2. La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos
mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas
tangentes:
3. m=0
m>0
m<0
m=0
m<0
En los puntos de
máximo o mínimo, la
recta tangente es
horizontal ( es decir,
la pendiente es 0)
En los tramos de
crecimiento la recta
tangente tiene pendiente
positiva, en los de
decrecimiento la tiene
negativa.
4. Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a
La derivada de la función f en a se denota con el
símbolo f’(a), que se lee “f prima de a”
y=3
y=1,2x+1,5
f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente
en el punto de abscisa 4,5 tiene
pendiente -3/2.
f’(-2)= 0
f’(2)=1,2
y=-1,3x+13
y=-3/2x-24
y=-4
f’(4)=0
f’(6)=-1,3
5. (3,2)
(1,-1)
Conocidos dos puntos de
la recta tangente puedo
calcular su ecuación.
Pasa por (1,-1)
y=mx+n
-1=m+n
Pasa por (3,2)
2=m·3+n
Resolviendo el sistema:
y= 3/2 x-5/2
De esta manera f’(3)=3/2
6. (3,2)=(x1,y1)
(1,-1) )=(x0,y0)
Lo anterior es muy largo
pues lo único que me
interesa saber es la “m”.
Para calcularla hay una
manera muy fácil:
y1 - y 0
2 - (- 1) 3
m=
=
=
x1 - x0
3- 1
2
De esta manera f’(3)=3/2
7. y1 - y 0
m=
x1 - x0
O LO QUE ES LO MISMO:
f ( x1 ) - f ( x0 )
m=
x1 - x0
8. Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t
tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el
punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su
pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer?
Resolvamos la cuestión en varias etapas.
Recta t
A(a,f(a))
9. Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de
tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda
una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h sobre el eje X y
su correspondiente punto de la gráfica P((a+h), f(a+h))
P(a+h,f(a+h))
A(a,f(a))
Recta t
a
a+h
10. Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las
coordenadas de los dos puntos A y P.
P(a+h,f(a+h))
f(a+h)-f(a)
A(a,f(a))
Recta t
h
a
a+h
f (a + h) - f (a) f (a + h) - f (a)
m=
=
a+ h- a
h
11. Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De
esta forma:
P
A
h
a
0
a+h
12. P está muy próximo a A
La secante AP “casi” se confunde con la tangente t
La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
Ahora bien, el valor de h no puede
ser 0, aunque sí todo lo pequeño
que se quiera. Y aquí interviene el
concepto de límite.
P
A
h
a
0
a+h
13. P está muy próximo a A
La secante AP “casi” se confunde con la tangente t
La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
lim(pendientes de las secantes)= pendiente de la tangente
h® 0
P
A
a
Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite
a+h
14. Sea la función:
f(x) cxn
La derivada de esta función es:
n 1
df
dx
df
dx
cnx n
1
15. Sea la función:
f(x)
cx1
La derivada de esta función es:
1 1
df
dx
df
dx
df
dx
cx 0
c
Sea la función:
f ( x)
c
La derivada de esta función es:
df
dx
0
18. Primeros ejemplos
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas,
con la intención de que ustedes vayan deduciendo un
procedimiento (regla) para resolverlas.
f ( x) 3 x
f ( x)
6 x2
df
dx
df
dx
2x
3
x3
3
f ( x)
df
dx
x
2
f ( x)
df
dx
2
5
2x 1
5
19. Sea la función:
f ( x)
g ( x) h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:
df
dx
dg
dx
dh
dx
20. Sean las funciones:
1. f ( x) 5 x 2
7x 6
df
10x 7
dx
2. f ( x)
4 x 6 3x 5 10 x 2 5 x 16
df
dx
24 x 5 15x 4 20 x 5
21. Derivada de un producto de
funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x)
y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
f ( x ) g( x )h( x )
df
dx
dg
dh
h( x ) g ( x )
dx
dx
22. Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones
f ( x)
(8 x 2 5 x)(13 x 2
4)
Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
df
dx
df
dx
dg
dh
h( x ) g ( x )
dx
dx
(16 x 5)(13x 2 4) (8 x 2 5 x)(26 x)
3
2
3
2
208x 64x 65x 20 208x 130x
416x3 195x 2 64x 20
23. Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:
(4 x)(3 x 2 )
1. f ( x)
df
dx
2
( 1)(3 x ) (4 x)(2 x)
3 x 2 8x 2 x 2
2. f ( x)
df
dx
(3x 2
x 3 )( x
(6 x 3x 4 )( x
24x3 2 x
2
1
4x
1
2x2 )
2 x 2 ) (3x 2
5
3
3x 2 8 x 3
x 3 )(x
2
4 x)
24. Derivadas de un cociente de
funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y
h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
f(x)
df
dx
g( x )
h( x )
dg
dh
h( x ) g ( x )
dx
dx
2
h( x )
25. Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
f ( x)
4x 5
3x 2
Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando
la regla para derivar productos de funciones
dg
dh
h( x ) g ( x )
df
dx
dx
2
dx
h( x )
tenemos que
df
dx
df
dx
(4)(3x 2) (4 x 5)(3)
2
3x 2
7
2
3x 2
12 x 8 (12 x 15 )
2
3x 2
26. Ejercicio propuesto
Sea
8 x 2 6 x 11
1. f ( x)
x 1
df (16 x 6)( x 1) (8 x 2 6 x 11)(1)
dx
( x 1) 2
16 x 2 16 x 6 x 1 8 x 2
( x 1) 2
6 x 11
x3 1
2. f ( x)
x3 1
df 3 x 2 ( x 3 1) ( x 3 1)( 3 x 2 )
dx
( x 3 1) 2
3x
5
2
5
3x 3x
( x 3 1) 2
3x
2
6x2
( x 3 1) 2
8 x 2 16 x 10
( x 1) 2
27. Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una
potencia n, existe una regla para encontrar la derivada de esta
función.
f ( x)
df
dx
h( x )
n h( x )
n 1
n
dh
dx
28. Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
f ( x)
(5 x 4) 2
Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la
cadena
df
dx
n h( x )
n 1
dh
dx
tenemos que
df
dx
2(5 x 4)(5)
10(5 x 4)
50x 40
29. Ejemplo
Sea
7 x2 6x 3
f ( x)
La función puede escribirse también de la siguiente forma:
f ( x)
y
df
dx
7x
2
6x 3
1
7x2 6x 3
2
7x 3
7x
2
6x 3
1
2
7x 3
7x2 6x 3
1
2
1
2
14 x 6
