1. MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013
GRUPO 01
1) O número 15 possui quantos múltiplos com 2 dígitos?
2) Qual é o trigésimo múltiplo do número natural 21?
3) Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 176 e o central e igual a
81. Qual é o primeiro termo?
4) Uma sucessão de números igualmente distantes um após o outro, tem como décimo e
vigésimo termos, respectivamente os números 43 e 83. Qual é o trigésimo termo desta sucessão?
5) A soma dos dez termos de uma P.A. é igual a -35. O último termo é igual ao número de
termos. Qual é o primeiro termo?
6) Há uma certa P.A. que tanto o primeiro termo, quanto a razão são iguais ao número de termos.
Sabe-se que a soma do primeiro com quarto termo é igual a 40. Qual é esta P.A.?
7) Se somarmos do quinto ao décimo-nono termo de uma P.A., quanto dará esta soma sabendose que o quinto termo é igual a 32 e o décimo-nono é igual a 81?
8) A soma dos 3 termos de uma P.A. decrescente finita é igual a 21 e o seu produto é igual a 231.
Qual é o valor do último termo?
9) A soma dos 5 primeiros termos de uma P.A. é igual a -35 e a soma dos 10 primeiros termos é
igual a 5. Qual é a soma dos 15 primeiros termos desta P.A.?
10) A soma dos termos da P.A. (5+x, 10+x, 15+x, ..., 100+x) é igual a 1110. Qual é valor de x?
11) (PUC RJ 2008) - A soma de todos os números naturais ímpares de 3 algarismos é ?
a) 220.000
b) 247.500
c) 277.500
d) 450.000
e) 495.000
12) Determine a soma dos 50 primeiros termos de uma P.A onde o último elemento é 140 e a
razão 3.
a) 3 325
b) 4 3 70
c) 5 650
d) 6 650
GRUPO 02
1) Encontre o termo geral da P.A. (2, 7, ...).
2) Encontre o termo geral da P.A. (7/3, 11/4, ...).
3) Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10, ...).
4) Qual é o centésimo número natural par ?
5) Ache 0 5o termo da P.A. (a+b ; 3a-2b ; ...).
6) Ache o sexagésimo número natural ímpar.
7) Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44 ?
8) Ache a1 numa P.A., sabendo que r=1/4 e a17=21.
9) Quantos termos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo-se que o primeiro termo é -5 e o
último é 16 ?
10) Calcule o número de termos da P.A. (5, 10, ..., 785).
11) Qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo sétimo termo é 46, sendo o termo precedente 39 ?
12) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos ?
13) Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5 ?
14) Quantos números inteiros existem, de 100 a 500, que não são divisíveis por 8 ?
15) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.
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2. 16) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação
seja 8 ?
17) Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10
e 500.
18) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km
88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos
sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos
telefones.
19) (ITA-SP) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por
5 nem por 7 ?
20) Uma fábrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um determinado produto e, em 1988,
produziu 23330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anual desse produto vem
crescendo em progressão aritmética, pede-se:a) Quantas unidades do produto essa fábrica
produziu em 1987 ?b) Quantas unidades foram produzidas em 1991 ?
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3. GABARITO - MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA 01 – 2013
GRUPO 01
Questão 01
Sabemos que todos os números naturais são múltiplos de si mesmos exceto o zero, então neste exercício
tratamos de uma P.A. que se inicia no número 15 e de quinze em quinze termina no número 90, que é o
maior número com dois dígitos que é divisível por 15, ou seja, que é o maior múltiplo de quinze com dois
dígitos.
Então os dados que possuímos para a resolução do problema são:
Através da fórmula do termo geral vamos identificar o número de termos desta P.A.:
Portanto a referida P.A. possui 6 termos.
Apenas para que você possa conferir, veja abaixo a P.A. completa:
P.A. ( 15, 30, 45, 60, 75, 90 )
Logo: O número 15 possui 6 múltiplos com 2 dígitos.
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Questão 02
Sabemos que com exceção dele próprio, o número zero é múltiplo de todos os números naturais, então
estamos tratando da seguinte P.A.:
P.A. ( 0, 21, 42, ..., a30 )
Estamos em busca do termo a30, sendo que dispomos dos seguintes dados:
Através da fórmula do termo geral vamos identificá-lo:
Logo: O trigésimo múltiplo do número natural 21 é 609.
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Questão 03
Como esta sucessão possui 39 termos, sabemos que o termo central é o a20, que possui 19 termos à sua
esquerda e mais 19 à sua direita. Então temos os seguintes dados para solucionar a questão:
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4. Sabemos também que a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma
dos seus extremos. Como esta P.A. tem um número ímpar de termos, então o termo central tem exatamente
o valor de metade da soma dos extremos.
Em notação matemática temos:
Assim sendo: O primeiro termo desta sucessão é igual a -14.
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Questão 04
Vamos utilizar a fórmula abaixo na resolução do problema:
Temos os seguintes dados:
Substituindo-os na fórmula temos:
Agora que conhecemos a razão da sucessão, podemos partir do termo a20, poderia ser o termo a10 se assim
quiséssemos, para encontrarmos o termo a30:
Assim sendo: O trigésimo termo desta sucessão é igual a 123.
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Questão 05
Do enunciado tiramos que o último termo, a10, é igual a 10. Então podemos utilizar a fórmula a seguir para
solucionarmos a questão:
Dispomos dos seguintes dados:
Substituindo-os na fórmula em busca de a1 temos:
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5. Portanto: O primeiro termo desta progressão é igual a -17.
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Questão 06
Temos os seguintes dados:
Utilizaremos a fórmula abaixo para representarmos a4 em função de a1:
Para n = 4 do termo a4 e m = 1 do termo a1, temos:
Portanto a4 = 4a1 e como sabemos que a1 + a4 = 40 temos:
Como temos uma P.A. com 8 termos, que se inicia em 8 e cuja razão também é igual a 8 temos:
A P.A. procurada é P.A. ( 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 ).
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Questão 07
Na resolução deste problema utilizaremos a seguinte fórmula:
Temos os seguintes dados:
Substituindo estes dados na fórmula acima temos:
Portanto: A soma do quinto ao décimo-nono termo desta P.A. é igual a 847,5.
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Questão 08
Temos então a seguinte progressão aritmética:
P.A. ( a1, a2, a3 )
Como visto na parte teórica, sabemos que podemos representar um termo em função de outro, através da
adição ou da subtração da razão, de n vezes a razão, onde n é a quantidade de termos deslocados de um ao
outro.
Pensando nisto podemos eleger o termo a2 para representarmos todos os outros em função dele, assim:
P.A. ( a2 - r, a2, a2 + r )
Mas por que foi escolhido o termo a2 e não o a1, por exemplo?
Caso tivéssemos escolhido o termo a1 teríamos:
P.A. ( a1, a1 + r, a1 + 2r )
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6. Repare que como a2 é o termo central, ao escolhê-lo temos a possibilidade de eliminarmos a razão r e
encontramos o seu valor ao somarmos todos os termos da P.A., vejamos:
No entanto podemos ver que se tivéssemos escolhido o termo a1 isto não seria possível:
Note que neste caso teríamos uma expressão com duas variáveis, o que não nos permitiria obter o valor das
mesmas a partir de uma única sentença.
Agindo de forma análoga, na expressão do produto iremos escrever os demais termos também em função de
a2, visto que este é um valor já identificado:
Visto que a P.A. é decrescente, a sua razão é negativa. Como a2 = 7, r = -4 e a3 = a2 + r, temos que:
Logo: O valor do último termo desta P.A. é igual a 3.
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Questão 09
Sabemos que através da fórmula abaixo podemos calcular a soma dos n primeiro termos de uma progressão
aritmética. Com o auxílio dela iremos solucionar o problema.
Para a soma dos 5 primeiros termos temos:
Para a soma dos 10 primeiros termos temos:
Expressando estas duas equações em função de a1 temos:
Multiplicando 2a1 + 4r = -14 por -1 e somando com 2a1 + 9r = 1, temos:
Tendo conhecimento do valor da razão, podemos identificar o valor de a1 na expressão 2a1 + 9r = 1:
Finalmente conhecendo-se o valor de a1 e da razão, podemos calcular a soma dos 15 primeiros termos:
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7. Assim sendo: A soma dos 15 primeiros termos desta P.A. é igual a 120.
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Questão 10
Primeiramente iremos calcular a razão da progressão aritmética:
Agora temos como calcular o seu número de termos:
Finalmente iremos calcular o valor de x:
Portanto: O valor de x é 3.
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11) B ///
A1=101
An=999
n=?
r=2
para saber a soma primeiro temos que saber o numero de
termos, n.
An=A1 +(n-1)2
999=100 +(n -1)2
999-101=2n-1
898=2n-2
n=900/2
n=450
agora a soma:
Sn=(A1 +An)n/2
Sn=(101 +999)450/2
Sn=1100*450/2
Sn=495.000/2
Sn=247.500
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12. a) 3325
GRUPO 02
Questão 1
Dados: a1 = 2 ; r = 7 - 2 = 5 ; an = ? ; n = ?
Resolução: an = a1 + (n-1).r
an = 2 + (n -1).5 ==> an = 2 + 5n - 5 ==> an = 5n - 3
Resposta: an = 5n - 3
Questão 2
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