) y respecto a
'""t
it t, son funciones de t)
que se indican'
RIY =2,-2n
6f J@ -- turLTx en (i' 1) ;
&l y=4x+(1r-r)
ff 4tr""'osY = 1
g.z ! = senx
a.x=-il
1- ^" - --
'.
ÍJ,L- 4'
c,x=0
En los ejercicios propuestos en la tabla 14' un punto se es
dx ^^ n.rn /s- Calcule putulos valore8'
#"" i";;"to"tio" de modo qüe # es z cm/s'"calcule fr
Tabla 14. Gráfica de ia tunció" u"
ry
Halle ff en cadauno de los ejerci'cios de la tabla r5
;; = cos(3r)
'nq'-
ffirG;enQ,zl
ll ,Ñ:zsett,;tx = t
;i ;":;,nnvP) - 3ncosrx --..0
b. -rsennYTL; - zrccosrxffi
8.r Y ='tanxi
c. x= 0
cm 4cm Zcm
Rl
-; --'T
9.
33. Tabla 15. Valores d" #
9.t y = arc t"n|; R/ #
a1v1
9.2 ! = 1a7"c
tani; Kl e+A
/g.s y = erc cos2x; R/ # ! = arc cot! + arc tun|;
4
Pt
-
'., {4 + rr1
9.q
t
. --1 1
9.5 y = qrc s€ft7 ; Kl
-=
' x+ I lx+ r)tx K.o !: arcton4 , n/
áa
t t=--7
'Á.2 y:V1 -xt! xcircsenx;
Rf arc senx
/'
i.?.8
v-
x(arc senx)z - Zx i ztlGarc sen x
R/ (arc senx2
'g.g y= xarccos2x -:l@; R/ arc cosZx
D eriu o.da d.e'las fr.taciones lo g aríttnicas
ro. En los ejercicios de la tabla 16, halle la derivada de la función:
Tabla 16. Derivada de la función
to.i g(x) =lnx2;
2
Rl-
/to.z y = (lnx)a;
4(Inñ3
R/ ,-
io.s y = tn@ip--t) ;
[2x2 - r]rr , _j_
"t [x@z - ]
LO.4
x
f (x = In(--; '¡'
r '-), - 'x2 + 1r '
lL - x21
D / _:_____:_
"r [x@z + r)]
úo.u gG) =
lnt
(1,
- Zlnt)
Rl >--F-:-
lo.6' y : In(lnxz);
2
Rl _'' (xlnt¿21
ñ
ro.7 y=InlT;
x-r
fto.s f (x):
^(ry),
10.9
-F u,=#*h@+Jrr+t)
34. a/W+4)1
Rl
--'='l-x"
11. En los ejercicios propuestos en ia tabla 17, encuentre una ecuación para la rr
tangente a la gráfica de f(x) en el punto indicado'
Tabla r7. Ecuación para la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto indicadt
lrr.z f(x) - 4-x2- lni:$+
|)t ""PQ,4)
tr.gf(x) = ln'|ffi; - 127
';'..sf
@) = x3lnx; enP(1,0)
R/Y: x-t
rr.6 f (x) = ) x tn(xz); en P(-7,0)
rz. En los ejercicios de la tabla 18, hane fr
Tabla r8. Valor a" #
pew- 30
-1,.
i,"étenP(n ¡*,t*[]>, Rl y :t
s,',/
,)/
"/+
13. Usar la derivación implícita para encontrar la ecuación de la recta tangente
gráficaen el Puntó dado.
Tabla 19. Ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto dado
¡
rSI!!-*
t:..t f (x) = 3x2- InxienP(1,3)
R/Y=5x72
rr.4
f (x) : sen(Zx) - tn(xz); enP(1,0).
yiá.L xz'- 3tnY * Y' = 10;
dv Zxv
R / dx = 7j --'2rz¡
t'
35. t3r ' , t*.
x"+ y- f = In(xz +y2); enP(1,0); I i' + In(xy) : 2; enP(e'¡)
R/Y=x-L
Deriusda de lafunción erytonencio,l
14. Encuentre la derivada de los ejercicios planteados en la tabla zo
zo. Eiercicios de derivada.
36. t4:í' Y = e¿x;
,--, * ¡ ,rr*
14.2 'Y: eG;
e,lv
Rl-' (ztlx)
/t4,3 y= (e-, + e')"i
R/3(e-t + et)z(et - "-t)
/ t+.q
Y ='ln('l' + e"');
2e2'pl
-
", (t + ezr)
r4.5 ! = 6V;
-Z(ex - e-'Dt
-'
'
"t (¿x * e-x)z
14.6
y-(senx*cosx)e'
Rf 2e* cosx
/r4.7 1
!=e-^
14.8
l: x2e-'
,l+.g
-3
g(t) = sF
r.4.ro
1* ex
y = tn(G)
| 4.4L
y -- Ine*
15. En los ejercicios propuestos en la tabla 21, encuentre la ecuación de la recta
tangente a la función en el punto dado.
te a la funció.n en el punto dado.abla zt. Ecuación de la21. Ecuacron de la recta tangente a la n'rliclo-rl erl
llt f (r) = sl-i' enP(1,!);
R/Y=2-*
(s., y = ln(e"); en P(-2,4);
R/ -4(x + L)
r't5.3!=xzet-
R/y=,
2xe' + e* ; en P (I, e); tS.+ f (x): e-'Inx; enP(7,0);
YI
Rly= (;)- q)
37. 16. En los ejercicios de la tabla zz, ha[e fi por derivación implícita
a
Tabla ,r. ? Por derivación imPiícita
d.x -
*x2-!2=!0
ir7. En los ejercicios de la tabla 23, encontrar la ecuación de la recta tangentt
función en el Punto dado'
Tablaz3.Ecuacióndelarectatangentealafunciónenelpuntodado.
tZ.z t + lnxY = ¿x-t; en P(!,
R/Y=z-x
18. Encontrar la segUnda derivada de la función dada, en los ejercicios de ia tabl
' Tabla 24. Segunda derivada de una función dada'
rs: g(x) =li + e* lnx
I
t6.t xet - 10r * 3Y - 0;
Rl(Lo - eY) l@et + t)
ffiW Wx = Li enP(0,1);
''-----" R/ Y=1-(e+1)r
@-ff¡r) - (3 + Zx)e-rx ;
'' R/ 3(6X + 5)e-"'
{t*[=-,-
38. Taller 6: Aplicaciones de la derivada: Teorema
---n"Ue
yhel valor medio. Análisis de cllrvas'
Objetivos
r Determinar los extremos (relativos y ab.solutos) de una función'
. Analizar los intervalos sobre los cuales una función es creciente o decrec
..Aplicarelcriteriodelaprimeraderivadaparadeterminarlosextremosr
función.
. Aplicar el criterio de la segunda derivada para determinar extremos t
función'
Conceptos básicos
Teorerna de Rolle y Teorems del uolor meüo
En la Figura t', ," pi"ae apreciar la gráfica de una función que es
intervalo ce*ado .lo,bl, f (a) = f (b) = o. Además, f'(x) existe (no
todoslos puntos del intervalo (a'b)'
Figura t. Teorema de Rolle
Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado Teorema c
i una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:
fes continua en el intervalo cerrado [a'b]'
les derivable en el intervalo abierto (a'b)'
. f(a) = f(b)
Entonces, existe por lo menos un punto c e (a'b) tal que f (c) = g
El siguiente teorema es una generalización det teorema de Rolle y se co
el nornbre delTeoretna delValor Mediopara derivadas:
continur
tiene pir
Sea
a
o
I
39. Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:
. {es continua en el intervalo cerrado [a,b].
. I es derivable en el intervalo abierto (a, b).
Entonces, existe por lo menos un punto c E (a, b) tal que:
ffO:f#
En la figura 2, se muestra la gráfica de una función que satisface las hipótesis del
T.V.M.
_**-i*_a.-**ilr*.*$*];_*T
Figura z. Hipótesis del r.v.trl
El término t# es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por
los puntos A y B. Geométricamente, el teorema afirma que: Existe un punto P sobre la
curva de abscisa c e (a,b) tal que la recta tangente a la curva en P cuya pendiente
f' (c), es paralela a la recta secante .48.
Ejercicio resuelto (Teorerna de Rolle)
r. VerifiqueelteoremadeRolleparalafunción f (x) = cosx,enelintervalo ln,5r).
Se puede ver que f (n) = -1= f (5n). También se ve que cosr es diferenciable en
todo x e (r,5r).
De acuerdo con el teorema debe existir un c e. (r,5r) tal que - sen x = 0.
Como puede observarse esta ecuación tiene tres soluciones en el abierto
indicado: 2r,3n y 4r.
40. ./
Ej ercieio resuelto (T eor erna del u alor ¡nedio)
r. Verificar el teorema del r.alor medio para la ftinción f (x) =2x3 - Bx* 1, en el
cerrado [1,3].
fr1) - -q) - /
f(3) = 3r
f'(c) = tg
6c2-B=l.B
Ec=t{T
De estos dos valores el irnico que se encuentra en el inten'aio es el positivo
trc=* l*."
Análisis de curvas
Sea / definida sobre un intervalo / que contiene a c
/( c ) Es el mínimo relativo de / en 1 si /( c)
/( c ) Es el máximo relativo de / en / si /( c)
Los mínimos y máximos de una función
extremos o simplernente extremos, de la función en
Funcíón cr eciente y de cr eciente
. Una función / es creciente sobre un intervalo 1 si para cualesquier dos
números xt Y x2, en /, y si 11 < x2 implica f (x) < f l.¡z)
. Una función / es decreciente sobre un interv'alo 1 si para cualquie' dos
números xt Y xz, en 1, y si x, < x2 implica f (x) > f (xz)
Criterio p ara lasfunciones crecientes g decrecientes
Sea/trnifunción que es continua en el intervalo cerrado [a,b) y derivable en el
intervalo abierto (a, b).
. Si f'(x) > 0 paratodox en (a,b), entonces/ es creciente en [a,b].
. si f'(x) < 0 para todo x en (a,b), entonces / es decreciente en [a, b].
. Si f'(x) = 0 paratodo x en (a,b), entonces/ esconstante en [c,b].
< f(x) para toda x en 1
> f(x) para toda x en 1
en un inten'alo son los valores
el inten¡alo.
41. Criterio de la Primera derivada
S"u r
""
punto lrítico de una función I que es continua en un inten'alo abierto 1 que
contiene a c. Si / es derivable en el inten'alo, excepto posiblemente en c' entonces
f ( c) puede clasificarse así:
. si f'(x) cambia de negativa a positiva en c' entonces / tiene un mínimo
relativo en (c, f(c))
. Si /'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces / tiene un máximo
relativo en (c,/( c)).
. si /'(¡) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos iados de c'
entonces/(c)noesniunmínimoreiativoniunmáximorelativo.
Criterio de Concavidad
sea / una función cuya segunda derivad.a existe en un intervalo abierto /
. Si f"(x) > 0 para todo x en 1, entonces Ja gráfica de / es cóncava hacia arriba
en/
. Si f"(x) < 0 para todo x en 1, entonces ia gráfica de / es cóncava hacia abajo
enI
punto de Inftexión: se dice que (c, f (c)) es un punto de inflexión de ia gráfica de /'
si f"(c) = 0 6 f" no existe enx = c '
criterio de la segunda d,erivada para determinar qué puntos son
máximos y cuáles son mínimos
.SiF,,(x)<0laFuncióntieneunmáxinrore}ativoolocal'
. Si F,,(x) > 0 la Función tiene un mínimo relaüvo o local.
Ejercicio resuelto: Construcción de gráfieas defunciones
Paia la construcción de las gráficas de funciones eS necesario tener en cuenta los
siguientes asPectos:
sea:F(x)= x3*x2-x-L
42. Se caleulan los ceros de la función, es decir, los puntos de corte de /(x) con el
eie x' Para esto, sehace /(x) = 0' Factorizando /(x) se tiene:
xz(x+1)-(x*1)=g
(x+7)(x2-1)=0
(x+l)=O ó (x2-11=g
x=:-1 6 x=*L
Los puntos de corte con los ejes son: x=1 y x= -1. Ahora se toma la
ecuación inicial y se calcuia la primera derivada de la función:
F(x)= x3+xz-x-'J'
F'(x)= 3x2+2x-1
Haciendo F'(x) = 0 setiene 3xz +2x - L = 0
Utilizando la ecuación cuadrática
' =
-#
_2+JT4
X =---- b
_2+JG
-/ o
-2+4
-)J-/-
) 1
x =-':- = -=-663
-2- 4 -63- 3-'l
^- G 6
Por tanto, los números críticos de la función son:
',
: I )- x2 = -1
Buscamos los valores de y (las imágenes) en la ftinción inicial para determinar
máximos y mínimos con los números críticos hallados
= x3 +x2 -x-L
1)= (-1)3 +(-D2 -(-1)-1=0
, ,'l .3 ,1rZ ,1 -32
)= (¡) .(¡) -G) -t=;
F(x)
r(-
t1
r [;J
tl
1l
43. Por tanto se tiene que los puntos críticos son: i-r,o) V Ci, - fil
Para nuestro ejemplo
derivada se tiene:
F" (x) = F" (-1) - -4
F" (xz): r" (|) = ++
en particular, aplicando el criterio de la segunda
Entonces F(x) tiene un máximo en
Entonces F(x) üene un máximo en
x=-I
1.
J
Creehniento o decreeüniento de F(x)
Ubicamos en la recta real ios números críticos y determinamos los intervalos que se
forman. Tomamos un representante en cada intervalo, remplazándolo en la primera
derivada de la función. Se debe tener en cuenta:
. Si F'(x) > 0lafuncióncrece
. Si F'(x) < 0lafuncióndecrece
F'(x)= 3x2+2x-1.
NÍrmeros Críticos: -1,]
n
-l 1/3
(-*, -1) (-1,1./3) (1/3,a)
Del intervalo (-*, -1) tomamos F'(-Z) = 3(-2)2 + 2(-2) - 1
F'(-z) = 7 Lafunción crece.
Del intervalo (-7,1/3) tomamos F'(0) = 3(0)2 + 2(0) - 1-
F'(0): -L Lafunción decrece.
Del inten'alo (l/3,m) tomamos F'(1) = 3(1)2 + 2(1) - 1
F'(1) : 4 l¿ función ct"ece.
^hora hallamos F"(x).Para encontrar el(los) posible(s) punto(s) de inflexión,
hacenos F"(x) = g
F"(x)=6x*2
F"(x) = g
6x*2=0
Entonces. el número crítico de la segunda derivada es r =
_1
T
44. Para hallar el punto de inflexión inicialmente se debe reemplazar el número
crítico de ia segunda derivada en la función inicial
F(x)= x3+x2-x-L
/-1 ¡-13 , (-1' /-i n _-16trl-l = l-
'3/- T/ *T/ -T/-'-T
obteniendo el punto (+,#)
Para que este punto sea de inflexión, se debe analizar la concavidad.
Concavidad
Ubicamos en la recta real el número crítico, en este caso, hallando F"(x) que
determina los intervalos que se forman. Elegimos un representante en cada inten'alo
y 1o remplazamos en la segunda derivada de la función.
. Si F"{x) > 0la Función es Cóncava hacia arriba
. Si F"(x) < 0la Función es Cóncava hacia abajo
F"(x):6xtZ
(-cn,-1/3) - r/3 (-t1s,*1
Del intervalo (-*,-7/3) tomamos FF"(-1') = 6(- t) '- 2
FF"(-I) = -4 Cóncavahacia abajo
Del intervalo (-tl3,oo) tomamos FF"(1) : 6(1) + Z
FF" (1) = B Cóncava hacia arríba.
'
-'t
Figura 3. Gráfíca Concauidad
Por 1o anterior, poclemos afirmar que el punto (+ #),es un punto de inflexión.
'_r*;a ".'-_---'''-
/
.
'; ,/
:l
,i
ll
tll
45. Ejercicio resuelto
r. Análisis para la función f f (xx) = xx3
Solución:
Hallamos los ceros d'e la función xx3 = 0
Primera derivada de la función: .f f'(xx) =
Puntos Críticos: f f' (xx) = O 3xxz = 0
xx=0
3XX-
I xx=0
MáximosyMínimos ff(0) = 0 Punto (0'0)
f f (xx) Crece o Decrece
(-*,0) o
Del intervalo (-m, 0) tomamos f f '(-I) : 3(-1)2
Dei intervalo ( 0, oo) tomamos f f '(1) = 3(1)2 : 3:
ff"(xx) = 0*
6xx=0
Punto (0,0)
(0,-)
= 3: Crece
Crece
xx=0
Segunda Derivada de la función:
Puntos Críticos: f f"(xx) = 0
Punto de Inflexión //(0) = 6
Concavidad
Del intervalo (--,0)
abajo
Del intervalo ( 0, -)
arriba
Graficamos
(-*,0) o
tomamos f f"(-1) -- 6(-,1) = -6
tomamos f f"(L) = 6(7) :6
(0,*)
Cóncava hacia
Cóncava hacia
46. tsx3
ñ
x
Figura 4. Gr áfica Ej ercicio 7
Ejereicios propuestos
1. Verifique si cada una de las funciones dadas, saüsfáce las hipótesis del Teorema
de Rolle:
a. ff(xx) = xx2 -Zxx -3 en[0,2]
b. f f (xx) = xx3 - xx en [-1,1]
c. ff(xx)=xrc4 -2xx2 +1 enl-Z,Zf ,
d. f f (xx) = sintx * cosxt en [0,n]
2. Calcule explícitamente todos los valores de c que cumplan con el Teorema del
valor medio:
a. f f (xx) = xx2 - 3xx en [t,+]
b. ff(xx) = 2xx2 + xx + 1en [-2,3]
c. ff(xx) = 3xx * S en [1,3]
d'. ff(xx) = xx - 7 en [0,+]
3. Trazar la gráfica de las siguientes funciones, hallando: puntos cúticos, máximos
y mínimos, dónde crece o decrece la función, puntos de inflexión y concavidad
a. ff (xx)=xx3 -6xx2 -9xx +54 * $tx) = X{- 6X3-g*'*54
-3
47. b. ff(xx):xx3*xx-1 --o f¡Y) = X
c. f f (xx): xx3 *3xx2 -9xx-*- F¿r) '
d. ff (xx):2xx3 -6xx*4 ¿x'- i,
e. ff(xx) = xx2 - 4xx - 1
f. ff(xx)=2xx3 -2xx2 -1.6xx1-1
?-
ff(xx) = -#' xx¿+xx -6
,3
f f (xx) :;h r Fi,
ff(xx)=JÑl
--2
ff(xx) = fu
.1
II lxx) : *
?-
f f (xx) =H
rn. f f (xx) = (-Z * xx)-z
n. ff(xx)=xx2*6xx*9
o. ff(xx) = 3xx4 *2xx3
P' f f (xx): xx3 -3xx2 +3
q' f f (xx):7xx3 -Bxxz
r. ff(xx) : rin - 4xx3
s. f f (xx) :Zsinxi;-i:i en l},2nnl
t. ff(xx) = 3cos2xx en f1,rrl
u.ff(xx)=(-1 +xl4
w. f f (xx): 3 sinxx .t [O,f]
Y' ff(xx) = 1'22'5 - 4'9xxz
z. f f (xx): B cos (+.r)en l-2tm,Zrn)
+
,,4 -, ,
| 1 --tl"
^
r-l
| ,'-
g.
h.
i.
j.
k.
l.
htrp:,i iu-rlrv.xtec.es /-fgonzalz/erafi cas.htm
=r&idProblema=rq
48. Taller 7: Aplicaciones de la derivada: optimización
Objetivo
Aplicar el criterio de la primera derivada para determinar los valores máximos
mínimos que optimizan una función.
Conceptos básicos
Estrategias para resoiver problemas de optimizaciln:
. Asignar símbolos a todas ias magnitudes a determinar.
. Escribir una ecuación primaria (ecuación a optimizar) para la magnitud (o
variable) que va a ser maximizada o minimizada.
. Reducir la ecuación primaria a una ecuación con una sola variable
independiente. Eso puede exigir el uso de una . o más ecuación(es)
secundaria(s) que relacionen las variables independientes de la ecuación
primaria.
¡ Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar los valores que
tienen sentido para el problema planteado.
o Determinar el valor máximo o mínimo mediante derivadas.
Bjercicio resuelto
Aytlicoción de tnó-xbnos A ¡nínitnos
r. Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que pueda inscribirse en un
círcuio de radio 4 cm.
Figura 5. Rectángulo
En estos problemas es necesario recordar conceptos básicos de Geometría,
Fundamentos de Matemáticas, entre otros. Para este ¡iroblema en particular,
debemos tener en cuenta el área del rectángulo dada por:
Á = X.I (Base por altura)
Ecuación del Círculo x2+y2=v2
x2 +y2 - 16
49. *2 - tA-r,2L _ Lv )
t;. *,.f -v1o )
A1 reemplazar el valor de x en la ecuación de área A : x. Y se tendrá:
¿ =,[t*F . t
Derivando se obtiene: A' =:G6 - nz¡t¡Zy) +
^,2
n, _ -! *ñ-
-'
^176
- Y'
Haciendo A'= 0 setiene: -2y'+ 16 = 0;porlotanto: y = ^'lB
Para hallar ei valor de x: x : J tO-O- y2; entonces x : ',18.
Estas son las dimensiones del rectángulo de mayor área'
Ejercicios proPuestos
t. El perímetro de un cuadrilátero es de 20 m. iCuál debe ser el largo y el ancho
que dé ei área máxima?
2. Ér, un áliláüld escaleno de base 12 cm y altura 6 cm, hallar el área de1 ma1'or
rectángulo inscrito cuya base coincida con la base del triángulo. ''
B. Se desea construir una caja de base cuadrada 1'abierta por la parte superior' Para
ello, se utilizará una lámina metálica cuadrada de rzo cm de lado con un
cuadrado pequeño en cada esquina, con los bordes doblados hacia arriba'
Determine la longitud de los lados para obtener una caja de volumen rnáximo'
4. Desde lo alto de un edificio de 16o pies de altura, se arroja una pelota hacia
arriba, con una velocidad iniciai de 64 pies por segundo'
a. iCuándo alcanzala altura máxima?
b. iCuál es la altura máxima?
c. iCuándo llega al Piso?
d. iCon qué r'elocidad llega al piso?
e. éCuál es su aceleración al momento t = 2 segundos?
S. Un rectángulo tiene un perímetro de r4o m éCuál es el largo y el ancho que dan el
área máxima?
6. La suma del perímetro de un cuadrado y un triángulo equilátero es 40 cm' Hailar
las dimensionei de ambos para que el área total sea mínima.
7. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrita en una
semicircunferencia de radio ro cm'
t6-y2
16-yz
50. t' ''8. Entre todos los rectángulos de perímetro dado, encontrar el que tiene área
máxima.
-9. Entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa dada, hallar el que tenga
área máxima.
10. Se tiene un alambre de iongitud I y se desea diüdirlo en dos trozos para forrnar
con cada uno de ellos, un triángulo equilátero. Determine qué longitud debe
tener cada trozo para que la suma de las áreas de los dos triángulos sea mínima.
1t.t De una lámina cuadrada de cartón de iado I se debe cortar, en cada esquina, un
cuadrado, de modo tal que, con el cartón resultante, doblado convenientemente,
se pueda construir una caja sin tapa. Determine la longitud que debe tener eI
lado del cuadrado de las esquinas, para que la capacidad de la caja sea máxima.
tz. Una ventana está formada por un rectángulo rematado con un semicírculo en ia
parte superior. Si el marco ha de tener una longitod p, determinar sus
dimensiones para que la superficie de la ventana sea máxima.
19. Dos rectas se cortan perpendicularmente. Por cada una, avanzan, de manera
simultánea, dos móviles con velocidades vty u¡. Se dirigen al punto de corte de
las rectas partiendo de unas distancias ay b, respectivamente. Hallar el instante
en que la distancia entre los móviles es mínima.
14. Con una cartulina de B x 5 metros se desea construir una caja sin tapa, de
volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja.
15. Un rectángulo esta acotado por los ejes y por la gráfiea de y = (6 - x) I z ZQ'té
longitud debe tener el rectángulo para que su área sea máxima?
16. iQué puntos de la gráficay = 4 - xz están más cerca del punto (0,2)?
Nofa: La distancia entre dos puntos (x,y), (x6, y6) es:
d:'ffi
17. L-n rectángulo está limitado por el eje x y por el semicírculo y : J25-G
iCuál es la longitud y el ancho del rectángulo que hace mínima su área?
r8. Dos postes de rz y z8 metros de altura, distan 30 metros entre sí. Se necesita
conectarlos mediante un cable atado al suelo en algún punto, localizado entre los
