maximos, minimos, concavidad, convexidad, representeción

1. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 1
1.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Cuando la pendiente de la recta tangente es positiva la funcion es creciente y cuando la pendiente de la recta
tangente es negativa la función es decreciente. Por tanto:
Signo de la derivada primera:
Si f ´(a)>0  f(x) es creciente en x =a.
Si f ´(a)<0  f(x) es decreciente en x =a .
Ejemplo: Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 23
3)( xxxf 
Calculamos sus puntos singulares






2
0
0)63(;063;63)´( 22
x
x
xxxxxxxf
Estudiamos el signo de f ´(x)
Creciente en (-∞, 0) Decreciente en (0, 2) Creciente en (2, +∞)
Ejemplo: Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
1
)( 2


x
x
xf
Dom f = R
Calculamos sus puntos singulares
 
   22
2
22
2
1
1
1
2·1
)´(






x
x
x
xxx
xf
01
1;01
2
2


x
xx
Estudiamos el signo de f ´(x)
Decreciente en (-∞, -1) Creciente en (-1, 1) Dereciente en (1, +∞)
-1 1
y´<0 y´>0 y´<0
0 2
y´>0 y´<0 y´>0

2. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 2
2.- MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
Una función tiene un máximo relativo en un punto x=x1 si es creciente a su izquierda y decreciente a su
derecha.
Una función tiene un mínimo relativo en un punto x=x2 si es decreciente a su izquierda y creciente a su
derecha.
.
Criterio de variación de la derivada primera:
a) Si una función es derivable en un entorno de un punto y la derivada es positiva a su izquierda y negativa
a su derecha entonces alcanza un máximo relativo en dicho punto.
b) Si una función es derivable en un entorno de un punto y la derivada es negativa a su izquierda y positiva
a su derecha entonces alcanza un mínimo relativo en dicho punto
Ejemplo: Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = -x2
+ 4x. ¿Tiene máximo o mínimo?
Calculamos sus puntos singulares
f ´(x)=-2x+4 2x + 4 =0 x = 2.
Estudiamos el signo de f ´(x)
y´>0 y´<0
2
f creciente en el intervalo (-∞, 2) y decreciente en (2, +∞).
En x = 2 y=f(2)=4 hay un punto máximo
Ejemplo: Hallar los máximos y mínimos relativos de la función
 2
3
1
)(


x
x
xf
Dom f = R-{1}
Calculamos sus puntos singulares
   
 
 
 3
2
4
322
1
3
1
12·1·3
)´(






x
xx
x
xxxx
xf
 
1;01
3,0;03
2


xx
xxxx
Estudiamos el signo de f ´(x)
+ + - +
0 1 3
No tiene máximo relativo al no estar definida en x = 1
Minimo relativo en x = 3
4
27
y

3. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 3
No siempre que f ´(x)=0 se tiene un máximo o un mínimo; ni siquiera esto es una condición necesaria.
 Puede haber mínimo sin que f ´(x)=0. Así, la función f(x)=|x| tiene un mínimo en x = 0 y en ese
punto no es derivable la función.
 Puede suceder que f ´(x)=0 y no haya mínimo ni máximo. Así pasa para la función f(x) = x3
en el
punto x = 0. Su derivada, f ´(x)=3x2
, se anula en x = 0, siendo positiva para x<0 y para x>0, por tanto
en dicho punto no hay máximo ni mínimo sino que es es creciente.
Estos puntos se llaman de puntos de inflexión con tangente horizontal.
Ejemplo: Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=3x5
– 5x3
¿Tiene máximo o
mínimo?
Calculamos sus puntos singulares
f ´(x)= 15x4
-15x2
; x2
(15x-15) = 0 ; x=0 y x=1
Estudiamos el signo de f ´(x)
En x=0 y = 0 tiene un punto de inflexión con tangente horizontal
En x=1 y= f(1) = -2 tiene un mínimo relativo
Criterio de la derivada segunda:
Si las derivadas de una función en un punto son cero y la primara derivada no nula es de orden par entonces
la función alcanza un máximo relativo si esta es negativa y un mínimo relativo si es positiva
Ejemplo: Hallar los máximos y mínimos relativos de la función 168)( 24
 xxxf
20;0)4(4;0164
164)´(
23
3


xxxxxx
xxxf
1612)´´( 2
 xxf
f´´(-2) = 48-16>0 mínimo relativo en x =-2
f´´(0) = -16 máximo relativo en x =0
f´´(2)=48-16>0 mínimo relativo en x =-2
0 1
y´<0y´<0 y´>0

4. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 4
3.- CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
Una función es cóncava hacia arriba o convexa si su gráfica está situada por encima de las rectas tangentes; y
es cóncava hacia abajo o cóncava si está situada por debajo de ellas
f cóncava hacia arriba ( convexa) f cóncava hacia abajo (concava)
Signo derivada segunda
Si f ´´(x0)>0  f(x) es cóncava hacia arriba (convexa) en x = x0.
Si f ´´(x0)<0  f(x) es cóncava hacia abajo (cóncava) en x = x0 .
Ejemplo: Halla los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x)= x3
-3x2
- x.+3 ¿Tiene puntos de
inflexión?
Calculamos los puntos f ´´(x)=0
f ´´(x)=6x - 6 = 0 x=1
Estudiamos el signo de f ´´(x)
Para los x < 1, f ´´(x) =-6x-6< 0  la función es cóncava.
Para los x > 2, f ´´(x) = 6x-6,>0  la función es convexa.
y´´<0 y´´>0
 1 
La función es cóncava en el intervalo (-∞, 1) y convexa en (1, +∞).
En x = 1 y= f(1)=0 hay un punto de inflexión..
Ejemplo: Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
1
)( 2


x
x
xf
Dom f = R
 
   22
2
22
2
1
1
1
2·1
)´(






x
x
x
xxx
xf
    
 
  
   42
3
42
332
42
2222
1
62
1
44221
1
212112
)´´(









x
xx
x
xxxxx
x
xxxxx
xf
Calculamos los puntos donde f´´(x)=0 o no existe f´´(x)
  3,3,0;032
2
 xxxxx
Estudiamos el signo de f´´(x)
- + - +

3

0

3

f es cóncava en (-, 3 ), convexa en ( 3 ),0), cóncava en (0, 3 ) y convexa en ( 3 ,+)

5. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 5
3.- PUNTOS DE INFLEXION
El punto donde cambia la curvatura, y en el que la recta tangente atraviesa la gráfica, recibe el nombre de
punto de inflexión
Punto de inflexión
Criterio de variación de la derivada segunda:
Si la derivada segunda tiene distinto signo a la izquierda que a la derecha de un punto entonces dicho punto
es un punto de inflexión.
Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de xxxxf 96)(
23

f´(x)= 3x2
- 12x + 9 f´´(x)=6x - 12
Calculamos los puntos f ´´(x)=0
6x - 12 = 0 x=2
Estudiamos el signo de f ´´(x)
y´´<0 y´´>0
 2 
La función es cóncava en el intervalo (-∞, 2) y convexa en (2, +∞).
En x = 2 y= f(2)=2 hay un punto de inflexión
Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de la función
 2
3
1
)(


x
x
xf
Dom f = R-{1}
   
   3
23
4
322
1
3
1
12·1·3
)´(






x
xx
x
xxxx
xf
     
     44
23223
6
22332
1
6
1
936363
1
133163
)´´(








x
x
x
xxxxxx
x
xxxxxx
xf
Estudiamos el signo de f´´(x)
- + +

0

1

Punto de inflexión x=0 y=0
Criterio de la derivada tercera:
Si a partir de la derivada segunda las derivadas de una función en un punto se anulan y la primera derivada
no nula en dicho punto es de orden impar entonces es un punto de inflexión.
Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de xxxxf 96)( 23

f´(x)= 3x2
- 12x + 9 f´´(x)=6x – 12 f´´´(x)= 6
6x-12=0 ; x=2
F´´´(2)=6≠0  En x=2 y= f(2)=2 punto de inflexión.

6. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 6
4 REPRESENTACION DE FUNCIONES POLINOMICAS
Ejemplo: Representar f(x) = x3
– 3x2
+ 4
a) Dominio de definición
Dom f = R
b) Corte con los ejes
x = 0 y= 4  (0, 4)
y=0 x3
– 3x2
+ 4 = 0     
 





0,22;044
0,11
0441 2
2
xxx
x
xxx
x+1 1 -3 0 4
-1 -1 4 -4
1 -4 4 0
c) Asintotas: las funciones polinómicas de grado mayor que uno no tienen asintotas
d) Crecimiento y decrecimiento
f ´(x) = 3x2
-6x ; x(3x-6)=0 ; x=0 y x=2
y´>0 y ´<0 y ´>0
0 2
e) Máximos y mínimos relativos
x=0 y= 4 (0, 4) máximo relativo
x= 2 y = 8-12+4= 0 (2, 0) mínimo relativo
5 REPRESENTACION DE FUNCIONES RACIONALES
Ejemplo: Representar
2
3
( )
1
x
f x
x



a) Dominio de definición
Dom f = r – {-1}
b) Corte con los ejes
x=0 y= 3 (0,3)
y=0
2
23
0 3 0 3
1
x
x x
x

    

no corta
c) Asintotas
2
1
2
1
3 4
1 0
sin 1
3 4
1 0
x
x
x
Lim
x
A tota Vertical x
x
Lim
x





  

  
  

7. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 7
x2
+ 3 x + 1
-x2
- x x - 1
-x + 3
x + 1
4
Asintota oblicua y= x - 1
d) Crecimiento y decrecimiento
 
   2
2
2
2
1
32
1
3)1(2
)´(






x
xx
x
xxx
xf
1;01
31;0322


xx
xxxx
E) Máximos y mínimos relativos
x = -3 y = -6 (-3, -6) máximo
x =1 y = 2 (1, 2) mínimo
5 REPRESENTACION DE OTRAS FUNCIONES
Representar
x
x
xf
ln
)( 
a) Dominio de definición
Dom f = (0,1)U(1,+)
b) Corte con los ejes
x=0 definidaestáno
0ln
0
y
y=0 cortaNoDomf0;0
ln
 x
x
x
c) Asintotas
Verticales
0
0
ln
lim
0




 x
x
x
No tiene Asintota vertical en x=0
1xverticalAsintota
0
1
ln
lim
0
1
ln
lim
1
1

















x
x
x
x
x
x
Horizontales


enhorizontalasintotatieneno
ln
lim
x
x
x
-3 -1 1
y´>0 y´<0 y´<0 y´>0

8. TEMA : APLICACIONES DE LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 8
Oblicuas







enoblicuaasintotatieneNo0
ln
1
lim:
ln
lim
x
x
x
x
xx
d) Crecimiento y decrecimiento
x
x
x
x
xx
xf 22
ln
1ln
ln
1
·ln
)´(




y´<0 y´<0 y´>0
0 1 e
E) Máximos y mínimos relativos
x=e y=e mínimo relativo