TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO 2. DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO

DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO
T1. TRAZADOS FUNDAMENTALES
EN EL PLANO.
Paralelas
Perpendiculares
Ángulos
Mediatriz y Bisectriz
Teorema de Thales
Media, Tercera y Cuarta Proporcional
Árco Capaz
P
P´
r
m
m´
n
n´
s

TRAZADO DE LA PERPENDICULAR A UNA SEMIRECTA EN SU EXTREMO
T1. TRAZADOS EN EL PLANO. Trazados fundamentales, Arco capaz, Media proporcional...
O
r

O12345
r
Se toman cinco partes iguales sobre la
semirrecta Or, tomando como origen O

O12345
r
Se traza un triángulo rectángulo de
lados 3, 4 y 5 (estos números son
pitagóricos, se verifica:
3 + 4 = 5 ).
Primero trazamos el arco O4
2 2 2
O4

O
P
12345
r
Trazamos el arco O5 desde el 3.
Donde corta dicho arco al anterior
tenemos el vértice P del triángulo
rectángulo
O4
O5

O
P
12345
r
Uniendo O con P tenemos la
perpendicular buscada
O4
O5

TRAZADO DE LAS RECTAS PARALELAS A OTRA A UNA DISTANCIA DADA
r
t
distancia de las paralelas

rR S
t
Se toman dos puntos cualesquiera R y S de la recta r, y se trazan dos
perpendiculares por ambos puntos.
En este caso se ha utilizado el método basado en la mediatriz, pero se
pueden trazar con escuadra y cartabón

rR
H
G
F
E
S
t
Con centro en R y S y radio t, se trazan los arcos que cortan a las
perpendiculares anteriores en E, F, G y H
t
t

r
s
u
R
H
G
F
E
S
t
Las rectas s y u son las paralelas buscadas
t
t

TRAZADO DE LA RECTA QUE, PASANDO POR UN PUNTO P,
SEA CONCURRENTE CON OTRAS DOS RECTAS r Y s QUE
SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
s
P

P
r
m
n
s
Por P trazamos dos rectas cualesquiera Pm y Pn, que cortan a r y s
respectivamente. bTrazamos el triángulo mnP.

A partir de un punto cualquiera m´ de r, trazamos el triángulo m´n´P´, cuyos
lados son paralelos al triángulo construido anteriormente
P
P´
r
m
m´
n
n´
s

P
P´
r
m
m´
n
n´
s
La recta solución es P P´.

Lugar geométrico de los puntos del plano
que equidistan de los puntos A y B
A B

A
R R
B
El lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de los
puntos A y B es la
MEDIATRIZ DE AB

A B
R R
puntos A y B es la
MEDIATRIZ DE AB

A B
R
R1 R1
O1
R
puntos A y B es la
MEDIATRIZ DE AB

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO CUYOS LADOS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
s
r

s
r 1.En primer lugar trazamos una
línea auxiliar que corte r y s

A
s
r 2. La recta auxiliar forma cuatro ángulos
entre r y s.
Trazamos las bisectrices de
dichos ángulos, que se cortarán
en dos puntos A y BB

s
r
A
B
3. Unimos A y B y obtenemos
la BISECTRIZ

TRAZADO DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO MIXTILINEO
o
s
r
V

o
s
rd
d
1. Trazamos paralelas a la recta r a una
distancia arbitraria d
V

o
s
rd
d
2. Trazamos un radio cualquiera del arco s
V

o
s
rd
d
d
d
3. Sobre dicho radio, y en la parte interna del arco,
marcamos la distancia d tanta veces como
paralelas hemos hecho a r
V

o
s
rd
d
2
d
d
4. Trazamos arcos de circunferencia con centro en O
y radio hasta cada una de las divisiones que hemos
hecho con distancia d en la parte interna del arco.
Así, obtenemos los puntos 1, 2
1
V

o
s
rd
d
2
d
d
5. Uniendo V con 1, 2... obtendremos la curva
que equidista de r y s
1
V

o
s
rd
d
4
13
2
d
d
d
6. Trazamos arcos a la misma distancia que los
anteriores, pero ahora por la parte externa a s.
Así conseguimos los puntos 3 y 4
V
d

o
s
r
V
d
d 1
2
d
d
d
d
7. Unimos V con los puntos 3, 4... y obtenemos la
segunda curva del resultado, que equidista de r y s
Cuantos más puntos hallemos, más podremos
concretar la curva resultado, que hemos de trazar
a mano o con plantilla de curvas
4
3
d

TRAZADO DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO CURVILINEO
o1
o2
r s
V

o1
o2d
d
d
d
d
3
2
1
d
1. Aplicando el mismo procedimiento
que en el ejercicio anterior, realizamos
arcos internos y externos a r y s
respectivamente, siempre a partir de
un radio auxiliar.
Estos arcos se cortarán en los
puntos 1, 2 y 3
r
V
s

o1
o2d
d
d
d
d
3
2
1
d
2. Uniendo el punto V con los puntos
1, 2, 3, conseguimos la línea cuyos puntos
equidistan de los arcos r y s
r
V
s

V
CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON EL COMPÁS
Ángulo de 60º
1
Para hacer un ángulo de 60º nos basamos en la construicción
de un triángulo equilátero. Los ángulos de un triángulo equilátero
miden 60º.
Trazamos un arco arbitrario desde V, obteniendo el punto 1
60º
60º60º

Ángulo de 60º
V
1
2
Trazamos un arco 1V y obtenemos el punto 2

Ángulo de 60º
V
60º
1
2
Uniendo V2 obtenemos el lado del ángulode 60º que buscamos

Ángulo de 30º
V 1
2
Se comienza realizando un ángulo de 60º
como se ha visto anteriormente

Ángulo de 30º
V 1
2
3
Se realiza la bisectriz del ángulo 2V1,
y ya tenemos el ángulo de 30º

Ángulo de 30º
V 1
2
3
30º

Ángulo de 15º
V 1
2
Comenzamos por hacer un ángulo de 30,
para ello hacemos la bisectriz al de 60 (2V1)

Ángulo de 15º
V 1
2
3

Ángulo de 15º
V 1
2
3
30º

Ángulo de 15º
V 1
2
34
30º 15º

Ángulo de 90º
V 1

Ángulo de 90º
V 1
2

Ángulo de 90º
V 1
23

Ángulo de 90º
V 1
23
4

Ángulo de 90º
V 1
23
90º
4

Ángulo de 75º
V 1
23
4
Se comienza realizando un ángulo de 90º
como se ha visto anteriormente

Ángulo de 75º
V 1
23
4
Se traza una recta V2 como si trazáramos
un ángulo de 60º
60º

Ángulo de 75º
V 1
23
5
4
El ángulo 5V2 es de 30º. Si le hallamos la
mediatriz obtendremos 15º, que sumados
a los sesenta anteriores son 75º
15º
60º

Ángulo de 75º
V 1
2 75º3
5
4
El ángulo 5V2 es de 30º. Si le hallamos la
mediatriz obtendremos 15º, que sumados
a los sesenta anteriores son 75º
15º
60º

Ángulo de 37º 30´
V 1
2 75º3
5
4
37º30´ son la mitad de 75º, por tanto
trazamos un ángulo de 75º y le hacemos
la bisectriz
15º
60º

V 1
2
60º
3
5
4
37º30´ son la mitad de 75º, por tanto
trazamos un ángulo de 75º y le hacemos
la bisectriz
15º
75º

V 1
2
60º 37º30´
75º3
5
4
Ya tenemos el ángulo de 37º30´
15º

Ángulo de 45º
V 1
23
4
5
Se realiza un ángulo de 90º
90º

Ángulo de 45º
V 1
23
4
5
6
45º
Se realiza la bisectriz del ángulo 5V1 de 90º,
90º

Ángulo de 105º
V 1
2
60º
75º
Se obtiene sumando 90 + 15,
por tanto hacemos el de 75 y sumamos
los 15 que restan entre el de 90 y el de 75
15º

Ángulo de 105º
V 1
2
60º
75º
105º
Se obtiene sumando 90 + 15,
por tanto hacemos el de 75 y sumamos
los 15 que restan entre el de 90 y el de 75
15º

Ángulo de 120º
V1
2
Comenzamos como si trazáramos el ángulo de 60º
pero al otro lado del vértrice, en este caso a la izquierda.
60º

Ángulo de 120º
V1
2 30º
60º 90º
De esta menera tendremos 90 + 30 =120.

30º
Ángulo de 120º
V1
2
60º 120º
De esta menera tendremos 90 + 30 =120.

Ángulo de 135º
V
Trazamos un ángulo de 90º
90º

90º
45º
Ángulo de 135º
V
Hallamos la bisectriz del ángulo recto de la izquierda,
así conseguimos 45º que sumados a los 90º
anteriores suman 135º

90º
135º45º
Ángulo de 135º
V
Hallamos la bisectriz del ángulo recto de la izquierda,
así conseguimos 45º que sumados a los 90º
anteriores suman 135º

Ángulo de 150º
V
Trazamos un ángulo de 90º
90º

Ángulo de 150º
V
Si a 90º le sumamos 60º por el método explicado anteriormente,
tendremos 150º
90º
60º

Ángulo de 150º
V
Si a 90º le sumamos 60º por el método explicado anteriormente,
tendremos 150º
90º
150º
60º

Ángulo de 180º
V
El ángulo de 180º es aquel cuyos lados están
en la misma línea recta. Son dos ángulos de 90º
consecutivos
180º

Lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve
el segmento AB bajo un ángulo recto
A B

Lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve
el segmento AB bajo un ángulo recto
A B
M
del plano desde los que se ve el
segmento AB bajo un ángulo recto
es UN ARCO CAPAZ DE 90º,
es decir,
UNA CIRCUNFERENCIA
CON CENTRO EN LA
MEDIATRIZ DE AB

ARCO CAPAZ
Determina el ARCO CAPAZ de 60º para el segmento AB
A B
Arco Capaz de un segmento AB bajo un ángulo V
es el lugar geométrico de los puntos del plano desde
los cuales se ve el segmento bajo ese ángulo
A

ARCO CAPAZ
A
60º
B
1. Trazamos un ángulo de 60º
utilizando como uno de sus lados
el segmento AB y como vértice
el punto A
A

ARCO CAPAZ
A
60º
B
2. Prolongamos el lado r del ángulo
y utilizando de nuevo el vértice A,
trazamos un ángulo recto sobre r
A

ARCO CAPAZ
A
60º
B
M
O
3. Trazamos la mediatriz de AB,
que corta a la recta anteriormente
trazada en el punto O, centro
del arco capaz que buscamos
A

ARCO CAPAZ
A
60º
B
M
O
4. Trazamos el arco OA u OB,
que es el arco capaz de 60º del
segmento AB
A

ARCO CAPAZ
A
60º
60º
B
M
O
5. Todos los ángulos que tracemos
con vértice en la circunferencia
y los lados pasen por A y B,
medirán 60º
A

A
60º
60º
60º
BA
5. Todos los ángulos que tracemos
con vértice en la circunferencia
y los lados pasen por A y B,
medirán 60º
ARCO CAPAZ
M
O

A B
ARCO CAPAZ

ARCO CAPAZ
A B
135º

ARCO CAPAZ
A
O
B
135º

Construye un TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES sabiendo que
LA HIPOTENUSA = 66mm
Al tratarse de un triángulo rectángulo, sabemos
que el ángulo opuesto a la hipotenusa ha de ser
de 90º. Haciendo un arco capaz de 90º podremos
situar la curva donde se encontrará el vértice
opuesto.
Además, se trata de un triángulo isósceles, por tanto
los dos catetos serán iguales y tendrán su vértice común
en la mediatriz de la hipotenusa
BA
66 mm
APLICACIÓN DEL ARCO CAPAZ en la construcción de TRIÁNGULOS

66 mm
BA M
El centro del arco capaz de 90º
se encuentra siempre en el punto
medio de dicho segmento

BA M
66 mm

B
C
b a
cA M
66 mm

Dados los lados a y b y el ángulo A opuesto al lado a, traza el triángulo ABC
a
A
b

B C
Sobre una línea auxiliar, trazamos
el segmento a, cuyos puntos
extremos serán B y C a
a
A
b

A
B C
Bajo el segmento a y con
vértice en B,
trazamos el ángulo A a
r
a
A
b

A
B C
Trazamos la mediatriz
del segmento BC
a
r
a
A
b

A
a
r
B C
Trazamos sobre la recta r
un ángulo recto con
vértice en B, que cortará a la
mediatriz anterior en el
punto O, centro del arco
capaz buscado
a
A
b
O

A
a
a
r
B C
A
b
Con centro en O, trazamos
el arco capaz de radio OB
O

A
a
a
b
r
B
A
C
A
b
Trazamos el arco de centro C
y distancia el lado b,
que corta al arco capaz en el
punto A
O

A
a
a
b
r
B
A
O
C
A
b
Uniendo ABC tenemos
el triángulo buscado
b
c

A
a
a
b
b c
r
B
A
O
C
A
b
La segunda solución sería
trazando el arco de centro B
y distancia el lado b

APLICACIONES DEL ARCO CAPAZ
Determinar EL PUNTO V desde el que se VEN LOS SEGMENTOS AB y BC BAJO
ÁNGULOS DE 45º y 120º RESPECTIVAMENTE
C
B
A

C
B
45º
A

C
O1
B
45º
A

120º
C
O1
B
45º
A

C
O1
B
45º
120º
A

120º
C
V
O1
B
45º
A

120º
C
V
O1
B
45º
120º
A

C
V
A
O1
B
45º
120º
120º
45º

Q
P
b
a
Determinar los ángulos de 75º cuyos vértices equidistan de las rectas a y b y los lados contengan, uno al
punto P y el otro al punto Q. Todos los trazados deben quedar dentro del espacio destinado al ejercicio

Q
P
b
a 1. Para que los puntos que
buscamos equidisten de las
rectas a y b, deben pertenecer
a la bisectriz de ambas, por
tanto aplicamos el procedimiento
de trazado de bisectriz en un ángulo
de vértice desconocido.
En primer lugar trazamos una
línea auxiliar que corte a y b

Q
P
C
b
a 2. La recta auxiliar forma cuatro ángulos
entre a y b.
Trazamos las bisectrices de
dichos ángulos, que se cortarán
en dos puntos C y DD

Q
P
b
a
C
D
3. Unimos C y D y obtenemos
la BISECTRIZ

Q
P 75º
b
a
C
D
4. Unimos los puntos P y Q para
formar un segmento al que trazaremos
un arco capaz de 75º

Q
P
O
75º
b
a
C
D
5. Trazamos un arco de 75º el
segmento PQ, prolongamos el lado
nuevo del ángulo y trazamos una
perpendicular al mismo en el punto P.
Donde esta perpendicular corte
a la mediatriz de PQ tendremos
el centro del arco capaz de 75º

Q
P
O
V1
V2
75º
b
a
D
C
6. Al trazar el arco capaz, éste cortará a
la bisectriz en dos puntos solución:
V1 y V2.

Q
P
O
V1
V2
75º
75º
75º
b
a
D
Desde ambos, el segmento PQ se verá
bajo ángulos de 75º

En todo cuadrilátero inscrito, son iguales los ángulos que
forman las diagonales con dos lados opuestos
Un cuadrilátero está INSCRITO
en una circunferencia cuando sus
cuatro vértices están en ella
A
A
A2
D2
D1
C1
B1
B2
C2
A1B
B
C C
D
D
O
O
CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES EN UNA CIRCUNFERENCIA

CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES EN UNA CIRCUNFERENCIA. Aplicacciones
Construir el trapecio isosceles inscrito en la circunferencia dada del que el segmento AC es
una de sus diagonales y sabiendo que el ángulo que forman la otra diagonal BD
y el lado BC es de 22º 30´
En un trapecio isósceles, uno de
los lados iguales forma con
una diagonal el mismo ángulo
que el otro lado igual forma
con la otra diagonal.
Esto permite hallar el
vértice D, ya que el lado AD
formará con la diagonal AC
ángulo de 22º30´ (mitad de
un ángulo de 45º)
O
A B
CD
22º30´
22º30´
A
C

1. Trazamos un ángulo de
22º30´sobre la diagonal AC
dada.
Ya que el ángulo a trazar es
la mitad de un ángulo de 45º,
podemos trazar un ángulo recto,
practicarle la bisectriz y posterior-
mente aplicamos la bisectriz al
ángulo de 45º
A
D
O
A B
CD
C
22º30´
22º30´
22º30´

2. Al tratarse de un trapecio
isósceles, las dos diagonales son
iguales, por tanto, si trazamos
desde D un arco de radio la
medida de la diagonal AC,
dicho arco cortará a la
circunferencia en el punto B,
único vértice que nos queda
por calcular.
A
B
D
O
A B
CD
C
22º30´
22º30´
22º30´
diagonalDB=diagonalAC

3. Unimos ABCD y ya tenemos
el trapecio que buscamos
A
B
D
O
A B
CD
C
22º30´
22º30´
22º30´

Construir el cuadrilátero inscrito en la circunferencia dada siendo AB uno de sus lados y
sabiendo que el ángulo que forma el lado AB con la diagonal AC es de 30º y el que forma
el lado BC con la diagonal BD es de 45º.Deducir, antes de efectuar los trazados,
cuánto valdrá el ángulo del cuadriláterode vértice C
A B
O
C =C =

A B
O
C = 180º - A = 180º - ( 30º + 45º) = 105º En todo cuadrilátero inscrito, son iguales
los ángulos que forman las diagonales
con dos lados opuestos
A
A
30º
A2
D2
D1
C1
45º
B1
B2
C2
105º
45º
A1
B
B
C
C
D
D
O
O

A
A
30º
A2
D2
D1
C1
45º
B1
B2
C2
105º
45º
A1
B
B
C
C
D
D
O
O
A
30º
B
C
O
1. Sabiendo que AB forma 30º con
la diagonal AC, determinamos C
CAlanogaid

A
A
30º
A2
C1
45º
B1
B2
C2
105º
45º
A1
B
B
C
C
D
O
O
A
30º
45º
45º
B
C
D
O
2. Sabemos que el lado BC y la
diagonal BD forman 45º, por tanto
sabemos que la diagonal AC
y el lado AD forman también 45º

A
30º
45º
45º
B
C
D
O
A
A
30º
A2
45º
B1
B2
105º
45º
A1
B
B
C
D
O
O
C1
C2
C
2. Sabemos que el lado BC y la
diagonal BD forman 45º, por tanto
sabemos que la diagonal AC
y el lado AD forman también 45º

CUARTA PROPORCIONAL A TRES SEGMENTOS AB, CD y EF
A
E
C
B
F
D

A
E
C
B
F
D
C D
A B
1. Sobre una línea auxiliar, trazamos los segmentos
AB y CD de forma consecutiva

A
E
C
B
F
D
C
F
E D
A B
2. A partir de A, trazamos una línea auxiliar
con ángulo arbitrario, y sobre ella trazamos el segmento EF,
haciendo coincidir E con A

A
E
C
B
F
D
C
F
E D
A B
3. Unimos F con C

A
E
C
B
F
D
C
F
G
E D
A B
4. Trazamos una paralela a FC que pase por D.
Así obtenemos el punto G

A
E
C
B
F
D
x
G
5. El segmento FG (x) es la cuarta proporcional de
los segmentos dados
C
F
x
G
E D
A B

TERCERA PROPORCIONAL A DOS SEGMENTOS AB y CD
A
C
B
D

A
C
B
D
A B
1. Sobre una recta auxiliar dibujamos el segmento AB

A
C
B
D
C D
A B
2. A continuación de AB trazamos el segmento CD, haciendo
coincidir C y B en el mismo punto

A
C
B
D
C D
A B
3. Desde A, trazamos una recta auxiliar con ángulo arbitrario

A
C
B
D
CC´ D
D´
A B
4. Sobre dicha recta, volvemos a trazar el segmento CD (C´D´),
en este caso haciendo coincidir C con A

A
C
B
D
CC´ D
D´
A B
5. Unimos D´ con C

A
C
B
D
D´
E
6. Trazamos una paralela a D´C que pase por D, que cortará
a la recta auxiliar en E
CC´ D
A B

A
C
B
D
C
x
C´ D
D´
E
A B
7. El segmento D´E (x) es tercera proporcional de los
segmentos dados

MEDIA PROPORCIONAL A DOS SEGMENTOS AB y CD. TEOREMA DE LA ALTURA
A
D
B
C

A
D
B
C
A DBC
1. Sobre una recta, dibujamos los
segmentos AB - CD consecu-
tivamente, unidos por uno de
sus extremos.
El segmento resultante es AD

A
D
B
C
A DBCM
2. Hallamos la mediatriz de AD

A
D
B
C
A DBCM
3. Trazamos la semicircunfe-
rencia de radio MA

A
D
B
C
A
E
DBCM
4. Trazamos una perpendicular
a AD desde el punto de unión
de los dos segmentos C=B,
que corta a la semicircunfe-
rencia en el punto E

A
D
B
C
A
E
DBCM
mediaproporcional
5. La distancia EC = EB es la
MEDIA PROPORCIONAL DE
AB - CD. Dicha distancia
es la altura del triángulo
rectángulo ADE

A
D
B
C
A
E
DBCM
mediaproporcional
ALTURA
5. La distancia EC = EB es la
MEDIA PROPORCIONAL DE
AB - CD. Dicha distancia
es la altura del triángulo
rectángulo ADE
TEOREMA DE LA ALTURA:
La altura sobre la hipotenusa
es media proporcional entre
los segmentos en que la divide

A B
DC
MEDIA PROPORCIONAL A DOS SEGMENTOS AB y CD. TEOREMA DEL CATETO

A B
A B
DC
1. Sobre una recta, trazamos
el segmento AB

A
D
B
CA B
DC
2. Dentro de AB, y haciendo
coincidir uno de sus extremos,
dibujamos el segmento CD.

A
D
B
CA B
DC
M
3. Hallamos la mediatriz
de AB

A
D
B
CA B
DC
M
4. Trazamos la semicircun-
ferencia MA

A
D
E
B
CA B
DC
M
5. Levantamos en D (extremo
del segmento menor) una
perpendicular a AB que corta
a la semicircunferencia
en el punto E

A
D
D
E
B
C
C
A B
m
edia
proporcional
M
6. El segmento AE ( = CE) es
la MEDIA PROPORCIONAL
de AB - CD. Es el cateto del
triángulo rectángulo ABE

A
D
D
E
B
C
C
A B
m
edia
proporcional: CATETO
M
6. El segmento AE ( = CE) es
la MEDIA PROPORCIONAL
de AB - CD. Es el cateto del
triángulo rectángulo ABE
TEOREMA DEL CATETO:
Cada cateto es media proporcional
entre la hipotenusa y su
proyección sobre ella

A
D
B
C
En este procedimiento se obtiene la media proporcional
sabiendo que la potencia de un punto respecto de una
circunferencia es igual al cuadrado de la tangente trazada
desde el punto a la circunferencia
MEDIA PROPORCIONAL A DOS SEGMENTOS AB y CD. TERCER PROCEDIMIENTO
BASADO EN LA POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA

A
A
D
D M
B
B
C
C
1. Dibujamos los segmentoa a
y b como si fueramos a calcular
su diferencia, y hallamos la
mediatriz de la diferencia
entre ambos segmentos

MEDIA PROPORCIONAL A DOS SEGMENTOS a y b. TERCER PROCEDIMIENTO
A
D
B
C
A
A
D
D M
B
B
C
C
2. Trazamos una circunferencia con
diámetro d-b (centro en M)

A
D
B
C
A
A
D
D M
B
B
C
C
3. Hallamos la tangente desde el
extremo común de a y b
( A=C) a la circunferencia

A
D
B
C
A
A
D
D M
B
B
C
C
x
El resultado es el segmento x

T1. TRAZADOS EN EL PLANO. Trazados fundamentales, Arco capaz, Media proporcional...T1. TRAZADOS EN EL PLANO. Trazados fundamentales, Arco capaz, Media proporcional...
O
RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA

O
1
1
A
B

O
1
A
B
2

O
1
2
A
B

O
1
2
3
A
B

O
1
2
4
3
A
B

O
1
2
4
3
A
B
r/2

RECTIFICACIÓN DE MEDIA CIRCUNFERENCIA
O
B
A

O
B
r
A

Triángulo inscrito
en la circunferenciaO
B
C
r
A
A
C B

O
D
L3
B
C
r
Triángulo inscrito
en la circunferencia
A
A
C B

Cuadrado inscrito
A
B
C
E
rD
L3
L4
A
D
C
B
F

Cuadrado inscrito
A
r
B
C
E
F rD
L3
L4
A
D
C
B

RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA COMPLETA
O

O1 2 3 4 5 6 7

O1 2 3 4 5 6 7
1/7

O1 2 3 4 5 6 7
1/7
2r

Sección áurea del segmento AB
y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB
A B

A B
1. Trazamos una perpendicular
a AB desde uno de sus
extremos

A M B
2. Trazamos la mediatriz de AB

A M B
C
½ AB
3. Se traza el arco BM, que
corta a la primera perpendi-
cular trazada en el punto C

A M B
½ AB
C
4. Unimos A con C mediante
una recta

A M B
D
½ AB
C
5. Trazamos el arco CB,
que corta a la recta
anteriormente trazada
en el punto D

A M B
D
½ AB
C
BAaeruánóicces
6. El segmento AD es la
SECCIÓN ÁUREA de AB.

A M B
D
½ AB
C
sección áurea AB
7. Abatimos AD sobre AB
para tener la sección áurea
sobre el segmento

A
A
M B
D
½ AB
C
sección áurea AB
8. Para calcular el segmento del
cual es sección áurea AB,
completamos el arco CBD
en una circunferencia

A
A
M B
D
E
½ AB
C
sección áurea AB
9. La recta que pasaba por A, D
y C, se prolonga y corta la
circunferencia trazada en el
punto E

A
A
M B
D
E
½ AB
C
sección áurea AB
segmento del que es sección áurea AB
10. El segmento AE es el
segmento del cual es sección
áurea AB

A
B
D
C
r
AB y BCD son dos varillas articuladas. A es un punto fijo, B es una charnela y C se desliza
por la recta r. Hallar el lugar geométrico de los puntos B y D, cuando C, partiendo de A,
se aleja el máximo de él

A
B
Bs
Br
D
C
r

A
B
Bs
Br
D
C
rCr

A
B
Bs
Br Dr
D
C
rCr

A
B
Bs
B1
Br-C1
D1
Dr
D
C
rCr

A
B
Bs
B1
B2
C2
D2
Br-C1
D1
Dr
D
C
rCr

A
B
Bs
B1
B3
C3
D3
B2
C2
D2
Br-C1
D1
Cr
Dr
D
C
r

Justifica las ecuaciones abajo expresadas:
 = 
1............................................................
1.............................................................
11..........................................................


1
1
A
O
C
B

Justifica las ecuaciones abajo expresadas:
 = PERPENDICULAR ENTRE LADOS
1CUERDA AB
1 : CUERDA AC
11 : CONSECUENCIA de lo
anterior
Aa ES LA BISECTRIZ DE 1 + 1


1
1
A
O
C
B

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