1. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE
CALOR
El calor transferido tiene una dirección así como
también magnitud. La tasa de conducción de calor en
una dirección especificada es proporcional al gradiente
de temperatura, el cual es el cambio en la temperatura
por unidad de longitud en esa dirección, sea en el
sistema cartesiano, cilíndrico o esférico.

2. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE
CALOR
La conducción de calor en un medio, en general, ocurre
en tres dimensiones y depende del tiempo. Esto es, la
temperatura es un campo escalar de la forma,
T = T (x,y,z,t)
lo que significa que la temperatura en un medio varía
con la posición y con el tiempo.

3. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE
CALOR
Entonces, la conducción de calor en un medio se le denomina
en estado estable o estacionario, si la temperatura no cambia
con el tiempo, y se le llama en estado transitorio o transiente si
cambia con el tiempo; por otra parte, se le denomina
unidimensional, si su transferencia es significativa en una
dirección del sistema donde se haga el análisis.

4. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE
CALOR
La temperatura pues puede entonces variar en cualquiera
dirección del sistema coordenado elegido para el estudio,
convenientemente y según la geometría del sistema a
considerar, esto es porque ya en la práctica ingenieril, se conoce
y se ha probado lo útil de escoger esas particulares suposiciones
a los problemas prácticos.

5. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE
CALOR
A manera de recordatorio podemos observar la descripción de
las coordenadas espaciales de un punto en los tres sistemas de
coordenadas, ya estudiados en el tema de transferencia de
masa por difusión.

6. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE
CALOR
El flujo de calor es una magnitud vectorial, así como los son los
flux de masa difusivos y convectivos ya estudiados, razón por la
cual puede escribirse en notación de vectores, pero lo más
importante de esto, es la forma en que puede entonces
expresarse tales flujos en forma diferencial, haciendo caso de la
ya conocida LEY DE FOURIER.

7. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE
CALOR
Estas expresiones representan los flujos de calor a través de las
paredes de un cuerpo o elemento diferencial colocado en el
sistema cartesiano. Por otro lado, dentro de un cuerpo puede
estar ocurriendo un proceso de generación de energía, por
unidad de volumen, tal es el caso por ejemplo, de considerar un
volumen de control tipo reactor nuclear, donde resultaría obvio
porque hay generación de energía si la superficie de control
fuera las paredes del mismo. En cualquier caso, esta generación
puede evaluarse como:

8. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE
CALOR
En caso de que sea uniforma la generación de energía en el
volumen de control, el término dentro de la integral se hace
constante sale de ella, haciendo simple los cálculos, y llamando
a dicho término, tasa de generación uniforme o constante de
calor por unidad de volumen del sistema.
Tal es el caso de una resistencia eléctrica de calentamiento en
un material homogéneo.

9. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Consideremos un cuerpo homogéneo, libre de efectos de movimiento y
circulación de flujos a su alrededor, ubicado en el sistema cartesiano, y
admitiendo que la temperatura es un campo escalar, en ese mismo sistema
de coordenadas.

10. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR
El flujo de calor expresado en las caras de salida del elemento, puede
expresarse según el teorema del valor medio, de la siguiente forma:
Éstas expresiones determinan la tasa de salida en las caras de la superficie
de control, y muy fácil demostrarlo a partir del teorema mencionado.

11. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Dentro del medio puede también existir una fuente de energía
térmica asociada, con una tasa de generación de energía, que
puede describirse así:

12. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Además, pueden existir en el medio, cambios en su energía térmica
almacenada o su energía interna, y si tales cambios ocurren de manera que
los efectos de calor latente son despreciables por no existir cambio de fase,
entonces éste término correspondiente a energía almacenada puede
expresarse como:
En ésta ecuación el triple producto de la densidad, calor específico y tasa de
cambio de la temperatura en el tiempo, se le denomina tasa de cambio de
energía térmica sensible del medio por unidad de volumen del sistema.

13. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Si se expresa la ley de conservación de la energía en su forma más
elemental, ENERGÍA QUE ENTRA MENOS LA ENERGÍA QUE SALE MÁS LA
ENERGÍA QUE SE GENERA MENOS LA ENERGÍA QUE SE CONSUME ES IGUAL A
LA ENERGÍA QUE SE ACUMULA, se obtiene la siguiente ecuación diferencial,
susceptible a reducción:

14. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Haciendo las sustituciones respectivas, y reordenando adecuadamente los
términos:
finalmente, obtenemos la ecuación en coordenadas cartesianas:

15. RESUMEN DE LA ECUACIONES EN LOS TRES TIPOS DE COORDENADAS MÁS COMUNES
CARTESIANAS
CILÍNDRICAS
ESFÉRICAS