Describe algunos de los problemas clásicos de las matemáticas con avances recientes y no tan recientes en su solución

1. Fronteres de les matemàtiques:
progressos recents i no tan recents
en alguns problemes clàssics
Casal Sant Martí
Campelles, 6 d’agost del 2013

2. Sumari
• Els problemes de Hilbert
• Els problemes del mil·lenni
• L’infinit i l’hotel de Hilbert
• La hipòtesi del continu
• Els nombres primers i altres conjectures sobre
els nombres naturals
• Es P = NP?
• La hipòtesi de Riemann

3. Els problemes de Hilbert
En el congrés de matemàtiques de París en el 1900 Hilbert va donar una llista
de 23 “problemes” (de fet només en va presentar 10 en la seva conferència, la
llista de 23 va aparèixer per escrit) que havien de motivar la recerca
matemàtica en el segle XX. Alguns són més un programa de recerca que
problemes concrets.

4. Els problemes de Hilbert
• Dels 23, 5 encara no s’han resolt
• Un es considera massa inconcret
• 17 s’han resolt total o parcialment, però
alguns de forma sorprenent, com la hipòtesi
del continu de la qual parlarem, però abans
hem de parlar de l’infinit, o millor dels infinits!

5. Els problemes del mil·lenni
• Són 7 i els va proposar el Clay Mathematics
Institute, creat en el 1998 per Landon Clay
• Landon Clay, llicenciat de Harvard, ha estat un
home de negocis d’èxit, financiador d’empreses
científiques i filàntrop en els camps de
l’arqueologia, astronomia, biologia i
matemàtiques. Es un gran creient en la
importància de les matemàtiques pel futur de la
humanitat.
• Els premis estan dotats amb un milió de dòlars

6. Els problemes del mil·leni
• Els problemes del mil·leni són més difícils de
descriure que els de Hilbert
• Només un coincideix: la hipòtesi de Riemann
• Només un ha estat resolt: La conjectura de
Poincaré, pel matemàtic rus
Perelman, medalla Fields
• Perelman no va anar ni a recollir la medalla
Fields ni el milió de dòlars

7. Els problemes del mil·lenni
Landon Clay
Grigori Perelman

8. L’infinit
• Curiositats sobre l’infinit. L’hotel de Hilbert
• Es un hotel amb infinites habitacions:
1,2,...,n,... I està complet, però es presenta un
nou client, com ens ho fem?
• Fàcil, traslladem cada hoste a la següent
habitació, així la primera queda lliure pel nou
hoste

9. L’hotel de Hilbert
• Però la cosa és complica, arriba un autobús
que porta infinits turistes
• Cap problema: movem cada hoste de la seva
habitació a la que té el número doble, així
queden vacants totes les senars: 1,3,5,... i
podem acollir tots els turistes
• Encara es complica més, arriben una infinitat
d’autobusos amb una infinitat de turistes
cadascun d’ells

10. L’hotel de Hilbert
• Gràcies a Déu, el gerent de l’hotel és un
matemàtic
• Decideix enumerar els autobusos amb els
nombres primers que són infinits com veurem
desprès: el primer autobús és el número 3, el
següent el 5, el següent el 7, etc...buidant primer
les habitacions senars enviant cada hoste a
l’habitació doble
• Els passatgers de cada autobús els enumera amb
els nombres naturals 1,2,3,...

11. L’hotel de Hilbert
• Ara usa exponents de nombres primers i
col·loca el primer passatger del primer
autobús a l’habitació 3, el següent a
l’habitació 3 elevat a la 2 (la 9), el següent a la
3 elevat a la 3 (la 27), etc...
• El primer del segon autobús a la 5, el següent
a la 5 elevat a la 2 (la 25), el següent a la 5
elevat a la 3 (la 125), etc...

12. L’hotel de Hilbert
• Fixem-nos que totes les habitacions són diferents
• I que, endemés, algunes habitacions, aquelles en
les que el seu número no és una potència d’un sol
primer ni parell com la 15, queden desocupades!!
• Un mètode semblant es pot fer servir per tres
nivells d’infinits (infinits portaavions, amb infinits
autobusos amb infinits passatgers)
• Això és quasi un miracle més gran que el que va
fer Jesuscrist a les noces de Canà!
• http://www.youtube.com/watch?v=faQBrAQ87l4

13. Hi ha diversos infinits?
Georg Cantor. Vegeu: “Los lógicos” de Jesús Mosterín

14. El continu és més gran que l’infinit dels
nombres naturals
• L’interval (0,1) és equivalent a tota la recta
real (funció tan(pi(x-0,5)))
• Ho fem per reducció a l’absurd
• Imaginem que tenim una llista completa de
tots els nombres reals del 0 al 1:
0,37925...
0,21792...
0,96528...

15. El continu és més gran que l’infinit dels
nombres naturals
• Imaginem que tenim una llista completa de tots
els nombres reals del 0 al 1:
0,37925...
0,21792...
0,96528...
...
Ara definim un nou nombre real entre 0 i 1
variant la primera xifra del primer, la segona del
segon, la tercera del tercer, etc. Per exemple:
0,127... Aquest nombre no està a la llista

16. Hipòtesi del continu
• Entre els nombres naturals i el continu no hi
cap infinit entre ells (Georg Cantor). Es el
primer problema de Hilbert.
• Kurt Gödel (1940) :La hipòtesi del continu és
compatible amb els axiomes de la matemàtica
(ZFC)
• Paul Cohen (1963): La HC és independent de
ZFC

17. Kurt Gödel

18. Paul Cohen, medalla Fields 1966

19. Els nombres primers
• Són infinits (Euclid):
• Si p(1), p(2),...,p(n) fossin tots els primers:
m=p(1)xp(2)x...xp(n) + 1 no és divisible per cap
d’ells. Per tant, o bé m és un nou primer o té
divisors primers que no són cap dels
p(1),p(2),...,p(n)
Els nombres naturals són universals (pel·lícula
“Contact”) . En un altre univers la seva
dimensió, les lleis i les constants físiques serien
diferents, però els nombres naturals són
universals

20. Com estan distribuïts els nombres
primers?
• El teorema dels nombres primers va ser conjecturat
per Legendre en el 1798, refinat per Gauss i
demostrat, de forma independent, per Hadamard i
Vallée Poussin en el 1896
• Si p(x) = nombre de primers menors o iguals a x, el
teorema diu que la densitat de nombres primers p(x)/x
és aproximadament igual a 1/lnx i que són iguals en el
límit quan ens acostem a infinit. Si x
=10.000.000.000, p(x)/x=0,045 i 1/lnx=0,043
• Els nombres primers són importants en criptografia
(vendes per internet)

21. La funció logaritme neperià

22. La funció 1/lnx

23. Però hi ha primers propers
• Els primers que es diferencien en dues unitats
com 29 i 31 s’anomenen bessons
• Problema hi ha infinits bessons?
• Encara que la densitat de nombres primers
disminueix, n’hi hauran sempre de bessons?
• Els bessons més grans coneguts:
2,003,663,613 × 2195,000 − 1 i 2,003,663,613 ×
2195,000 + 1

24. Resultat molt recent
• Ara el matemàtic xinés Yitang Zhan ha
demostrat que existeixen una infinitat de
nombres primers separats per una constant N
que no és 2 encara (com diu la conjectura)
però N és un nombre inferior a 70 milions. Un
resultat important perquè és la primera
vegada que es demostra que hi ha una
infinitat de nombres primers separats per una
constant

25. Yitang Zhang

26. La conjectura de Goldbach
• Tot nombre parell més gran que 2 és suma de
dos primers. Exemple 24= 11 + 13.
• Enunciada per Euler en resposta a una carta
de Goldbach en el 1742. Goldbach va
enunciar la conjectura dèbil: tot enter senar
més gran que 5 és la suma de tres primers.
• La versió forta implica la dèbil.
• Comprovada fins 1.000.000.000.000.000.000

27. Leonhard Euler
Un dels matemàtics més importants de la
història i el més prolífic
Va definir el nombre e i va establir la famosa
fórmula que relaciona els 5 nombres més
famosos

28. La conjectura de Goldbach
• Chen va demostrar en el 1973 que tot nombre
parell suficientment gran és suma de dos
primers o d’un primer i un producte de dos
primers. La cota és ara 10^43.000 massa alta
per a comprovar els nombres més petits per
ordinador
• En el 2013 Harald Helfgott, un matemàtic
peruà, provà la conjectura dèbil (el resultat
s’està comprovant)

29. Sumari
• Els problemes de Hilbert
• Els problemes del mil·lenni
• L’infinit i l’hotel de Hilbert
• La hipòtesi del continu
• Els nombres primers i altres conjectures sobre
els nombres naturals
• Es P = NP?
• La hipòtesi de Riemann

30. Es P=NP
• Aquest és un dels problemes del mil·lenni
• Hi ha problemes que es poden resoldre en un
nombre de passos que depèn suaument en el
nombre de variables. Exemple multiplicar dos
nombres de n xifres requereix n^2 + n passos.
Diem que es poden resoldre en temps
polinòmic o que pertanyen a la classe P.
Aquests problemes es consideren “senzills”

31. La classe NP
• Hi ha problemes les solucions dels quals són
fàcils de comprovar, però trobar la solució pot
ser molt difícil. Diem que pertanyen a la classe
NP
• Donat un conjunt de nombres enters, hi ha
algun subconjunt que sumi zero?
• {−2, −3, 15, 14, 7, −10} En aquest cas és fàcil
comprovar que una solució és -2,-3,-10 i 15

32. El problema del viatjant
• Un d’ells és el problema del viatjant de
comerç:optimitzar la distància en visitar n ciutats
• L’algoritme més obvi, examinar totes les
permutacions i fer les sumes corresponents és
aviat inviable, per 10 ciutats hi ha 3.628.800
casos. Per 25 supera els 15 quadrilions
• Al 1998 un equip de matemàtics va trobar el
resultat per les 13.509 ciutats de més de 500
habitants dels E.U.A.

33. Es P = NP
• Molts problemes de la indústria són
semblants com els d’organitzar diverses línies
de producció algunes de les quals depenen de
les altres.
• Trencar un codi criptogràfic és un problema
NP. Si es demostra que P=NP podríem tenir un
problema de seguretat a internet!
• Stephen Cook en el 1971 va demostrar que hi
ha problemes anomenats NP complets.

34. Stephen Cook

35. NP complet
• Tot problema NP es pot reduir en temps
polinòmic a un qualsevol NP complet
• El problema del viatjant és NP complet
• En el 2010 Vinay Deolalikar va presentar una
demostració de que NP era més gran que
P, però sembla que hi ha errors en la
demostració

36. Alguns algoritmes que donen solucions
aproximades al P. del V.
• Anar a la ciutat més propera no visitada. De
promig dóna una resposta que només és un 25%
que la òptima per a ciutats distribuïdes a l’atzar
• Algoritme de les formigues. S’inspira amb el que
fan les formigues en una colònia quan busquen
menjar. Moltes formigues virtuals segueixen
camins a l’atzar i dipositen una quantitat de
feromones inversament proporcional a la
distància

37. La hipòtesi de Riemann
• El problema de Basilea consisteix en trobar la
suma exacta dels inversos dels quadrats dels
nombres naturals:
• Resultat obtingut per Euler aproximadament
igual a 1,644934.
• La funció zeta de Riemann és:
• (per s complex de part real més gran que 1)

38. Bernhard Riemann

39. La funció zeta de Riemann
• Resulta que es pot estendre a tot el pla complex
excepte en el punt (1,0)
• Aquesta funció s’anul·la en els punts de la recta
real -2,-4,... (s’anomenen punts trivials)
• Els únics altres llocs on s’ha trobat que s’anul·la
és en la recta vertical que passa per el punt
(1/2, 0)
• La hipòtesi de Riemann és que no hi ha més
punts on s’anul·li que els situats en aquesta recta
anomenada recta crítica (i els trivials)

40. Per què és important la HR?
• Molts teoremes es basen en que és certa
• Té a veure amb refinaments del teorema de la
distribució dels nombres primers
• S’han trobat més de 10 bilions de punts on
s’anul·la la funció, tots en la recta crítica
• Hilbert va dir:“Si em dormís i em despertés al cap
de mil anys la primera cosa que faria seria
preguntar: ‘S’ha resolt la hipòtesi de Riemann’?”
• Té relació amb la mecànica quàntica i Alain
Connes intenta una demostració via la mecànica
quàntica

41. Què hem aprés?
• Entre els més famosos problemes de les matemàtiques estan la llista de Hilbert (alguns resolts i
altres no) i la del mil·lenni
• L’infinit és subtil
• Hi ha molts infinits que no són iguals i ho hem demostrat
• El problema de si hi ha infinits entre el dels nombres naturals i el dels nombres reals és indecidible
en l’axiomàtica habitual de la teoria de conjunts
• Hem demostrat que hi ha infinits nombres primers
• Tenim certes idees generals de com es distribueixen els nombres primers, però no sabem si hi ha
infinits primers bessons
• Hi ha aproximacions a la conjectura de Golbach. Sembla demostrat que tot senar més gran que cinc
és suma de tres primers
• El problema més important de la teoria de la computació és si la classe de problemes que admeten
algoritmes polinòmics és igual a aquells la solució dels quals, una vegada coneguda, es pot
comprovar en temps polinòmic. Això té conseqüències pràctiques . La major part dels matemàtics
creuen que les dues classes no són iguals.
• Hi ha certs problemes com el del viatjant que si són a la classe P es demostraria que P=NP
• La hipòtesi de Riemann, pot ser el problema més famós i més important no resolt, és l’únic que
està a les dues llistes (Hilbert i mil·lenni). Molts teoremes depenen de que sigui certa.