para la profesora yenni

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio de Educación
Instituto universitario politécnico Santiago Mariño
Cátedra : Estadística
Profesora : Yenny ATIAS
Teoría de la
Probabilidad
Realizado por :
Jesus Daniel Garcia Suarez
C.I 24362004

2. Introducción
El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos
futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por
los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas
herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte. Con el tiempo estas técnicas se
perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas.
Actualmente se continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el
uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los
márgenes de error en los cálculos. A través de la historia se han desarrollado tres enfoques
conceptuales diferentes para definir la probabilidad y determinarlos valores de probabilidad
La incertidumbre es la falta de conocimiento seguro o fiable sobre una cosa especialmente
cuando crea inquietud se presenta debido a la aleatoriedad del fenómeno que se observe,
pero además por el desconocimiento del verdadero estado del sistema lo cual equivale a
ignorar todos los parámetros que determinan ese estado de naturaleza.

3. Teoría de la probabilidad
La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos
aleatorios estocásticos. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, los
cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas
condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta agua a 100 grados Celsius a nivel
del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos aleatorios, por el contrario, son aquellos que
se obtienen como resultado de experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas
condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de
alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de una moneda. La teoría de
probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda
ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si
un suceso es más probable que otro.
Muchos fenómenos naturales son aleatorios, pero existen algunos como el lanzamiento de
un dado, donde el fenómeno no se repite en las mismas condiciones, debido a que la
características del material hace que no exista una simetría del mismo, así las repeticiones
no garantizan una probabilidad definida. En los procesos reales que se modelizan
mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se
conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las
cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce
inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí.
En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema de axiomas para
la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en lateoría de la medida,
desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet entre otros.
Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual
obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la
rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el estudio de problemas fuera
de los marcos clásicos. Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en
las más variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde
mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o
las finanzas (donde destaca el modelo de Black y Scholes para la valuación de acciones).
Definición según la frecuencia relativa y definición axiomática
La autodefinición axiomática de la probabilidad se define con base a sí misma (igualmente
factible es sinónimo de igualmente autoprobable) se define la probabilidad estimada u
honírica basada en la frecuencia relativa de aparición de un suceso S cuando es muy
grande. La probabilidad de un suceso es unamedida que se escribe como

4. ,
y mide con qué frecuencia ocurre algún suceso si se hace algún experimento
indefinidamente.
La definición anterior es complicada de representar matemáticamente ya que
debiera ser infinito. Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomática
esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y
operaciones que la componen.
Definición clásica de probabilidad
La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones para
creer que éste se realizará.
La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles
igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho
evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.
La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es
imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene
que ocurrir su probabilidad es 1.
La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:
Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la
probabilidad de que no ocurra, entonces p + q = 1
Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por ,
es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los
resultados, que se denota por , etcétera, son elementos del espacio
.
Probabilidad discreta
Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar sólo ciertos valores
diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de
interés.

5. Probabilidad continua
Una variable aleatoria es una función medible
que da un valor numérico a cada suceso en .
Función de densidad
La función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable
aleatoria, es una función a partir de la cual se obtiene la probabilidad de
cada valor que toma la variable. Su integral en el caso de variables
aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de
variables aleatorias discretas la distribución de probabilidad se obtiene a
través del sumatorio de la función de densidad.
Espacio muestral
Un espacio muestral S asociado a un experimento aleatorio, es un conjunto tal
que:
a) Cada elemento de S representa un resultado del experimento
b) Cualquier forma de verificar el experimento da un resultado que
corresponde a un elemento de S y sólo uno.
Ejemplo: si lanzamos dos monedas, una de 1 Euro y otra de 50 céntimos, el
espacio muestral será siendo C la cara de una moneda y X el
reverso de la misma o cruz.
Sucesos
Sea S un espacio muestral dado. Un suceso es un subconjunto de S.
Así si en un experimento el espacio muestral es siendo n finito,
un suceso puede ser
1) Suceso simple es un subconjunto unitario de S. Esto es, habrá n sucesos
simples , , …,

6. El suceso no es un suceso simple, sino que es la unión de dos sucesos
simples:
2) Suceso imposible.- El suceso vacío o suceso imposible es el que no tiene
ningún elemento y se le llama
3) Suceso seguro.- Es el que ocurre siempre en un determinado experimento. O
sea que es el espacio muestral. Suceso seguro = S
4) Sucesos incompatibles o disjuntos.- Son los que no pueden ocurrir a la vez.
Por ejemplo si , , E y F son incompatibles, no pueden
ocurrir a la vez y entonces . Sin embargo los sucesos E y no
son incompatibles, cuando ocurre está ocurriendo E y G y en este
caso
5) Sucesos contrarios o complementarios
Dado un suceso cualquiera E, el suceso contrario o complementario es el que
ocurre cuando no ocurre E. O sea que, además de ser incompatibles, o
sea , se complementan para formar el espacio muestral, o sea
que
La probabilidad de un suceso
1) Probabilidad.- A cada suceso simple le asignamos un número
representado por y denominado probabilidad del suceso . Estos
números (probabilidades) pueden asignarse arbitrariamente, con tal que
satisfagan las siguientes condiciones:
a) La probabilidad de cada suceso simple es un número no negativo, es
decir siendo
b) La suma de las probabilidades asignadas a todos los sucesos simples de un
espacio muestral es 1. Esto es:

7. Por tanto siendo
2) Probabilidad del suceso imposible.- El suceso imposible tiene de probabilidad
0.
3) Probabilidad de un suceso.- Si E es la unión de dos o más sucesos simples, la
probabilidad de E, representada por P(E) es la suma de las probabilidades de los
sucesos simples cuya unión es E.
Algunos teoremas de probabilidades
1) Probabilidad del suceso seguro.- La probabilidad del suceso seguro es 1, es
decir
Demostración
2) Si E y F son sucesos tales que (E está incluido o es subconjunto de F, o
sea que si ocurre E ocurre también F, , E implica F)
En resumen: Si
3) Probabilidad de un suceso cualquiera.- Siendo E un suceso
cualquiera
4) Probabilidad de la unión de dos sucesos.-
Si los sucesos son incompatibles en ese caso
Si son sucesos incompatibles

8. Ejemplos
El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un
suceso a partir de probabilidades condicionadas:
Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes
es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite
deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la
probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.
La fórmula para calcular esta probabilidad es:
Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que
ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las
probabilidades condicionadasde este suceso con los diferentes sucesos A
(probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la
probabilidad de cada suceso A.
Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:
Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que
contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el
100%).
Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman
un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el
100%
Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema
completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En
este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.
Ejercicio 1º: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes
probabilidades de ser elegidas:
a) Amarilla: probabilidad del 50%.
b) Verde: probabilidad del 30%
c) Roja: probabilidad del 20%.

9. Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así,
si la papeleta elegida es:
a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.
b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%
c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.
Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que
participes?:
1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman
100%
2.- Aplicamos la fórmula:
Luego,
P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54
Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.
Ejercicio 2º: Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:
a) Carlos, con una probabilidad del 60%
b) Juan, con una probabilidad del 30%
c) Luis, con una probabilidad del 10%
En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo
es la siguiente:
a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.
b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.
c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.
En definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?:

10. 1.- Los tres candidatos forman un sistema completo
2.- Aplicamos la fórmula:
P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15
Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%. Lo llevas claro
amigo...

11. Conclusión
Este trabajo está realizado para las personas que quieran conocer sobre la teoría de
probabilidad y utilizar el método de la probabilidad en distintas formas de nuestra vida, La
probabilidad forma una parte cierta en un resultado. La teoría de probabilidad es una
disciplina especial y su dominio es aplicable a todas las ramas del saber, basándose en el
convencimiento de que el grado de indeterminación de la ocurrencia de un suceso
aleatoria se pueda determinar.

12. Bibliografía
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad
http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-24-est.htm
http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/probabilidad/probabilidad.htm
http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-24-est.htm
http://www.uv.es/ceaces/proble/proba/prob2.htm